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El campo eléctricoClase 3
30/Septiembre/2014
El campo eléctrico
La fuerza eléctrica ejercida por una carga sobre otra carga es un ejemplo de acción a distancia, semejante a la fuerza gravitatoria ejercida por una masa sobre otra.
La idea de acción a distancia presenta un problema conceptual difícil.
Para evitar el problema de la acción a distancia se introduce el concepto del campo eléctrico.
Una carga crea un campo eléctrico E en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre la otra carga
El campo eléctrico
+
+
-
F1
F2
F3
F = F1 + F2 + F3
q0
q1q3
q2
Una pequeña carga testigo o de prueba) en las proximidades de un sistema de cargas …….. Experimenta una Fuerza F proporcional a La relación es el campo eléctrico E en esa posición
El campo eléctrico
Por lo tanto en la siguiente figura se muestra una serie de cargas puntuales, dispuestas arbitrariamente en el espacio. Estas cargas producen un campo eléctrico E en cualquier punto del espacio. Si situamos una pequeña carga testigo o de prueba en algún punto próximo, esta experimentara la acción de una fuerza debido a las otras cargas. La fuerza resultante ejercida sobre es la suma vectorial de las fuerzas individuales ejercidas sobre por cada una de las otras cargas del sistema.
El campo eléctrico
Como cada una de estas fuerzas es proporcional a . Por lo tanto el campo eléctrico en un punto se define por esta fuerza dividida por
00
Pequeña
Definición del Campo Electrico
FE q
q
El campo eléctrico
La unidad del SI del campo eléctrico es el newton por coulomb . En la siguiente tabla se presentan algunos campos eléctricos de la naturaleza.
En los cables domésticos
En las ondas de radio
En la atmosfera
En la luz solar
Bajo una nube tormentosa
En la descarga de un relámpago
En un tubo de rayos X
El campo eléctrico
En el electrón de un átomo de hidrogeno
En la superficie de un núcleo de uranio
El campo eléctrico
Es decir el campo eléctrico es un vector que describe la condición en el espacio creada por el sistema de cargas puntuales. Desplazando la carga testigo o de prueba de un punto a otro, podemos determinar E en todos los puntos del espacio (excepto el ocupado por una carga ). El campo eléctrico E es, por lo tanto, una función vectorial de la posición. La fuerza ejercida sobre una carga testigo o de prueba en cualquier punto está relacionada con el campo eléctrico en dicho punto por:
0F Eq
El campo eléctrico
El campo eléctrico debido a una sola carga puntual en la posición puede calcularse a partir de la ley de Coulomb. Si situamos una pequeña carga testigo o de prueba positiva P la distancia de la carga :
0
0,0 ,02
,
iii
i
kq qr
rF
El campo eléctrico
El campo eléctrico en el punto P debido a la carga es por lo tanto:
,02,0
Ley de coulomb para el
campo E creado por una
carga puntual
iii
i
kqE r
r
+
Punto de la Fuente
Punto del campo
𝑟 𝑖 ,𝑝𝑟 𝑖 ,𝑝
𝐸𝑖 ,𝑝
𝑞𝑖
El campo eléctrico E en un punto P debido a la carga colocada en un punto i
El campo eléctrico
En donde es un vector unitario que apunta desde el punto de la fuente i al punto de observación del campo o punto del campo P. El campo eléctrico resultante debido a una distribución de cargas puntuales se determina sumando los campos originados por cada carga separadamente:
,, 2,
Campo electrico E debido a un sistema de cargas puntuales
ii pp i p
i i i p
kqE E r
r
Problemas
Problema 1
Una carga de esta en el origen. ¿Cual es el valor y dirección del campo eléctrico sobre el eje en (a) y (b) ? (c) Hacer un esquema de la función respecto a tanto para valores positivos como negativos de . (Recuérdese que es negativo cuando E señala en el sentido negativo de las .
