Post on 30-Jul-2022
LAFORMADELATIERRA.-(Podemosconocerlasoloconlaayudadelasmatemáticas?).
Voyademostrarenestetrabajoconlaúnicaayudadelamecánicaylasmatemáticas,quelaformaquetienelaTierraenlaactualidad,esexactamentelaquetendríanosiendouncuerporígidoorocoso,
debidoalarotaciónalredefordesueje.Loscuerposrígidosincapacesdedeformarse,nosufrencambiosensuformageométricacuandogiran.Sinembargoloscuerposlíquidosofluidos,asícomolosviscosos,cambiandeformadebidoafuerzasdeinercia,quenosoncontrarestadasporlarigidez.
Dividiremosesteescritoendospartes,enlaprimeradeellasnovanaaparecerfórmulasninadaporelestilo,ylopuedeleerquiensoloquieraunainformacióngeneralalestiloperiodístico.Enlasegunda,porsihayalguienquequieraprofundizar,demostraréloexpuestoenlaprimeraparteconalgunaqueotraecuación.
PRIMERAPARTE.-
AlafigurageométricaquetienenuestraTierralallamamosgeoide.Losmeridianosnosoncircunferencias.
LaprimeravezquequesecomprobóestafaltadeesfericidadfuéenelsigloXVIIIpormediodedosexpediciones,unahaciaLaponiayotrahaciaElPerú.Quienquierainformaciónsobreestopuedebuscarlaeninterneten“JorgeJuanylaexpediciónparamedirelarcodemeridiano”,oenescritossimilares.
Antesdeestasmedicioneshabíadosgruposenfrentados,unoqueseguíalaideadeDescartesyotroquecreiaenloquedecíaNewton.ElprimerodecíaquelaTierrateníaformadelimón,alargadaporlospolos,yNewtondefendíalocontrario,esdecir,queeraachatadaporlospolos.
Enlasegundaparteveremosquenohacefaltamontarningunaexpediciónyqueenunamesaconlapiz,papelyalosumounacalculadoradebolsillo,sepuedeobtenerconexactitudlafaltadeesfericidaddelaTierra,lacual,lapodemosdefinirpormediodeunnúmeroR,quesealarazónentrelosradiosyecuatorialradiopolar,R=Re/Rp.
SabemosquelaTierragirayquetardaundíaendarunavueltacompletaalrededordelejequepasaporlospolos.
Sabemosasimismoqueenuntiovivoparado,lascadenasdelasquecuelganloscolumpios,quesuelenestarenelbordeexteriorestánenposiciónvertical.Sieltiovivoseponeenmarchaygira,estascadenasseseparandelavertical.
SilaTierranogirase,laplomada,debidoalafuerzadelagravedadapuntaríaalcentrodelaTierra,peroaligualqueeneltiovivo,algirarlaTierra,laplomadatambiénsedesviadelamismaformayelcablequelasujeta“seabre”pordecirlodealgunaforma.AlserlavelocidadderotacióndeleTierramuchomenorqueladeltiovivo,elánguloformadoporlaplomadaylalíneaqueapuntahaciaelcentrodelaTierra,esmenorqueelqueformanlascadenasdeltiovivoconlavertical,perocomoveremosnoesdespreciable.
Contodoestonospodemospreguntar:¿EntoncessilaplomadanoapuntahaciaelcentrodelaTierra,losedificiosqueconellaseconstruyentampoco?.
Laplomadaesvertical,asícomolosedificiosqueconellacontruimos,yademássonperpendicularesalsuelo,queeshorizontal.Laexplicaciónapareceenlafigura1.Lasproporcionessehanexajeradoparafacilitarlacomprensión.Laverticalnoapuntahaciaelcentrodelatierra,exceptoenlospolosyenelecuador.
Figura1.-
Laverticalidaddeunedificiode60m.dealturaenDonosti,sedesviaenlabasedeledificio,delalineaquevahaciaelcentrodelatierraunos10cm.EnlabasedelatorreEiffelestedesvioesde51cm.Comohemosafirmadomásarriba,vemosqueestedesvíonoesdespreciable.
EnelcentrodelaTierra,ladireccióndelaplomadacolocadaenDonositiapasaa11km.delcentro.
Estedesviodelaplomadaesmáximoparaunalatitudde45º.
SEGUNDAPARTE.-
Vamosapasaralestudioteóricodeloquehemosdichohastaahora.
Antesharemosunpequeñoresumen,paranoperdernosentrefórmulasynúmeros.
EnprimerlugardemostraremosquelaplomadanoapuntaalcentrogeométricodelaTierra.
Acontinuacióndemostraremosqueesadesviacióndelaplomadaesmáximaparalalatitudde45º.
Viendoquelafiguradeunmeridianopuedeasemejarseaunaelipse,vamosaversiesposibleencontrarunaelipse,enlacualparaelángulode45º,laperpendicularalatangentealaelipseenesepuntoformaconelradiovector,elmismoánguloquehabremoscalculadoparalaplomada.
