LAS POTENCIAS Y SUS PROPIEDADES

• Definición de potencia y signos de esta.

• Multiplicación y división de potencias de igual base.

• Potencia de potencia.

• Potencia de un producto y de un cuociente.

• Multiplicación y división de potencias de igual exponente.

• Potencias de exponente cero, negativo y fraccionario

Potencias:

Una potencia es el producto de un número "a" por si

mismo "n" veces lo que se denota por an ; con a ∈IR y

n ∈ Z ; luego:

a......aaana ⋅⋅⋅⋅=n veces a

donde "a" se llama base , "n" es el exponente y el producto a obtener es la potencia.

Ejercicios:Calcular aplicando la definición las siguientes potencias indicadas:

8⋅8=645⋅5⋅5=125

(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3) = 81

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2) =-32

(a) 82 =

(b) 53 =

(c) (-3)4 =

(d) (-2)5 =

(e) (-12)2 =

(f) 73 =

(g) 44 =

(h) (-3)5 =

(-12)⋅(-12)=144

7⋅7⋅7=343

(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)⋅(-3)=-243

4⋅4⋅4⋅4 = 256

Notar que:

(c) Si la base es negativa, se indica esta entre paréntesis; así:

(a) Si el exponente es par, la potencia es siemprepositiva.

(b) Si el exponente es impar, la potencia conserva el signo de la base.

(-5)2 =

(-4)3 =

-52 =

-43 =

(-2)4 = -24 =

En el caso de tener exponente par, podemos ver la diferencia de escribir la base entre paréntesis o no.

(-5)⋅(-5) = 25 -1 ⋅ 52 = -1 ⋅ 25 = -25

(-4)⋅(-4)⋅(-4) = -64

(-2)⋅(-2)⋅(-2)⋅(-2)= 16

-1 ⋅ 43 = -1 ⋅ 64 = -64

-1 ⋅ 24 = -1 ⋅ 16 = -16

d) Al calcular y comparar:

i) (3 + 5)2 =

32 + 52 =

ii) (8 - 5)2 =

82 - 52 =

generalizando, se deduce que:

( 8 )2 = 64

9 + 25 = 34

( 3 )2 = 9

64 - 25 = 39≠ ≠

nbnan)ba(

nbnan)ba(

−≠−

+≠+

La potencia de una suma es distinta de una suma de potencias, de igual forma la potencia de una resta es distinta de una resta de potencias, luego la potenciación no es distributiva sobre la adición y sustracción.

Propiedades de las potencias:

1) Para multiplicar potencias de igual base, se conserva la base y se suman los exponentes.

Ejemplos: Al calcular:

(a) 23 . 24 =

(b) 5-3 ⋅ 57 =

(c) 3 ⋅ 32 ⋅ 33=

(d) (-4)3 ⋅ (-4)-2 ⋅ (-4) =

23 + 4 =27= 128

5-3 + 7 = 54= 625

31+ 2+ 3 =36 = 729

(-4)3 + -2 + 1 = (-4)2 =16

(e) 21/2 ⋅ 25/2 =

nmanama +=⋅

26/2 = 23 = 821/2 + 5/2 =

1

1

(g) (-3)2 ⋅ ⋅ (-3)5 = 81(-3)-3 = (-3)4

(h) (-1)32 ⋅ (-1)-15 ⋅ (-1)43 = (-1)32 + -15 + 43 = (-1)60 = 1

Recíprocamente se tiene que ; luego:namanma ⋅=+

Ejemplos:

(a) 42+3 =

(b) 5x+y+z =

42 · 43

5x ·5y · 5z

(f) . 23 = 256 = 2825

2) Para dividir potencias de igual base, se conserva la base y se restan los exponentes.

nmana:ma −=

Ejemplos: Al calcular:

