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Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos,
para quienes las publico. Adrián Faigón. afaigon@fi.uba.ar v. 27-3-2013
Dinámica de la rotación - Cuerpo rígido.
Vamos a completar las leyes de conservación para sistemas de partículas con la
correspondiente al momento angular. La postergación hasta este punto se debe a que
presentamos con ella algunos elementos fundamentales para tratar el movimiento del
cuerpo rígido.
Dinámica de la rotación de un conjunto de partículas
Al igual que con las magnitudes extensivas tratadas anteriormente, P y E,
definamos el momento angular de un sistema de partículas respecto de un punto, a la
suma de los momentos de cada partícula componente respecto del mismo punto.
i
iL l (8.1)
Calculemos ahora la derivada temporal del momento L,
i i
d d d
dt dt dt i i i
Ll r p
(estamos tomando el origen como el punto respecto del cual calculamos los li),
i
i i i ir p r p
El primer término en la sumatoria cae pues velocidad y momento lineal de cada
partícula son vectores paralelos. En el segundo reemplazamos ip por if , la fuerza que
actúa sobre la partícula i, y ésta última la descomponemos en fuerzas exteriores eif , y
fuerzas debidas a la interacción de la partícula i con las restantes partículas del sistema,
i j i i j
e ei i ji i i i jir f f r f r f
Ahora desarrollamos el 2do sumando para mostrar que no contribuye (esto se puede
intuir antes de hacer la matemática pues su anulación significa que las fuerzas interiores
no pueden hacer girar al sistema). Comenzamos con la igualdad evidente
i j j i
i ji j ijr f r f
Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos,
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pues lo único que se ha hecho es intercambiar i por j, y se suma sobre ambos. Entonces
1 1
2 2i j i j j i ij
i ji i ji j ij i ji j ijr f r f r f r f r f
y usamos fji = - fij, acción y reacción para rescribir la última
1
2 ij
i j jir r f
que se anula por ser producto vectorial de vectores paralelos pues fji tiene la dirección
del vector que une ambos puntos. Retomando,
e
i i
d
dt e e
i i i
Lr f m M
ed
dt
LM , (8.2)
el momento de las fuerzas exteriores.
Resultado 1: En ausencia de momento de fuerzas exteriores, el momento
angular de un sistema de partículas se conserva.
Resultado 2: Si hay momentos de fuerzas exteriores actuantes sobre el sistema,
la ley dinámica es (8.2): la derivada temporal del momento angular del sistema iguala al
momento de las fuerzas exteriores actuantes sobre el mismo.
Hay otro modo de llegar al resultado 1 de la conservación del momento angular, que
interesa para posteriores desarrollos.
Vimos el teorema de conservación del momento lineal para un sistema de partículas,
para el que se pedía que el espacio fuera homogéneo, con el significado de que todos los
puntos del espacio tuvieran iguales propiedades mecánicas, lo que permitía afirmar que
un desplazamiento del sistema como un todo no cambiaría la evolución del mismo, o
equivalentemente no cambiaría el Lagrangiano. Algo completamente análogo lleva a
demostrar la conservación del momento angular, para el cual debe pedirse que el
espacio sea isótropo, o que todas las direcciones (y no los puntos) son equivalentes, de
modo que el Lagrangiano no cambia ante una rotación del sistema en su conjunto. Para
demostrar el teorema comencemos viendo como se expresa matemáticamente la
rotación.
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Vector diferencial de rotación
Sea el vector r que a consecuencia de una rotación pequeña δφ alrededor del eje
que señala la figura se convierte en r+δr, donde el modulo de δr es
.sin .r r
,
aproximando la secante por el arco. Cómo se ve, el miembro derecho tiene la forma del
módulo de un producto vectorial que aprovecharemos para representar al diferencial de
rotación por un vector que tenga la dirección del eje de rotación, el sentido
correspondiente a la regla de la mano derecha y módulo δφ. Entonces,
xδr δφ r (8.3).
Teorema de conservación del momento angular de un sistema de partículas
H) El espacio es isótropo
T) El momento angular de un sistema de partículas se conserva.
D) Si el espacio es isótropo, el Lagrangiano del sistema de partículas no cambia ante
una rotación del sistema en su conjunto. En particular no cambia ante una rotación
diferencial (usamos L acá para el lagrangiano pues reservamos L para momento
angular):
δr r+δr
r θ
δφ
δφ
eje instantáneo de rotacion de r
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0i
i i
i i
r rr r
L LL
Pero al tratarse de una rotación del sistema en su conjunto
xi ir r , y similarmente xi ir r
además
i
i
pr
L por definición de momento conjugado
y
i
i
pr
L
por la ecuación de Lagrange.
