J. Mauricio López R.J. Mauricio López R.División de Tiempo y FrecuenciaDivisión de Tiempo y Frecuencia

Estabilidad en FrecuenciaEstabilidad en Frecuencia

Centro Nacional de Metrología, CENAMCentro Nacional de Metrología, CENAMMauricio.lopez@cenam.mxMauricio.lopez@cenam.mx

ContenidoContenido

1. Introducción

3. Varianza de Allan

4. Barras de Incertidumbre

5. Ejemplos

2. Mediciones en el dominio del tiempo

IntroducciónIntroducción

El uso de la varianza estándar en el análisis de la dispersión de variables dependendientes del tiempo puede conducir a problemas de divergencia cuando el número de mediciones tiende a infinito. Dicha divergencia puede ser originada por una fuerte correlación entre mediciones que introduce ruidos no blancos en las series de mediciones. En el caso de la metrología de tiempo y frecuencia, por ejemplo, la presencia de ruidos no blancos como el llamado ruido en frecuencia de paso aleatorio (Random Walk Frequency Noise) introduce una rápida divergencia en el análisis de estabilidad de frecuencia cuando se usa la varianza estándar. El uso de la llamada Varianza de Allan se ha generalizado a nivel internacional para expresar la estabilidad de osciladores ya que es convergente para los principales ruidos no blancos presentes en señales de frecuencia y en series de tiempo.

VARIANZA ESTÁNDAR vs

VARIANZA DE ALLAN

Mediciones en el dominio del tiempoMediciones en el dominio del tiempo

Pa tró n d e re fe re nc ia Pa tró n d e re fe re nc ia

Método de medición directa de frecuencia

Instrum e nto b a jo

c a lib ra c ió n

Instrum e nto b a jo

c a lib ra c ió n

Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o

PC

Fre c ue nc ím e troFre c ue nc ím e tro

Frecuencia Frecuencia

BajoBajo

CalibraciónCalibración

InterfaseInterfasedede

ComunicaciónComunicación

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en

frecuencia al frecuencia al contadorcontador

MEDICIONES DE FRECUENCIA FIGURA 1 (04-2003F.DAT)

4999999.509

4999999.510

4999999.511

4999999.512

4999999.513

4999999.514

4999999.515

4999999.516

0 3600 7200 10800 14400 18000 21600 25200 28800 32400 36000

DATOS (10horasdemedición con =1s)

FR

EC

UE

NC

IA (

Hz)

Mediciones directas de frecuenciaMediciones directas de frecuencia

Oscilador bajo

calibración

5400587365

Patrón de referencia

PC(adquisición y

almacenamiento de datos)

Frecuencímetro

5 MHz ó 10 MHz

Mediciones directas de frecuenciaMediciones directas de frecuencia

Pa tró n d e re fe re nc ia Pa tró n d e re fe re nc ia

Instrum e nto b a jo

c a lib ra c ió n

Instrum e nto b a jo

c a lib ra c ió n

Ad q u isic ió n d e d a to s a uto m a tiza d o

PC

Frecuencia Frecuencia

BajoBajo

CalibraciónCalibración

InterfaseInterfasedede

ComunicaciónComunicación

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para amarrar en para amarrar en

frecuencia al frecuencia al contadorcontador

Frecuencia Patrón Frecuencia Patrón para la calibraciónpara la calibración

MEDICIONES DE DIFERENCIA DE FASE

-200

-150

-100

-50

0

50

100

150

200

0 20 40 60 80 100 120

DATOS t=1S)

Mediciones directas de diferencia de FaseMediciones directas de diferencia de Fase

Método de medición de diferencia de fase

Contador de Intervalos de

Tiempo

Mediciones con mezcla de frecuenciaMediciones con mezcla de frecuencia

Patrón de referencia

5400587365

PC(adquisición y

almacenamiento de datos)

Frecuencímetro

f0 = 5 MHz ó 10 MHz

Oscilador bajo calibración

Mezclador de frecuencias

f = f0 - f1 = f - f0 =

Filtro pasa bajos

Amplificador

Mediciones con doble mezcla de frecuenciaMediciones con doble mezcla de frecuenciaPatrón de referencia