(a) 27 : 24 =

(b) 59 : 55 =

(c) (-3)-2 : (-3)-5 =

(d) (-4)3 : (-4)-2 =

(e) 68/3 : 62/3 =

27 - 4 = 23 = 8

59 - 5 = 54 = 625

(-3)-2 - -5 = (-3)-2+5 = (-3)3 = -27

(-4)3 - -2 = (-4)3+2 = (-4)5 = -1.024

68/3 - 2/3 = 66/3 = 62 = 36

(h) (-1)-12 : (-1)-25 =

Recíprocamente se tiene que ; luego:na:manma =−

Ejemplos:

(a) 35 - 2 =

(b) 5x – y - z =

(f) : 43 = 256 = 4447

= (-3)4(g) (-3)2 : = 81(-3)-2

(-1)-12 - -25 = (-1)-12 + 25 = (-1)13 = -1

35 : 32

5x : 5y : 5z

3) Para elevar una potencia a potencia, se conserva la base y se multiplican los exponentes.

nmanma ⋅=

Ejercicios:

(a) (32)3 =

(b) (x5)4 =

(c) ((a2)3)5 =

(d) (615)1/5 =

(e) (((-3)5)9)1/15 =

(f) ((-1)3)6)7 =

36 = 729

x20

a30

615/5 = 63 = 216

(-3)45/15 = (-3)3 = -27

(-1)126 = 1

4) Un producto elevado a un exponente común, es igual al producto de cada uno de los factores elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la multiplicación.

( ) nbnanba ⋅=⋅Ejercicios:

(a) (2 ⋅ 3)2 =

(b) (-5 ⋅ 2)3 =

(c) (2 ⋅ -4)4 =

(d) (-2 ⋅ -3 ⋅ -1)5 =

22·32 = 4 · 9 = 36

(-5)3 ·23 = -125 · 8 = -1.000

24 · (-4)4 = 16 · 256 = 4.096

(-2)5·(-3)5·(-1)5 = -32 ·-243 ·-1= -7.776

(e) (-3x2y3)5 =

(f) (2a6b4c3d)7 =

Ejecicios:

(a) 34 . 24 =

(b) x6 . y6 =

(3 · 2)4 = 64 = 1.296

(x·y)6 = (xy)6

27·(a6)7·(b4)7·(c3)7·(d1)7= 128a42b28c21d7

(-3)5·(x2)5·(y3)5 = -243x10y15

Recíprocamente se tiene que ; luego

se deduce que para multiplicar potencias de igual

exponente, se eleva el producto de las bases al exponente común.

n)ba(nbna ⋅=⋅

(c) 44 ⋅ (-5)4 =

(d) 22 ⋅ 32 ⋅ 42 =

(e) (-8)3 ⋅ 103 =

(f) (-2)3 ⋅ (-3)3 ⋅ (-5)3 =

(g) (2x)3 . (4x)3 =

(h) (-3a2b)2 . (2a3b)2 =

(4 · -5)4 = (-20)4 = 160.000

(2 · 3 · 4)2 = 242 = 576

(-8 · 10)3 = (-80)3 = -512.000

(-2 · -3 · -5)3 = (-30)3 = -27.000

(2x · 4x)3 = (8x2)3 = 83·(x2)3 = 512x6

(-3a2b ·2a3b)2 = (-6a5b2)2

= (-6)2·(a5)2·(b2)2 = 36a10b4

5) Al tener un cuociente elevado a un exponente común, es igual al cuociente de cada uno de los términos elevados a tal exponente; en consecuencia la potenciación es distributiva sobre la división.

( ) nb:nanb:a =

nb

nan

ba

=

Ejercicios:

(a) =

5

32

(b) =

−

3

43

=53

5224332

=−

34

3)3(6427−

(c) =

−

4

52

(d) =

5

101

=

3/1

92

65(e)

(f) =

5

3y

2x

(g) =

3

3b4

2a3

=−

45

4)2(62516

=510

51000.100

1

=3/92

3/65 =32

25825

=5)3y(

5)2x(15y

10x

=3)3b4(

3)2a3(=

⋅

⋅3)3b(34

3)2a(339b64

6a27

=3/1)92(

3/1)65(

Recíprocamente se tiene que:

n)b:a(nb:na =

n

ba

nb

na

=

luego se deduce que para dividir potencias de igual exponente, se eleva el cuociente de las bases al exponente común.