Reemplazando todo en la sumatoria y usando permutaciones cíclicas (que no alteran el
producto mixto A.(BxC)=B.(CxA)=C.(AxB)) para poner δφ adelante y sacarlo de la
sumatoria, resulta
0i
i i i ir p r p
Dada la arbitrariedad de δφ, debe anularse la sumatoria, donde se nota la derivada
temporal de un producto, resultando
0i i
d d d
dt dt dt i i i
Lr p l
o
L cte QQD.
El cuerpo rígido como sistema de puntos
El cuerpo rígido puede ser considerado como un sistema de masas puntuales con las
condiciones de vínculo adecuadas, que son las que representan la constancia de las
distancias entre dos partículas i y j cualesquiera del sólido,
0ijcte i jr r .
Ahora podemos preguntarnos cuántos grados de libertad, o equivalentemente cuantas
coordenadas independientes, se requieren para describir (determinar) la posición de un
cuerpo rígido en el espacio. Para contestarla debemos contar cuántas ecuaciones como
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la última, independientes unas de otras, pueden escribirse. Restando ese número de 3N
obtendremos el número de grados de libertad buscado... (pensarlo).
Alternativamente, podemos pensar que 3 coordenadas determinan la posición de un
punto A del cuerpo, 2 ángulos alcanzan para definir en qué dirección está orientado un
segundo punto B.
Fijados así A y B el cuerpo solo puede rotar alrededor de la recta que une esos puntos.
Otro ángulo, entonces, alcanza para fijar un tercer punto C que no pertenezca a esa
recta, y ya está: con tres puntos no colineares fijos, el cuerpo está también fijo. Se
requieren entonces 6 coordenadas, en el caso descripto 3 distancias y 3 ángulos.
Alternativamente, sobre esta misma idea, podemos pensar: la posición de 3 puntos no
alineados (9 coordenadas) determina la posición y orientación del cuerpo. Pero esas
nueve coordenadas están relacionadas por 3 ecuaciones de vínculo como la última, las 3
distancias entre los tres puntos. Ergo 6 grados de libertad.
Velocidad angular
Llamemos R al vector posición de un punto elegido del cuerpo, y ai los vectores
posición de los puntos materiales que componen el cuerpo respecto del punto elegido.
Así,
R
ai ri
ZA
X
Z
XA
Y
2
1
YA
B
A
C
θ
φ
3
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ri = R + ai
y la velocidad de un punto cualquiera
d dd
dt dt dt i i
i
r aRv
pero los ai, por ser posiciones relativas de puntos del sólido tienen módulo constante de
modo que el dai es resultado de una rotación infinitesimal,
x
d d
xdt dt dt
ii i
dφ aR Rv ω a (8.4)
donde ω == dφ/dt, es la velocidad angular instantánea del cuerpo.
Nos preguntamos si ω depende de la elección del punto R. Para contestar tomemos otro
punto de referencia R', posicionado un A respecto de R. De modo que el mismo vector
ri podrá escribirse
' 'i ir R a
y su velocidad
R'
ai' ri
R
A
ai
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d
xdt
'
' 'i i
Rv ω a
Si reescribo el segundo miembro en términos referidos a R,( 'R R A y 'i ia a A )
resulta
( )
' d
xdt
i i
R Av ω a A
como A tiene modulo constante
' ' d
x xdt
i i
Rv ω A ω a A
entonces
' d
xdt
i i
Rv ω a
que iguala a la primera expresión de vi (8.4) solo si ω=ω'. El significado de éste
resultado es que la velocidad angular con que rota un cuerpo en el espacio es
independiente de la descripción que se haga de su movimiento, es única y consiste en la
velocidad con que cambia su orientación (o tal vez más claro es decir la orientación de
una terna de ejes fija al cuerpo) respecto de una terna inercial.
El Tensor de Inercia
La dinámica de la rotación está contenida en la ecuación dL/dt = M, que es el
equivalente a Newton dp/dt = f para las rotaciones, y se deriva naturalmente de esta
última.
