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Operaciones en Conjuntos Difusos

M.Sc. Ricardo Rodrguez Bustinza

robust@uni.edu.pe

Indice

1. Conjunto Clasicos a Conjuntos Difusos 21.1. Definicion de Conjunto Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Operaciones en Conjuntos Difusos 6

2.1. Definicion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3. Extensiones de Operaciones en Conjunto Difusos 9

3.1. Complemento Difuso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3.2. Union Difusa - La Norma S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3.3. Union Difusa - La Norma T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

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1 CONJUNTO CLASICOS A CONJUNTOS DIFUSOS

1. Conjunto Clasicos a Conjuntos Difusos

Sea U el universo de discurso, o conjunto universal, que contiene todos los posibles elementos queconciernen a cada contexto particular o aplicacion. Llamaremos a un conjunto cl asico (crisp), o sim-

plemente conjunto A, en el universo de discurso U que puede ser definido por una lista de todos los

miembros (metodo de la lista) o por las propiedades especficas que deben ser satisfechas por los miem-

bros del conjunto (metodo de la regla). El metodo de la lista puede ser solo para conjuntos finitos y es por

consiguiente de uso limitado. El metodo de la regla es mas general. En el metodo de la regla, un conjunto

Aes representado por:

A= {x U|xencuentra algunas condiciones} (1)

Hay un tercer metodo para definir un conjuntoA, el metodo de la funcion de pertenencia que introduce un

uno o un cero en la funcion de pertenencia (tambien llamada funcion caracterstica, funcion de discrimi-

nacion, o funcion del indicador) paraA, que se denota por A(x), tal que:

A(x) =

1 si x A0 si x A

(2)

El conjunto A es matematicamente equivalente a la funcion de pertenencia A(x), es decir, si A(x) esconocido, entonces sera el mismo queA.

Ejemplo 1

Considere el conjunto de todos los carros en la UNI; este es el universo de discursoU. Podemos definir

diferentes conjuntos difusos en Ude acuerdo con las propiedades de los carros. La Figura nos muestra

dos tipos de propiedades que pueden ser usadas para definir estos conjuntos enU:

a) carro Americano o carro no Americano.

b) numero de cilindros.

Figura 1: Particion del conjunto para todos los carros en la UNI y sus subconjuntos.

Por ejemplo podemos definir un conjuntoA de todos los carros en Uque tiene 4 cilindros, esto es.

A= {x U|xtiene 4 cilindros} (3)

O tambien.

A(x) =

1 si x U yxtiene 4 cilindros0 si x U yxno tiene 4 cilindros

(4)

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1.1 Definici on de Conjunto Difuso 1 CONJUNTO CLASICOS A CONJUNTOS DIFUSOS

Nosotros podemos definir un conjunto en Ade acuerdo a si el carro es Americano o no lo es, entonces nos

enfrentamos ante una dificultad. Una perpectiva es que un carro es Americano si lleva en nombre de una

manufactura Americana; el otro caso es que no sea Americano. As mismo muchas personas pueden hacerdistincion crisp (determinista, discreta) entre un carro Americano y carro no Americano, porque muchos

de los componentes para los que consideremos carros Americanos son producidos fuera de los Estados

Unidos (por ejemplo, Ford, GM, Chrylers).

Esencialmente la dificultad del Ejemplo 1, muestra algunos conjuntos no tiene los lmites claros. La

teora de conjuntos clasicos requiere que el conjunto tenga propiedades bien definidas por consiguiente

es incapaz de definir el conjunto como todos los automoviles americanos en la UNI. Para superar esta

limitacion de la teora de conjuntos clasica, se introduce el concepto de conjunto difuso. Resulta que esta

limitacion es fundamental y la nueva teora necesita de la teora de los conjuntos difusos.

1.1. Definicion de Conjunto Difuso

Un conjunto difuso en un universo de discursoUes caracterizado por una funcion de pertenencia A(x)que toma valores en el intervalo[0,1]. As mismo, un conjunto difuso es generalizado desde un conjuntoclasico permitiendo las funciones de pertenencia tomar algunos valores en el intervalo [0,1]. En otraspalabras la funcion de pertenencia de un conjunto clasico puede tomar solo dos valores el uno o cero,

mientras que la funcion de pertenencia para un conjunto difuso en una funci on continua en el rango de

[0,1]. Nosotros vemos, que desde la definicion no hay nada difuso sobre el conjunto difuso; esto essimplemente un conjunto con funcion de pertenencia continua.

