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Universidad Nacional de Tucumán
Facultad de Ciencias Exactas y Tecnología
Primer semestre 2006
Introducción a Sistemas de Tiempo Discreto:
Trabajo de Integración 2006
Integrantes (Grupo 1) :
Rafael Carrasco CX: 00-0171-3 Carrera: Ingeniería en Computación
Gustavo Cortez CX: 01-0801-9 Carrera: Ingeniería en Computación
Leonardo Lucianna CX: 02-0456-6 Carrera Ingeniería en Computación
Tabla de contenidos
Tabla de contenidos
Tabla de contenidos....................................................................................................................2
Enunciado...................................................................................................................................4
Especificaciones....................................................................................................................4
Primera Parte.........................................................................................................................4
Segunda Parte........................................................................................................................5
Tercera Parte..........................................................................................................................5
Primera Parte..............................................................................................................................6
Función transferencia.............................................................................................................6
Estructuras de realización circuital........................................................................................8
Ecuación de diferencias.........................................................................................................9
Respuesta temporal – uso de la transformada Z..................................................................10
Respuesta en frecuencia.......................................................................................................26
Factor de Calidad Q.............................................................................................................38
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................39
Conclusiones........................................................................................................................42
Segunda Parte...........................................................................................................................43
Función transferencia...........................................................................................................43
Estructuras de realización circuital......................................................................................44
Ecuación de diferencias.......................................................................................................45
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z.................................................................45
Respuesta en frecuencia:......................................................................................................51
Factor de calidad Q..............................................................................................................62
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................63
Conclusiones........................................................................................................................66
Tercera Parte.............................................................................................................................67
Función transferencia...........................................................................................................67
Estructuras de realización circuital......................................................................................69
Ecuación de diferencias.......................................................................................................70
Respuesta temporal – Uso de la transformada Z.................................................................70
Respuesta en frecuencia.......................................................................................................83
Factor de Calidad Q.............................................................................................................96
Trabajo de integración 2006 2
Tabla de contenidos
Normalización de la respuesta en amplitud.........................................................................98
Conclusiones......................................................................................................................101
Trabajo de integración 2006 3
Enunciado
Enunciado
El propósito de este trabajo, es hacer un estudio comparativo de la respuesta en frecuencias de un sistema de tiempo discreto (STD) con dos pares de polos complejos conjugados z P 1,2
−1 , ubicados en el plano z−1 con coordenadas polares (Módulo P , Angulo P ): z P
−1=P ;P 1,2=±1 /2º y dos pares de ceros complejos
conjugados zC 1,2−1 con coordenadas polares (Módulo C , Angulo C ):
zC−1=C ;C1,2=±2º .
D
N
H
HH =
ω= α/T ; ωmin = 0 y ωmax = π/T
Especificaciones = T= α ω (Normalizar la frecuencia para T=1seg)
Grupo 1: =T=30º
Módulos de los polos
a) ρ 1 =1.1
b) ρ2 = 1.01
c) ρ3 =1.001
Primera Parte
Con H z−1=
1H D
=1
H PZ−1
Siendo H D=H P z−1=[ z−1
−a jb ] [ z−1−a− jb] [z−1
−c jd ] [ z−1−c− jd ]
en coordenadas cartesianas, o en coordenadas polares:
H D=H P z−1={z−2
−2P1 cosP1 z−1P1
2}{z−2
−2P2 cosP2 z−1P2
2}
A) Escribir la función transferencia normalizada ( B0=1 en el denominador) y proponer las realizaciones canónicas directas Tipo I y Tipo II (directa y su transpuesta).
B) Escribir la ecuación de diferencias que da origen a esta función de transferencia, para todos y cada uno de los casos que se analizan.
C) Encontrar, utilizando la Transformada Z, la respuesta al impulso p. (k), δ al escalón q.u(k) y al escalón alternado r.û(k).
Trabajo de integración 2006 4
Enunciado
D) Para cada una de las frecuencias especificadas, tomando como parámetro , armar una tabla de 36 valores.
1. Encontrar las curvas de Amplitud y Fase. Realizar dos familias de gráficas de amplitud lineallineal y lineallogarítmica, de tamaño 18cmx10cm.
2. Encontrar el factor de calidad Q=0 /AB en cada caso.
3. En todos los casos normalizar la respuesta de amplitud a un valor máximo igual a 1. Indicar el efecto que esta normalización producirá sobre la función transferencia y la realización.
4. Comentarios, observaciones y conclusiones.
Segunda Parte
Con H z−1=H N=H C z
−1
Idem a la Primera Parte para los dos pares de ceros complejos conjugados, con función transferencia en coordenadas cartesianas.
H N=H C z−1=[ z−1
−e jf ][ z−1−e− jf ][ z−1
−g jh ][ z−1−g− jh ]
o, en coordenadas polares:
H N=H C z−1={z−2
−2C cosC1 z−1C
2}{z−2
−2C cosC2 z−1C
2}
Repetir los punto A, B, C y D de la Primera Parte.
Tercera ParteEncontrar la función de transferencia
H z−1=H P z
−1H C z
−1
de la realización directa resultante de colocar en cascada los módulos correspondientes a la Primera y Segunda Parte.
Repetir el análisis detallado en los pasos A, B, C y D de la Primera Parte.
Trabajo de integración 2006 5
Primera Parte
Primera Parte
Función transferencia
Función de transferencia normalizada ( B0=1 ) de cuarto orden.:
H z−1=
1
b0b1 z−1b2 z
−2b3 z
−3b4 z
−4
H z−1=
1
b01b1/b0 z−1b2 /b0 z
−2b3/b0 z
−3b4 /b0 z
−4
H z−1=
A0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Donde A0=1b0
, B i=bi
b0
, i=1,2,3 ,4
(Ec. 1)
Desarrollamos la expresión
H D=H P z−1={z−2
−2P1cosP1 z−1P1
2}{z−2
−2P2 cosP2 z−1P2
2}
Mediante el producto de los factores
H D=H P z−1= z−4
z−3−22 cos2z−2
22z−3
−21 cos1
z−2−21 cos1−22cos22
2 z−1−21cos1
12 z−2
12 z−1
−22 cos2122
2
H D=H Pz−1=z−4
−2 z−32 cos22
2 z−2−2 z−3
1 cos14 z−212cos1 cos2
−2 z−12
21 cos1z−2
12−2 z−1
122 cos21
22
2
H D=H P z−1=z−4
−2 z−31cos12 cos24 z−2
12 cos1cos2
z−21
22
2−2 z−1
122cos212
2 cos1122
2
H D=H P z−1= z
−4− z
−321 cos122cos2z
−2412 cos1 cos21
22
2
−z−121
22 cos2212
2cos1122
2
De esta expresión encontramos los valores de b0 , b1 , b2 , b3 yb4
b0=122
2
b1=−2122cos2−212
2 cos1
b2=412 cos1cos2122
2
b3=−21 cos1−22 cos2
b4=1
Trabajo de integración 2006 6
Primera Parte
Entonces de la Ec. 1 obtenemos los valores de A0 , B1 , B2 , B3 y B4
A0=1
122
2
B1=−21
22 cos2−212
2cos1
122
2
B2=4 12 cos1 cos21
22
2
122
2
B3=−21cos1−22 cos2
122
2
B4=1
122
2
Siendo en nuestor caso:
1=29,5 º
2=30,5 º
Encontrado las constantes A0 , B1, B2, B3 y B4 la función de transferencia normalizada queda de la siguiente manera:
H z−1=
A0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Trabajo de integración 2006 7
Primera Parte
Estructuras de realización circuitalTipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 8
Primera Parte
Ecuación de diferenciasPartimos de la función transferencia dada:
H Z−1=
Y Z−1
X Z−1=
A0
1B1 Z−1B2Z
−2B3Z
−3B4 Z
−4
A0 X Z−1=Y Z−1
1B1Z−1B2Z
−2B3Z
−3B4 Z
−4
A0 X Z−1=Y Z−1
B1Z−1Y Z−1
B2Z−2Y Z−1
B3Z−3Y Z−1
B4 Z−4Y Z1
Antitransformando:
Z−1[A0 X Z−1
]=Z−1[Y Z−1
B1Z−1Y Z−1
B2Z−2Y Z−1
B3Z−3Y Z−1
B4 Z−4Y Z1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
A0 Z−1[ X Z−1
]=Z−1[Y Z−1
]B1 Z−1[Z−1Y Z−1
]B2Z−1[Z−2Y Z−1
]
B3Z−1[Z−3Y Z−1
]B4 Z−1[Z−4Y Z 1
]
Por Teorema de Desplazamiento:
A0 x k = y k B1 y k−1B2 y k−2B3 y k−3B4 y k−4
y k =A0 x k −B1 y k−1−B2 y k−2−B3 y k−3−B4 y k−4
Esta es la ecuación de diferencias que representa al STD lineal, a coeficientes constantes y de cuarto orden propuesto.