Problemas
Solución
Expresamos el campo eléctrico en un punto situado a una distancia desde una carga
Evaluamos esta expresión para
Inciso a
,02( ) P
kqE x r
x
>>>>>>>>>>>>>>
9 2 2
2
8.99 10 / 46
6
6 999 /
N m C CE m i
m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
Problemas
Solución Inciso b
Evaluamos esta expresión para
9 2 2
2
8.99 10 / 410
10
10 360 /
N m C CE m i
m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
Problemas
Solución Inciso c
En el siguiente gráfico se trazó el campo Eléctrico, utilizando Excel con diferentes valores del E con Excel.
Problemas
Problema 2
Dos cargas puntuales, cada una de ellas de , están sobre el eje , una en el origen y la otra en . Hallar el campo eléctrico sobre el eje en (a) , (b) , (c) y . (e) ¿En que punto del eje es cero el campo eléctrico? (f) Hacer un esquema de en función de .
Problemas
Solución
Sea q la que representa las cargas de y utilizamos la ley de Coulomb para encontrar el debido a una carga puntual y el principio de superposición de campos para encontrar el campo eléctrico en los lugares especificados.
Problemas
Solución
Tomando en cuenta que , utilizamos la ley de Coulomb y el principio de superposición para expresar el campo eléctrico debido a las cargas dadas en un punto P a una distancia x del origen, tenemos que:
1 2 1 2
1 2
1 2, ,22
1 2
, ,1 22
( ) ( ) ( )8
considerando que
1 1( )
8
q q q p q p
q p q p
kq kqE x E x E x r r
x m x
q q
E x kq r rx m x
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
Problemas
Solución Inciso a
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde . Tenemos que: y
Considerando
22 2
1 1( 2 ) 36,000 /
2 8 2
( 2 ) 9360 /
E m N m C i im m m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
𝑃
𝑥=−2𝑚
+ +𝑎=8𝑚
Problemas
Solución Inciso b
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde . Tenemos que:
Tenemos que: y
22 2
1 1(2 ) 36,000 /
2 8 2
(2 ) 8000 /
E m N m C i im m m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
𝑃+ +
𝑎=8𝑚𝑥=2𝑚
Problemas
Solución Inciso c
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde . Tenemos que:
Tenemos que: y
22 2
1 1(6 ) 36,000 /
6 8 6
(6 ) 8000 /
E m N m C i im m m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
𝑃+ +
𝑎=8𝑚𝑥=6𝑚
Problemas
Solución Inciso d
Aplicando esta ecuación que obtuvimos al punto donde . Tenemos que:
Tenemos que: y
22 2
1 1(10 ) 36,000 /
10 10 8
(10 ) 9350 /
E m N m C i im m m
E m N C i
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>>
𝑃+ +
𝑎=8𝑚𝑥=10𝑚
Problemas
Solución Inciso e
Considerando por simetría que
(2 ) 8000 /
(6 ) 8000 / }
(4 ) 0
E m N C i
y
E m N C i
E m
>>>>>>>>>>>>>>
>>>>>>>>>>>>>> >>>>>>>>>>>>>>
�⃗�2𝑚=8𝑘𝑁 /𝐶
�⃗�4𝑚=0𝑁 /𝐶�⃗�2𝑚 �⃗�6𝑚
�⃗�6𝑚=−8kN /C
Problemas
Solución Inciso f
Usando Excel y graficando los valores de en función de tenemos:
Problemas
Problema 3
Cuando se coloca una carga testigo o de prueba en el origen, experimenta la acción de una fuerza de en la dirección positiva del eje de las . (a) ¿Cuál es el campo eléctrico en el origen? (b) ¿Cuál sería la fuerza que se ejercería sobre una carga de situada en el origen? (c) Si esta fuerza debida a una carga situada sobre el eje en , ¿cual será el valor de dicha carga?
Problemas
Solución Inciso a
Podemos encontrar el campo eléctrico en el origen a partir de la definición y la fuerza sobre una carga considerando que . Además podremos aplicar la ley de Coulomb para encontrar el valor de la carga colocada en .