Dado que en un cuerpo rígido las velocidades de los puntos materiales que lo forman, y
que intervienen en el cálculo de L, están relacionadas con la velocidad angular w, será
deseable escribir a L en función de w. Allí aparecerá el tensor de inercia.
Consideremos un sólido con un punto fijo (para concentrarnos en los movimientos de
rotación), que tomaremos como origen de coordenadas. Partimos de la definición
i
i i
m i i i iL r p r v
y considerando que los ri, son de módulo constante pues son vectores posición entre
dos puntos del cuerpo, las velocidades serán solo por efecto de rotación. Asi
ii
m i iL r w r .
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Usamos ahora la identidad vectorial Ax(BxC)= B(A.C) - C(A.B), para llegar a
2 .i ii
m r i iL w r w r
Entenderemos mejor la expresión si escribimos separadamente cada componente,
2 .x i x i ii
L m w r x iw r
2 2x i i i x i i i y i i i z
i i i
L m r x w m x y w m x z w
y, similarmente
2 2y i i i x i i i y i i i z
i i i
L m y x w m r y w m y z w
2 2z i i i x i i i y i i i z
i i i
L m z x w m z y w m r z w
Así escrito se reconoce al vector L, como resultado de multiplicar una matriz por el
vector w. La matriz es
2 2
2 2
2 2
i i i i i i i i ii i i
i i i i i i i i ii i i
i i i i i i i i ii i i
m r x m x y m x z
m y x m r y m y z
m z x m z y m r z
I
y se la denomina tensor de inercia (a una matriz se la llama tensor por la independencia
de un escalar asociado al mismo --en este caso la energía cinética-- del sistema de
coordenadas en el cual se lo represente. Se diferencian así del mismo modo que una
terna de números reales y un vector en el espacio tridimensional. El escalar asociado a
los vectores es el producto interno, que es también independiente de la representación
de los vectores).
Los elementos diagonales del tensor se denominan momentos de inercia y a los no
diagonales --a veces-- productos de inercia. Como se ve por la simetría de estos últimos
respecto de la diagonal, el tensor de inercia se representa por una matriz simétrica.
El elemento j,k de la matriz que representa el tensor de inercia puede escribirse en
general
2jk i jk i ij ik
i
I m r r r
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donde el subíndice i identifica la partícula, y ri1= xi, ri2= yi, ri3= zi, y ri es el módulo de
ri.
Si la distribución de masas fuese continua, y caracterizada, entonces por una densidad
ρ(r), el elemento general j,k es
3
2jk jk j kI d r r r r r
integrado sobre el volumen del cuerpo. Ejemplo: rígido elemental
El cuerpo rígido elemental está constituido por dos masas a una distancia fija 2b.
Supongamos que están unidas por una barra de masa despreciable y analicemos su
rotación alrededor de una dirección fija arbitraria que hacemos coincidir con el eje z de
una terna fija en el espacio.
Es decir, podemos suponer la barra soldada a un eje, formando un ángulo θ con
el mismo, que se mantiene en la dirección z mediante un par de bujes que le permiten
girar. Vamos a calcular el vector momento angular de dicho movimiento.
Usamos
L I w , y como w tiene solo componente z distinta de cero, w = (0,0,w),
2, , 2 sin cos cos , sin cos ,sinxz z yz z zz zI w I w I w mb w L
x
y z
ω θ
φ
b
L
M
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Observamos:
i) que el vector L proyecta en el plano x,y en la misma dirección que proyecta la barra
(cos φ, sin φ), es decir está en el plano que contiene a la barra y al eje z.
ii) Las componentes en dicho plano, perpendicular y paralelo a z, van como (-cos θ, sin
θ) --hemos factoreado sin θ fuera del vector--, es decir perpendicular a la barra cuya
dirección en la parte positiva de z la da el versor (sin θ , cos θ).
iii) Mientras que la componente z de L se mantiene constante durante el movimiento,
las componentes x e y cambian dado que φ=w.t. Es decir, el vector L describe un cono
alrededor de z y perpendicular a la barra durante el movimiento
iv) Si Lx y Ly varían en el tiempo, habrá cuplas (M=dL/dt) con esas mismas
componentes responsables de dicha variación. Las cuplas se verían materializadas en
nuestro esquema por las reacciones de los bujes sobre el eje para que éste mantenga su
dirección. El vector momento de las fuerzas M, se obtiene derivando L,
2 22 sin sin cos , cos cos ,0w mb wt wt M
M está entonces en el plano (x,y) y es normal al plano que contiene a la barra, el eje z y
L.