ObtendremosqueelvalorquetienequetenerResunodeterminado,ycomprobaremosqueeselmismoquerealmentesededucedelasmedicionesefectuadassobrelaformadelaTierra.
Acontinuaciónrealizaremosotranuevacomprobación,dequeenestaelipseladesviaciónmáximadelaperpendicularalatangentesedaenelpuntoenqueX=Y,esdecira45º.Conestasdos“coincidencias”podemosasegurarquelosmeridianossonelipses,enlasquelarelacionentrelosradiosmayorymenoreslaRcalculada.LaTierratienepueslaformadeunelipsoidederevolución.
Trasesteresumenvamosaponernosmanosalaobra.
Enlafigura2vemosunaplomadasuspendidadeuncablequegiraconlaTierraarazóndeunavueltaaldía.
Lasdosúnicasfuerzasqueactuansobreelpesodelaplomadason,laatracciónhaciaelcentrodelaTierraA,ylatensiónejercidaporelcableT.
ComolaplomadaestágirandoacompañandoalaTierraconunavelocidadangularW,lafuerzatotalsobreelpesoeslacentríepetaFc,dirigidahaciaelcentrodegirodevalorm·W2r.Ladireccióndelaplomadanoesladelradioterrestre,sinoqueestádesviadaelánguloa.ParaestablecerelequilibriodeestasfuerzasvamosaproyectarlassobrelosXeY.LasumadelosvectoresAyTeslafuezaFc,A+T=Fc(estaesunaecuaciónvectorial).
TeselpesodelcuerpoesdecirT=m·g,yLlalatitud.
ProyectandosobreXm·W2·r·senL=A·senaysobreelejeY,m·g+m·W2·r·cosL=A·cosa,obtenemosestasdosecuaciones,dividiendolaprimeraecuaciónentrelasegunda,
W2·r·senL/(g+W2·r·cosL)=tga.(1)
Ladeduccióndeestaecuaciónsepuedeencontrarencualquierlibrodetextodemecánica.Sinembargo,noocurrelomismoconloquevieneacontinuación.
Vamosamodificaralgoestaecuación.
Eneldenominadortenemosg+W2·r·cosL,W2·r·cosLtienecomovalormáximoW2·R·1,siendoRelradiomediodelaTierraR=6.360km.yW=2(pi)rad/86400seg.LuegoW2·R·cosLesmenorqueW2·R=0,0084quecomparadocong=9,82m/s2,esmásdemilvecesmenor.Podemospuesconunerrormuypequeñotomarcomovaloraproximadodeldenominadorelvalorg.
Deestaformalafórmula(1)quedareducidaalasiguiente:tg(a)=W2r·senL/g,peror=R·cosL,porlotantotga=W2·R·senL·cosL/g.Yutilizandolafórmuladelsenodelángulodoble,
tga=W2·R·sen2L/2·g(2)
Podemosyacalcularcuandoelángulo(a)dedesviaciónesmáximo,esdecircuandosuderivadarespectodelalatitudes0.dtga/dL=W2·R·2·cos2L/2·g=0,luegotienequesercos2L=0esdecir2L=90ºyL=45º.
Comohemosdichoenlaprimeraparte,demostramosahoraconesto,quelamáximadesviacióndelaplomadasedáparaunalatitudde45º.Estamosahoraencondicionesdecalcularcualesesteángulomáximodedesviaciónparaunalatitudde45º.Paraellocalculemostgasustituyendolosvaloresenlafórmula(2).W=2(pi)rad/86.400s.R=6.360km.yg=9,82m/seg2obtenemostga=0,00171.Paraunaplomadaoedificiode60m.eldesvioenelsueloserad=0,00171·60·100=10,27cm.EnDonosti,queestáa43ºdelatitud,estedesvíoesde10,24cm.
Vamosatratardeencontrarlaecuacióndelascurvasquesonlosmeridianos.Deestascurvassabemosvariascosas,quetantoenelecuadorcomoenlospolos,lalíneaperpendicularalarectatangentealacurvapasaporelcentrodelaTierra.Tambiensabemosquelaperpendicularalatangentealosmeridianosparaunalatitudde45ºformaconelradiodelaTierraunángulomáximo,ytambiénsabemossuvalor,tga=0,00171.
Veamossipodemosencontrarunaelipsequecumplaconloquesabemosqueocurreconlosmeridianos:1ºquelatangentealacurvaformaconelradiovectora45ºunánguloasiendotg(a)=0,00171y2ºqueesteánguloseamáximoenesemismopunto.
Enlafigura3hemosrepresentadolaelipse,cuyafaltadeesfericidadestamosbuscando,comoasimismohemostambienrepresentadosussemiejesAyByvariosángulos,(L)eslalatitud,(a)eldesviodelaperpendicularalarectatangentealaelipse,ybeselánguloqueformalatangentealaelipseconelejedeabscisas.
