Post on 20-Mar-2021
La dimensione in geometria
Emanuele Paolini
Universita di Firenze → Pisa
Piombino, 18 novembre 2016
Problemi di scala
ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?
Similitudine / riscalamento
A
B
C
ca
b
O
A′
B′
C′
c′
a′
b′
a′ = qa, b′ = qb, c′ = qc
Riscalamento di un cilindro
ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?
v = π
(d2
)2
h =π
4d2h.
Vv
=π4 D2Hπ4 d2h
=π4 (qd)2(qh)
π4 d2h
= q3 = 8
Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.
Riscalamento di un cilindro
ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?
v = π
(d2
)2
h =π
4d2h.
Vv
=π4 D2Hπ4 d2h
=π4 (qd)2(qh)
π4 d2h
= q3 = 8
Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.
Riscalamento di un cilindro
ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?
v = π
(d2
)2
h =π
4d2h.
Vv
=π4 D2Hπ4 d2h
=π4 (qd)2(qh)
π4 d2h
= q3 = 8
Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.
Riscalamento di un cilindro
ProblemaLe “tuberine” vengono normalmente confezionate in un cilindrodi altezza 18cm e diametro 9cm. Una confezione contiene 50gdi patatine. Se le patatine venissero confezionate in un cilindrodi dimensioni doppie, quanti grammi di patatine ciaspetteremmo di trovare?
v = π
(d2
)2
h =π
4d2h.
Vv
=π4 D2Hπ4 d2h
=π4 (qd)2(qh)
π4 d2h
= q3 = 8
Peso delle patatine nel cilindro grande: 8 · 50g = 400g.
Riscalamento di altri solidi geometrici
• cubo: v = ℓ3
Vv
=(qℓ)3
ℓ3 =q3ℓ3
ℓ3 = q3,
• parallelepipedo: v = abc
Vv
=(qa)(qb)(qc)
abc= q3,
• sfera v = 43πr3
Vv
=43(qr)3
43 r3
= q3.
Definizione di volume
v(B) = Nℓ3
v(qB) = N(qℓ)3 = Nq3ℓ3 = q3v(B)
Dimensione di una misura
m(qF ) = qdm(F ).
• lunghezza: d = 1• area: d = 2• volume: d = 3
Bottiglia
ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?
J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =
3√
4.
Hh
=qhh
= q =3√
4 ≈ 1,59
Bottiglia
ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?
J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =
3√
4.
Hh
=qhh
= q =3√
4 ≈ 1,59
Bottiglia
ProblemaUna normale bottiglia di vino ha una capacita di 3/4 di litro.Una bottiglia di tipo Jeroboam contiene invece 3 litri. Quanto eil rapporto tra le altezze delle due bottiglie?
J = qB ⇒ 3ℓ = v(J) = q3 · v(B) = q3 · 34ℓ ⇒ q =
3√
4.
Hh
=qhh
= q =3√
4 ≈ 1,59
Esercizi
ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Sapendo che il circuito reale e lungo5793 m, quanto sara lungo il circuito disegnato da Daniele?
11000
· 5793m = 5,793m
Esercizi
ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Sapendo che il circuito reale e lungo5793 m, quanto sara lungo il circuito disegnato da Daniele?
11000
· 5793m = 5,793m
Esercizi
ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Contando le piastrelle Daniele hadeterminato che l’area racchiusa dal circuito in scala e circa1,2 m2. Quanti metri quadri racchiude il vero circuito?
10002 · 1,2 m2 = 1.200.000 m2
Esercizi
ProblemaDaniele ha disegnato il circuito di Monza in scala 1:1000 sulpavimento della terrazza. Contando le piastrelle Daniele hadeterminato che l’area racchiusa dal circuito in scala e circa1,2 m2. Quanti metri quadri racchiude il vero circuito?
10002 · 1,2 m2 = 1.200.000 m2
Esercizi
ProblemaLe macchinine che Daniele usa per giocare sono invece inscala 1 : 50. Se per dipingere la macchinina Daniele utilizza 1tubetto di vernice rossa, quanti tubetti gli sarebbero necessariper dipingere la macchina vera?
502 · 1 = 2500.