Ejercicios:

(a) 183 : 93 =

(b) 754 : 254 =

(18 : 9)3 = 23 = 8

(75 : 25)4 =34 = 81

=

⋅

5

45

158

(c) (-35)5 : 75 =

(d) 1353 : (-15)3 =

(e) (-96)4 : (-12)4 =

(h) (-36a5)6 : (12a2)6 =

=

5

54

:5

158(f)

=

−

3

56

:3

52

(g)

(-35 : 7)5 =

(135 : -15)3 =

(-96 : -12)4 =

(-5)5 = -3.125

(-9)3 = -729

(8)4 = 4.096

=

5

54

:158 =

5

32 =

53

52

-127

3 1

12

=

− 3

56

:52 =

⋅

−3

65

52

1 3

1-1

=−

33

3)1(=

−3

31

32243

(-36a5 : 12a2)6 = (-3a3)6

= (-3)6·(a3)6 = 729a18

6) Toda potencia de exponente negativo es igual al valor recíproco de la base elevada al mismo exponente , pero positivo.

na

1na =−na

nbn

abn

ba =

=

−

Ejercicios:

(a) (5)-3 =

(b) (-3)-5 =

(c) =−

4

32

=35

1

1251

=− 5)3(

1=

− 2431

2431

−

=

4

23 =

42

43

1681

=−

−

3

75(d)

(e) (a)-3 =

(f) (-2x3)-5 =

=−

3

y5x3(g)

=

−

3

57 =−

35

37

125343

−

3a

1

=− 5)3x2(

1 =⋅− 5)3x(5)2(

1=

− 15x32

115x32

1−

=

3

x3y5

=3)x3(

3)y5( =⋅

⋅3x33

3y353x27

3y125

=

−

4

3a2

2b5=

−4)3a2(

4)2b5(=

⋅

⋅−4)3a(42

4)2b(4)5((h)4

2b5

3a2−

− = 12a16

8b625

7) Toda potencia elevada a cero es igual a la unidad.

10a =

(a) 30 =

(b) (-2)0 =

(c) =

−

0

75

(e) (-5)0 + 30 + 70 =

(f) 3x0 - 2y0 + 5z0 =

(d) ( ) =0

23

1

1

1

1

1 + 1 + 1 = 3

3·1 - 2·1 + 5·1

= 3 - 2 + 5= 6

8) Toda potencia de exponente fraccionario se transforma a raíz.

n manm

a =

Notar que el denominador del exponente fraccionario, pasa a ser el indice de la raíz y el numerador de este es el nuevo exponente de la base quedando esta expresión como cantidad subradical.

Ejercicios:

(a) 91/2 =

(b) 641/3 =

=2 19 =9 3

=3 164 =3 64 4

(c) (-125)1/3 =

(d) 2561/4 =

(e) 43/2 =

(f) 82/3 =

=−3 1125 =−3 125 -5

=4 1256 =4 256 4

=2 34 =64 8

=3 28 =3 64 4

Ejercicios Complementarios:

1) Aplicar las propiedades de las potencias en calcular:

(a) Para x = -3 el valor de:

5x3 - 3x2 + 5x – 1 =

(b) =−

⋅

2

34

43

5·(-3)3 - 3·(-3)2 + 5·(-3) - 1

5·-27 - 3·9 + -15 - 1

-135 - 27 + -15 - 1

-162 + -15 - 1

-177 + -1

= -178

2

431

43

⋅

=

3

43

=

=2764

(c) =

7

32

:3

32

(d) =⋅ 12)6/154/16(

73

32 −

=

=8116

4

32 −

=

4

23

=

42

43=

12)6/15(12)4/16( ⋅=

1212646 5= ⋅

2536 ⋅=

= 216·25

= 5.400

=

4

81

:2

161(f)=

−

22

53(e)

43

21

:

24

21

=

12

21

:8

21

=

4

21 −

=

42=

= 16

22

35

=

4

35

=

=62581

43

45=

(g) =

⋅

3

1653

158

=

5

421

:5

2035(h)

3

165

158

⋅=

3

61

=

=1

216

36

31=

1 1

3 2

5

421

:2035

=

5

214

2035

⋅=

5 1

5 3

1

151

3 =

=1243

5153

=

(i) =−

−−−

33

2313

33

123

113

1−

271

91

31

−=

27192

=

127

92

⋅=3

116

= = 6

2) Si y ¿Cuál de las relaciones es verdadera?