Expresada en términos del operador E:
A0 x k = y k B1 E−1B2E
−2B3 E
−3B4 E
−4
Trabajo de integración 2006 9
Primera Parte
Respuesta temporal – uso de la transformada ZRespuesta a una función impulso p.δ(k)
X [z−1]=Z [ x k ]=Z [ pk ]=p
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=
1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' p
Desarrollando en fracciones parciales
p
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb ' =
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
Aplicamos límite en ambos miembros para despejar A
limz−1
za
p
z−1− za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−1
− za=...
...= limz−1
zaA
B z−1
−za ' z−1
−za C
z−1−zb
z−1− za
Dz−1
− zb ' z−1
− za
Entonces A es
A=p
za− za ' za−zb za−zb '
Para encontrar B
limz−1
za '
p
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
− zb ' z−1
− za ' =...
...= limz−1
za '
A z−1
−za z−1
−za ' BC
z−1−zb
z−1− za '
D z−1
−zb ' z−1
−za '
Entonces B es
B=p
za '− za za '− zb za '− zb '
Para encontrar C
limz−1
zb
p
z−1− za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−1
− zb=...
...= limz−1
zb
A z−1
−za z−1
−zb B
z−1− za '
z−1− zbC
D z−1
− zb ' z−1
−zb
Entonces C es
C=p
zb−za zb−za ' zb−zb '
Trabajo de integración 2006 10
Primera Parte
Para encontrar D
limz−1
zb'
p
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−1
−zb ' =...
...= limz−1
zb '
A z−1
−za z−1
−zb ' B
z−1−za '
z−1−zb '
C z−1
−zb z−1
− zb ' D
Entonces D es
D=p
zb '−za zb '− za ' zb '−zb
Separamos la función Y z−1 en dos partes:
Y z−1=Y 1 z
−1Y2 z
−1
Donde Y1 z−1=
A
z−1−za
B
z−1− za '
y Y2 z−1=
C
z−1− zb
D
z−1− zb '
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[A
z−1−za
B
z−1− za '
]
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y1 z
−1]=
−Aza
Z−1[
1
1−z−1
za
]−Bza '
Z−1[
1
1−z−1
za '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1k =−Aza
1za
k
−Bza '
1za '
k
Se puede demostrar que A=B' por lo tanto (A/za)=(B/za')'
−Aza
=u1− jv1=1e− j1 y −Bza '
=u1 j v1=1 e j1
za=a j b= pejp1 y za '=a− j b= pe− jp1
Reemplazando y reescribiendo y1k :
y1k =u1− jv1 p−k e− j kp1u1 j v1 p
−k e j kp1
Trabajo de integración 2006 11
Primera Parte
y1k =p−k[u1− jv1e− j k p1u1 j v1 e j kp1 ]
Observamos que el primer término de la ecuación es el conjugado de la segunda, entonces aplicamos la siguinete propiedad de los complejos:
ZZ '=2ℜZ
También recordemos que:
e j=cos j sen
Por lo tanto:
y1k =p−k[2u1 cosk p1−2 v1 senk p1 ]
Siendo:
u1=1cos1 y v1=1 sen1
Llegamos a:
y1k =p−k[21 cos 1cosk p1−21 sen1 senk p1]
Aplicando las identidades trigonométricas:
y1k =21p−kcoskp11
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[C
z−1−zb
D
z−1−zb '
]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[
−Czb
1−z−1
zb
−Dzb '
1−z−1
zb '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 2 z
−1]=
−Czb
Z−1[
1
1−z−1
zb
]−Dzb '
Z−1[
1
1−z−1
zb '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2k =−Czb
1zb
k
−Dzb '
1zb '
k
Se puede demostrar que D=E' por lo tanto (D/zb)=(E/zb')'
−Czb
=u2− jv2=2e− j2 y −Dzb '
=u2 j v 2=2 e j2
zb=c j d= pe jp2 y za '=c− j d= pe− jp2
Operando de la misma forma que para el caso de y1(k) se obtiene:
Trabajo de integración 2006 12
Primera Parte
y2k=22p−k cosk p22
Finalmente la respuesta al impulso p.δ(k) de nuestro STD es:
y k = y1k y2k
y k =21 p−k cosk p1122p
−k cos k p22
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo denominador, para la exitación x(x)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 13
Primera Parte
Respuesta a una función escalón q.u(k)
X [z−1]=Z [ x k ]=Z [qu k ]=
q
1− z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=
1
H p z−1
q
1−z−1
Y z−1=
1
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb '
q
1− z−1
Si desarrollamos en fracciones parciales tenemos
Y z−1=
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
E
1−z−1
Para iguales denominadores
Y z−1=−q
1
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb '
1
z−1−1
Y z−1=
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
Si aplicamos límite en ambos miembros para lograr despejar A
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
−q1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb '
1
z−1−1
z−1−za
limz−1
zaY z−1
= limz−1
za[ z−1
−za A
z−1−za
B
z−1− za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
]
Obtenemos
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
−q1
z−1− za ' z−1
−zb z−1−zb '
1
z−1−1
limz−1
zaY z−1
= limz−1
zaA
B
z−1−za '
z−1−za
C
z−1−zb
z−1− za ...
...D
z−1− zb '
z−1− za−
E
z−1−1
z−1−za
El límite elimina los términos en B, C, D y E.
Entonces A es
A=−q
za− za ' za−zb za−zb ' za−1
Para encontrar B
limz−1
za '
Y z−1= lim
z−1za '
−q1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−1−1
z−1−za ' =...
...= limz−1
za ' z−1
−za ' [A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
]
Trabajo de integración 2006 14
Primera Parte
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
−q1
z−1− za ' z−1
−zb z−1−zb '
1
z−1−1
limz−1
zaY z−1
= limz−1
zaA
B
z−1−za '
z−1−za
C
z−1−zb
z−1− za ...
...D
z−1− zb '
z−1− za−
E
z−1−1
z−1−za
El límite elimina los términos en A, C, D y E.
Entonces B es
B=−q
za '− za za '− zb za '− zb ' za '−1
Para encontrar C
limz−1
zb
Y z−1= lim
z−1 zb
−q1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−1−1
z−1−zb=...
...= limz−1
zbz−1
−zb [A
z−1−za
B
z−1− za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
]
limz−1
zb
Y z−1= lim
z−1 zb
−q1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb ' z−1
−1=...
...= limz−1
zb
A
z−1−za
z−1−zb
B
z−1− za '
z−1−zbC...
...D
z−1−zb '
z−1−zb−
E
z−1−1
z−1−zb
El límite elimina los términos en A, B, D y E.
Entonces C es
C=−q
zb−za zb−za ' zb−zb ' zb−1
Para encontrar D
limz−1
zb'
Y z−1= lim
z−1 zb '
−q1
z−1− za z−1
−za ' z−1−zb z−1
− zb ' z−1−1
z−1− zb ' =...
...= limz−1
zb ' z−1
−zb ' [A
z−1−za
B
z−1− za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
]
limz−1
zb '
Y z−1= lim
z−1 zb '
−q1
z−1−zaz−1
−za ' z−1−zb z−1
−1=...
...= limz−1
zb '
A
z−1− za
z−1− zb '
B
z−1−za '
z−1−zb '
C
z−1−zb
z−1− zb ' ...
...D−E
z−1−1
z−1−zb '
El límite elimina los términos en A, B, C y E.
Trabajo de integración 2006 15
Primera Parte
Entonces D es
D=−q
zb '−za zb '− za ' zb '−zb zb '−1
Para encontrar E
limz−1
1
Y z−1= lim
z−11
−q1
z−1−za z−1
−za ' z−1− zbz−1
−zb ' z−1−1
z−1−1=...
...= limz−1
1 z−1
−1[A
z−1−za
B
z−1− za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
]
limz−1
1
Y z−1= lim
z−11
−q1
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb ' =...
...= limz−1
1
A
z−1−za
z−1−1
B
z−1−za '
z−1−1
C
z−1− zb
z−1−1...
...D
z−1−zb '
z−1−1−E
El límite elimina los términos en A, B, C y D.
Entonces E es
E=q
1− za 1− za ' 1− zb1−zb '
De las constantes A,B,C,D y E se puede determinar que E solo tiene parte real, A y B son complejos conjugados (A=B') y C y D también son complejos conjugados (C=D') .