Un conjunto difuso A en Upuede ser representado por un conjunto de pares ordenados de un elemento

genericox y su valor de pertenencia, es decir:

A= {(x,A(x)) |x U} (5)

CuandoUes continuo (por ejemploU= R), el conjunto difusoA se escribe comunmente como:

A=

UA(x)/x (6)

Donde el signo integral no denota integracion; denota la coleccion para todos los puntos x Uque estanasociados a la funcion de pertenenciaA(x). CuandoUes discreto,A es comunmente escrito como:

A=U

A(x)/x (7)

El signo sumatoria no representa adicion aritmetica; denota la coleccion para todos los puntos x U queestan asociados a la funcion de pertenencia A(x).

Ejemplo 2

Podemos definir el conjunto Carros Americanos en la UNI denotado por D, como un conjunto difuso

de acuerdo al porcentaje de las partes de los carros que estan hechos en los EE.UU. Especficamente,D

esta definido por la funcion de pertenencia:

D(x) = p(x) (8)

Donde p(x)es el porcentaje de las partes de los carrosx hechos en Estados Unidos, y ellos toman valoresdesde 0% hasta 100%. Por ejemplo, si un carro en particular x0 tiene el 60% de las partes hechos en

los EE.UU. entonces nosotros decimos que el carro x0 pertenece al conjunto difuso D con un grado

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1.1 Definici on de Conjunto Difuso 1 CONJUNTO CLASICOS A CONJUNTOS DIFUSOS

de pertenencia de 0.6. Similarmente podemos definir el conjunto Carros no Americanos en la UNI,denotado porF, como un conjunto difuso que tiene la funcion de pertenencia:

F(x) =1p(x) (9)

Siendo p(x) es el mismo que en (8). As, si un carro particularx0 tiene 60% de sus partes hechos enlos EE.UU., entonces nosotros decimos que el carro x0 pertenece al conjunto difuso Fcon un grado de

pertenencia de 10.6=0.4.

La Figura 2 muestra las ecuaciones (8) y (9). Claramente, un elemento puede pertenecer a conjuntos

difusos diferentes a los mismos o a diferentes grados.

0 50 1000.5

0

0.5

1

1.5

F

D

Figura 2: Funciones de pertenencia para los carros Americanos (D)y no Americanos(F).

Ejemplo 3

SeaZun conjunto difuso llamado numeros cercanos a cero como se muestra en la Figura 3.

Figura 3: Una posible funcion de pertenencia que caracteriza numeros cercanos a cero.

Una posible funcion de pertenencia paraZes:

Z(x) =ex2 (10)

Donde x R. Esta es una funcion Gaussiana con media igual a cero y desviacion estandar igual a uno.Conforme con la funcion de pertenencia, el numero 0 y 2 pertenencen al conjunto Zcon gradose0 =1 ye4 respectivamente. Podemos definir la funcion de pertenencia de la forma:

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2 OPERACIONES EN CONJUNTOS DIFUSOS

Ejemplo 5

SeaU

de los numeros enteros de 0 a 10, tal que,U

= {1,2,...,10}. Entonces el conjunto difuso algunospuede ser definido como:

algunos=0.5/3 + 0.8/4 + 1/5 + 1/6 + 0.8/7 + 0.5/8 (14)

Esto es, 5 y 6 pertenecen al conjunto difuso algunos con grado de pertenencia 1, 4 y 7 con grado de

pertenencia 0.8, 3 y 8 con grado de pertenencia 0.5, y 1,2,9 y 10 con grado de pertenencia 0, tal como se

muestra en la Figura 6.

Figura 6: Otra posible funcion de pertenencia que caracteriza numeros cercanos a cero.

2. Operaciones en Conjuntos Difusos

Los conceptos basicos de las operaciones en conjuntos difusos introducidos en la seccion anterior, concier-

nen solo a conjuntos difusos. En esta seccion estudiaremos las operaciones basicas de los conjuntos difu-

sos. Nosotros asumiremos que los conjuntos difusos A y B se definen en el mismo universo de discurso

U.

