Post on 13-Apr-2017
UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA
Presentado por:
Javier Humberto Aguirre C
Profesor:
José Gilberto Vargas
Tema:
Problemas Matemáticos Sin Solución
Pereira Risaralda
LA MATEATICA COMO CIENCIA DEL FUTURO
La matemática es maravillosa en todos sus aspectos, todas las personas sin
importar el nivel de estudio que tenga, diariamente utiliza las matemáticas, ya sea
porque es su trabajo, porque estudia, por que escucha a alguien, o así sea por ir a
comprar algo en la tienda.
La matemática está presente en cada uno de los aspectos de la vida cotidiana, por
ello en este artículo les hablare acerca de algunos problemas matemáticos que
debido a su complejidad no se ha encontrado una solución para estos mismos.
Esto no quiere decir que sea imposible averiguar su solución, simplemente aún no
se ha hallado, el primero del cual les quiero hablar es: de La conjetura de Hodge es
un importante problema de geometría algebraica todavía no resuelto en el que se
relacionan la topología algebraica de una variedad algebraicacompleja no singular
y las subvariedades de esa variedad; este es un problema muy interesante, ya que
muchas personas han llegado a afirmar que la geometría es una de las partes de la
matemática más sencillas, pero esto demuestra que muchas veces esto no es
cierto.
También les hablare sobre la Hipótesis de Poincaré, es un resultado sobre la esfera
tridimensional (la 3-esfera), este es uno de los problemas más anhelado por
resolverse ya que tiene gran importancia para los matemáticos.
Por ultimo les hablare sobre Las ecuaciones de Navier-Stokes, Se trata de un
conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el
movimiento de un fluido. Las derivadas como muchos los sabemos tienen gran valor
en toda la matemática, por ello y mucho más este problema matemático ha retado
a muchos matemáticos
Por esta razón y muchas más les quiero dar a entender la maravilla de las
matemáticas y además invitarlos a que no solo se queden con esta información sino
que busquen más y porque no, que algún día puedan encontrar ustedes mismos la
solución.
Introducción
La matemática por mucho tiempo ha sido un gran misterio para muchas personas,
por ello muchas personas han dedicado prácticamente toda su vida a encontrar
soluciones a problemas de mucha complejidad, pero aunque ha sido un trabajo muy
arduo para estas personas, en varias ocasiones no se ha tenido éxito; a
continuación les hablare de algunos de estos problemas:
Conjetura de Hodge
La conjetura de Hodge es un importante problema de geometría algebraica todavía
no resuelto en el que se relacionan la topología algebraica de una variedad
algebraica compleja no singular y las subvariedades de esa variedad. En concreto,
la conjetura dice que ciertos grupos de cohomología de De Rham son algebraicos,
esto es, son sumas de dualidades de Poincaré de clases homólogas de
subvariedades.
La conjetura de Hodge es uno de los Problemas del milenio del Clay Mathematics
Institute, por lo que hay un premio de US$1,000,000 por demostrarla.
Mi intención es persuadirlos para que resuelvan estos problemas matemáticos, más
cabe resaltar que no será algo fácil ya que su complejidad es bastante grande y
además los resultados de los intentos de solucionarlos no han sido exitosos, pues
muchos grandes matemáticos lo han intentado y no lo han logrado.
Más específicamente la teoría de Hodge es:
Sea X una variedad compleja conexa de dimensión compleja n. Luego X, es una
variedad diferenciable orientable de dimensión 2n, por lo que sus grupos de
cohomología residen en grados cero a través de 2n. Asúmase que X es una
variedad de Kähler, por lo que hay una descomposición en su cohomología con
coeficientes complejos:
Donde es el subgrupo de grupos de cohomología que están representados por
formas armónicas de tipo (p, q). Esto es, estas son los grupos de cohomología
representados por formas diferenciales que, en una determinada opción de
coordenadas locales, puede ser escritas como tiempos de funciones armónicas
Teoría de Hodge. Tomar productos exteriores de estos representantes armónicos
se corresponde con el cup product en cohomología, por lo que cup product es
compatible con la descomposición de Hodge:
Dado que X es una variedad compleja, X tiene una clase fundamental.
Sea Z una subvariedad compleja de X de dimensión k, y sea i : Z → X la función de
inclusión. Elíjase una forma diferenciada del tipo (p, q). Podemos integrar sobre
Z:
Para evaluar esta integral, elíjase un punto de Z y llámesele 0. Alrededor de 0,
podemos elegir coordenadas locales en X tal que Z sea i. si p > k, entonces debe
contener algún donde tienda a a cero en Z. Lo mismo es cierto si q > k.