Y z−1=
A
z−1− za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
−E
z−1−1
Separamos la función Y z−1 en tres partes:
Y z−1=Y 1 z
−1Y 2 z
−1−Y3 z
−1
Donde Y1 z−1=
A
z−1−za
B
z−1− za '
, Y2 z−1=
C
z−1− zb
D
z−1− zb '
y Y3 z−1=
E
z−1−1
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]−Z−1
[Y3 z−1 ]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[A
z−1−za
B
z−1− za '
]
Trabajo de integración 2006 16
Primera Parte
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y1 z
−1]=
−Aza
Z−1[
1
1−z−1
za
]−Bza '
Z−1[
1
1−z−1
za '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1k =−Aza
1za
k
−Bza '
1za '
k
A=B' por lo tanto (A/za)=(B/za')'
−Aza
=u1− jv1=1e− j1 y −Bza '
=u1 j v1=1 e j1
za=a j b= pejp1 y za '=a− j b= pe− jp1
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y1k =21 p−k cos k p11
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[C
z−1−zb
D
z−1−zb '
]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[
−Czb
1−z−1
zb
−Dzb '
1−z−1
zb '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 2 z
−1]=
−Czb
Z−1[
1
1−z−1
zb
]−Dzb '
Z−1[
1
1−z−1
zb '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2k =−Czb
1zb
k
−Dzb '
1zb '
k
C=D' por lo tanto (C/zb)=(D/zb')'
−Czb
=u2− jv2=2e− j 2 y −Dzb '
=u2 j v 2=2 e j2
zb=c j d= pe jp2 y za '=c− j d= pe− jp2
Trabajo de integración 2006 17
Primera Parte
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y2k =22p−k cos k p22
Resolvemos: Z−1[Y 3z
−1]
Z−1[Y 3z
−1]=Z−1
[E
z−1−1
]
Z−1[Y3 z
−1]=Z−1
[−E
1−z−1]
Aplicando las propiedades de linealidad de la trasformada Z:
Z−1[Y 3 z
−1]=−E Z−1
[1
1−z−1]
Antitransformando:
y3k =−E uk
Finalmente la respuesta al escalón q.u(k) de nuestro STD es:
y k = y1k y2k − y3k
y k =21 p−k cosk p1122p
−k cos k p22E uk
Trabajo de integración 2006 18
Primera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo denominador, para la exitación x(x)= q.u(k), particularizando a q=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 19
Primera Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z−1]=Z [ x k ]=Z [r û k ]=
r
1z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=H z−1
r
1z−1
Y z−1=
1
z−1−za z
−1− za ' z
−1−zb z
−1−zb '
r
1z−1
Si desarrollamos en fracciones parciales tenemos
Y z−1=
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
E
1z−1
Para iguales denominadores
Y z−1=r
1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
− zb '
1
z−11
Y z−1=
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
E
z−11
Si aplicamos límite en ambos miembros para lograr despejar A
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
r1
z−1−za z−1
−za ' z−1−zb z−1
−zb '
1
z−11
z−1−za
limz−1
zaY z−1
= limz−1
za[ z−1
−zaA
z−1−za
B
z−1− za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
E
z−11
]
Obtenemos
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
r1
z−1− za ' z−1
−zb z−1−zb '
1
z−11
limz−1
zaY z−1
= limz−1
zaA
B
z−1−za '
z−1−za
C
z−1−zb
z−1− za ...
...D
z−1− zb '
z−1−za
E
z−11
z−1−za
El límite elimina los términos en B, C, D y E.
Entonces A es
A=r
za−za ' za−zb za− zb ' za1
Para encontrar B
limz−1
za '
Y z−1= lim
z−1za '
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
− zb ' z−11
z−1−za ' =...
...= limz−1
za ' z−1
−za ' [A
z−1− za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1− zb '
E
z−11
]
Trabajo de integración 2006 20
Primera Parte
limz−1
za
Y z−1= lim
z−1 za
r1
z−1− za ' z−1
−zb z−1−zb '
1
z−11
limz−1
zaY z−1
= limz−1
zaA
B
z−1−za '
z−1−za
C
z−1−zb
z−1− za ...
...D
z−1− zb '
z−1−za
E
z−11
z−1−za
El límite elimina los términos en A, C, D y E.
Entonces B es
B=r
za '− za za '−zb za '−zb ' za '1
Para encontrar C
limz−1
zb
Y z−1= lim
z−1 zb
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb ' z−11
z−1−zb =...
...= limz−1
zb z−1
−zb [A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
E
z−11
]
limz−1
zb
Y z−1= lim
z−1 zb
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb ' z−1
1=...
...= limz−1
zb
A
z−1−za
z−1−zb
B
z−1−za '
z−1− zbC...
...D
z−1− zb '
z−1− zb
E
z−11
z−1− zb
El límite elimina los términos en A, B, D y E.
Entonces C es
C=r
zb−za zb−za ' zb−zb ' zb1
Para encontrar D
limz−1
zb'
Y z−1= lim
z−1 zb '
r1
z−1−za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' z−11
z−1−zb ' =...
...= limz−1
zb' z−1
− zb ' [A
z−1− za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1− zb '
E
z−11
]
limz−1
zb '
Y z−1= lim
z−1 zb'
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
1=...
...= limz−1
zb '
A
z−1− za
z−1− zb '
B
z−1−za '
z−1−zb '
C
z−1−zb
z−1− zb ' ...
...DE
z−11
z−1−zb '
El límite elimina los términos en A, B, C y E.
Trabajo de integración 2006 21
Primera Parte
Entonces D es
D=r
zb '−za zb '− za ' zb '−zb zb '1
Para encontrar E
limz−1
−1
Y z−1= lim
z−1−1
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
− zb ' z−11
z−11=...
...= limz−1
−1 z−1
1 [A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
E
z−11
]
limz−1
−1
Y z−1= lim
z−1−1
r1
z−1− za z−1
−za ' z−1− zb z−1
− zb ' =...
...= limz−1
1
A
z−1−za
z−11
B
z−1−za '
z−11
C
z−1− zb
z−11...
...D
z−1−zb '
z−11E
El límite elimina los términos en A, B, C y D.
Entonces E es
E=r
−1−za −1−za ' −1− zb−1− zb '
De las constantes A,B,C,D y E se puede determinar que E solo tiene parte real, A y B son complejos conjugados (A=B') y C y D también son complejos conjugados (C=D') .
Y z−1=
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
E
z−11
Separamos la función Y z−1 en tres partes:
Y z−1=Y 1 z
−1Y 2 z
−1Y3 z
−1
Donde Y1 z−1=
A
z−1−za
B
z−1− za '
, Y2 z−1=
C
z−1− zb
D
z−1− zb '
y Y3 z−1=
E
z−11
Antitransformando y aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]Z−1
[Y 3z−1]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[A
z−1−za
B
z−1− za '
]
Trabajo de integración 2006 22
Primera Parte
Z−1[Y1 z
−1]=Z−1
[
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y1 z
−1]=
−Aza
Z−1[
1
1−z−1
za
]−Bza '
Z−1[
1
1−z−1
za '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y1k =−Aza
1za
k
−Bza '
1za '
k
A=B' por lo tanto (A/za)=(B/za')'
−Aza
=u1− jv1=1e− j1 y −Bza '
=u1 j v1=1 e j1
za=a j b= pe jp1 y za '=a− j b= p e− jp1
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y1k =21 p−k cos kp11
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[C
z−1−zb
D
z−1−zb '
]
Z−1[Y 2 z
−1]=Z−1
[
−Czb
1−z−1
zb
−Dzb '
1−z−1
zb '
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 2 z
−1]=
−Czb
Z−1[
1
1−z−1
zb
]−Dzb '
Z−1[
1
1−z−1
zb '
]
Pasamos al dominio del tiempo:
y2k =−Czb
1zb
k
−Dzb '
1zb '
k
D=E' por lo tanto (D/zb)=(E/zb')'
−Czb
=u2− jv2=2e− j 2 y −Dzb '
=u2 j v 2=2 e j2
zb=c j d= p e jp2 y za '=c− j d= pe− jp2
Trabajo de integración 2006 23
Primera Parte
Operando de la misma forma que para el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
y2 k =22p−k cosk p22
Resolvemos: Z−1[Y 3z
−1]
Z−1[Y 3z
−1]=Z−1
[E
z−1−1
]
Aplicando las propiedades de linealidad de la trasformada Z:
Z−1[Y 3z
−1]=E Z−1
[1
1z−1]
Antitransformando:
y3k =E u k
Finalmente la respuesta al escalón alternado r.û(k) de nuestro STD es:
y k = y1k y2k y3k
y k =21 p−k cosk p1122p
−k cos k p22E uk
Trabajo de integración 2006 24
Primera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo denominador, para la exitación x(x)= r.û(k), particularizando a r=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 25
Primera Parte
Observación
En las gráficas anteriores podemos distinguir el régimen transitorio del permanente, observando que la forma de onda del régimen transitorio es una suma de dos senoidales de distinta fase, lo que hace producir máximos y mínimos. La respuesta permanente tiene la misma forma que la exitación, pero con diferencias en su amplitud.
