Post on 05-Dec-2018
Master y Doctorado en Tecnologıas de la Informacion yComunicaciones en Redes Moviles
Introduccion sistemas MIMO
I. Santamarıa
Introduccion Capacidad Multiplexing-diversity tradeoff Diseno Codigos ST Conclusiones
Indice
1 Introduccion
2 Capacidad en sistemas MIMO
3 Multiplexing-diversity tradeoff
4 Diseno de codigos espacio-temporales
5 Conclusiones
Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa
Introduccion Capacidad Multiplexing-diversity tradeoff Diseno Codigos ST Conclusiones
Sistema MIMO (multiple-input multiple-output)
Space-time
encoding
Space-time
precodingM
CodingInterleav.Symbolmapping M
bits Symbols
MIMOCHANNEL
Space-time
decoding
Space-time
processingM M
DecodingDeinterl.Symboldemap.
bits
Channelestimation
TRANSMITTER RECEIVER
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Ventajas de un sistema MIMO1 Ganancia por diversidad espacial2 Ganancia por multiplexado espacial3 Ganancia de array/Ganacia de codificacion4 Reduccion de interferencias
Las tecnicas MIMO forman parte ya de todos losestandares actuales:
1 Redes locales WLAN: 802.11n2 Redes celulares: HSDPA+, 3GPP-LTE (Long-Term
Evolution)3 Redes de acceso banda ancha inalambrico: WiMAX
(802.16e)
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Canal MIMOCaracterıstica esencial: fading
page 8Channels for future wireless systemsRVK 2005
Double-directional impulse response
For each multipath component predict:
Complex amplitude, delay, angle-of-arrival, angle-of-departure, polarization,
all as a function of time Path loss
Reflexion
Difraccion
LOS/NLOS
Scattering
Modelo estandar: i.i.d. Rayleigh, flat fading
Hw = [h1 · · ·hnT ] =
h1,1 · · · h1,nT
.... . .
...hnR,1 · · · hnR,nT
hi,j ∼ CN(0, 1) canal entre la i-th antena receptora y la j-thtransmisora =⇒ E[‖H‖2
F ] = nT × nR.
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Tx/Rx correlacionModelo Kronecker
H = R1/2rx HwR1/2
tx
Rh = RTrx ⊗Rtx
Donde ⊗ denota el producto de Kronecker, es decir si A es unamatriz n× p
A =
a11 · · · a1p
......
...an1 · · · anp
y B es una matriz m× q, entonces A⊗B es una matriz nm× pqconstruida de la forma
A⊗B =
a11B · · · a1pB...
......
an1B · · · anpB
.
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La matriz de correlacion del canal Rh, ademas de como elproducto de Kronecker entre las matrices de correlacion enrecepcion y en transmision, tambien se puede escribir como
Rh = E[vec(H)vec(H)H ],
donde la vectorizacion de una matriz significa construir unvector apilando sus columnas; es decir, si
H = [h1 h2 . . . hnT ]
es nR × nT , entonces
vec(H) = [hT1 hT
2 . . . ,hTnT
]T
es un vector nRnT × 1.
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Ricean (LOS) channels
H = Hm + Hw
K =‖Hm‖2
F
Tr(Rh)
Modelo general
H = Hm + R1/2rx HwR1/2
tx
Generamos los coeficientes del canal de acuerdo avec(H) ∼ CN(vec(Hm),RT
rx ⊗Rtx)
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Selectividad temporalTiempo de coherencia (Doppler spread):
|t1 − t2| > Tc =⇒ E[vec(H(t1))vecH(H(t2))] = 0
Selectividad frecuencialAncho de banda de coherencia (Delay spread):
|f1 − f2| > Bc =⇒ E[vec(H(f1))vecH(H(f2))] = 0
H(z) =L∑
l=0
Hlz−l
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1 Introduccion
2 Capacidad en sistemas MIMO
3 Multiplexing-diversity tradeoff
4 Diseno de codigos espacio-temporales
5 Conclusiones
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Capacidad MIMOA la hora de estudiar la capacidad de un canal MIMO hayque distinguir varias situaciones en funcion de como varıeel canal durante la transmision:
1 Canal constante: no hay fading → Capacidad instantanea
C(H)
2 Canal ergodico: hay fading pero podemos codificar a lolargo de un numero suficiente de realizaciones del canal →Capacidad ergodica
Ce = E[C(H)]
3 Canal no ergodico o canal con block-fading: hay fading ysolo podemos codificar en una unica realizacion del canal→ Capacidad outage
Cout,p = r ⇒ Pr(r > C(H)) = p
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Y del conocimiento que dispongamos del canal en el Txy/o en el Rx:
1 Conocimiento perfecto del canal Perfect Channel StateInformation en el Tx-Rx: CSIT-CSIR.
2 Conocimiento estadıstico del canal Channel DistributionInformation en el Tx-Rx: CDIT-CDIR.
Modelo ZMSW (zero-mean spatially white)
H = Hw
Modelo CMI (channel mean information)
H = Hm + Hw
Modelo CCI (channel covariance information)
H = R1/2rx HwR
1/2tx
Modelo CMCI (channel mean and covariance information)
H = Hm + R1/2rx HwR
1/2tx
Un modelo habitual es CDIT(ZMSW)+CSIR.Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa
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Canal constante, CSIT + CSIR
En este caso la capacidad en bps/Hz de un canal MIMO H dedimensiones nR × nT viene dada por
C(H) = maxQ:Tr(Q)=P
log2 det(InR + HQHH
),
donde Q = E[xxH ] es la matriz de covarianza de las senaltransmitida, cuya potencia total de transmision es P .
Este problema de optimizacion se resuelve facilmenteconsiderando la descomposicion del canal MIMO enr = mın(nR, nT ) canales SISO ortogonales mediante la SVD
H = UΛVH =r∑
i=1
λiuivHi .
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Podemos realizar una transmision independiente en cada unode los canales si:
1 Precodificamos en el Tx con la matriz de autovectores porla derecha V (al ser unitaria preserva la potenciatransmitida) x = Vx
2 Detectamos en el receptor con la matriz de autovectorespor la izquierda UH (al ser unitaria el ruido sigue siendoblanco y gausiano)
y = UH(Hx + n) = UHUΛVHVx + UHn = Λx + n
PrecoderV
x~ xVx ~ =HVUΛH =
Channel ⊕
2σ
HUDetector
nxHy += nxΛy ~~ ~ +=
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El sistema es equivalente a r (el rango de la matriz MIMO)canales SISO ortogonales
M
21λ ⊕
2~σ
1~x
⊕rx~
22λ ⊕
2~σ
2~x
2rλ
1~y
2~y
ry~2~σ
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Cada uno de los canales tiene una enegıa λ2i
yi = λixi + ni, i = 1, · · · , r
Son los denominados modos del canal MIMO oeigenmodes.Para maximizar la capacidad el transmisor debe transmitiruna potencia distinta por cada uno de ellos (waterfilling)
Pi =(
µ− 1λ2
i
)+
donde x+ = max(x, 0) y µ es el waterfill level para cumplirla restriccion
∑ri=1 Pi = P .
Resultado final: la capacidad del canal MIMO con CSIT yCSIR se alcanza transmitiendo codewords gausianas concovarianza Q = Vdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VH
C(H) =r∑
i=1
(log(µλ2
i ))+
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Canal constante, CSIR+CDIT(ZMSW)En este caso la capacidad se maximiza cuando se transmitencodewords gausianas con matriz de covarianza Q = P
nTI.
Es decir, la transmision ha de ser isotropa: por igual en todaslas direcciones del espacio.La capacidad instantanea viene dada por
C(H) = log2 det(InR +
P
nTHHH
).
Descomponiendo el canal MIMO en r = mın(nT , nR) canalesSISO ortogonales, la capacidad instantanea puede escribirsede manera alternativa como
C(H) =r∑
i=1
log(
1 +P
nTλ2
i
)que muestra el incremento lineal de capacidad con r (gananciade multiplexado).
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Canal ergodico
Podemos codificar a lo largo de varias realizaciones del canal(independientes entre sı → canal sin memoria)
L L L
1H 2H L nH
Channel
Encoder
Tiene sentido entonces definir la capacidad ergodica como laesperanza matematica de la capacidad instantanea:
Ce = E[C(H)] = maxQ:Tr(Q)=P
E[log2 det
(InR + HQHH
)]Introduccion sistemas MIMO I. Santamarıa
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Como en el caso del canal constante podemos distinguir variassituaciones en funcion del conocimiento que se tenga del canalen el Tx y/o Rx
CSIT+CSIR: para alcanzar la capacidad debemostransmitir codewords gausianas y hacer waterfilling enpotencia sobre los modos del canal (para cadarealizacion), como en el caso del canal constante
QH = VHdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VHH.