Consecuentemente, esta integral es cero si (p, q) ≠ (k, k).
De forma más abstracta, la integral puede ser escrita como el cap product del grupo
de cohomología de Z y del grupo de cohomología representado por . Según la
dualidad de Poincaré, el grupo de homología de Z es doble del grupo de
cohomología que llamaremos [Z], y el cap product puede ser calculado tomando el
cup product de [Z] y y capping con la clase fundamental de X. Dado que [Z] es un
grupo de cohomología, tiene descomposición de Hodge. Según el cálculo anterior,
si nosotros cup este grupo con otro tipo de grupo (p, q) ≠ (k, k), entonces tendremos
cero. Dado que, se concluye que [Z] debe quedar en x. En pocas palabras, la
conjetura de Hodge dice:
¿Qué grupos de cohomología en x derivan de subvariedades complejas Z?
Es una pregunta que ni el mismo propósitor ha sido capaz de resolverla, más la
matemática tiene muchas formas de hallar un resultado, por ende se espera que
muy prontamente llegue una persona y sea capaz de resolverla.
Intentos
Hasta el 2005, el intento más serio para resolver la conjetura de Hodge fue explorar los ceros de la función mediante computación distribuida con la capacidad de verificar billones de datos de números por día. El proyecto acabó en diciembre de 2005, y ninguno de los numeros pudo ser identificado como aproximación a la conjetura de Hodge
Hipótesis de Poincaré
En matemáticas, y más precisamente en topología, la conjetura de Poincaré
(también llamada hipótesis de Poincaré) es un resultado sobre la esfera
tridimensional (la 3-esfera); la hipótesis dejó de ser una conjetura para convertirse
en un teorema tras su comprobación en 2003 por el matemático Grigori Perelman.
El teorema sostiene que la esfera cuatridimensional, también llamada 3-esfera o
hiperesfera, es la única variedad compacta cuatridimensional en la que todo lazo o
círculo cerrado (1-esfera) se puede deformar (transformar) en un punto. Este último
enunciado es equivalente a decir que sólo hay una variedad cerrada y simplemente
conexa de dimensión 3: la esfera cuatridimensional.
Este tipo de problema es muy comprendible y tiene muchas formas de interpretarlo,
pero aun así ha sido casi imposible para los matemáticos resolver este problema.
Específicamente la hipótesis de Poincaré es:
La superficie de un balón de fútbol, por ejemplo, es casi un ejemplo de variedad de
dimensión 2, una 2-esfera; lo podemos manipular como queramos, dándole
diferentes formas, pero sin romperlo, y seguirá siendo una 2-esfera. El criterio para
comprobar si una variedad es una 2-esfera es muy sencillo: imagínese una goma
elástica tremendamente deformable apoyada sobre la superficie del balón; si la
goma se puede comprimir (sin salirse de la superficie) hasta ocupar un solo punto,
y esto en cualquier parte de la superficie, el balón es una 2-esfera y se dice que es
simplemente conexa.
El problema de clasificar las variedades en el espacio usando como criterio de
clasificación el concepto de homeomorfismo fue resuelto en el siglo XIX. Así, la
esfera es una variedad de dimensión 2 (cada trozo pequeño de la esfera es un
pequeño trozo de plano ligeramente deformado), cerrada y simplemente conexa y
se estableció que toda variedad de dimensión 2, cerrada y simplemente conexa es
homeomorfa a la esfera. Dicho de otro modo: sólo hay una variedad (homeomórfica)
de dimensión n=2, cerrada y simplemente conexa, y se trata de la esfera (y sus
homeomorfos).
Más técnicamente, en 1904, el matemático francés Henri Poincaré (1854-1912)
conjeturó que el resultado obtenido para la esfera n=2 del espacio de dimensión 3
tenía un análogo para la esfera n=3 del espacio de dimensión 4. En otras palabras,
en el espacio de dimensión 4, toda variedad de dimensión n=3, cerrada y
simplemente conexa, sería homeomorfa a la esfera de dimensión n=3. Pero
Poincaré no consiguió probar su conjetura. Tampoco ninguno de sus
contemporáneos ni sucesores. Con el tiempo, la conjetura de Poincaré cobró interés
hasta convertirse en el problema abierto más notable de la topología geométrica,
con destacables implicaciones para la Física. Más aún, llegó a convertirse en uno
de los problemas sin resolver más importantes de las matemáticas.