Otros comentarios:
Esta clase de fuerzas o momentos que aparecen como resultado del movimiento --no
están si el cuerpo está en reposo-- se denominan reacciones dinámicas.
L no está en la dirección de w, y como se intuye, esto se debe a que w no está en un eje
de simetría del cuerpo. Eso les pasa a las ruedas de autos desbalanceadas, por no estar la
masa repartida simétricamente alrededor del eje, tienen un L que no está en dirección de
w lo cual además de provocar un temblor en el andar, produce un desgaste adicional
sobre los bujes por la reacción dinámica que genera. Los plomos que se agregan en el
balanceo tienen el propósito de alinear el L con el w (!!).
Ejes principales
Vimos al tratar nuestro rígido elemental que rotando alrededor del eje arbitrario
que se eligió, resultó un vector momento angular que rotaba con el rígido, indicando la
existencia de unos momentos de fuerza actuando para sostener ese dL/dt, ese
movimiento. De nuestra experiencia sabemos que si lo hiciésemos girar alrededor de un
eje perpendicular a la barra y que pasa por su punto medio, no haría falta sostener al eje
con bujes para evitar que se tuerza (estamos pensando en el movimiento en el espacio
libre de gravedad). Ese eje es, por asi decirlo, un eje natural, y matemáticamente esto se
expresa en que el vector L está alineado con w, entonces L no gira, entonces no hay
dL/dt, no requiere momentos aplicados para sostener el movimiento.
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Cada cuerpo, veremos, tiene 3 de estos ejes, ortogonales entre sí, llamados ejes
principales, cuya definición es: puesto a rotar el cuerpo alrededor de un eje principal, el
momento angular L apunta en la misma dirección, es colinear, con w.
Obtención de los ejes principales
De acuerdo a la definición dada, la dirección de un eje principal es la dirección
de un w que cumpla
L = I . w donde I es un escalar o, en representación matricial, un escalar por la matriz identidad.
Además, siempre vale
L = I w
de modo que para w en la dirección de un eje principal vale
I w = I . w o (I -I) w = 0
donde se reconoce una ecuación de autovectores y autovalores, que expresa
sintéticamente las siguientes 3 ecuaciones para las componentes de w
(Ixx-I) wx + Ixy wy + Ixz wz = 0 Iyx wx + (Iyy-I)wy + Iyz wz = 0 Izy wx + Iyz wy + (Izz-I)wz = 0 Tratándose de un sistema lineal homogéneo, la existencia de soluciones no triviales
(wx=wy=wz=0) requiere de la anulación del determinante de la matriz de los coeficientes
(la matriz Ijk-I). Al escribir el determinante igual a 0 resulta una ecuación de 3er grado
en I igualada a 0, y de allí tres raíces para I: I1, I2, I3, que son los autovalores de la
ecuación. Reemplazado en el sistema I por I1 se obtiene una solución para w, el
autovector, que llamaremos w1; reemplazando por I2 se obtiene w2, y por I3, w3. Debe
notarse que la simetría de la matriz de los coeficientes quita independencia a las
ecuaciones por lo que las soluciones wi no son vectores completos sino direcciones (por
ejemplo (w1x , w2x /w1x , w3x /w1x)). No podía ser de otro modo, siendo que las
ecuaciones expresan nuestra pregunta: en qué dirección, puesto a rotar un cuerpo resulta
L colinear con w?
Simetría y ejes principales
Si un cuerpo presenta un eje de simetría (cilíndrica) dicho eje es un eje principal.
En efecto, supongamos que la dirección de eje de simetría es la e3. Entonces, la
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distribución de masas a lo largo de los ejes e1 y e2, que son normales a e3, es simétrica
respecto del 0; los productos de inercia
1 3i i i
i
m x x y 2 3i i ii
m x x ,
donde x1i es la coordenada de la masa i sobre el eje 1, ídem con 2 y 3, se anulan pues la
misma masa aparece en x1 y en -x1 por ejemplo. Los ejes 1 y 2 son como se dijo,
perpendiculares al 3, perpendiculares entre sí, y pasan por el centro de masas del
cuerpo.
Por motivos análogos, cada plano de simetría define un eje principal normal al
plano y que pasa por el centro de masas.