A medida que el valor de ρ se acerca a la unidad el período transitorio es mayor al igual que su amplitud máxima. Si ρ<=1 este período sería infinito.
Respuesta en frecuenciaPara realizar las gráficas de amplitud y fase en escala lineal – lineal, se utilizó el siguente scrip en Matlab.
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=30.5*pi/180;
o2=29.5*pi/180;
T1=1./((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2)*exp(w*j)+p1^2));
T2=1./((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2)*exp(w*j)+p2^2));
T3=1./((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,100]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
Trabajo de integración 2006 26
Primera Parte
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,6000]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,60000]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,4,4]);
Trabajo de integración 2006 27
Primera Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 28
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 29
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 30
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 31
Primera Parte
Script lineal-logarítmica
Para realizar las gráficas de amplitud y fase en escala lineal – logarítmica, se utilizó el siguente scrip en Matlab.
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=30.5*pi/180;
o2=29.5*pi/180;
T1=1./((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2)*exp(w*j)+p1^2));
T2=1./((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2)*exp(w*j)+p2^2));
T3=1./((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,2*10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,10^4]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,4,4]);
Trabajo de integración 2006 32
Primera Parte
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,10^5]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,4,4]);
figure(4);
clc;
subplot(2,1,1);hold on;
semilogy(w,amplitud3);
semilogy(w,amplitud2,'r');
semilogy(w,amplitud1,'g');
title('Escala: lineallogaritmica');legend('rho = 1.001','rho = 1.01','rho = 1.1');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');axis([0, pi,0,10^5]);
subplot(2,1,2);hold on;
plot(w,fase3);
plot(w,fase2,'r');
plot(w,fase1,'g');
legend('rho = 1.001','rho = 1.01','rho = 1.1');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');axis([0, pi,4,4]);
Trabajo de integración 2006 33
Primera Parte
Gráficas linea-logarítmica
Trabajo de integración 2006 34
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 35
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 36
Primera Parte
Comparación de los módulos de los polos
Trabajo de integración 2006 37
Primera Parte
Factor de Calidad Q
Dada la frecuencia central 0=30º encontraremos los factores de calidad Q para los distintos valores de ρ propuestos:
a) Para rho = 1.1
Encontramos los punto de media potencia utilizando como herramienta a Matlab:
Una vez ejecutado el scrip del punto anterior ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud1)*2^(0.5)0.0001)<amplitud1 & (max(amplitud1)*2^(0.5)+0.001)>amplitud1 )
El cual nos devuelve los índices del vector donde se encuentran los puntos de media potencia, estos índices se aplican sobre el vector w_grados devolviendonos sus respectivos valores de ω.
1=25,7046 º2=32,9650 º
Por lo tando:
AB=2−1=32,9560 º−25,7046 º=7,2514 º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º7,2514 º
=4,137
b) Para rho = 1.01
En este caso ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud2)*2^(0.5)0.25)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(0.5)+0.25)>amplitud2 )
Obteniendo:
1=29,2726 º2=30,6929 º
Por lo tando:
AB=2−1=30,6929º−29,2726 º=1,4203º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º1,4203 º
=21,122 º
c) Para rho = 1.001
En este caso ejecutamos el siguente comando:
find((max(amplitud3)*2^(0.5)2)<amplitud3 & (max(amplitud3)*2^(0.5)+2)>amplitud3 )
Obteniendo:
Trabajo de integración 2006 38
Primera Parte
1=29,4485 º2=30,5512 º
Por lo tando:
AB=2−1=30,5512º−29,4485 º=1,1027 º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º1,1027 º
=27,206 º
Normalización de la respuesta en amplitudPara normalizar las distintas respuestas de amplitud a un valor máximo igual a 1, necesitamos dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la función transferencia particularizada para el valor de ω que produce el máximo en amplitud.
Debido a que estamos trabajando con una función de transferencia de cuarto orden, la deducción de forma analítica de este máximo resulta ser muy engorrosa, por lo tanto obtamos por utilizar como herramienta a Matlab.
Ejecutamos el scrip utilizado en los puntos anteriores, modificando el número de pasos del vector w_grados hasta asegurarnos de obtener resultados con buena presición. Luego se ejecutaron las siguientes líneas:
w_grados(find(max(amplitud1)==amplitud1))
max(amplitud1)
w_grados(find(max(amplitud2)==amplitud2))
max(amplitud2)
w_grados(find(max(amplitud3)==amplitud3))
max(amplitud3)
De allí se obtubieron los valores de ω para el cuál el módulo de la función transferencia es máximo:
a) Para rho = 1,1 max=29,5341 º ∣H max ∣=∣H max∣=89,9719
b) Para rho = 1,01 max=29,9366 º ∣H max ∣=∣H max∣=5,6018E03
c) Para el rho=1,001 observamos que se producen dos picos sobre la función transferencia, un pico a 29,5032 º y el otro a 30,4966 º, de los cuales tomamos el mayor de los dos:
max=29,5032 º ∣H max ∣=∣H max∣=5,8085E04
La función trasferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =V
e−2max−2cosP1e−max
2e−2max−2cosP2e
−max2
Trabajo de integración 2006 39
Primera Parte
Siendo V una constante igual a:
V=e−2max 1−2cosP1e−max1
2e−2max1−2cosP2e
−max12
Recodando que:
e− j w=z−1
H norm z−1=
V
z−2−2cosP1 z
−1
2 z−2
−2cosP2 z−1
2
H norm z−1=V H z−1
A H z−1 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z−1=
A0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
Reemplazando:
H norm z−1=V
A0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
H norm z−1=
A0n
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
Siendo:
A0n=V . A0
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta normalización es un cambio en el factor A0 ( multiplicador), siendo igual al anterior multiplicado por una constante V.
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Trabajo de integración 2006 40
Primera Parte
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 41
Primera Parte
Trabajo de integración 2006 42
Primera Parte
ConclusionesDe la función de transferencia analizada podemos observar que a medida que el valor de ρ se acerca a 1 el filtro se hace más selectivo por lo que el factor de calidad (Q) es mayor.
También podemos concluir que el valor máximo que alcanza la amplitud de la función es más grande cuando ρ es próximo a 1.
Cuando ρ=1,1 y ρ=1,01 los dos picos producidos por los polos se superponen, de manera que no se puede distinguir entre uno y otro, permitiendo una banda de paso sin altibajos. Para el caso de ρ=1,001 podemos ver una separación entre los dos picos, por lo que el filtrado no es bueno, ya que atenúa frecuencias intermedias de la banda de paso. Una solución para esto sería aumentar el número de polos (entre 29,5º y 30,5º) de forma que se pueda eliminar esta atenuación. En este caso el filtro sería de mayor orden, incrementando el número de retardos en la realización canónica.
De las gráficas de fase de la función transferencia podemos determinar que a pequeñas variaciones de frecuencia, dentro de la banda de paso, se producen grandes variaciones en la fase, siendo estas mayores a medida que ρ se acerca a la unidad. Esto podría tener importancia dependiendo de su aplicación práctica. Por ejemplo en audio esto no sería un problema ya el oido humano no diferencia los cambios de fase, en cambio en una modulación PSK la variación de fase produciría una pérdida de información durante la transmisión.
Trabajo de integración 2006 43
Segunda Parte
Segunda Parte
Función transferencia
Con H z−1=H N=H C z
−1 , debemos primero encontrar la función de transferencia
normalizada a partir de la ecuación siguiente en coordenadas polares.
H z−1=H N=HC z
−1={z−2
−2C cosC1 z−1C
2}{z−2
−2C cosC2 z−1C
2}
Resolviendo los factores
H z−1=H N=HC z
−1= z−4
z−3−2cos2z−2
2z−3
−2cos1
z−242 cos1cos2 z−1
−23 cos1
2 z−2
z−1−23 cos2
4
H z−1=H N=HC z
−1= z−4
z−3−2cos2cos1 z−2
2212 cos1 cos2 ...