Para dimensión dos ya fue demostrada en el siglo XIX. Para n=5, hubo de esperar
hasta 1961, cuando lo hizo Erik Christopher Zeeman. Ese mismo año, Stephen
Smale lo consiguió para n igual o mayor que 7 y, en 1962, John R. Stallings para el
caso n=6. Los casos n=3 y n=4 se resistían y hubo que esperar a 1986 cuando, en
lo que se consideró una hazaña matemática del estadounidense Michael Hartley
Freedman, se consiguió demostrar el caso n=4. El problema es que, resuelto con
éxito para todas las demás dimensiones, el caso original n=3, planteado por
Poincaré, se resistía denodadamente a cualquier demostración matemática hasta
que el matemático ruso Grigori Perelmán hizo pública su demostración.
Henri Poincaré estableció dicha conjetura en 1904, indicando que la esfera
tridimensional era única y que ninguna de las otras variedades tridimensionales
compartían sus propiedades.
Resolución de la hipótesis
Grigori Perelmán resolvió la hipótesis de Poincaré. Justamente por resolver este
problema, Perelmán había recibido en 2006 la medalla Fields, considerada el Nobel
de las matemáticas, otro premio que también rechazó.
Demostración de la conjetura
En un esfera-2 ordinaria, cualquier lazo se puede apretar continuamente hasta
convertirse en un punto en la superficie. ¿Esta condición caracteriza la esfera-2? La
respuesta es sí, y se conoce desde mucho tiempo atrás. La conjetura de Poincaré
hace la misma pregunta para la esfera-3, no visualizable. Grigori Perelmán probó la
veracidad de esa conjetura.
El enunciado no pudo ser resuelto durante un siglo y su demostración fue
considerada uno de los siete problemas del milenio propuestos por el Clay
Mathematics Institute.
El matemático ruso Grigori Perelmán anunció haberlo hecho en 2002 a través de
dos publicaciones en internet.
El 5 de junio de 2006 los matemáticos chinos Zhu Xiping y Cao Huaidong
anunciaron la demostración completa, basándose en los trabajos preliminares de
Perelmán (estos sí publicados en revistas especializadas), lo que, una vez realizada
su validación por la comunidad matemática, daría fin a la clasificación completa de
las estructuras topológicas de dimensión tres o tridimensionales. Sin embargo, una
gran parte de la comunidad matemática piensa que la demostración corresponde a
Perelmán y considera el trabajo de los matemáticos chinos como un plagio. La
Academia China de Ciencias, en defensa de Zhu Xiping y Cao Huaidong, afirmó
que el ruso "estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo
específicamente cómo resolver el enigma".
Finalmente, se reconoció el trabajo de Perelmán cuando se le otorgó la Medalla
Fields en el marco del XXV Congreso Internacional de Matemáticos (ICM2006), con
sede en Madrid, en agosto de 2006, la cual rechazó. En declaraciones a un
semanario estadounidense (The New Yorker), Perelman aseguró no querer ser una
"mascota" en el mundo de las matemáticas, estimando que no necesita otro
reconocimiento sobre la validez de su trabajo.
Este como muchos de los problemas matemáticos complejos, han sido tratados de
resolverse y aunque se ha llegado a avanzar bastante en muchos de estos aspectos
no se ha encontrado su solución, muchas personas dirían que la solución de un
problema como este sería fácil, ya que se ha resuelto problemas similares, pero
aun así no se ha logrado comprobar.
La historia de la demostración de la Conjetura de Poincaré
Tal y como hemos comentado, Poincaré desarrolló muchas de las herramientas
necesarias para el estudio de superficies y variedades. En realidad, antes que los
grupos fundamentales, él mismo introdujo los llamados grupos de homología, que
permiten analizar (en varios sentidos, de una forma más ventajosa que los grupos
fundamentales) los agujeros de cualquier dimensión de una superficie o variedad.
