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7/24/2019 Leccin 2.Momentos de Inercia. Clase II
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Calculos del momento de inercia.
Tema 2.- Momentos de InerciaEjercicios propuestos.(recordando)
21
12z
I ML=
Varilla homogneo de masa M y longitud L respecto a un
eje perpendicular que pasa por su centro .
G
G
z
z
21
2zI MR=
Disco homogneo de Varilla de masa M radio R respecto
a un eje perpendicular que pasa por su centro .
G
Ejercicio. Obtener estos resultados por integracin directa.
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Ejercicio. Momento de inercia de un disco homogneo.
( )2 2 2
0
4 22 2
2
12
4 2 2
R
OI r dm r dA r rdr
R RR MR
= = = =
= =
Momento polar de inerciaR
dm
OO
r
y
x
( 0) 0
zI = =
( 0) 0z zI I I =+ =
2
1
2zI MR=
Teorema de los ejes perpendiculares y sabiendo que los momentos
respecto a cualquier dimetro son iguales
x y zI I I+ = 2
x zI I= 21
4x y
I I MR= =
El clculo de los momentos de inercia implica buenasestrategias, aplicar las propiedades, no slo esrealizar integrales. Un ejemplo
Tema 2.- Momentos de Inercia
Sample Problem 9.2
9 - 23
a) Determine the centroidal polar
moment of inertia of a circular
area by direct integration.
b) Using the result of part a,
determine the moment of inertia
of a circular area with respect to a
diameter.
SOLUTION:
An annular differential area element is chosen,
( ) ===
==
rr
OO
O
duuduuudJJ
duudAdAudJ
0
3
0
2
2
22
2
4
2rJO
=
From symmetry,Ix =Iy,
xxyxO IrIIIJ 22
2 4 ==+=
4
4rII xdiameter
==
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Momentos de Inercia de Placas delgadas
dm d tdAt
dA dA dA
= = = =
,AA
I rea
=
,BB
I rea
=
En estos casos el clculo del momento de inercia se reduce al clculo de los
momentos de inercia de reas
Tema 2.- Momentos de Inercia
Momento de Inercia de un Area por Integracin
9 - 25
Momento de segundo orden o momento de
inercia de un rea respecto a los ejes x e y
== dAxIdAyI yx22
El clculo de integrales se simplifica eligiendo elementos de reas adecuados
3
31
0
22bhbdyydAyI
h
x ===
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Sample Problem 9.1
9 - 26
Determine the moment of
inertia of a triangle with respect
to its base.
SOLUTION:
A differential strip parallel to thex axis is chosen for
dA.
dyldAdAydIx == 2
For similar triangles,
dyh
yhbdA
h
yhbl
h
yh
b
l =
=
=
Integrating dIx fromy = 0 toy = h,
( )
h
hhx
yyh
h
b
dyyhyh
bdy
h
yhbydAyI
0
43
0
32
0
22
43
=
=
==
12
3bh
Ix=
Tema 2.- Momentos de InerciaTabla de momentos de inercia de reas elementales elementales
Donde son los momentos de inercia respecto a los ejes paralelos a Ox y Oy
que pasan por su centroide y los momentos de inercia respecto al centroide C y
a O, respectivamente.
ex yI Iy
C OJ J
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Tema 2.- Momentos de InerciaRecordando.Aplicacin. Teorema de los ejes paralelos
9 - 28
Momento de inerciaIT de un rea circular
respecto a la tangente de la circunferencia
4
45
224
412
r
rrrAdIIT
=
+=+=
Momento de inercia de un tringulo respecto a
los ejes centroidales
( )3
361
2
31
213
1212
2
bh
hbhbhAdII
AdII
AABB
BBAA
=
==
+=
Cuando se conoce un momento de inercia respecto a un eje, es sencillo calcular su
valor en un eje paralelo.
Tema 2.- Momentos de InerciaRecordando. Teorema de los ejes perpendiculares(objeto plano)
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Momentos de Inercia de un cuerpo 3D por integracin
geometricoI=
Tema 2.- Momentos de InerciaMomentos de inercia de formas geomtricas usuales.