...z−1−23
cos2cos14
Llegamos a la forma de la función transferencia normalizada:
H z−1=H N=HC z
−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Siendo:
A0=4
A1=−23cos2cos1
A2=2212cos1 cos2
A3=−2cos2cos1
A4=1
1=28 º
2=32º
Trabajo de integración 2006 44
Segunda Parte
Estructuras de realización circuitalTipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 45
Segunda Parte
Ecuación de diferenciasLa función de transferencia normalizada es por definición:
H z−1=
Y z−1
X z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Entonces
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4X z−1
Y z−1=A0 X z−1
A1 X z−1z−1
A2 X z−1 z−2
A3 X z−1 z−3
A4 X z−1 z−4
Antitransformando ambos miembros obtenemos
Z−1[Y z−1
]=Z−1[ A0 X z−1
A1 X z−1 z−1
A2 X z−1 z−2
A3 X z−1 z−3
A4 X z−1 z−4
]
Por linealidad de la antitransformada
Z−1[Y z−1
]=A0 Z−1[ X z−1
]A1Z−1[ z−1 X z−1
]...
...A2Z−1[ z−2 X z−1
]A3Z−1[ z−3 X z−1
]A4Z−1[ z−4 X z−1
]
Por teorema del desplazamiento en el tiempo de la transformada Z, obtenemos la ecuación de diferencias que da origen a la función de transferencia de 4º orden de solo ceros.
y k =A0 x k A1 x k−1A2 x k−2A3 x k−3A4 x k−4
Respuesta temporal – Uso de la transformada ZRespuesta a una función impulso p.δ(k)
X z−1=Z [ x k ]=Z [ pk ]=p .1= p
Y z−1=H z−1
X z−1
Nuestro H z−1 es de la forma:
H z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z−1=[A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4] X z−1
Y z−1=A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
Antitransformando
Z−1[Y z−1
]=Z−1[ A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z−1[Y z−1
]=A0 Z−1[ X z−1
]A1 Z−1[ z−1 X z−1
]A2Z−1[ z−2 X z−1
]...
...A3Z−1[ z−3 X z−1
]A4 Z−1[ z−4 X z−1
]
Trabajo de integración 2006 46
Segunda Parte
Aplicando el teorema del desplazamiento:
y k =A0 x k A1 x k−1A2 x k−2A3 x k−3A4 x k−4
Como x k =pk entonces
y k =A0 pk A1 pk−1A2 pk−2A3 pk−3A4 pk−4
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo numerador, para la exitación x(k)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 47
Segunda Parte
Respuesta a una función escalón unitario q.u(k)
X z−1=Z [ x k ]=Z [qu k ]=q
1
1−z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Nuestro H z−1 es de la forma
H z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z−1=[A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4] X z−1
Y z−1=A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
Antitransformando
Z−1[Y z−1
]=Z−1[ A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z−1[Y z−1
]=A0 Z−1[ X z−1
]A1 Z−1[ z−1 X z−1
]A2Z−1[ z−2 X z−1
]...
...A3Z−1[ z−3 X z−1
]A4 Z−1[ z−4 X z−1
]
Aplicando el teorema del desplazamiento
y k =A0 x k A1 x k−1A2 x k−2A3 x k−3A4 x k−4
Como x k =qu k entonces:
y k =A0qu k A1q uk−1A2qu k−2A3qu k−3A4q uk−4
Trabajo de integración 2006 48
Segunda Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo numerador, para la exitación x(k)= q.u(k), particularizando a q=1, para los distintos valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 49
Segunda Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z−1]=Z [ x k ]=Z [r û k ]=
r
1z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Nuestro H z−1 es de la forma
H z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Entonces reemplazando
Y z−1=[A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4] X z−1
Y z−1=A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
Antitransformando
Z−1[Y z−1
]=Z−1[ A0 X z−1
A1 z−1 X z−1
A2 z−2 X z−1
A3 z−3 X z−1
A4 z−4 X z−1
]
Por linealidad de la transformada Z
Z−1[Y z−1
]=A0 Z−1[ X z−1
]A1 Z−1[ z−1 X z−1
]A2Z−1[ z−2 X z−1
]...
... A3Z−1[ z−3 X z−1
]A4 Z−1[ z−4 X z−1
]
Aplicando el teorema del desplazamiento
y k =A0 x k A1 x k−1A2 x k−2A3 x k−3A4 x k−4
Como x k =r u k entonces
y k =A0 r u k A1 r u k−1A2 r u k−2A3 r u k−3A4 r u k−4
Trabajo de integración 2006 50
Segunda Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, solo numerador, para la exitación x(k)= q.û(k), particularizando a q=1, para los distintos valores de ρ propuestos.
Trabajo de integración 2006 51
Segunda Parte
Respuesta en frecuencia:
Para realizar las gráficas de amplitud amplitud y fase en escala lineal – lineal, se utilizó el siguente scrip en Matlab.
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2)*exp(w*j)+p1^2));
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2)*exp(w*j)+p2^2));
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0,20]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
Trabajo de integración 2006 52
Segunda Parte
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,15]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,15]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,4,4]);
Trabajo de integración 2006 53
Segunda Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 54
Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 55
Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 56
Segunda Parte
Script lineal-logarítmica
Para realizar las gráficas de amplitud amplitud y fase en escala lineal – logarítmica, se utilizó el siguente scrip en Matlab.
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2)*exp(w*j)+p1^2));
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2)*exp(w*j)+p2^2));
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,10^2,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,4,4]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,10^4,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
Trabajo de integración 2006 57
Segunda Parte
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,4,4]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,10^5,10^2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,4,4]);
Trabajo de integración 2006 58
Segunda Parte
Gráficas lineal-logarítmica
Trabajo de integración 2006 59
Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 60
Segunda Parte
Trabajo de integración 2006 61
Segunda Parte
Comparación de los distintos valores de ρ
Trabajo de integración 2006 62
Segunda Parte
Factor de calidad QAnalizando la función transferencia y sus graficas observamos que nuestro STD solo numerador, se comporta como un filtro pasa altos, dada la frecuencia central 0=30º a continuación se calculará el factor de calidad (Q) del sistema para los diferentes valores de rho propuestos.
Para realizar este trabajo utilizamos el siguiente scrip en Matlab, modificando el paso del vector w_grados y sus limites hasta encontrar valores con una buena precisión
w_grados=[0:0.0001:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1=32*pi/180;
o2=28*pi/180;
T1=((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2)*exp(w*j)+p1^2));
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2)*exp(w*j)+p2^2));
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
amplitud2= abs (T2);
amplitud3= abs (T3);
w_grados(find((max(amplitud1)*2^(0.5)0.000001)<amplitud1 & (max(amplitud1)*2^(0.5)+0.000001)>amplitud1 ))
w_grados(find((max(amplitud2)*2^(0.5)0.00001)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(0.5)+0.00001)>amplitud2 ))
w_grados(find((max(amplitud3)*2^(0.5)0.00001)<amplitud3 & (max(amplitud3)*2^(0.5)+0.00001)>amplitud3 ))
a) Para rho =1,1 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto donde la curva decae un 70% de su máximo con un error de 0,000001 en amplitud.
Trabajo de integración 2006 63
Segunda Parte
AB=1=134,6184º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º134,6184 º
=0,22285
b) Para rho =1,01 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto de media potencia con un error de 0,00001 en amplitud.
1=AB=134,6853º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º134,6853 º
=0,22274
c) Para rho =1,001 se utilizó un paso de 0,0001 obteniendo el punto de media potencia con un error de 0,00001 en amplitud.
1=AB=134,6860º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º134,6860 º
=0,22274
Normalización de la respuesta en amplitudPara normalizar las distintas respuestas de amplitud a un valor máximo igual a 1, necesitamos dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la función transferencia particularizada para el valor de omega que produce el máximo en amplitud.
Del análisis de la función observando sus gráficas se determinó que el punto donde se produce el valor máximo es sobre los 180 º.
max=180 º
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,1.
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,01.
∣H max ∣=∣H max∣=16,9243 para rho = 1,001.
La función transferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =V e−2−2cosc1e
−
2e−2
−2cosc2e−
2
Siendo V una constante igual a:
V=1
H max=
1
e−2max−2cosc1e−max
2e−2max−2cosc2e
−max2
Recodando que:
e− j w=z−1
Trabajo de integración 2006 64
Segunda Parte
H norm z−1=V z−2
−2cosc1 z−1
2 z−2
−2cosc2 z−1
2
H norm z−1=V H z−1
A H z−1 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Reemplazando:
H norm z−1=V A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
H norm z−1=A0nA1n z
−1A2n z
−2A3n z
−3A4n z
−4
Siendo:
A0n=V . A0
A1n=V . A1
A2n=V . A2
A3n=V . A3
A4n=V . A4
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta normalización es un cambio en los factores A ( multiplicadores), siendo iguales a los anteriores multiplicados por una constante V.
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Trabajo de integración 2006 65
Segunda Parte
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 66
Segunda Parte
ConclusionesObservamos en las gráficas de respuesta en frecuencia que nuestro sistema de tiempo discreto se comporta como un filtro pasa alto, ya que los ceros se encuentran en las frecuencias bajas. A medida que rho es menor, la amplitud máxima alcanzada es más pequeña.