Aplicamos la definición del campo eléctrico y obtenemos:
4
0
8 10400 /
2
N jFE kN C j
q nC
>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Problemas
Solución Inciso b
Expresamos y evaluamos la fuerza sobre un cuerpo cargado en un campo eléctrico
4 400 / 1.60F qE nC kN C j mN j >>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>>
Problemas
Solución Inciso c
Aplicamos la ley de Coulomb y obtenemos
2
2
9 2 2
41.60
0.03
1.60 0.0340
8.99 10 / 4
kq nCj mN j
m
mN mq nC
N m C nC
Problemas
Problema 4
Una carga puntual esta en el punto y una carga está en . a) Si , encontrar E en el punto . b) ¿En qué punto sobre el eje
Problemas
Solución
Una carga puntual esta en el punto y una carga está en .
a) Si , encontramos E en el punto . Este campo debe ser
𝐸= 14𝜋 𝜖𝑜 [𝑄1𝑉 13
|𝑉 13|+𝑄2𝑉 2 3
|𝑉 2 3| ]
𝐸 (𝑟 )=𝑄1
4𝜋 𝜖𝑜|𝑟 −𝑟1|2 𝑎1+
𝑄2
4𝜋 𝜖𝑜|𝑟 −𝑟2|2 𝑎2+……… ..+
𝑄𝑛
4𝜋 𝜖𝑜|𝑟 −𝑟𝑛|2 𝑎𝑛
Problemas
Solución
Donde . También tenemos que
𝐸= 10− 9
4𝜋 𝜖𝑜 [ 25𝑉 13
|𝑉 13|3 +
60𝑉 2 3
|𝑉 23|3 ]
Problemas
Solución
En consecuencia tenemos que
𝐸=10− 9
4𝜋 𝜖0 [ 25× (−3 𝑖+4 𝑗−4𝑘 )(41 ) (41 )1 /2 +
60× (4 𝑖−4 𝑗+5𝑘 )( 45 ) ( 4 5 )1 /2 ]
𝐸=4.58 𝑖−0.15 𝑗+5.51𝑘
Problemas
Solución
Tenemos que el , por lo tanto el y
Por lo tanto la componente de del en el nuevo
Problemas
Solución
Considerando que y simplificando la expresión del lado izquierdo llegamos a la siguiente expresión cuadrática:
La cual toma los valores de
Campo debido a una distribución continua de carga volumétrica
Si ahora se visualiza una región del espacio con un enorme número de cargas separadas por distancias diminutas.
Esto realmente no es una limitación ya que nuestros resultados finales, como ingenieros en comunicaciones, casi siempre están en términos de la corriente en una antena receptora, del voltaje en un circuito electrónico, o de la carga en un condensador, o en general en términos de algún fenómeno macroscópico a gran escala. En raras ocasiones es necesario conocer una corriente electrón por electrón.
La densidad de carga volumétrica se simboliza con , cuyas unidades son coulomb por metro cúbico
Campo debido a una distribución continua de carga volumétrica
La pequeña cantidad de carga en un volumen pequeño es:
Y se puede definir matemáticamente mediante la utilización de un proceso de limite
La carga total dentro de cualquier volumen finito se obtiene por integración sobre todo el volumen
Campo debido a una distribución continua de carga volumétrica
La diferencial significa una integración a través de todo el volumen e implica una integración triple; sin embargo, se acostumbra indicarla con un solo símbolo de integración.
Problema
Una densidad volumétrica de carga uniforme de esta en una concha esférica que se extiende de .
Si en cualquier otra parte, encontrar: a) la carga total presente en la concha, y b) el valor de si la mitad de la carga total está en la región
Problema
Solución
Inciso a
Sin embargo para encontrar la carga total presente en la concha tenemos que:
El volumen será
Problema
Solución
Inciso b
Para encontrar el valor de si la mitad de la carga total está en la región
El volumen será
Si consideramos que la mitad de la carga es
Problema
Solución
Inciso b