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Ejemplo. Momentos y productos de inercia de un cilindro(1/3)
cosx r
y rsen
=
=
d rd d dz =
2 3
z
cilindro
I r dm r d drdz = = 2
3 3
0 0 0
422 1
4 2
H R
z
cilindro
I r d drdz dz d r dr
H RMR
= = =
=
2Masa R H=
R
Coordenadas cilndricas
R 212z
dI dmR=
2 2
0 0
1 12 2
H H
z zI dI R dm MR= = =
Utilizando elementos
Clculo de Iz
Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo. Momentos y productos de inercia de un cilindro (2/3)
Plano z=0
R3
2 2 2 2 2
0 0
1
3 3
H H
xy
HI z dm R z dz R MH = = = = 2dm R dz=
Planos x=0 e y=0xz yz zI I I+ =
xz yzI I=2
xz zI I=
21/ 4
xzI MR=2
1/ 4yzI MR=
2
2 3 2 2 3
0 0 0
42
cos cos
1
4 4
H R
xz
cilindro
I y dm r d drdz dz d r dr
H RMR
= = = =
=
b)Por integracin directa encilndricas
cosy r = d rd drdz =
a)Utilizando relaciones
!!Preferible utilizar relaciones!!
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Momentos y productos de inercia de un cilindro (3/3)
R
2 21 1
4 3y yz xy
I I I MR MH= + = +
2 21 1
4 3x yz yx
I I I MR MH= + = +
Productos de inercia Los planos xz e yz son de simetra
0xy xz yzP P P= = =
Momentos de inercia del semicilindro delimitado por uncorte con el plano y=0
Momentos de inercia del semicilindro delimitado por uncorte con el plano z=H/2
Ejercicios
Tema 2.- Momentos de InerciaProblema ejemplo.Momentos y productos de inercia por integracin.1/4
Calculara) Productos de inercia respecto a los planos
coordenados en Ob) b) Momentos de inercia respecto a los ejes x y z
de coordenadas en O
z=2
z=y
O
Tomar =1 (momentos geomtricos)
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Tema 2.- Momentos de InerciaProblema ejemplo.Momentos y productos de inercia por integracin.2/4
a) Productos de inercia respecto alos planos coordenados
1) El plano x=0 es un planode simetra en O
( ) 0yz
dP elemento =
0xz xyP P= =
( )y z elemento0; 0 ( )y z centro desimetra elemento= =
22 54
0 0
1 8
4 20 5yz
region
zP yzdm z dz
= = = =
r
z
z=y
y
z=2/ 2 / 2r y z= =
yz yzdP dP yzdm yzdm= + =
xyzP2) Clculo de
2 21
4dm r dz z dz = =
Tema 2.- Momentos de InerciaProblema ejemplo.Momentos y productos de inercia por integracin.3/4
z
2 2 2312 2z
dI r dm r dm r dm= + =1) Eje z
22
2 23 32 2
0
1 3
2 4 5z Z
z
zI dI r dm z dz
= = = =
Plano yz.
2 2
4
0 064 10
yz D
z
I dI z dz
=
= = = D
2
2 2
4
114 4 2 4
64
D
zdI r dm z
z dz
= = =
z=2
y 2) Ejes x e y
Dada la simetra, por sencillez, nos auxiliamos en los momentos planarios
La suma de momentos del discos elementales sobre su dimetro
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Tema 2.- Momentos de InerciaProblema ejemplo.Momentos y productos de inercia por integracin.4/4
2 2
2 4
0 0
1 8
4 5xy
z
I z dm z dz =
= = =
Plano xy
Plano xz
z=y
y
z=2/ 2 / 2r y z= =
2 21
4dm r dz z dz = =r
z xz yzI I I= +Podemos obtenerlo sin integracin
3 1 1
5 10 2
xz z yzI I I = = =
Eje y 8 1 17
5 10 10y xy yzI I I = + = + =
Eje x8 1 21
5 2 10x xy xzI I I = + = + =
Tema 2.- Momentos de InerciaUso de simetrias, propiedades y relaciones
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Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo.Uso de simetras Momentos en un cilindro homogneo. (1)
El momento de inercia respecto al eje z, es el mismo
que el del disco proyeccin de la masa del cilindro en
el plano perpendicular al eje z ( plano xy)
21
2z
I MR=
Densidad proyectada.