2.1. Definicion

La igualdad, contencion, complemento, union y interseccion de dos conjuntos difusosAy Bse definen de

la siguiente forma:

1. Igualdad

Se dice queA y B son iguales si y solo si:

A(x) = B(x) x U

2. Contencion

Se dice queB contiene aA, denotado porA B, si y solo si:

A(x) B(x) x U

3. Complemento

El complemento deA es un conjunto difuso A enUy su funcion de pertenencia es definida por:

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2.1 Definici on 2 OPERACIONES EN CONJUNTOS DIFUSOS

A(x) =1A(x) =A(x) (15)

Propiedades

Propiedad del medio excluido: AA= 1

Propiedad de la contradiccion:AA=

Propiedades:1X= = 1X

Las leyes del medio excluido y contradiccion no son satisfechas en logica difusa, tal como lo indi-

can los siguientes lemas:

Lema 1: Ley del medio excluido no valida:Sea A(

x) =

1/

2,

x

R, entonces:

(AA)(x) =max{A(x),A(x)} =max{11

2,1

2} =

1

2 = 1

Lema 2: Ley de la contradiccion no valida:Sea A(x) =1/2, x R, entonces:

(AA)(x) =min{A(x),A(x)} =min{11

2,1

2} =

1

2 = 0

Nota: En logica difusa se satisface la ley DMorgan.

(AB) =AB(AB) =AB

4. Union

La union (disyuncion) deA y B es un conjunto difuso enU, denotado por AB, donde su funcionde pertenencia es definida por:

AB(x) =max[A(x),B(x)] (16)

5. Interseccion

La interseccion (conjuncion) de A y B es un conjunto difuso en U, denotado por AB, donde sufuncion de pertenencia es definida por:

AB(x) =min[A(x),B(x)] (17)

Podemos preguntarnos por que usamos max para la union y min para la interseccion; daremos

una explicacion intuitiva. Una manera intuitiva de definir la union es la siguiente: la union deA y B

es el conjunto difuso mas pequeno que contieneAyB. mas precisamente, si Ces cualquier conjunto

difuso que contiene A y B, entonces tambien contiene la union deA y B. Entonces esta definicion

intuitiva es equivalente a (16), notamos primero, que ABdefinida en (16) contiene a ambosAy Bporque max[A,B] A y max[A,B] B. As mismo siCes un conjunto difuso que contienea ambos A y B, entonces

C

Ay

C

B. As mismo

Cmax

[

A,

B] =

ABque produce

queABsea definida por (16) que es un conjunto difuso pequeno que contiene a ambos A y B. Lainterseccion definida por (17) puede justificarse de la misma manera.

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2.1 Definici on 2 OPERACIONES EN CONJUNTOS DIFUSOS

Ejemplo 6

Considere dos conjuntos difusosD

yF

definidos por las ecuaciones (8) y (9), tal como se muesra en laFigura 2.

El complemento deF,F, es un conjunto difuso definido por:

F(x) =1F(x) =1p(x) (18)

que es mostrado en la Figura 7. Comparando (18) con (9) vemos que F= D. Esto tiene el sentido porquesi un carro no es un carro Americano (que es el complemento medio de Fintuitivamente), entonces debe

ser un carro Americano.

0 50 1000.5

0

0.5

1

1.5

F

~F

Figura 7: Las funciones de pertenencia para FyF.

La union deFyD es un conjunto difusoFD(ver Figura 8.) definido por:

FD(x) =max[F,D] =

F(x) si 0 p(x) 0.5D(x) si 0.5 p(x) 1

(19)

0 50 1000.5

0

0.5

1

1.5

F D

Figura 8: Funcion de pertenenciaFD.

La interseccion deFyD es un conjunto difusoFD(ver Figura 9) definido por:

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3 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

FD(x) =min[F,D] = F(x) si 0 p(x) 0.5

D(x) si 0.5 p(x) 1 (20)

0 50 1000.5

0

0.5

1

1.5

F D

Figura 9: Funcion de pertenenciaFD.

3. Extensiones de Operaciones en Conjunto Difusos

En esta seccion estudiaremos otros tipos de operadores para el complemento, union, y interseccion de

conjuntos difusos. Nos preguntamos porque es necesario estudiar estos tipos de operadores?. La principal

razon es que los operadores descritos en (15), (16) y (17) no satisfacen algunas situaciones. Por ejemplo,cuando queremos tomar la interseccion de dos conjuntos difusos nosotros queremos un conjunto difuso

mas grande para tener un impacto en el resultado. Pero si usamos el operador min de (17) el conjunto

difuso mas grande no tendra el impacto. Los nuevos operadores se propondra en las bases de axiomas.

Podemos empezar con los axiomas del complemento, union y interseccion que satisfacen un orden de

calificacion de estas operaciones.