PC(adquisición y

almacenamiento de datos)

f0 = 5 MHz ó 10 MHz

Oscilador bajo calibración

Mezclador de frecuencias

fC = f0 -

f1 = f -f0 =

Filtro pasa bajos

Amplificador

Filtro pasa bajos

Contador de intervalos de

tiempo

Amplificador

f f0

f2 f –fC

Oscilador auxiliar

Mezclador de frecuencias

Algunos ejemplos de mediciones

Mediciones de Diferencia de Fase

Primer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase

Segundo ejemplo: mediciones de diferencia de fase

Tercer ejemplo: mediciones de diferenvia de fase

Algunos ejemplos de mediciones

Mediciones de Frecuencia

Primer ejemplo: mediciones de frecuencia

Segundo ejemplo: mediciones de frecuencia

Tercer ejemplo: mediciones de frecuencia

4 - 1 6

F r e c u e n c i a e s t a b l e ( o s c i l a d o r i d e a l )

U n s t a b l e F r e q u e n c y ( R e a l O s c i l l a t o r )

T i m e

( t )

T i m e

( t )

V1

- 1T 1 T 2 T 3

1- 1

T 1 T 2 T 3

V ( t ) = V 0 s i n ( 2 0 t )

V ( t ) = [ V 0 + ( t ) ] s i n [ 2 0 t + ( t ) ]

( t ) = 2 0 t

( t ) = 2 0 t + ( t )

V ( t ) = s a l i d a d e l o s c i l a d o r , V 0 = A m p l i t u d n o m i n a l p i c o - a - p i c o ( t ) = a m p l i t u d d e r u i d o , 0 = f r e c u e n c i a n o m i n a l ( t ) = f a s e , a n d ( t ) = r u i d o d e f a s e

t d)t(d

21=

t d)t(d

21 = )t( 0

π

Φπ

frequency, ousInstantane

V

I n e s t a b i l i d a d e n f r e c u e n c i a ( r u i d o )

Las señales eléctricas no son Las señales eléctricas no son puraspuras

Ruido de amplitud

Inestabilidad en frecuencia

Ruido de fase

-V

olt

age

+0

Tiempo

Voltage de salida de un oscilador

4-23

0.1 s tiempo de promediación3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

1.0 s tiempo de promediación3 X 10-11

0

-3 X 10-11

f

f

100 s

0.01 0.1 1 10 100Tiempo de promediación, , s

10-10

10-11

10-12

y()

Ruido en frecuencia y Ruido en frecuencia y yy(())

4-26

Las graficas muestran las fluctuaciones de la variable z(t), la cual puede ser, por ejemplo, la salida de un contador (f vs. t), o la medición de fase ([t] vs. t). Los gráficos muestran tanto la dependencia temporal como la dependencia en frecuencia; h es el coeficiente de amplitud.

Sz(f) = hf

= 0

= -1

= -2

= -3

nombre

White

Flicker

Randomwalk

Dependencia temporal

Ruido en frecuenciaRuido en frecuencia

Varianza de AllanVarianza de Allan

La Varianza de Allan es la herramienta usada La Varianza de Allan es la herramienta usada para el análisis de mediciones de Tiempo y para el análisis de mediciones de Tiempo y Frecuencia siendo un estimador de la dispersión Frecuencia siendo un estimador de la dispersión de las mediciones, determinando así, la de las mediciones, determinando así, la estabilidad del oscilador bajo calibración.estabilidad del oscilador bajo calibración.

22y 2

1σ iy 22

2

2y 2

1σ ix

Frecuencia Fase

iii yyy 1 iiii xxxx 122 2

Concepto de la Varianza de Allan

ii

i

xxy

1

Varianza de Allan para Mediciones de FrecuenciaVarianza de Allan para Mediciones de Frecuencia

1N

1i

2i1i

0

2y yy

1N21

σ

donde:donde:

Varianza de AllanVarianza de Allan

Número de datos espaciados Número de datos espaciados 00

i-ésimai-ésima medición de fase medición de fase

2y

N

iy

Tiempo de observación = mTiempo de observación = m00

m =2=2nn cálculos posibles cálculos posibles

mN

iimimiy xxx

mN

2

1

222

2 222

1

donde:donde:

Varianza de AllanVarianza de Allan

Número de datos espaciados Número de datos espaciados 00

Tiempo de observación = mTiempo de observación = m00

i-ésimai-ésima medición de fase medición de fase

2y

Nix

m =2=2nn cálculos posibles cálculos posibles

Varianza de Allan para Mediciones de Diferencia de FaseVarianza de Allan para Mediciones de Diferencia de Fase

