Post on 25-Jun-2015
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De la aritmética al álgebraDe la aritmética al álgebra
Invariantes operatorios en la resolución de ecuaciones
Omar Cabrera
Gladys Fusco
Presentación estática y parcial del trabajo incluido en el CD del texto:
MATEMÁTICA NATURAL
AULA TALLER
EDICIONES DEL
Tres tareas invariantes en la resolución de ecuaciones
Análisis de la ecuación Identificación de la operación prioritaria Control de la validez de las transformaciones
Cada tarea se realiza mediante la aplicación de un invariante operatorio
Los invariantes operatorios son los conocimientos -contenidos en los esquemas- que constituyen la base, implícita o explícita, para
obtener la información pertinente y de ella inferir la meta a alcanzar y las reglas de acción adecuadas.
Construcción implícita Construcción implícita
de ecuaciones reducidas de ecuaciones reducidas
o intermediaso intermedias
Construcción implícita de ecuaciones Construcción implícita de ecuaciones mediante señalamientos gráficosmediante señalamientos gráficos
303)(x
490-40
2
43
2
1
¿40 menos qué número da 10?
10 497
S={4}
Construcción de modelos sencillos Construcción de modelos sencillos para accionar mediante para accionar mediante
comparacionescomparaciones
Despejando sin pasajesDespejando sin pasajes
Ecuación literalEcuación literalConsigna: despejar xConsigna: despejar x
Invento para comparar (IPC)Invento para comparar (IPC)Elijo x=2 y construyo una ecuación Elijo x=2 y construyo una ecuación
““igual que la otra" pero con naturalesigual que la otra" pero con naturales
D=F
Α-Β.X
DA-B.X=
F
DB.X=A- F
DA-
FX=B
24= 6
10- 3.x
10-3.x = 4 (24:6)
3.x = 6 (10-4)
x = 2 (6:3)
Ecuaciones simultáneasResolución simultánea de tres ecuaciones con la misma Resolución simultánea de tres ecuaciones con la misma
estructura, construyendo un solo IPC (invento para estructura, construyendo un solo IPC (invento para comparar).comparar).
Despeja xDespeja x Resuelve en ZResuelve en Z Resuelve en QResuelve en Q
M-ABx
H
MBx
HA
MA
HBx
BMA
Hx
-218x
5012-
3
2
6x
23
5
4
5
4x
188
-10(-2)--1218x
50
15
2
3
2-
5
4
6x
23
5)-8 ⇒( 3=
4+x
18
510-
5018x
2
345
15
2:236x 3)8 1 ( 6=4+x :⇒
23185x 2
3336
2
345x 4)-6 ( 2=x ⇒
Invento para comparar (IPC)
Elijo x=2
BASES
TEÓRICAS
Teoría de los campos conceptualesTeoría de los campos conceptualesGérard VergnaudGérard Vergnaud
Campo conceptual es un conjunto referencial y heterogéneo de problemas, situaciones, conceptos, relaciones, estructuras,
contenidos y operaciones del pensamiento, conectados unos a otros y, probablemente,
entrelazados durante el proceso de adquisición.
La teoría de los campos conceptuales supone que la señal del desarrollo cognitivo es la conceptualización.
De allí la importancia que tienen los aspectos conceptuales de los esquemas y el análisis conceptual de las situaciones, para
las cuales los estudiantes desarrollan sus esquemas.
Vergnaud identifica dos tipos de invariantes operatorios: los conceptos-en-acción (construidos pragmáticamente por los alumnos) y los teoremas-en-acción (propiedades usadas por
los alumnos que pueden ser falsas o no).
Invariantes operatoriosAníbal CortésAníbal Cortés
Identificó cinco tareas invariantes en la resolución de ecuaciones. .
Son las que el experto realiza implícita o explícitamente cuando efectúa una transformación.
Cada tarea invariante se realiza mediante un invariante operatorio.
Construir dichos invariantes operatorios a partir de la enseñanza de esas tareas invariantes, es la propuesta
principal de esta presentación.
Ellos son:
Tarea invariante Invariante operatorio
Análisis de la ecuación Concepto de ecuación
Control de validez de la transformación
Conservación del valor de verdad de una igualdad
Identificación y respeto de la operación prioritaria
Propiedades de las operaciones y
convenciones de orden
Control de los símbolos transferidos a una nueva
expresión
Verificación de la reescritura correcta de términos y
signos, conservación de una identidad o del valor de verdad de una igualdad
Los cálculos numéricosDefiniciones, algoritmos y
propiedades de las operaciones
Hemos descripto en esta presentación algunas experiencias que tuvieron como objetivo la enseñanza de esas tareas invariantes en los
primeros cursos de álgebra.
La enseñanza (explícita, organizada,
sistemática) de las tareas invariantes, ayuda
al estudiante a construir invariantes
operatorios adecuados para justificar sus
transformaciones algebraicas y aplicar
métodos de resolución con eficacia.