Resolución del problema del rígido simple en ejes principales
Por consideraciones de simetría un eje principal es la recta que une las dos
masas (dirección 3) y los otros dos son cualquier par de rectas perpendiculares a la
dirección 3, perpendiculares entre sí, y que pasan por el centro de masas (direcciones 1
y 2). Los momentos de inercia correspondientes son
I1 = I2 = 2mb2 , I3 = 0 .
3
z
1
2
ω
θ
L
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Dada la libertad para elegir las direcciones 1 y 2, tomamos por ejemplo la 2 en el
plano definido por la 3 y w, de modo que
0, .sin cosw w w
y
1 1 2 2 3 3 2, , 0, . .sin ,0I w I w I w I w L ,
mostrando que el tratamiento es correcto, pues L dio, igual que antes, perpendicular al
"cuerpo" y en el plano que contiene la barra y w. L es, en este referencial, constante y
plantea el problema de cómo comparar con el dL /dt que resultó en el tratamiento
anterior, y que daba cuenta de las reacciones de vínculo.
Por supuesto, la derivada temporal del momento que aparece en la ecuación
dinámica supone que el momento se "observa" (expresa) desde (en) un referencial
inercial. También está claro que el referencial de ejes principales, que está fijo al cuerpo
en rotación no es un referencial inercial. Para hacer la derivada temporal de el último L
obtenido, debemos escribirlo
2 sin I w 2L e
donde e2 es el versor en la dirección 2, que se mueve respecto a un referencial fijo en el
espacio. Luego
2 sindd
I wdt dt
2eLM
2 sinI w x 2w e
2 3sin I w w 1e
2 22 sin cos mb w 1e
que tiene el mismo valor y dirección hallados anteriormente. Si se quisiera tener la
dependencia temporal de M, basta con expresar e1 en el referencial (x,y,z).
La ecuación de Euler y sus consecuencias
Lo hecho arriba es un caso particular de una expresión general debida a Euler
que relaciona la derivada temporal de un vector en referencial rotante, con la
correspondiente en referencial inercial: Escribiendo el vector en el referencial rotante
1 2 3A A A 1 2 3A e e e
resulta
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31 21 2 3
in
dA ddA d dA ddA A A
dt dt dt dt dt dt dt 31 2
1 2 3
ee eAe e e
o, haciendo uso de que los versores solo rotan,
31 21 2 3
in
dAdA dAdA A A
dt dt dt dt 1 1 2 2 3 3
Ae w e e w e e w e
y, reordenando,
31 21 2 3
in
dAdA dAdA A A
dt dt dt dt 1 2 3 1 2 3
Ae e e w e w e w e
o, abreviadamente.
in r
d d
dt dt
A Aw A
que se conoce como ecuación de Euler. Haremos algunas aplicaciones de la misma
Movimiento general de un trompo en ausencia de fuerzas y momentos
Consideraremos el movimiento de un cuerpo en el espacio libre de fuerzas.
Además de una posible traslación del c.de m. con movimiento uniforme y rectilíneo,
que es irrelevante, los movimientos de rotación se obtienen de aplicar la ecuación de
Euler al vector L. En ausencia de momentos de fuerzas el miembro de la izquierda es
cero, y el de la derecha se escribe, en ejes principales,
1 1 2 3 2 3I w I I w w
2 2 3 1 3 1I w I I w w
3 3 1 2 1 2I w I I w w
Estas ecuaciones se integran completamente resultando w(t) dadas las
condiciones iniciales. El resultado general involucra funciones elípticas, pero si el
cuerpo tiene un eje de simetría (es un trompo) la solución es sencilla e interpretable. Sea
el eje de simetría el eje 3, luego I1=I2, que se usa para eliminar I2 y el sistema queda
1 1 1 3 2 3I w I I w w
2 2 1 3 3 1I w I I w w
3 3 0I w
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De la ultima w3=cte y las dos primeras pueden escribirse
1 2w w (a)
2 1w w (b)
con 1 3
3
1
I Iw
I
(c)
Derivando ahora la primera (a) y reemplazando en la segunda (b), resulta
21 1w w
que es armónica, de solución
1 sinw w t
y, derivando la ultima y usando (b)
2 cosw w t
Las últimas dos significan que el vector w, rota alrededor del eje e3 con una velocidad
angular (llamada de precesión) Ω, de magnitud relativa a w3 igual a la diferencia
relativa entre los dos momentos principales (ver expresión c) I3 e I1. Casos extremos son
la esfera, con todos los I's iguales, para la que no hay precesión; y nuestro rígido
elemental, con I3=0, de modo que la precesión es igual a w3.