3.1. Complemento Difuso

Seac :[0,1] [0,1] un mapeo tal que transforma la funcion de pertenencia del conjunto difuso A en lafuncion de pertenencia del complemento deA, es dado por:

c[A(x)] = A(x) (21)

En el caso de (15), c[A(x)] = 1A(x). En el orden para la funcion c para ser calificada como comple-mento, debe satisfacer por lo menos dos requisitos:

Axioma c1.c(0) =1 yc(1) =0 (condicion de lmite)

Axioma c2.Para todoa y b [0,1], sia

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3.2 Uni on Difusa - La Norma S3 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

3.2. Union Difusa - La Norma S

Sea s

: [0,1] [0,1] [0,1] un mapeo tal que transforma la funcion de pertenencia de los conjuntosdifusosA y B en la funcion de pertenencia de la union deA y B, es dado por:

s[A(x),B(x)] =AB(x) (22)

En el caso de (16), s[A(x),B(x)] =max[A(x),B(x)]. En el orden para la funcions para ser calificadacomo la union, debe satisfacer por lo menos cuatro requisitos:

Axioma s1.s(1,1) =1, s(0,a) =s(a,0) =a(condicion de lmite)

Axioma s2.s(a,b) =s(b,a)(condicion conmutativa)

Axioma s3.Si a a yb b, entoncess(a,b) s(a,b)(condicion no decreciente)

Axioma s4.s(s(a,b),c) =s(a,s(b,c))(condicion asociativa)

El axioma s1 indica que la funcion union debe estar en los casos extremos. El axioma s2 asegura que

el orden en que los conjuntos difusos se combinan no tiene la influencia en el resultado. El axioma

s3 muestra un requerimiento natural para la union: un incremento en los valores de las funciones de

pertenencia en dos conjuntos difusos puede resultar un incremento en los valores de las funciones de

pertenencia de la union de dos conjuntos difusos. El axioma s4muestra el uso extendido de la operacion

union para mas de dos conjuntos difusos.

Definicion

Cualquier funcion s: [0,1] [0,1] [0,1] que satisface los axiomas s1-s4 son llamados una norma-s.Listamos algunas de ellas:

1. Suma Drastica:

ssd(a,b) =

a si b=0b si a=01 otro caso

(23)

2. Suma de Lukasiewicz:

ssl(a,b) =min{1,a + b} (24)

3. Suma de Einstein:

sse(a,b) = a + b

1 + ab(25)

4. Suma Algebraica:

ssa(a,b) =a + bab (26)

5. Maximo:

sm(a,b) =max{a,b} (27)

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3.3 Uni on Difusa - La Norma T3 EXTENSIONES DE OPERACIONES EN CONJUNTO DIFUSOS

4. Producto Algebraico:

tpa(a,b) =ab (33)

5. Mnimo:

tm(a,b) =min{a,b} (34)

Teorema

Para algunas normas-t, esto es, para una funciont: [0,1] [0,1] [0,1]que satisface los axiomas t1-t4,se sostiene la siguiente desigualdad:

tpd(a,b) t(a,b) min(a,b) (35)

Para todoa,b [0,1].

Ejemplo 7

Sea la norma-t Lukasiewicz t(a,b)=max{a+b-1,0}, a,b U={2,1,0,1,2,3,4} y sean losconjuntos difusos:

A=0.0

2+

0.3

1+

0.6

0 +

1.0

1 +

0.6

2 +

0.3

3 +

0.0

4

B= 0.12

+ 0.31

+ 0.90

+1.01

+1.02

+0.33

+0.24

Entonces la interseccion deA y B toma la siguiente forma:

AB=0.0

2+

0.0

1+

0.5

0 +

1.0

1 +

0.6

2 +

0.0

3 +

0.2

4

Aplicamos la operacion de la norma-t para el tercer termino:

max{0.6 + 0.91,0} =max{0.5,0} =0.5

En forma analoga encontramos la pertenencia para los demas elementos de la interseccion.

Sea la norma-s de Lukasiewicz s(a,b)=min{a+b,1}, a,b U= {2,1,0,1,2,3,4} y sean losconjuntos difusosA y B.

Entonces la union deA y B toma la siguiente forma:

AB=0.1

2+

0.6

1+

1.0

0 +

1.0

1 +

1.0

2 +

0.6

3 +

0.2

4

Aplicamos la operacion de la norma-s para el segundo termino:

0.6=min{0.3 + 0.3,1} =min{0.6,1}

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