Un espacio vectorial es una estructura matemática creada a partir de un conjunto no vacío con una operación suma interna al conjunto y una operación producto externa entre dicho conjunto y un cuerpo, cumpliendo una serie de propiedades o requisitos iniciales.

A los elementos de un espacio vectorial se les llamará vectores y a los elementos del cuerpo se les llamará escalares

VSEDENOTA

K= ESCALAR

Sea una estructura algebraica formada por un conjunto A, sobre cuyos elementos se ha definido una operación o ley de composición interna binaria denotada por “ ". Se dice que la estructura es un … (VEAMOS)

En matemática una operación matemática es la acción de un operador sobre los elementos de un conjunto. El operador toma los elementos iniciales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final que puede ser de la misma naturaleza o no; esto se conoce técnicamente como ley de composición.

Elementos de un conjunto de entrada

Operación

Elemento conjunto salida

Una operación o ley de composición es la aplicación de un operador (un operador es un símbolo matemático que indica que debe ser llevada a cabo una operación especificada sobre un determinado número de operandos como serían los números, funciones, vectores, etc.) Sobre una selección de elementos pertenecientes a un conjunto. El operador toma los elementos originales y los relaciona con otro elemento de un conjunto final el cual puede ser de la misma naturaleza o no. Esto es lo que se conoce concluyentemente como ley de composición.

a*b=3.a.bEn donde * es el operador que indica que los elementos 1 y 2, o sea en mi caso a y b se relacionan de tal manera que es igual a tres veces el producto del primer elemento por el segundo elemento

POR EJEMPLO:

VEAMOS OTRO EJEMPLO:X * y = x * yEn donde el operador nos indica que los conjuntos formados por los elementos x y y, ambos vectores se relacionan de tal manera que sera igual a la suma del primer elemento mas el segundo elemento, es decir dicha ley relaciono un conjunto de salida con un conjunto de llegada

LEY DE CIERRE:

Esta dice que al operar dos elementos el resultado debe pertenecer al conjunto asignado en la operación

A* AA

Una ley de composición interna (l.c.i) es una ley que asocia a cada (todo), par de elementos de A otro elemento de A.

Ejemplos: La suma en N y la suma en Z. La suma de vectores. El producto en N y en Z. La resta en Z.

3 N y 5 N 3+5=8 y 8 N

123456789

Conjunto deNúmeros naturales

N SOLO INTERVIENE UNA CONJUNTO

PROPIEDADES DE LAS LEYES DE COMPOSICIÓN INTERNAS

Una l.c.i () en un conjunto A es:

1. Asociativa Se dice que la ley de composición * es asociativa cuando para cualquier elementos x,y,z pertenecientes al conjunto A se verifica: Si x, y, z A(a * b) * c = a * (b * c)

DEMOSTRAR SI:a * b = 3 . a . b ES Asociativa:

letra 1 * letra 2 = 3 . letra 1 . Letra 2Nuestra propiedad dice que: a*(b*c)=(a*b)*cSustituyendo:a*(3.b.c)b*c = 3 . Letra 1 . Letra 2 = o sea que:a*(3.b.c) =Pero quien es a*Tengo que a*b=3.a.b y me queda que:a*=3.a

Sustituyo

3.a.(3.b.c)=(3.a.b)3c=Pero 3.a.b por ley es 3*a*b, entonces(a*b)3c=Y quien es 3c, por ley sabemos que 3c= *c, entonces nos queda que(a*b)*c=Por tanto comoa*(b*c)=(a*b)*c

queda demostrado el teorema y la ley a*b=3.a.b

Si goza de la propiedad asociativa

2. Conmutativa

Si x, y A(x + y) A

Se dice que la ley de composición * es conmutativa cuando para cualquier elementos x , y pertenecientes al conjunto A se verifica: x * y = y * x

SI ES CONMUTATIVA, SE CUMPLE QUE ES

SIMÉTRICA RESPECTO A LA DIAGONAL PRINCIPAL

3. Elemento neutro

0A, xAx+0=0+x=x

Se dice que la ley de composición * posee elemento neutro cuando existe un elemento n de A tal que cualquiera que sea a perteneciente al conjunto A se verifica: a * n = a

4. Elemento simétrico

-xA, xA-x+x=0 = x +(-x) =0

Se dice que la ley de composición, que posee elemento neutro, es simetrizable cuando para cualquier elemento de a perteneciente al conjunto A existe un elemento a' de A tal que: a*a'=nDonde n es el elemento neutro

DISTRIBUTIVA ENTRE DOS OPERACIONES

Se dice que la ley de composición * es distributiva respecto de la operación ¤ cuando cualquiera que sean los elementos a, b, c pertenecientes al conjunto A se verifica: a * (b ¤ c)= a * b ¤ a * c

LEYES DE COMPOSICIÓNEXTERNAS

dados dos conjuntos A y K, definimos una ley de composición externa cuyo conjunto de operadores es K si se cumple que,

Por ejemplo si A es un conjunto de vectores libres del plano y K=N.En particular una Ley de composición interna es un caso de ley de composición externa, en el cual los dos conjuntos A y K coinciden.