2 3a b 32⋅ = 3a 8=

A) a = b

B) > 2·a

C) 2·a >

D) b < a

E) a < b

2b

2b

Si 3a =8 ⇒ a = 2

Si a = 2 ⇒ 2 3a b =32⋅2 32 b =32⋅

34 b =32⋅

323b = =84

⇒ b = 2

3) Si A = ; entonces = ?32x 4A

A) 2x

B) 6x

C) 8x

D) 16x

E) 16x

12

12

12

12

7

3A=2x ⇒ 4A = 3 4(2x )

4 3 4= 2 (x )⋅

= 16 12x

3 1 23 3 2: ?

2 2 3

− − − ⋅ =

4)

A) 4/9

B) 9/4

C) 81/16

D) 64/729

E) 729/64

3 1 23 3 2:2 2 3

− − − ⋅ =

432

− :

232

=

4 232

− − =

632

− =

623

=

64729

5 5 3 36 4 5 2: ?

8 9 6 5

⋅ ⋅ = 5)

A) 9

B) 3

C) 1

D)

E)

1319

5 36 4 5 2:

8 9 6 5

⋅ ⋅ =

2

3

1

2 3

1 1

1

1

15 31 1

:3 3

=

5 313

− =

213

= =

19

6) Si a = y n = . De las siguientes proposiciones es (son) verdadera(s):

2n 3b

l) Si a = 64 ⇒ b = 2

ll) Si n = 8 ⇒ a = 64 lll) Si b = 2 ⇒ n = 8

A) Sólo l y ll

B) Sólo l y lll

C) Sólo ll y lll

D) Todas

E) Ninguna

2a=n ⇒; si a = 64 264=n ⇒ 8 = n

3n=b ⇒; si n = 8 38=b ⇒ 2 = b

⇒ 2a=8 ⇒ a = 64

si n = 8 con 2a=n

⇒ 3n=2 ⇒ n = 8

si b = 2 con 3n=b

üüü

7) Si a, b ∈ Z con a ≠ b ; n ∈ IN; se tiene que es un número positivo si:

n(a-b)

(1) El exponente “n” es par.

(2) Si se cumple que a > b.

A) (1) por sí sola

B) (2) por sí sola

C) Ambas juntas, (1) y (2)

D) Cada una por sí sola, (1) ó (2)

E) Se requiere información adicional.

SiExponente par ⇒ potencia positiva.

Si a > b ⇒ a - b > 0 ; base positiva ⇒ potencia positiva

Si

Respuestas de Ejercicios Propuestos Clase-10

1) a) 216 b) 729 c)-125 d) 256

e)-729 f) 144 g)-100.000 h)-3.375

2) a) 125 ≠ 243 b) 400 ≠ 272 c) 49 ≠ 91an ≠ na (a + b)n ≠ an + bn (a - b)n ≠ an - bn

3) a) 32 b) 125 c) 64 d) e) .925

827

−

4) a) 125 b) 729 c)-64 d) e) .9

168

125−

5) a) 64 b) c) 49 d) e) -27 .1

729164

−

6) a) 225 b) c) 200 d) 675 e) -1 .1216

7) a) 225 b)-1.000.000 c) d) e) 128 .278

1256

8) a) b) c) d) e)827

1219

164

− 772

−3

616

9) a) 25 b) -27 c) d) -27 e) .132

164

10) a) b) c) d) e) 243 .1

161

243−

49

125216

11) a) 1 b) 1 c) 2 d) 3

12) a) 4 b) 2 c) d) 8 e) 2 .12

13) E 14) D 15) C 16) A

17) D 18) C 19) A 20) D