Barras de IncertidumbreBarras de Incertidumbre

Distribución Distribución 22

Para df < 100Para df < 100 2

2

2 )(y

ysdf

2ys

donde:donde:Estimado de la Varianza de AllanEstimado de la Varianza de Allan

df Número de grados de libertadNúmero de grados de libertad

Varianza de Allan verdaderaVarianza de Allan verdadera2

y

Distrib

ución

X2

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

2

2

2 )(y

ysdf

025,0975.0 2

22

2

2

dfsdfs y

yy

Tablas XTablas X22

Barra InferiorBarra InferiorBarra SuperiorBarra Superior

Tabla XTabla X22

Para df > 100Para df > 100

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

22 96,121

025,0 h

Barras de incertidumbreBarras de incertidumbre

Para df > 100Para df > 100

22 96,121

975,0 h

12 dfhdonde:donde:

Barra InferiorBarra Inferior

Barra Barra SuperiorSuperior

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

White Phase ModulationWhite Phase Modulation

Flicker Phase Flicker Phase ModulationModulation

White Frquency White Frquency ModulationModulation

mN

mNNdf

221

4112

ln2

1lnexp

Nmn

Ndf

54

4222

132

2

mm

NN

mN

df

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

Flicker Flicker Frequency Frequency ModulationModulation

Random-Walk Random-Walk Frequency Frequency ModulationModulation

234

5

19,43,2

22

2

mparamNm

Ndf

mparaNN

df

2

22

3

41312

N

mNmNm

Ndf

Número de Grados de LibertadNúmero de Grados de Libertad

NBS Technical note 679NBS Technical note 679

4-25

Por debajo del ruido “fliker”, los cristales de cuarzo tipicamente tienen una dependencia -1 (white phase noise). Los patrones atómicos de frecuencia muestran una dependencia del tipo -1/2 (white frequency noise) para tiempos de promediación cercanos al tiempo de ataque del lazo de amarre, y -1 para tiempos menores del tiempo de ataque. Tipicamente los ’s para el ruido flicker son: 1 s para osciladores de cuarzo, 103s para relojes de rubidio y 105s para Cesio.

y()-1

-1

0

Tipo de ruido:

Whitephase

Flickerphase

Whitefreq.

Flickerfreq.

Randomwalk freq.

-12 12

Dependencia temporal de Dependencia temporal de yy(())

Ejemplos de cálculo de varianza de AllanEjemplos de cálculo de varianza de Allan

Lo

g ( y

())

Log (), segundos

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0

1 día 1 mes

-9

-10

-11

-12

-13

-14

-15

-16Maser de Hidrógeno

Rubidio

Cuarzo

Cesio

Comparación de la estabilidad en frecuencia entre osciladores de Cuarzo, Cesio, Rubidio e Hidrógeno

 

Definimos las primeras diferencias como  

 .

 

NnNnNnNnn xxxxxxxxxxxx ,...,,,,...,,...,,,,,...,,, 3211432321

1,...,,, 321 nNxxxx

),(1 1

0

1 ji

n

jjniiii xx

nxxx

Varianza Modificada de Allan

Consideremos los siguientes conjuntos de mediciones

Denotamos a los respectivos promedios como

donde i = 1, 2, 3, ..., N-2n+1

Las segundas diferencias son definidas de la siguiente manera:

1

02

2 ),2(2

1 n

jjijnijniinii xxxxxx

Con i = 1, 2, 3, … , N-3n+1

La varianza Modificada de Allan se define como:

222

2 )(2

1iy xMod

donde 0 n

.)2()13(2

1 213

1

1{

2220

2

nN

i

in

ijjjnjny xxx

nNnMod

La varianza modificada de Allan puede ser escrita en términos de las mediciones de diferencia de fase de la siguiente forma:

Nótese que para n=1 la varianza modificada de Allan coincide con la varianza de Allan.

Mody2

1) = -3 Ramdom walk frequency modulation

2) = -2 Flicker frequency modulation

3) = -1 White frequency modulation

4) = 0 Flicker phase modulation

5) = +1 White phase modulation

0

0 1 2 3 4 5 6 7 8 -17

-15

-13

-11

-9

log

Log Mody

White PM

White FM

Flicker FM

Random walk FM

Flicker PM

Dependencia de la ModAVAR del tiempo de promediación