Omino di cera
ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?
V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1
3√
80
h = q · H =1.90 m
3√
80≈ 0,44 m
Omino di cera
ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?
V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1
3√
80
h = q · H =1.90 m
3√
80≈ 0,44 m
Omino di cera
ProblemaUsando un litro di cera modello un omino che raffigura mestesso. Quanto verra alto l’omino?
V = 80ℓ = 80v = v/q3 ⇒ q =1
3√
80
h = q · H =1.90 m
3√
80≈ 0,44 m
Formato ISO 216
ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.
q2a = 2a, q =√
2.
1m2 = 24 · a = 24 · x ·√
2x = 16 ·√
2 · x2
x =1√
16√
2m =
14 4√
2m
x = 0,2102 m = 21,02 cm√
2 · x = 29,73 cm.
Formato ISO 216
ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.
q2a = 2a, q =√
2.
1m2 = 24 · a = 24 · x ·√
2x = 16 ·√
2 · x2
x =1√
16√
2m =
14 4√
2m
x = 0,2102 m = 21,02 cm√
2 · x = 29,73 cm.
Formato ISO 216
ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.
q2a = 2a, q =√
2.
1m2 = 24 · a = 24 · x ·√
2x = 16 ·√
2 · x2
x =1√
16√
2m =
14 4√
2m
x = 0,2102 m = 21,02 cm√
2 · x = 29,73 cm.
Formato ISO 216
ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.
q2a = 2a, q =√
2.
1m2 = 24 · a = 24 · x ·√
2x = 16 ·√
2 · x2
x =1√
16√
2m =
14 4√
2m
x = 0,2102 m = 21,02 cm√
2 · x = 29,73 cm.
Formato ISO 216
ProblemaQual e il rapporto tra le lunghezze dei due lati di un foglio A4?Sapendo che il formato A0 ha un’area di 1 metro quadro,calcolare le lunghezze dei due lati di un foglio di formato A4.
q2a = 2a, q =√
2.
1m2 = 24 · a = 24 · x ·√
2x = 16 ·√
2 · x2
x =1√
16√
2m =
14 4√
2m
x = 0,2102 m = 21,02 cm√
2 · x = 29,73 cm.
misura 0-dimensionale
ProblemaLa macchinina di formula uno di Daniele e in scala 1 : 50.Sapendo che la macchinina vera ha quattro ruote, quante ruoteha la macchinina in scala?
m(qX ) = q0m(X ) = m(X )
misura 0-dimensionale
ProblemaLa macchinina di formula uno di Daniele e in scala 1 : 50.Sapendo che la macchinina vera ha quattro ruote, quante ruoteha la macchinina in scala?
m(qX ) = q0m(X ) = m(X )
Il teorema di Pitagora
Il teorema di Pitagora
Teorema di Pitagora
a b
c
(ac
)2A+
(bc
)2
A = A
a2 + b2 = c2.
Teorema di Pitagora
a b
c
(ac
)2A+
(bc
)2
A = A
a2 + b2 = c2.
figure autosimilari
R1 R2
R3 R4
R
m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).
1 =42d , d = 2
C=cubom(C) = 8m(C/2) =
82d m(C)
figure autosimilari
R1 R2
R3 R4
R
m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).
1 =42d , d = 2
C=cubom(C) = 8m(C/2) =
82d m(C)
figure autosimilari
R1 R2
R3 R4
R
m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).
1 =42d , d = 2
C=cubom(C) = 8m(C/2) =
82d m(C)
figure autosimilari
R1 R2
R3 R4
R
m(R) = m(R1)+m(R2)+m(R3)+m(R4) = 4m(R/2) =42d m(R).
1 =42d , d = 2
C=cubom(C) = 8m(C/2) =
82d m(C)
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
La cuva di Koch
m(K ) = 4m(K/3) =43d m(K )
1 =43d , d = log3 4 ≈ 1,26.
Fiocco di neve di Koch
Frattali autosimilari
(a) triangolo di Sierpinskid = log2 3
(b) tappeto di Sier-pinski d = log3 8
(c) spugna di Mengerd = log3 20
(d) antenna frattale d = 2
Frattali in natura