Este resultado es valido independientemente de ladistribucion del canal. La capacidad ergodica es
Ce(H) = EH
[r∑
i=1
(log(µλ2
i ))+]
.
CDIT+CSIR: en funcion del modelo de canal tenemos lossiguientes casos:
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Caso 1: modelo ZMSW H = Hw ⇒ para alcanzar lacapacidad debemos transmitir codewords gausianas demanera isotropa Q = P
nTI
Ce(H) = EH
[log2 det
(InR +
P
nTHHH
)].
Existen expresiones cerradas y/o aproximaciones muybuenas para distintas distribuciones del canal (Rayleigh,Nakagami,...).Caso 2: modelo CMI H = Hm + Hw ⇒ para alcanzar lacapacidad debemos transmitir codewords gausianas yhacer waterfilling sobre los modos del canal medio(autovectores de HH
mHm).
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Caso 3: modelo CCI (con correlacion solo en el Tx)H = HwR1/2
tx ⇒ para alcanzar la capacidad debemostransmitir codewords gausianas y hacer waterfilling sobrelos modos de Rtx
Q = VRdiag(P1, · · · , Pr, 0, · · · , 0)VHR ,
con Rtx = VRΣVHR .
Caso 4: CMCI (con correlacion solo en el Tx)H = Hm + HwR1/2
tx ⇒ las direcciones optimas detransmision son funciones complicadas de Rtx y Hm; noexiste una solucion cerrada (conocida).
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El valor de la CSIT
Canal Rayleigh i.i.d. (ZMSW).
0 5 10 15 20
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12C
apac
ity (
bps/
Hz)
SNR (dBs)
4× 4
2× 2
CSIT+CSIRCSIR
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Efecto de la correlacion en transmision en un canal 4× 4.
0 5 10 15 20 25
2
4
6
8
10
12
SNR (dBs)
Cap
acity
(bp
s/H
z)
CSIT+CSIRCSIR ZMSW
Tx correlation ∼ 0.9
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Canal block-fading
El canal permanece constante durante L usos, pero nopodemos codificar a lo largo de varios bloques (por ejemplo entransmisiones limitadas por retardo)
L L L
L nH1H 2H
Channel
Encoder
Channel
Encoder
Channel
Encoder
Para este modelo la capacidad de Shannon es estrictamentecero. Existe siempre una probabilidad no nula de que el canaleste en situacion de fuera servicio (outage)
Cout,p = r ⇒ Pr(r > C(H)) = p
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Multiplexing-diversity tradeoff
Para canales MIMO existe un compromiso fundamental entrerobustez y tasa que se conoce como multiplexing-diversitytradeoff [Zheng and Tse, IEEE Trans. IT, 2003].Consideramos un canal block-fading aunque la misma idea esaplicable a canales ergodicos.
La ganacia de multiplexado (multiplexing gain) se definecomo
rmax = lımρ→∞
Cout,p
log2(ρ)siendo ρ la SNR en unidades naturales.Nota: la FER (frame error rate) del sistema (esto es, surobustez) es fija e igual a p⇒ si usamos codigossuficientemente buenos, la Pe esta dominada por aquellasrealizaciones en que el canal esta en un fading profundo yno podemos transmitir.
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0 5 10 15 20 25
5
10
15
20
SNR (dBs)
Cou
t,0.0
1 (bp
s/H
z)
pendiente =4
pendiente =2
MIMO (4×4)MIMO (2×2)
Para un canal MIMO i.i.d. con deteccion optimarmax = mın(nT , nR).
Por cada 3dB de incremento en SNR, para una Pe (robustez) fijapodemos aumentar la tasa en mın(nT , nR) bps/Hz.
¡Es un resultado asintotico!