Figura3.-
Sabemosquetgb=dy/dx,queesnegativaaserlafuncióndecrecienteenesepunto.EnlafigurasepuedeobservarqueC+D=90º,alserCunánguloexterior,suvaloresigualalasumadelosdosinterioresnoadyacentesesdecirC=a+L,luegoa+L+D=90º.
Despejandoa=90-(D+L),Dybtienenelmismovalorabsoluto,peroDespositivo,esdecirtgD=-tgb
LlamemosaA/B=Rcoeficientedecircularidad,queeslarelaciónquetratamosdeencontrar,yqueparaunacircunferenciaesR=1.
LaecuacióndeunaelipsedesemiejesAyBes(X/A)2+(Y/B)2=1
Despejando,Y2=(A2·B2-B2·X2)/A2=B2-X2/R2.
DerivandorespectodeXobtenemos2Y·dY/dX=-2X/R2luego,tgb=dY/dX=-X/Y·R2ytgD=-tgb=X/Y·R2.
Lastangentesdedosánguloscomplementariossoninversas,esdecirtg(90-(D+L))=1/(tg(D+L).
Calculandoahoralatangentedelasumadeángulostg(D+L)=(tgD+tgL)/(1-tgD·tgL),luego,latangentedelánguloquebuscamostga=(1-tgD·tdL)/(tgD+tgL).(3)
SustituyendoenestaexpresiónlosvaloresdetgL=Y/XytgD=X/Y·R2,
tga=(1-1/R2)/(X/R2·Y+Y/X)(3),paraL=45º,esdecir,paraY=Xqueremosquetgasea0.00171,
0,00171=(1-1/R2)/(1+1/R2)=(R2-1)/(R2+1),0,00171R2+0,00171=R2-1,1,00171=0,99829R2deaquíobtenemosR=1,00171queeslarelaciónquetienenquetenerlosejesdelaelipse,paraqueladesviaciónseatga=0,00171paraL=45º.
Comparandoestevalorconelqueseobtienedelarelacióndelosejesterrestres,6.378km/6.356km=1,00346,vemosquesonpracticamenteiguales,ladiferenciaesmenordeundospormil,yhayquerecordarqueenelcaminohemoshechoalgunaaptoximacióndelordendelunopormilparasimplificarlasecuacionesyfacilitarsutratamiento.
LaformadelaTierraespuesladeunelipsoidederevoluciónylosmeridianossonelipses.
Paracorroboraraúnmáslacoincidenciadelelipsoideteòricoconelgeoideobtenidomediantemediciones,podemoscalcularparaquélatituddelelipsoidesedaelánguloamáxmo,esdecircuandoseanuladtga/dL=0.
Poniendoen(3)aenfuncióndeL,tga=(1-1/R2)/((1/R2tgL)+tgL),modificandoysimplificandotga=tgL(R2-1)/(R2tgL2+1).AhorayapodemosderivartgarespectodeL,yverparaquevalordeLestgamáximo,esdecircuandoseanulaestaderivada.
VamosallamarNalnumeradoryPaldenominadorparapodertrabajarmásfácil.dtga/dLesladerivadadeuncociente,quecomosabemosesigualaladerivadadelnumeradorporeldenominador,menoselnumeradorporladerivadadeldenominadorytodoellodivididoporelcuadradodeldenominador.Paraqueestaderivadavalga0tienequeser0eldividendo,esdecir(P·dN/dL)-(N·dP/L)=0,obien(P·dN/dL)=(N·dP/L),siendoN=tgL(R2+1)yP=R2tgL2+1
RecordemosdedtgL=1/cos2Lydtg2L=2senL/cos3L
P·dN/dl=(R2tg2L+1)(R2+1)/cos2LyN·dP/dL=tgL(R2+1)2R2senL/cos3L,(R2tg2L+1)(R2+1)/cos2L=tgL(R2+1)2R2senL/cos3L,simplificandoR2tg2L+1=2R2tg2L,R2tg2L=1
SustituyedoRporelvalorobtenidoanteriormentede1,00171,seobtienefinalmenteparaL=0,7845radianes,queequivalena45º.
EstacomprobacióndequelaformadelaTierraseaexactamentelaquedeberíatenersinofueseunsólidorígido,esdecirsifueseuncuerpoviscoso,nosdemuestraqueaunqueloscontinentessonrelativamenterígidos,asícomolosfondosdelosocéanos,elinteriordelaTierraestáformadopormaterialesdeformables.
Lasmatemáticasaplicadasalamecánica,nosolonoshanservidoparadescubrirlaformadelaTierra,(nosutamaño),sinotambiénparaconoceralgosobresuconsistenciainterior.
AnttondelCampo.