Mecánica en un referencial rotante Nos preguntamos cómo describe la dinámica de un punto material un observador
que está en una calesita (nosotros sobre la tierra) que gira con velocidad angular Ω. La
descripción desde un referencial inercial, es la de Newton
i
m mr F ia
que en nuestro cuidadoso lenguaje cuando tratamos con referenciales que rotan (que
aceleran en general) debe leerse: el producto masa por aceleración vista desde un
referencial inercial es igual a la fuerza actuante sobre el cuerpo. Usemos ahora las
transformaciones de Euler para vincular las derivadas temporales entre ambos
referenciales, el inercial y el rotante, que suponemos comparten el origen. Derivamos
primero el vector posición para obtener la relación entre las velocidades en ambos
referenciales.
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i r
d dx
dt dt
i
r rv Ω r
o
x i rv v Ω r
donde vr es dr/dt)r , la velocidad de la partícula observada en el referencial rotante.
Ahora la aceleración,
i r
dd
dt dt
rii r
v Ω rva Ω v Ω r
que, suponiendo Ω constante, es
i r r ra a Ω v Ω v Ω Ω r
o, reacomodando, multiplicando por la masa, y usando Newton resulta
2 m F m m r ra Ω v Ω Ω r
que dice que el observador en el referencial rotante ve al cuerpo moviéndose con una
aceleración que se corresponde, si quisiera usar la fórmula de Newton olvidándose de la
inercialidad de su referencial, con una "fuerza" igual a la fuerza real F, de interacción,
modificada por dos términos, que en este esquema llamamos fuerzas de origen inercial,
o fuerzas ficticias, que son la fuerza de Coriolis el primero,
2 m *cor rF Ω v
y la fuerza centrífuga el 2do.
m *cF Ω Ω r
Péndulo de Foucault
El péndulo de Foucault consiste en una masa grande (para que la inercia haga
durar el movimiento pese a los rozamientos presentes) pendiendo de una cuerda larga
(para que en pequeños ángulos de oscilación pueda considerarse el movimiento en el
plano (x,y) y prescindir de la dirección z.
Las ecuaciones para las componentes en el "plano" terrestre (tangente a la
superficie terrestre) son aprox
Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos,
para quienes las publico. Adrián Faigón. afaigon@fi.uba.ar v. 27-3-2013
0mx kx y 0my ky
con solución armónica que escribiremos en el plano complejo
cosx iy X iY wt , 2 kw
m
La fuerza de Coriolis, para predecir lo que veremos desde nuestro referencial (rotante),
F = -2m.Ω x v, tiene componentes
2Cx zF m y y 2Cy zF m x
que agregadas a las ecuaciones de movimiento resultan en 2 0zmx m y kx
y
2 0zmy m x ky
Multiplicamos la segunda por i y sumamos para obtener
2 0zm x iy m ix y k x iy
que tras el cambio de variable u=x+iy, se escribe 2 0zmu m iu ku
Proponemos para u una solución
istu Ae que reemplazada en la ecuación, resulta
1
2 2 2z z zs w w
donde la aproximación considera que la frecuencia de oscilación del péndulo w, es
mucho mayor que la de rotación terrestre Ω. Es decir, que la solución general es
1 2( ) zi t iwt iwtu t e Ae A e
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Como para Ω=0 esto debe reproducir la solución sin rotación (A1 = A2 = 1/2 (X+iY))
siendo X e Y las amplitudes de la oscilación en cada dirección, la solución anterior se
lee
( ) ( ) coszi tx t iy t e X iY wt
es decir la solución sin rotar que vista desde el referencial rotante rota con velocidad
angular -Ωz.
La formulación Lagrangiana de la dinámica de la rotación Energía cinética Calculemos la energía cinética de un cuerpo en rotación. Por definición
2 .2 2i i
ii i
m mT i iv V w a V w a
2 . .2 2i i
ii i i
m mV m r
i i iV v w a w a
donde notamos ai la posición de la partícula i respecto de un punto del cuerpo R, que se
mueve con velocidad V. La velocidad de la partícula respecto del punto R es vri = w x
ai . El término del medio en la sumatoria se anula si R es el centro de masas del cuerpo.
Con esa elección, entonces, la energía cinética puede descomponerse en energía cinética
de traslación (1er término) y energía cinética de rotación (3er término). Ocupémonos
del término de rotación. Hacemos uso de la identidad vectorial relativa al producto
mixto A.BxC = B.CxA, para escribirlo en forma
1. . .