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La ganacia de diversidad diversity gain se define como
dmax = − lımρ→∞
log2(Pe(ρ, r))log2(ρ)
siendo nuevamente ρ la SNR en unidades naturales.En este caso hemos fijado la tasa: porcentaje de tramasen las que transmitimos por debajo de la capacidadinstantanea y, por lo tanto, pueden ser decodificadas conPe arbitrariamente baja.Estamos identificando Pe con FER.
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Curvas de FER (Pe) para una tasa fija de r = 2 bps/Hz.
0 5 10 15 20 25 3010
−5
10−4
10−3
10−2
10−1
100
SNR (dB)
FE
R
pendiente = 4
pendiente = 1
2×21×1
La maxima diversidad es dmax = nT nR.
Por cada 3dB de incremento en SNR, para un tasa detransmision fija podemos reducir la Pe por un factor 2nT nR .
Al igual que antes, es un resultado asintotico.
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La curva de compromiso entre ganacia de multiplexado yganacia de diversidad es lineal a tramos (r, d(r)) de la forma:
d(r) = (nR − r)(nT − r)
nn RT ×
d (d
iver
sity
gain
)
…0 1 2 )min( RT ,nnr (multiplexing gain)
Conclusion: Si “gastamos” la SNR en aumentar la robustez delsistema, reduciendo la FER todo los posible d = nT nR,entonces hemos de mantener la tasa constante r = 0; yviceversa.
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Diseno de codigos espacio-temporalesSupongamos: a) Un sistema MIMO con nT antenas en Txy nR en recepcion y b) El canal MIMO es Rayleigh i.i.d. yse mantiene constante durante la transmision de todo unbloque de duracion L slots (L ≥ nT ).Queremos disenar un conjunto de palabras codigoespacio-temporales para la transmision
Si ∈ CnT×L, i = 1, · · · , N.
A esta categorıa pertenecen los denominados codigoespacio-temporales por bloques (space-time block codes oSTBCs), que son unos de los codigos mas ampliamenteutilizados en transmisiones MIMO y el objeto de nuestroestudio posterior.Las expresiones obtenidas nos permitiran introducir losconceptos de ganacia de diversidad (nuevamente) y deganancia de codificacion.
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La senal recibida es
X = HSi + N
siendo N ∼ CN(0, σ2InR×L).Las palabras codigo estan normalizadas para que laenergıa media por sımbolo complejo transmitido sea 1. LaSNR por antena Tx es ρ/nT = 1/σ2.El modelo anterior incluye la codificacion solo espacial,Si ∈ CnT×1 (a veces denominada vector coding); o solotemporal Si ∈ C1×L.¿Como disenamos las palabras codigo Si? ¿Que criteriosdeben cumplir para extraer las ventajas del sistemaMIMO?
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Minimizacion de la Pe por parejas
Como criterio de diseno empleamos la Pe por parejas(pairwise), es decir, la probabilidad de transmitir la palabra Si ydecidir erroneamente la palabra Sj , condicionada a larealizacion del canal H
P (Si → Sj |H).
La probabilidad anterior es la probabilidad del evento
||X−HSi||2 ≥ ||X−HSj ||2,
que se puede reescribir como
||N||2 ≥ ||N−H(Sj − Si)||2 =
= ||N||2 + ||H(Sj − Si)||2 − 2<{Tr[NHH(Sj − Si)
]}.
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Si ahora llamamos d2H(Si,Sj) = ||H(Sj − Si)||2 y
g = 2<{Tr[NHH(Sj − Si)
]}, podemos escribir de manera
mas compacta
P (Si → Sj |H) = P(g ≥ d2
H(Si,Sj)).
Pero g es una combinacion lineal de gausianas, y se puedecomprobar facilmente que g ∼ N(0, 2σ2d2
H(Si,Sj)), por lo tanto
P (Si → Sj |H) = Q
(√d2
H(Si,Sj)2σ2
).
Aplicando ahora la desigualdad Q(x) ≤ e−x2
2 , podemos acotarla Pe pairwise como
P (Si → Sj |H) ≤ e−d2H(Si,Sj)/4σ2
.
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La distancia d2H(Si,Sj) puede reescribirse como una forma
cuadratica de la siguiente manera
d2H(Si,Sj) = Tr
(EH
i,jHHHEi,j
)= Tr
(HEi,jEH
i,jHH)
=
= vec(HH)H(InR×nR ⊗Ei,jEH
i,j
)vec(HH) =
= vec(HH)H (InR×nR ⊗Gi,j) vec(HH)
donde Ei,j = Sj − Si es una matriz nT × L formada como ladiferencia entre las dos matrices de codigo y Gi,j = Ei,jEH
i,j
(que es Hermıtica y, por lo tanto, con autovalores mayores oiguales a cero).