Una ley de composición externa sobre un conjunto A con un conjunto B es una aplicación:

esta aplicación se dice que es una operación externa.

Dado el conjunto de los vectores en el plano y el conjunto de escalares de números reales, tenemos que el producto de un número real por un vector en el plano es un vector en el plano:

Dado el vector:

Si lo multiplicamos por un escales 3:

podemos ver que los dos vectores son del plano:

POR EJEMPLO:

VEMOS QUE PARTIMOS DE UN CONJUNTO (en este caso un vector) lo multiplicamos por un escalar (elemento perteneciente a otro conjunto) y obtuvimos un resultado perteneciente al primer conjunto o sea un vector

A . B AA es el vector

B es el escalar: 3

Nos devuelve Que pertenece al conjunto A, el conjunto de vectores

Según las leyes que cumplan Las estructuras algebraicas de una operación asi tienen un nombre en particular así:

HAZ CLIC EN LA IMAGEN

Estructuras algebraicas

Se llama estructura algebraica a todo conjunto en la que se han definido una o varias leyes de composición

HAZ CLIC EN LA IMAGEN

DISTRIBUTIVA POR LA DERECHA

K , K , xV (+)x=x + x

DISTRIBUTIVA POR LA IZQUIERDA

K , xv , yv (x + y) = x + y

K , K , XV () x = (x)

UNICIDAD ELEMENTO NEUTRO

1K , xV 1.X = X.1 = X

SEMIGRUPO

Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de semigrupo si la ley es asociativa. Si la operación * posee la propiedad conmutativa o elemento neutro o ambas a la vez, el semigrupo se llama conmutativo, con elemento neutro o conmutativo con elemento neutro, respectivamente.

GRUPO

Se dice que el conjunto A con la ley de composición interna * tiene estructura de grupo si la ley es asociativa, posee elemento neutro y es simetrizable.

Si la operación * posee la propiedad conmutativa, entonces el grupo se llama conmutativo o abeliano.

SEMIANILLO

Se llama semianillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

ANILLO

Se llama anillo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna una que tiene estructura de grupo y la otra de semigrupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

CUERPO

Se llama cuerpo cuando en el conjunto A hemos definido dos leyes de composición interna que tienen estructura de grupo y además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

ESPACIO VECTORIAL

Se llama espacio vectorial a la estructura en la que se ha definido sobre el conjunto A una estructura de cuerpo conmutativo y una ley externa sobre el conjunto B que satisfacen las siguientes condiciones: A con la ley * es un grupo conmutativo Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la interna * en A Distributiva de la ley externa ¤ respecto de la enterna * en B Asociativa mixta Neutralidad de la ley externa

EJEMPLO:Sea E = {e, a, b, c} y definimos en dicho conjunto una ley de composición interna, representada por (•), para la que “e” es el elemento neutro y, además, la ley viene definida por las siguientes igualdades:

Demostrar que esta ley es asociativa y conmutativa.

Con los datos dados formamos la tabla:

La ley es conmutativa por ser la tabla simétrica respecto a la diagonal principal.

Cada elemento posee su simétrico:

Para ver si la ley es asociativa, debemos desarrollar todos los términos y comprobar que no existe ningún contraejemplo. Vg:

Es fácil comprobar que no existen contraejemplos, por lo que podemos concluir que la ley es asociativa.

queda demostrado el teorema y la ley

Si goza de la propiedad conmutativa y asociativa

Dado el conjunto Z, definimos en él las siguientes operaciones:

Determinar si  es un grupo conmutativo y  es un semigrupo conmutativo.

En caso positivo para los apartados anteriores, determinar si  es un anillo

Estructura de grupo

Anillo

Estructura de semigrupo

además una ley de composición es distributiva respecto a la otra.

RECORDEMOS

DEBEMOS PROBAR:ASOCIATIVIDADELEMENTO NEUTROSIMETRÍA

(a * b) * c = a * (b * c)a * n = a

a*a'=nDonde n es el elemento neutro

a * (b ¤ c)= a * b ¤ a * c

se cumple la propiedad asociativa.

(a * b) * c = a * (b * c)

Existencia de elemento neutro:

Por lo tanto, el elemento neutro es el 8. Como es distinto de 0 vemos que si existe

Elementos simétricos:

Todos los elementos tienen simétrico por la izquierda y es de la forma indicada. Si se verifica la propiedad conmutativa no es necesario desarrollar las anteriores propiedades por la derecha

por lo tanto, sí se verifica la propiedad conmutativa

TODOS LOS ELEMENTOS TIENEN SIMÉTRICO.

Ley de simplificación:

Y puesto que se cumple la ley conmutativa, podemos decir que todos los elementos son regulares a izquierda y derecha.

LA ESTRUCTURA ESTUDIADA ES,

POR CONSIGUIENTE,

UN GRUPO AVELIANO.