No es sencillo dar una idea de lo que son los grupos de homología, ya que su
definición es más compleja y menos intuitiva que la de los grupos fundamentales,
así que nos contentaremos con señalar que sin duda constituyen una de las
construcciones matemáticas más brillantes y de mayor importancia de todos los
tiempos. En cualquier caso, el propósito de Poincaré al introducir estos conceptos
era el de conseguir llegar a una clasificación de todas las superficies de dimensión
2, 3 o superiores en el sentido que ya hemos comentado antes. Habida cuenta de
que el problema en dimensión 2 estaba ya resuelto a finales del siglo XIX, intentó
comprobar la efectividad de sus grupos de homología en la caracterización de
superficies de dimensión 3. Él estaba convencido de que los grupos de homología
eran capaces por ellos mismos de distinguir la esfera tridimensional del resto de
superficies compactas de dimensión 3. En 1900 Poincaré afirmó que si una
superficie compacta de dimensión 3 tiene los mismos grupos de homología que la
esfera S3, forzosamente esa superficie debe ser justamente S3. Sin embargo, él
mismo llegó a la conclusión de que esta afirmación era falsa cuando en un artículo
publicado en 1904 encontró un contraejemplo: una superficie compacta de
dimensión 3 con los mismos grupos de homología que la esfera, pero que no era
simplemente conexa al tener su primer grupo fundamental ciento veinte elementos.
Dicha superficie se denomina desde entonces esfera de Poincaré, y no puede ser
homeomorfa a la esfera ya que tienen primer grupo fundamental diferente.
Disponemos por tanto dos superficies topológicamente diferentes pero que tienen
los mismos grupos de homología, y ello indica que éstos no son suficientes para
caracterizar a una superficie, para decidir si dos superficies son iguales o no. Esto
condujo a Poincaré a considerar los grupos fundamentales y a enunciar su
Conjetura en el mismo artículo de 1904, ya que a la vista de lo anterior, el paso
natural consiste en preguntarse si existe alguna superficie diferente a la esfera pero
con sus mismos grupos de homología y con el mismo grupo fundamental (y por
tanto simplemente conexa). Esto último es, en esencia, el enunciado de la
Conjetura.
Desde la publicación del artículo de Poincaré en 1904, toda una legión de
matemáticos intentaron demostrar la Conjetura para el caso n = 3, que es el
problema original planteado por Poincaré, pero también para dimensiones
superiores, con n > 3. La producción sobre el tema llegó a ser tanta que la American
Mathematical Society se vio obligada a incluir un campo exclusivo (con código
57M40) dedicado a aquellos artículos que intentan demostrar o refutar la Conjetura
de Poincaré. Hubo que esperar hasta el año 1961 para que Erik Christopher
Zeeman (1925- ) consiguiera, tras más de cincuenta años, el primer avance de
importancia demostrando que la Conjetura era cierta para el caso n = 5. Ese mismo
año, el matemático estadounidense Stephen Smale (1930- ) dio un paso decisivo al
probar que la Conjetura es cierta para todo n ≥ 7. Al año siguiente, en 1962, John
R. Stallings demostró el caso n = 6, y finalmente, 23 años más tarde, en 1986,
Michael Hartley Freedman consiguió clasificar todas las variedades simplemente
conexas de dimensión 4 como consecuencia de lo cual quedaba también
demostrado el caso n = 4, siendo el hecho considerado de tal envergadura que le
hizo merecedor de la medalla Fields ese mismo año. Sorprendente: como puede
verse, los casos correspondientes a dimensiones superiores demostraron ser más
“sencillos” que los de dimensiones bajas, que resistieron los ataques de los
matemáticos hasta el último momento. Después de todo, en 1986 el único caso que
quedaba aún sin abordar era el n = 3 de manera que finalmente, tras 82 años, la
Conjetura terminó regresando a la formulación original de Poincaré, que como ya
vimos se refería únicamente a las esferas de dimensión 3.