Tema 2.- Momentos de Inercia
Ejemplo uso de simetras. Cilindro homogneo (2)
21
12I ML =
L
2
( 0)
1
12xy zI ML= =
La contribucin de cada elemento del cilindro respecto al plano es lamisma que la de cada elemento de una barra delgada respecto al eje
2dI z dm=
z
z
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Ejemplo Momento del cilindro homogneo (3)
21
4DI MR=2
( 0)
1
4zy xI MR= =
Un disco respecto a su dimetro tiene el mismo momento que lasucesin de discos (del cilindro) respecto a los sucesivos dimetros(sobre el plano)
y
Tema 2.- Momentos de InerciaEjemplo. Ciclindro homogneo 4
2 21 1
12 4y zy xy
I I I ML MR= + = +
Teorema de planos perpendiculares.
2
( 0)
1
4zy xI MR= =
2
( 0)
1
12xy zI ML= =
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Aplicacin. Cilindro homogneo. Otra forma
2 21 1
3 2O zI I I ML MR= + = +
2 2O x y z x zI I I I I I= + + = +
2 21 1
2 3 4
zx O
II I ML MR= = +
xy
R Respecto al plano es igual que el de una varilla delongitud L respecto a un extremo.
Respecto al eje Z es igual que el de un disco deRadio R
L
z
O
Teorema de los ejes perp.
Relacin entre polar y axial.
O
Tema 2.- Momentos de InerciaCono por densidad proyectada
Comprobar que es el momento Iz de un cono de altura H y radio R es el
mismo que el de un disco cuya densidad radial es proporcional a la altura
sobre el punto en la forma
( ) H
r H rR
=
Calcular por integracin directa el momento de inercia del disco
respecto al eje perpendicular
( ) H
r H rR
=
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Clculo de Momentos de inercia Figuras compuestas
Por la aditividad de la integral respecto al intervalo
Se puede descomponer el cuerpo en partes mas sencillas
Se puede calcular el momento de inercia de
piezas con hueco sumando el momento de
inercia del hueco con masa negativa
Para poder sumar los momentos de los componentes, estos han de estar
calculados en el mismo punto, eje, plano (emplear Steiner)
Momentos de inercia de figuras compuestas
Tema 2.- Momentos de Inercia
Repaso.Problema resuelto 9.5 (1/2)Determinar el momento de inercia de la zona
sombreada con respecto al eje x.
Solucin:
Rectngulo: ( )( ) 46313
31 mm102.138120240 === bhIx
Datos.b
h
x
AA
Calculamos los momentos de inercia del rectngulo completo y semicrculocon respecto al eje x.
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Tema 2.- Momentos de Inercia
Problema resuelto 9.5 (2/2)
Semicrculo:( ) 464
814
81 mm1076.2590 === rI AA
( )( )
( )
23
2
212
21
mm1072.12
90
mm81.8a-120b
mm2.383
904
3
4
=
==
==
===
rA
ra
Momento de inercia respecto ax,46
362
mm1020.7
1072.121076.25
=
== AaII AAx
( )46
2362
mm103.92
8.811072.121020.7
=
+=+= AbII xx
Momento de inercia respecto aAA,
Momento de inercia respecto a x,
46109.45 mmIx
=6 6138.2 10 92.3 10x rectngulo semicrculoI I I= =
Por Steiner calculamos el momento centroidal
Por Steiner
Tema 2.- Momentos de Inercia
Momento de inercia en un eje de direccin arbitraria.
)cos,cos,(cos
Consideremos un eje arbitrario que pasa por el
origen O y cuya direccin viene dada por
Se puede demostrar que en funcin de los ejes
coordenados la expresin del momento de inercia
respecto a este eje es
Dejamos la demostracin al estudiante interesado. Ref. Ortiz Berrocal
Para el caso de un sistema en el plano xy (=0, +=90)