Los factores de calidad obtenidos para los distintos valores de rho son muy bajos, porque la banda bloqueante es grande. Esto se podría haber mejorado agregando polos a la función de transferencia (H) entre los valores 0º y 28º y apartir de los 32º. Esto daría como resultado una banda bloqueante más pequeña mejorando el factor de calidad (Q).
Trabajo de integración 2006 67
Tercera Parte
Tercera Parte
Función transferencia
H z−1=H p z
−1H c z
−1=
[ z−2−2C cosC1 z
−1C
2][ z−2
−2C cosC2 z−1C
2]
[ z−2−2P1 cosP1 z
−1P1
2][ z−2
−2P2 cosP2 z−1P2
2]
H p=a0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Donde:
a0=1
24
B1=−23 cosp2−23cosp1
14
B2=42 cos p1cosp222
4
B3=−2cosp1−2cosp2
4
B4=1
4
H c=A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
Donde:
A0=4
A1=−23cosc2cosc1
A2=2212 cosc1 cosc2
A3=−2cosc2cosc1
A4=1
H z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
a0
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Desarrollando los factores
H z−1=A0a0A1a0 z
−1A2a0 z
−2A3a0 z
−3A4a0 z
−4
1
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
H z−1=A0 'A1 ' z
−1A2 ' z
−2A3 ' z
−3A4 ' z
−4
1
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Trabajo de integración 2006 68
Tercera Parte
H z−1=
A0 'A1 ' z−1A2 ' z
−2A3 ' z
−3A4 ' z
−4
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B4 z
−4
Donde
A0 ' =A0a0=1
A1 ' =A1a0=−2−1cosc2cosc1
A2 ' =A2a0=2−212cosc1cosc2
A3 ' =A3a0=−2−3cosc2cosc1
A4 ' =A4a0=−4
B1=−2−1cosp2−2−1cosp1
B2=4−2cosp1cosp22−2
B3=−2−3cosp1−2cosp2
B4=−4
Siendo en nuestro caso:
c1=28º
c2=32ºp1=29,5º
p2=30,5º
Trabajo de integración 2006 69
Tercera Parte
Estructuras de realización circuitalTipo I
Realización canónica directa:
Tipo II
Realización canónica transpuesta:
Trabajo de integración 2006 70
Tercera Parte
Ecuación de diferencias
H z −1=
Y z −1
X z −1=A ' 0A ' 1z
−1A ' 2z
−2A ' 3z
−3A ' 4z
−4
1B 1z−1B 2 z
−2B 3z
−3B 4z
−4
Y z −1=
A ' 0A ' 1z−1A ' 2z
−2A ' 3z
−3A ' 4z
−4
1B 1 z−1B 2z
−2B 3z
−3B 4z
−4 X z −1
Operando algebráicamente
Y z−11B 1z
−1B 2z
−2B 3z
−3B 4z
−4=A ' 0A ' 1z
−1A ' 2z
−2A ' 3z
−3A ' 4z
−4X z −1
Y z−1B 1Y z −1
z−1B 2Y z−1
z−2B 3Y z−1
z−3B 4Y z−1
z−4=...
...=A ' 0X z −1A ' 1X z−1
z−1A ' 2X z −1
z−2A ' 3X z−1
z−3A' 4X z−1
z−4
Antitransformando ambos miembros
Z −1[Y z−1
B 1Y z−1z−1
B2Y z−1z−2
B 3Y z−1z−3
B 4Y z−1z−4
]=...
...=Z −1[A ' 0X z −1
A ' 1X z−1z−1
A ' 2X z −1z−2
A ' 3X z−1z−3
A' 4X z−1z−4
]
Por linealidad de la transformada Z
Z −1[Y z−1
]B 1Z−1[Y z −1
z −1]B2Z
−1[Y z−1
z−2]B 3Z
−1[Y z−1
z−3]B 4Z
−1[Y z−1
z−4]=...
...=A ' 0Z−1[X z−1
]A ' 1Z−1[X z−1
z−1]A ' 2Z
−1[X z −1
z −2]A ' 3Z
−1[X z−1
z−3]A ' 4Z
−1[X z−1
z−4]
Por el teorema del desplazamiento
y k B 1 y k−1 B 2 y k−2B 3y k−3B 4y k−4=......=A' 0x k A ' 1x k−1A ' 2x k−2A ' 3x k−3 A ' 4x k−4
Obtenemos de esta forma la ecuación de diferencias que da origen a la función de transferencia de 4º orden.
y k =−B 1 y k−1−B 2y k−2−B 3y k−3−B 4y k−4......A ' 0x k A ' 1x k−1A ' 2x k−2A ' 3x k−3 A ' 4x k−4
Respuesta temporal – Uso de la transformada ZRespuesta a una función impulso p.δ(k)
X [ z−1]=Z−1
[ x k ]=Z−1[ pk ]=p
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=
A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb ' p
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
p
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb '
Trabajo de integración 2006 71
Tercera Parte
Desarrollando en fracciones parciales
p
z−1− za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' =
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1− zb
D
z−1−zb '
Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las constantes A, B, C y D:
A=p
za− za ' za−zb za−zb '
B=p
za '− za za '− zb za '− zb '
C=p
zb−za zb−za ' zb−zb '
D=p
zb '−za zb '− za ' zb '−zb
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3z
−3A4 z
−4
Az−1
−za
B z−1
−za '
C z−1
−zb
D z−1
−zb '
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
−Czb
1−z−1
zb
−Dzb '
1−z−1
zb '
Y z−1=Y 1 z
−1Y 2 z
−1
Donde:
Y 1 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
Y 2 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1Y 2 z
−1]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z
−1[ A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Trabajo de integración 2006 72
Tercera Parte
Llamamos:
U 1 z−1[
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Donde su antitransformada ya es conocida (calculada en el caso solo denominador):
u1k =21−k cos k p11
Siendo:
−Bza '
=1 e j1 y za=a j b=e jp1
Z−1[Y 1 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4U 1 z
−1]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 1 z
−1]=A0 Z
−1[U1 z
−1]A1Z
−1[ z−1U 1 z
−1]A2Z
−1[ z−2U 1 z
−1]...
...A3Z−1[ z−3U 1 z
−1]A4Z
−1[ z−4U 1 z
−1]
Por teorema de desplazamiento:
Z−1[Y 1 z
−1]=A0u1k A1u1k−1A2u1k−2A3u1k−3A4u1k−4
Z−1[Y1 z
−1]=A0 21
−k cos kp11A1 21−k1 coskp11−p1...
...A2 21− k1cos kp11−2p1A3 21
−k3 cosk p11−3p1...
...A4 21− k4 cosk p11−4p1
Siendo:
cos=0∀0cos=cos∀≥0
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1− zb '
]
Llamamos:
U 2 z−1[
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
]
Donde su antitransformada ya es conocida (calculada en el caso solo denominador):
u2k =21−k cos k p22
Siendo:
−Dzb'
=2e j2 y zb=c j d=p e jp2
Z−1[Y 1 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4U 2 z
−1]
Trabajo de integración 2006 73
Tercera Parte
Resolviendo de la misma forma que en el caso anterior:
Z−1[Y 2 z
−1]=A0 22
−k cosk p22A1 22−k1 cosk p22−p2...
...A2 22−k2 cosk p22−2 p2A322
−k3coskp22−3p2...
...A4 22−k4 cosk p22−4p2
Siendo:
cos=0∀0cos=cos∀≥0
Finalmente la respuesta al impulso p.δ(k) de nuestro STD es:
y k =A0 21−kcos k p11cos kp22...
...A121−k1
cosk p11−p1cosk p22−p2...
...A2 21− k2
cosk p11−2p1cosk p22−2p2...
...A3 21− k3
cosk p11−3p1cosk p22−3p2...
...A4 21−k4
cosk p11−4p1cosk p22−4 p2
Siendo:
cos=0∀0cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 74
Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, numerador denominador, para la exitación x(x)= p.δ(k), particularizando a p=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 75
Tercera Parte
Respuesta a una función escalón q.u(k)
X [z−1]=Z−1
[ x k ]=Z−1[q u k ]=
q
1− z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=
A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb '
q
1−z−1
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
q
1−z−1
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb '
Desarrollando en fracciones parciales:q
1−z−1
z−1− za z−1
− za ' z−1−zb z−1
−zb ' =
A z−1
−za
B z−1
−za '
C z−1
−zb
D z−1
− zb ' ..