Erik Christopher Zeeman
Stephen Smale
John R. Stallings
Michael Hartley Freedman
Richard Hamilton
Grigori Perelman
En realidad, el caso n = 3 de la Conjetura de Poincaré ha llegado a convertirse en
una obsesión para muchos matemáticos, algunos de ellos de prestigio, que en
diversas ocasiones creyeron sin razón haber alcanzado una solución (es conocido
el caso del eminente topólogo John Henry Constantine Whitehead, que en 1934
anunció una supuesta demostración para la cual él mismo encontró un
contraejemplo, conocido ahora como el enlace de Whitehead). Así las cosas, la
Conjetura de Poincaré ha pasado a formar parte de la mitología matemática como
uno de los grandes problemas aún sin solución, codeándose en esas alturas con
otros afamados resultados pendientes de demostración como el Teorema de
Fermat, en su momento, o la Hipótesis de Riemann. El reconocimiento a la
importancia de la Conjetura quedó constatado en mayo de 2000 cuando el Clay
Mathematics Institute de Cambridge (Massachusetts) lo incluyó dentro de la
selección de los siete problemas matemáticos sin resolver más relevantes. Dicho
instituto, financiado por el rico empresario americano Landon Clay, es una fundación
privada, sin ánimo de lucro, dedicada a estimular y divulgar el conocimiento de las
matemáticas que en 2000 instauró los premios Millenium Problem por los que se
otorga una cantidad de un millón de dólares a cada persona que resuelva uno de
de los siete problemas que en ese año 2000 un comité de expertos seleccionó como
los más importantes de las matemáticas actuales, entre los que figura, como ya
hemos comentado, la Conjetura de Poincaré. De este modo, además del prestigio
que alcanzaría cualquiera que demostrara o refutara la Conjetura, desde ese
momento había además en juego un premio de un millón de dólares. En cualquier
caso, para la concesión del premio, el Clay Mathematics Institute exige una serie de
requisitos, entre los que se encuentra la necesidad de exponer la solución
encontrada a cada problema ante la comunidad matemática por un período de dos
años antes de recibir el sustancioso galardón.
Sea o no por el premio, a partir del año 2000 varios matemáticos publicaron
supuestas demostraciones de la Conjetura. Así, en abril de 2002 el matemático
inglés M.J. Dunwoody presentó un artículo de cinco páginas en el que pretendía
haber resuelto la Conjetura, pero rápidamente se encontraron errores de
importancia en el trabajo. El siguiente en probar suerte fue el distinguido matemático
Everett Pitcher, quien fuera secretario de la American Mathematical Society desde
1967 hasta 1988, que el 16 de octubre de 2002 presentó en Lehigh University la
conferencia titulada The Poincaré Conjecture is true y envió para su publicación el
correspondiente artículo, del que hasta la fecha no parece haber informes
favorables. Días después de la conferencia de Pitcher, el 22 de octubre de 2002, le
tocó el turno a Sergey Nikitin, de Arizona State University, que publicó en arXiv e-
Print Archive el preprint titulado Proof of the Poincaré Conjecture, para el que el 31
de octubre de ese mismo año aparece un supuesto contraejemplo en el grupo de
noticias sci.math.research; si bien el propio Nikitin para el 10 de diciembre de ese
año había añadido ya hasta siete versiones adicionales de su preprint en arXiv, en
las que se corregían errores y se precisaban algunas definiciones. Desde entonces,
no hay noticia alguna referente a este trabajo. Téngase en cuenta que arXiv e-Print
Archive es un servicio de preprints electrónicos de la Universidad de Cornell que
desde 1991 recopila preprints de diferentes disciplinas científicas como física,
matemáticas, ciencias de la computación o biología, y que en principio publica en
sus servidores cualquier trabajo científico sin ningún tipo de revisión especializada.
Sin duda alguna, el ataque más serio al problema es el debido al matemático ruso
Grigori Yakovlevich Perelman (si bien firma sus artículos como Grisha Perelman),
del Instituto Steklov de la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo.
Perelman publica, nuevamente en arXiv, el 11 de noviembre de 2002, un preprint
de 39 páginas titulado The entropy formula for the Ricci flow and its geometric
applications, en el que no aborda directamente la Conjetura de Poincaré sino otra
conjetura más general denominada Conjetura de Geometrización de Thurston, de
la cual se deduce como caso particular la Conjetura de Poincaré. Dicho de otro
modo, una vez demostrada la Conjetura de Geometrización de Thurston
automáticamente habremos obtenido también la de Poincaré. La Conjetura de
Geometrización fue propuesta en 1970 por el matemático William Paul Thurston
(1946- ) ganador de una medalla Fields en 1982 por la impresionante envergadura
matemática de sus trabajos sobre variedades de dimensión 2 y 3. En realidad, la
Conjetura de Thurston constituye un problema matemático mucho más ambicioso
que el de Poincaré, ya que pretende alcanzar una descripción definitiva de cualquier
superficie de dimensión 3 por medio de su descomposición en piezas de estructura
geométrica más simple. El 10 de marzo de 2003, Perelman publica en arXiv un
segundo preprint de 22 páginas titulado Ricci flow with surgery on three-manifolds,
que viene a completar el primero de sus preprints introduciendo en él ciertas
mejoras. Para su demostración, Perelman recurre a técnicas de Geometría
Diferencial y se basa en los trabajos de Richard Hamilton, de la Universidad de
Columbia, sobre los flujos de Ricci.