2 2 2i i
rot ii i i
m mT x x x x m r r
i i i i i iw a w a w a v w a v
1 1 1. . .
2 2 2i
i i
x m ri i iw a v w l w L
donde L es, entonces el momento angular del cuerpo respecto de su centro de masas, o
momento intrínseco. Equivalentemente,
1
.2
rotT w Iw
es decir, en las componentes de w,
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1. ... . ...
2rot x xx x xy y xz z y yx x zT w I w I w I w w I w w
En ejes principales la expresión se simplifica a
2 2 21 1 2 2 3 3
1
2rotT I w I w I w
El resultado completo es
2 2 2 21 1 2 2 3 3
1 1
2 2trasl rot CMT T T MV I w I w I w
insistiendo una vez más en que V es Vcm y los I son los momentos respecto de los ejes
principales que pasan por el centro de masas.
Energía potencial
Por definición dV = -F.dr , si las fuerzas son conservativas. Descomponemos dr
para escribir, para un cuerpo en rotación
i i i
dV
i i i i iF . dR dφ a F .dR dφ. a F
donde se aplicó al segundo término la identidad vectorial relativa al producto mixto.
Ejecutando ahora las sumatorias, se obtiene
dV F . dR M . dφ
es decir, una contribución debida a la traslación más otra debida a la rotación del
cuerpo.
Las ecuaciones de Lagrange De la última expresión para la energía potencial, se derivan
i
i
VF
R
y i
i
VM
donde los i son acá x, y ,z. A la vez, de las expresiones obtenidas para la energía
cinética, es fácil ver que
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i
i
TP
V
y i
i
TL
w
de modo que reemplazandoVi por iR , y wi por iφ , y considerando el Lagrangiano de
las seis coordenadas y sus velocidades
, , ,i i i iR R T V L ,
las ecuaciones de la dinámica de traslación y rotación,
i iP F y i iL M ,
admiten la forma sintética
0i i
d
dt R R
L L
para los 3 Ri
y
0i i
d
dt
L L para los 3 φi
es decir,
0i i
d
dt q q
L L i=1 a 6
las ecuaciones de Lagrange para las 6 coordenadas generalizadas que describen al
cuerpo rígido.
Ejemplo. El péndulo físico. Consideremos un cuerpo con un punto fijo a un eje horizontal que tendrá la
dirección φ del ángulo de rotación, a una distancia R del centro de masas.
Su Lagrangiano se escribe
,i i tr rotT T V L
La energía potencial se escribe V= Mgz, donde z es la altura del centro de masas, luego
si medimos φ a partir de la posición de equilibrio, será
Estas son mis notas para las clases del curso Mecánica Racional (62.11) en la Facultad de Ingeniería-UBA. Están aún en proceso de ser completadas, no tienen carácter de texto acabado, por el contrario seguramente contienen errores y cosas para mejorar, que agradeceré me sean indicadas por los alumnos,
para quienes las publico. Adrián Faigón. afaigon@fi.uba.ar v. 27-3-2013
1
2 22 1cos 1 sin 1
2z R R R
para pequeños ángulos. Descartando las constantes aditivas en el potencial,
2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3
1 1 1
2 2 2M R I I I Mg R L
escribiendo las componentes de φ en función de los ángulos αi que forman el eje de
rotación, o φ con los ejes principales del cuerpo, resulta
2 2 2 2 2 21 1 2 2 3 3
1 1cos cos cos
2 2MR I I I Mg R
L
Es decir, el Lagrangiano queda en función del módulo del ángulo φ y de su velocidad
φ . Reconociendo en el corchete el momento de inercia del cuerpo I respecto al eje --
ahí están los distintos momentos "proyectados", y el término de Steiner sumados--,
resulta
2 21 1
2 2I Mg R L
que corresponde a una oscilación armónica de frecuencia angular
12MgR
I
que se reduce a ω= (g/R)
1/2 correspondiente al péndulo ideal, cuando los I1, I2, I3 sean 0,
es decir I =MR2, que representa el caso del punto material. Dicho caso conduce a la
frecuencia máxima puesto que cualquier otro da un momento de inercia mayor, de modo
que un péndulo real siempre oscila con frecuencia inferior al péndulo ideal que tiene
toda la masa concentrada en el centro de masa.