...−E
1− z−1
Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las constantes A, B, C , D y E:
A=−q
za− za ' za−zb za−zb ' za−1
B=−q
za '− za za '− zb za '− zb ' za '−1
C=−q
zb−za zb−za ' zb−zb ' zb−1
D=−q
zb '−za zb '− za ' zb '−zb zb '−1
E=q
1− za 1− za ' 1− zb1−zb '
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
...
...D
z−1−zb '
−E
1−z−1
Y z−1=Y 1 z
−1Y 2 z
−1Y 3 z
−1
Donde:
Trabajo de integración 2006 76
Tercera Parte
Y 1 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
Y 2 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
Y 3 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−E
1− z−1
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1Y 2 z
−1Y 3 z
−1]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]Z−1
[Y 3 z−1]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z
−1[ A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1[Y
1 z−1
]=A02
1−k cosk
p1
1A
12
1−k1cos k
p1
1−
p1...
...A2 21−k2 cos kp11−2p1 A3 21
−k3 cosk p11−3 p1...
...A42
1−k 4cos k
p1
1−4
p1
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1− zb '
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1[Y
2 z−1
]=A02
2−k cos k
p2
2A
12
2−k1cos k
p2
2−
p2...
...A2 22−k2cos kp22−2 p2A3 22
−k3 cosk p22−3p2 ...
...A42
2−k4 cosk
p2
2−4
p2
Resolvemos: Z−1[Y 3 z
−1]
Z−1[Y 3 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−E
1− z−1]
Llamamos:
U 3=−E
1− z−1
Donde su antitransformada ya es conocida:
u3k =E uk
Trabajo de integración 2006 77
Tercera Parte
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 3 z
−1]=A0Z
−1[U 3 z
−1]A1Z
−1[ z−1U 3 z
−1]A2 Z
−1[ z−2U 3 z
−1]...
...A3Z−1[z−3U 3 z
−1]A4 Z
−1[ z−4U 3 z
−1]
Por teorema de desplazamiento:
Z−1[Y 3 z
−1]=A0u3k A1u3k−1A2u3k−2A3u3k−3A4u3k−4
Z−1[Y 3z
−1]=E A0u k A1u k−1A2u k−2A3u k−3A4u k−4
Finalmente la respuesta al escalón q.u(k) de nuestro STD es:
y k =A0 21−kcosk p11cosk p22E uk ...
...A1 21− k1
cosk p11− p1cos k p22−p2E u k−1 ...
...A2 21−k2
cosk p11−2p1cosk p22−2 p2E u k−2 ...
...A3 21−k3
cosk p11−3p1cosk p22−3p2Eu k−3 ...
...A4 21−k4
cosk p11−4p1cosk p22−4 p2Eu k−4
Siendo:
cos=0∀0cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 78
Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, numerador denominador, para la exitación x(x)= q.u(k), particularizando a q=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 79
Tercera Parte
Respuesta a una función escalón alternado r.û(k)
X [z−1]=Z−1
[ x k ]=Z−1[r ûk ]=
r
1 z−1
Y z−1=H z−1
X z−1
Y z−1=
A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb '
r
1z−1
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
r
1z−1
z−1−za z−1
−za ' z−1− zb z−1
−zb '
Desarrollando en fracciones parciales:
r 1z−1
−za z−1−za ' z−1
−zb z−1−zb '
1z−1
1=
A z−1
−za
B z−1
−za '
Cz−1
−zb...
...D
z−1−zb'
E
z−11
Resolvemos de la misma forma que para el caso solo denominador y obtenemos las constantes A, B, C, D y E:
A=r
za−za ' za−zb za− zb ' za1
B=r
za '− za za '−zb za '−zb ' za '1
C=r
zb−za zb−za ' zb−zb ' zb1
D=r
zb '−za zb '− za ' zb '−zb zb '1
E=r
−1−za −1−za ' −1− zb−1− zb '
Y z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
A
z−1−za
B
z−1−za '
C
z−1−zb
...
...D
z−1−zb '
E
z−11
Y z−1=Y 1 z
−1Y 2 z
−1Y 3 z
−1
Donde:
Trabajo de integración 2006 80
Tercera Parte
Y 1 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
Y 2 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1−zb '
Y 3 z−1=A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
E
z−11
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1Y 2 z
−1Y 3 z
−1]
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
y k =Z−1[Y z−1
]=Z−1[Y 1 z
−1]Z−1
[Y 2 z−1]Z−1
[Y 3 z−1]
Resolvemos: Z−1[Y1 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z
−1[ A0A1 z
−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
−Aza
1−z−1
za
−Bza '
1−z−1
za '
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1[Y
1 z−1
]=A02
1−k cosk
p1
1A
12
1−k1cos k
p1
1−
p1...
...A2 21−k2 cos kp11−2p1 A3 21
−k3 cosk p11−3 p1...
...A42
1−k 4cos k
p1
1−4
p1
Resolvemos: Z−1[Y 2 z
−1]
Z−1[Y 1 z
−1]=Z−1
[ A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
C
z−1−zb
D
z−1− zb '
]
Resolviendo como en el caso del impulso p.δ(k) , se obtiene:
Z−1[Y 2 z
−1]=A0 22
−k cos k p22A1 22−k cos k p22− p2...
...A2 22−k cos k p22−2 p2A3 22
−k cos k p22−3 p2...
...A4 22−k cosk p22−4 p2
Resolvemos: Z−1[Y 3 z
−1]
Z−1[Y
2 z−1
]=A02
2−k cos k
p2
2A
12
2−k1cos k
p2
2−
p2...
...A2 22−k2cos kp22−2 p2A3 22
−k3 cosk p22−3p2 ...
...A42
2−k4 cosk
p2
2−4
p2
Llamamos:
U 3=E
z−11
Donde su antitransformada ya es conocida:
Trabajo de integración 2006 81
Tercera Parte
u3k =E u k
Aplicando las propiedades de linealidad de la transformada Z:
Z−1[Y 3 z
−1]=A0Z
−1[U 3 z
−1]A1Z
−1[ z−1U 3 z
−1]A2 Z
−1[ z−2U 3 z
−1]...
...A3Z−1[z−3U 3 z
−1]A4 Z
−1[ z−4U 3 z
−1]
Por teorema de desplazamiento:
Z−1[Y 3 z
−1]=A0u3k A1u3k−1A2u3k−2A3u3k−3A4u3k−4
Z−1[Y 3z
−1]=E A0 u k A1 u k−1A2 u k−2A3 u k−3A4 u k−4
Finalmente la respuesta al escalón alternado r.û(k) de nuestro STD es:
y k =A0 21−kcosk p11cosk p22E uk ...
...A1 21− k1
cosk p11− p1cos k p22−p2E u k−1 ...
...A2 21−k2
cosk p11−2p1cosk p22−2 p2E u k−2 ...
...A3 21−k3
cosk p11−3p1cosk p22−3p2E u k−3 ...
...A4 21−k4
cosk p11−4p1cosk p22−4 p2E u k−4
Siendo:
cos=0∀0cos=cos∀≥0
Trabajo de integración 2006 82
Tercera Parte
A continuación se presentan las gráficas de las respuestas temporales del STD, numerador denominador, para la exitación x(x)= r.û(k), particularizando a r=1, para los distintos valores de rho propuestos.
Trabajo de integración 2006 83
Tercera Parte
Respuesta en frecuencia
Script lineal-lineal
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T1=((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1c)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2c)*exp(w*j)+p1^2));
T1=T1./((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1p)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2p)*exp(w*j)+p1^2));
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1c)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2c)*exp(w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1p)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2p)*exp(w*j)+p2^2));
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1c)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2c)*exp(w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1p)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2p)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
Trabajo de integración 2006 84
Tercera Parte
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud1);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.95,1.2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.1,0.1]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud2);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0,8]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,2,2]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);plot(w,amplitud3);
title('Escala: lineallineal');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0,80]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,3.5,3.5]);
Trabajo de integración 2006 85
Tercera Parte
Gráficas lineal-lineal
Trabajo de integración 2006 86
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 87
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 88
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 89
Tercera Parte
Script lineal-logarítmica
w_grados=[0:0.01:180];
w=w_grados*pi/180;
p1=1.1;
p2=1.01;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T1=((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1c)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2c)*exp(w*j)+p1^2));
T1=T1./((exp(2*w*j)2*p1*cos(o1p)*exp(w*j)+p1^2).*(exp(2*w*j)2*p1*cos(o2p)*exp(w*j)+p1^2));
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1c)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2c)*exp(w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1p)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2p)*exp(w*j)+p2^2));
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1c)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2c)*exp(w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1p)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2p)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud1= abs (T1);
fase1=angle(T1);
amplitud2= abs (T2);
fase2=angle(T2);
amplitud3= abs (T3);
fase3=angle(T3);
figure(1);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud1);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.98,1.2]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase1,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.1');axis([0, pi,0.1,0.1]);
figure(2);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud2);
Trabajo de integración 2006 90
Tercera Parte
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,0.5,8]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase2,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.01');axis([0, pi,2,2]);
figure(3);
clc;
subplot(2,1,1);semilogy(w,amplitud3);
title('Escala: lineallogaritmica');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Amplitud');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,0.1,100]);
subplot(2,1,2); plot(w,fase3,'r');
grid;xlabel('w [rad]');ylabel('H(w) Fase');legend('rho = 1.001');axis([0, pi,3.5,3.5]);
Trabajo de integración 2006 91
Tercera Parte
Gráficas lineal-logarítmica
Trabajo de integración 2006 92
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 93
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 94
Tercera Parte
Comparación de los módulos de los polos y ceros
Trabajo de integración 2006 95
Tercera Parte
Trabajo de integración 2006 96
Tercera Parte
Factor de Calidad Q
Dada la frecuencia central 0=30º encontraremos los factores de calidad Q para los distintos valores de ρ propuestos:
a) rho=1.1.