A diferencia de demostraciones anteriores, la de Perelman captó inmediatamente
la atención de los expertos en el tema de todo el mundo, debido al hecho de que él
mismo es reconocido a nivel internacional como uno de los más importantes
especialistas en Geometría Diferencial y que goza de amplio prestigio dentro de la
comunidad matemática gracias a la profundidad y seriedad de sus trabajos. Los día
7, 8 y 11 de abril de 2003, Perelman sometió el trabajo contenido en los dos preprints
de arXiv al juicio de la comunidad científica en un ciclo de conferencias que tuvo
lugar en el Departamento de Matemáticas del prestigioso Massachusetts Institute of
Tecnology (MIT), titulado Ricci Flow and Geometrization of Three-Manifolds. A este
ciclo asistieron más de cien matemáticos, entre los que se encontraban
personalidades ya consagradas como Andrew Wiles, que en 1994 había pasado a
los anales tras conseguir demostrar el último Teorema de Fermat, o el premio Nobel
de economía John Forbes Nash, popularizado por la película Una mente
maravillosa, en la que se recrea su biografía (téngase en cuenta que Nash fue autor
en su juventud de importantes trabajos dentro del campo de la geometría). Tras este
ciclo de conferencias diversos medios de comunicación, como el New York Times,
la BBC y otros, se hicieron eco de la noticia.
Perelman presentando sus teorías
La cuestión es que tras la exposición de los trabajos de Perelman los expertos se
mostraron esperanzados pero cautos, debido a que la complejidad de los
desarrollos que había presentado requerían un examen concienzudo: a pesar de
que, sin duda, suponían avances de envergadura, podían contener sutiles errores
en distintos puntos. Por otro lado, estaba presente también la cuestión del millón de
dólares que podría estar en juego de darse por valida la demostración. Si bien las
normas del Clay Mathematics Institute exigen la publicación de los resultados en
una revista científica y su examen posterior por dos años, el propio James Carlson,
presidente del Instituto, declaró que aunque el trabajo hubiera sido publicado en
Internet podría obviarse este hecho si se superaban los dos años de revisión. De
todos modos, si hacemos caso de los rumores que circulan por Internet, es incluso
posible que el propio Perelman desconociera la existencia del premio del Instituto
Clay y que fuera, por tanto, ajeno a estas cuestiones.
Así las cosas, el pasado junio de este año salta la sorpresa cuando es anunciada
en los medios de comunicación la publicación de una nueva demostración de la
Conjetura de Poincaré, que además se presenta como la primera prueba
íntegramente completa no solo del problema de Poincaré, sino también de la
Conjetura de Geometrización. Los autores de la nueva demostración son los
matemáticos chinos Zhu Xiping, de la Universidad de Zhongshan (en la provincia de
Cantón, al sur de China) y Cao Huaidong, de la Universidad de Lehigh (Pensilvania,
EEUU), y ésta aparece publicada en el número de junio de la revista Asian Journal
of Mathematics, en un artículo de 327 páginas titulado A complete proof of the
Poincaré and Geometrization Conjectures –Application of the Hamilton-Perelman
theory of the Ricci flow. Según declaraciones a los medios de comunicación, ambos
matemáticos han trabajado en la demostración por más de dos años bajo la
dirección de Shing-Tung Yau, profesor de la Universidad de Harvard y ganador de
la medalla Fields en el año 1982, quién es además uno de los editores en jefe del
Asian Journal of Mathematics. La nueva demostración no sólo fue difundida en el
ámbito científico, sino que fue profusamente anunciada en medios de comunicación
como el Diario del Pueblo, órgano de prensa del gobierno chino, en el que se
dedicaron al tema grandes titulares en letras rojas que festejaban la demostración
como un éxito histórico de la ciencia china. Además, numerosos otros medios de
distintos países se hicieron eco también de la noticia.