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En resumen, hasta ahora hemos visto que la Pe pairwise parauna determinada realizacion del canal puede acotarse como
P (Si → Sj |H) ≤ e−vec(HH)H(InR×nR⊗Gi,j)vec(HH)/4σ2
,
y promediando en todas las realizaciones tenemos que
P (Si → Sj) ≤ E[e−vec(HH)H(InR×nR
⊗Gi,j)vec(HH)/4σ2],
Una expresion util
Si z ∼ CN(µ,Σ), entonces
Ez
[e−zHAz
]=
e−µHA(I+ΣA)−1µ
|I + ΣA|
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De la expresion anterior se deduce que si el canal MIMO tienemedia, E[vec(HH)] = µ 6= 0, entonces la Pe decaeexponencialmente (parecido a un canal AWGN).Por otra parte, si el canal es i.i.d Rayleigh (H = Hw), entoncesµ = 0 y Σ = I, por lo que la expresion de la P e queda
P (Si → Sj) ≤ 1∣∣InRnT + 14σ2 (InR ⊗Gi,j)
∣∣ =1∣∣InT + 1
4σ2 Gi,j
∣∣nR
=r∏
m=1
(1 +
ρ
4nTλm
)−nR
,
siendo r = rank(Gi,j) y λm los autovalores de la matriz Gi,j .
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Finalmente, para SNRs altas ρ >> 1 se obtiene la siguientecota
P (Si → Sj) ≤(
ρ
4nT
)−rnR(
r∏m=1
λm(Gi,j)
)−nR
.
Definiendo ahora:1 Ganacia de codificacion:
Gc = mınSi 6=Sj
(r∏
m=1
λm(Gi,j)
)1/r
= mınSi 6=Sj
|Gi,j |1/r.
2 Ganacia de diversidad:
Gd = nR mınSi 6=Sj
rank(Gi,j).
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Criterios del rango y del determinante
Pe ≤ G−Gdc
(ρ
4nT
)−Gd
-10 -5 0 5 10 15 2010-8
10-6
10-4
10-2
100
SNR (dB)
BE
R dG
cG
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Un buen codigo [Tarokh, Seshadri, Calderbank, IEEE IT, 1998]Debe cumplir el criterio del rango para aprovechar toda ladiversidad del canal MIMO: el rango de la matriz diferenciaentre dos codewords cualesquiera deber ser mın(nR, nT ).Por ejemplo, con vector coding solo podemos conseguirdiversidad 1→ es necesario hacer codificacionespacio-temporal para extraer toda la diversidad del canalMIMO.Debe maximizar el mınimo determinante de la matrizdiferencia entre dos codewords distintas (criterio deldeterminante). De esta manera conseguimos ganancia decodificacion.
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Conclusiones
Un canal MIMO ofrece numerosas ventajas que puedenser aprovechadas en los nuevos sistemas decomunicaciones:
1 Diversidad: esencial en canales con fading, pendiente de lacurva de BER con la SNR (para SNRs altas), la diversidadmaxima es nT × nR.
2 Capacidad (multiplexing gain): incremento lineal de lacapacidad con r = mın(nT , nR), mediante la SVD el canalMIMO se descompone en r canales SISO, importancia delCSIT y del modelo asumido de canal.
3 Ganacia de codificacion (si disenamos bien las matricescodigo)/ Ganancia de array (procesando coherentementeen Tx y/o Rx).
Pero existen compromisos entre ellas: ganancia demultiplexado-diversidad.
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Conclusiones
Para extraer toda la diversidad del sistema MIMO esnecesario emplear codigos espacio-temporales.Para disenar codigos ST que minimicen una cota superiorde la Pe por parejas hemos obtenidos los criterios delrango (ganancia de diversidad) y del determinante(ganacia de codificacion).Entre ellos, los codigos espacio-temporales por bloque(space-time block codes o STBCs) son los masampliamente empleados y los estudiaremosdetenidamente en las siguientes sesiones.
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