De la gráfica de amplitud de la función transferencia para rho = 1.1 se puede observar que la curva no llega a decaer el 70% de su amplitud máxima. No pudiendo determinar los puntos de media potencia.
b) rho = 1.01.
Para encontrar los puntos de media potencia utilizamos el siguiente scrip en Matlab:
w_grados=[29:0.0001:31];
w=w_grados*pi/180;
p2=1.01;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T2=((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1c)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2c)*exp(w*j)+p2^2));
T2=T2./((exp(2*w*j)2*p2*cos(o1p)*exp(w*j)+p2^2).*(exp(2*w*j)2*p2*cos(o2p)*exp(w*j)+p2^2));
amplitud2= abs (T2);
find((max(amplitud2)*2^(0.5)0.0005)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(0.5)+0.0005)>amplitud2 )
En este scrip tomamos pasos de 0,0001 grados lo que nos genera un resultado con un error de 0,0005 en el valor de la amplitud de los puntos de media potencia.
Una vez ejecutado el scrip nos devuelve los índices del vector donde se encuentran los puntos de media potencia, estos índices se aplican sobre el vector w_grados devolviendonos sus respectivos valores de ω.
1=29,3594 º2=30,6406 º
Por lo tando:
AB=2−1=30,6406 º−29,3594 º=1,2812º
Trabajo de integración 2006 97
Tercera Parte
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º1,2812 º
=23,4155
c) rho = 1.001.
Al observar en la gráfica de la amplitud de nuestra función transferencia, observamos que se producen dos picos, uno a 29,5042º y el otro a 30,4958 º. Se toman como puntos de media potencia al que se produce antes de los 29,5042º y al que se produce después de los 30,4958 º.
Para encontrar a estos puntos ejecutamos el siguiente scrip:
w_grados=[29:0.00001:30];
w=w_grados*pi/180;
p3=1.001;
o1c=32*pi/180;
o2c=28*pi/180;
o1p=29.5*pi/180;
o2p=30.5*pi/180;
T3=((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1c)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2c)*exp(w*j)+p3^2));
T3=T3./((exp(2*w*j)2*p3*cos(o1p)*exp(w*j)+p3^2).*(exp(2*w*j)2*p3*cos(o2p)*exp(w*j)+p3^2));
amplitud3= abs (T3);
find((max(amplitud2)*2^(0.5)0.0005)<amplitud2 & (max(amplitud2)*2^(0.5)+0.0005)>amplitud2
Donde obtenemos el primer valor de ω:
1=29,4502 º
Luego ejecutamos el scrip modificando al vector w_grados de la siguiente forma: w_grados=[30:0.00001:31]; y obtenemos el segundo valor de ω
2=30,5498 º
Tomamos pasos 0,00001 grados en el vector w_grados lo que nos genera un resultado con un error de 0,001 en el valor de la amplitud de los puntos de media potencia.
Calculamos el ancho de banda:
Trabajo de integración 2006 98
Tercera Parte
AB=2−1=30,5498º−29,4502 º=1,0996 º
Siendo el factor de calidad Q:
Q=0
AB=
30º1,0996 º
=27,2826
Normalización de la respuesta en amplitudPara normalizar la respuesta de amplitud a un valor máximo igual a 1, necesitamos dividir a la función transferencia por una constante, siendo esta constante la función transferencia particularizada para el valor de omega que produce el máximo en amplitud.
Debido a que estamos trabajando con una función de transferencia de cuarto orden, la deducción de forma analítica de este máximo resulta ser muy engorrosa, por lo tanto obtamos por utilizar como herramienta a Matlab.
a) rho=1,1
Se ejecutó el scrip utilizado en el punto anterior y luego se ejecutaron las siguientes líneas:
w_grados(find(max(amplitud1)==amplitud1))
max(amplitud1)
De allí se obtubo el valor de ω para el cuál el módulo de la función transferencia es máximo:
max=30,0016º ∣H max ∣=∣H max∣=1,1233
b) rho=1,01.
Se operó de la misma forma que en el caso anterior, ejecutando la siguientes lineas:
w_grados(find(max(amplitud2)==amplitud2))
max(amplitud2)
Obteniendo:
max=30º ∣H max ∣=∣H max∣=7,5121
c) rho=1,001 .
Observamos que se producen dos picos sobre la función transferencia, un pico a 29,5042 º y el otro a 30,4958 º, de los cuales tomamos al mayor de los dos:
max=30,4958º ∣H max ∣=∣H max∣=65,5321
La función trasferencia normalizada tiene la siguiente forma:
H norm =Ve−2 j w
−2cosc1e− j w
2e−2 j w
−2cosc2e− j w
2
e−2 j w−2cosP1e− j w
2e−2 j w
−2cosP2e− j w
2
Siendo V una constante igual a:
Trabajo de integración 2006 99
Tercera Parte
V=1
H max=e−2max−2cosP1e
−max2e−2max−2cosP2e
−max2
e−2max−2cosc1e−max
2e−2max−2cosc2e
−max2
Recodando que:
e− j w=z−1
H norm z−1=V
z−2−2cosc1 z
−1
2 z−2
−2cosc2 z−1
2
z−2−2cosP1 z
−1
2 z−2
−2cosP2 z−1
2
H norm z−1=V H z−1
A H z−1 se lo puede escribir de la siguiente forma:
H z−1=
A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
Reemplazando:
H norm z−1=V
A0A1 z−1A2 z
−2A3 z
−3A4 z
−4
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
H norm z−1=
A0nA1n z−1A2n z
−2A3n z
−3nA4n z
−4
1B1 z−1B2 z
−2B3 z
−3B3 z
−3B4 z
−4
Siendo:
A0n=V . A0
A1n=V . A1
A2n=V . A2
A3n=V . A3
A4n=V . A4
De lo que podemos concluir que el efecto en la realización producido por esta normalización es un cambio en los factores A ( multiplicadores), siendo iguales a los anteriores multiplicados por una constante V.
Otra observación que podemos hacer es que el valor de la constante V depende de rho.
Trabajo de integración 2006 100
Tercera Parte
Para observar el efecto producido en la función transferencia debido a la normalización se realizaron los siguientes gráficos:
Escala lineal – lineal
Escala lineal – logarítmica
Trabajo de integración 2006 101
Tercera Parte
ConclusionesDe las gráficas podemos ver que nuestro sistema de tiempo discreto numerador/denominador produce un filtro más selectivo que el caso de solo denominador, ya que los ceros están cercando a los polos.
Se puede divisar que para valores de rho más cercanos a 1 la ganancia se incrementa.
Otro efecto que observamos es que la ganancia es menor que en el caso de solo denominador, por este motivo debemos trabajar con un rho más cercano a 1, ya que para rho = 1,1 no se comporta como un filtro al no existir puntos de media potencia. Además para todos los valores de rho la ganancia de la parte bloqueante es siempre la unidad.
Para el caso de ρ=1,001 podemos ver una separación entre los dos picos, por lo que el filtrado no es bueno, ya que atenúa frecuencias intermedias de la banda de paso. Una solución para esto sería aumentar el número de polos (entre 29,5º y 30,5º) de forma que se pueda eliminar esta atenuación. En este caso el filtro sería de mayor orden, incrementando el número de retardos en la realización canónica.
De las gráficas de las fases podemos comentar que dentro de los ceros (entre 28º y 32º), para valores inferiores a 30º, la fase es positiva, para 30º es igual a cero y para valores mayores esta es negativa. Fuera de estos valores la fase se mantiene constante en cero.
Trabajo de integración 2006 102