Sin duda alguna la polémica está servida, ya que las teorías de Perelman recogidas
en sus dos artículos de arXiv se encontraban todavía en período de revisión, y todo
parecía indicar que estaba próxima su aceptación definitiva por la comunidad
matemática. Por otro lado, el trabajo de los matemáticos chinos se fundamenta en
los desarrollos de Perelman, tal y como queda reflejado en el título de su artículo e,
incluso en el abstract del trabajo, en el que los propios autores escriben: Este trabajo
depende de los trabajos de muchos geómetras y analistas durante los últimos treinta
años. Esta prueba debería ser considerada como la culminación de la teoría de
Hamilton-Perelman sobre el flujo de Ricci. Sin embargo, por otro lado, el Sr. Yang,
miembro de la Academia China de Ciencias, ha declarado que Todos los
matemáticos americanos, rusos y chinos han hecho contribuciones indispensables
a la prueba completa, en clara alusión a Perelman y Hamilton, y continúa señalando
que la longitud total del trabajo de Perelman sobre la Conjetura era, hacia finales de
2002, de alrededor de 70 páginas, en contraposición con las más de 300 del artículo
de Zhu y Cao, argumentando de esta manera que Perelman trazó las líneas
maestras que habían de seguirse para resolver el problema pero sin llegar a encajar
el puzzle de forma definitiva. Finalmente, Yang añade que las líneas maestras son
completamente diferentes de la prueba completa de una teoría. Sin embargo, los
expertos comienzan ya a tomar posición en defensa del trabajo de Perelman, toda
vez que parace opinión unánime que los matemáticos chinos no han hecho más
que una reconstrucción detallada de la línea de demostración trazada por Perelman.
Por otro lado, esta reconstrucción no es la primera, ya que en el pasado mes de
mayo los norteamericanos Bruce Kleiner y John Lott presentaron un trabajo similar.
La única diferencia es que, según parece, Zhu y Cao realizaron en secreto su
demostración, mientras que la de Kleiner y Lott fue ampliamente difundida en
Internet en cada paso de su desarrollo. En realidad, tanto la prueba de los chinos
como la de los norteamericanos no serían más que revisiones muy precisas de la
demostración de Perelman que sencillamente vienen a confirmar su validez. De esta
manera, nos encontramos quizás ante un posible conflicto científico oriente-
occidente de cierta magnitud.
En todo caso, a partir de ahora será necesario que la comunidad matemática
internacional examine tanto los trabajos de Zhu y Cao como los de Perelman. Sin
duda alguna, el comité de expertos del Instituto Clay encargado de discernir quién
ha sido realmente el autor de la primera demostración de la Conjetura de Poincaré
tiene delante de sí una difícil tarea.
Con toda seguridad, uno de los temas estrella del próximo Congreso Internacional
de Matemáticos que se celebrará en Madrid a finales de agosto de este año será la
Conjetura de Poincaré, tanto más si hacemos caso a los rumores que señalan que
Perelman podría ser galardonado con la medalla Fields en el transcurso del evento.
Téngase en cuenta que Perelman, que nació en 1966, está aún a tiempo de recibir
el premio que tradicionalmente se entrega a matemáticos que no superen los 40
años.
Ecuaciones de Navier-Stokes
Las ecuaciones de Navier-Stokes reciben su nombre de Claude-Louis Navier y
George Gabriel Stokes. Se trata de un conjunto de ecuaciones en derivadas
parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones
gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de
vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren
fluidos newtonianos.
Estas ecuaciones se obtienen aplicando los principios de conservación de la
mecánica y la termodinámica a un volumen fluido. Haciendo esto se obtiene la
llamada formulación integral de las ecuaciones. Para llegar a su formulación
diferencial se manipulan aplicando ciertas consideraciones, principalmente aquella
en la que los esfuerzos tangenciales guardan una relación lineal con el gradiente de
velocidad (ley de viscosidad de Newton), obteniendo de esta manera la formulación
diferencial que generalmente es más útil para la resolución de los problemas que
se plantean en la mecánica de fluidos.
Como ya se ha dicho, las ecuaciones de Navier-Stokes son un conjunto de
ecuaciones en derivadas parciales no lineales. No se dispone de una solución
general para este conjunto de ecuaciones, y salvo ciertos tipos de flujo y situaciones
muy concretas no es posible hallar una solución analítica; por lo que en muchas
ocasiones es preciso recurrir al análisis numérico para determinar una solución
aproximada. A la rama de la mecánica de fluidos que se ocupa de la obtención de
estas soluciones mediante métodos numéricos se la denomina dinámica de fluidos
computacional (CFD, de su acrónimo anglosajón Computational Fluid Dynamics).
Más específicamente las ecuaciones de Navier-Stokes es:
Derivada sustancial o material
Debido a que generalmente adoptamos la descripción euleriana la derivada
ordinaria ya no representa toda la variación por unidad de tiempo de una
determinada propiedad del fluido (o magnitud fluida) siguiendo a la partícula fluida.
Esto se debe al movimiento del fluido. Para reflejar esta variación usaremos la
derivada sustancial (o derivada siguiendo a la partícula fluida). La derivada
sustancial o derivada material se define como el operador:
Donde es la velocidad del fluido. El primer término representa la variación de la
propiedad en un punto fijo del espacio y por ello se la denomina derivada local,
mientras que el segundo representa la variación de la propiedad asociado al cambio
de posición de la partícula fluida, y se la denomina derivada convectiva. Este es el
procedimiento que sigue José Echegaray para demostrar la derivada material.
Tomando las coordenadas de Euler como:
Calcularemos la aceleración para estas coordenadas:
Desarrollamos cada derivada total de cada componente, así podremos seguir un
desarrollo fácil de recordar:
Si se suma término a término y se saca factor común, puede obtenerse:
Vemos que la parte de las derivadas parciales espaciales se pueden escribir como:
Si ahora sustituimos velocidad por obtenemos formalmente la expresión de la
derivada material:
Teorema del transporte de Reynolds
Si la derivada sustancial permite calcular la variación de una magnitud fluida ligada
a una partícula fluida, el teorema del transporte de Reynolds permitirá calcular la
variación de una magnitud fluida extensiva ligada a un volumen fluido. Existe por
tanto una analogía entre ambos conceptos, pues una partícula fluida no es más que
un volumen fluido infinitesimal. En su forma general el teorema del transporte de
Reynolds se expresa como:
Donde es la magnitud fluida extensiva definida por unidad de volumen (una
magnitud extensiva por unidad de volumen es una magnitud intensiva), es un
volumen fluido, es un volumen de control que coincide con en el instante t, la
superficie de dicho volumen de control, la velocidad del fluido y la velocidad de la
superficie de control.
El segundo término del miembro derecho representa el flujo convectivo de la
magnitud fluida extensiva a través de la superficie de control que limita el volumen
de control. Se define el flujo convectivo de una magnitud fluida extensiva a través
de una superficie de control como la cantidad de dicha magnitud que, transportada
por el fluido, atraviesa la superficie de control en la unidad de tiempo.
Expresado en términos coloquiales puede decirse que el teorema del transporte de
Reynolds viene a decir que la variación de una propiedad extensiva en un volumen
fluido, es igual a la variación de dicha propiedad en el interior de ese volumen más
la cantidad de dicha propiedad que atraviesa la superficie del volumen.
Teorema de la divergencia
El teorema de la divergencia (o teorema de Gauss) permite, bajo ciertas hipótesis,
transformar integrales de superficie en integrales de volumen ( y viceversa). En el
caso particular de tres dimensiones podemos expresarlo como:
Las ecuaciones de Navier-Stokes
Esta expresión representa el principio de conservación del momento lineal aplicada
a un fluido general:
La ley de conservación de la masa se escribe:
En estas ecuaciones ρ representa la densidad, ui (i = 1,2,3) las componentes
cartesianas de la velocidad, Fi las fuerzas aplicadas sobre el cuerpo, como la
gravedad, P la presión del fluido, y μ la viscosidad dinámica.
Donde Δ = eii es la divergencia del fluido y δij la delta de Kronecker. D / Dt es la
derivada total o derivada material temporal siguiendo el fluido:
La no linealidad de las ecuaciones se debe precisamente al término relacionado con
la derivada total. Cuando μ es uniforme sobre todo el fluido las ecuaciones de fluido
se simplifican de la manera siguiente:
O en forma vectorial.
Casos particulares
Para fluidos de viscosidad nula, es decir cuando μ = 0, las ecuaciones resultantes
se denominan ecuaciones de Euler que se utilizan en el estudio de fluidos
compresibles y en ondas de choque.
Objetivo
El objetivo general de este paper era mostrarle ejemplos matemáticos indefinidos,
que aunque les han trabajado bastante no se ha encontrado la solución, también
invitarlos a que se introduzcan en un maravilloso mundo interminable, el maravilloso
mundo de las matemáticas. Las matemáticas son esenciales en la vida, para los
grandes matemáticos se ha convertido en una forma de vida en la cual se han
sumergido y cada vez encuentran cosas maravillosas, algunas que tienen su seria
complejidad y por ello no se ha podido encontrar una solución, más esto no quiere
decir que su solución no se pueda encontrar pronto.
Las matemáticas están para que tú las descubras y aprendas a vivir con ellas.