Post on 24-Jan-2016
Líneas de Espera:Teoría de Colas
Las colas…OLas colas son frecuentes
en nuestra vida cotidiana:OEn un bancoOEn un restaurante de
comidas rápidasOAl matricular en la
universidadOLos autos en un lavacar
Las colas…OEn general, a nadie le gusta
esperarOCuando la paciencia llega a su
límite, la gente se va a otro lugar
OSin embargo, un servicio muy rápido tendría un costo muy elevado
OEs necesario encontrar un balance adecuado
Teoría de colasOUna cola es una línea de esperaOLa teoría de colas es un conjunto de
modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares
OEl objetivo es encontrar el estado estable del sistema y determinar una capacidad de servicio apropiada
Teoría de colasOExisten muchos sistemas de colas distintos
OAlgunos modelos son muy especiales
OOtros se ajustan a modelos más generales
OSe estudiarán ahora algunos modelos comunes
OOtros se pueden tratar a través de la simulación
Sistemas de colas: modelo básico
OUn sistema de colas puede dividirse en dos componentes principales:OLa colaOLa instalación del servicio
OLos clientes o llegadas vienen en forma individual para recibir el servicio
Sistemas de colas: modelo básico
OLos clientes o llegadas pueden ser:OPersonasOAutomóvilesOMáquinas que requieren
reparaciónODocumentosOEntre muchos otros tipos de
artículos
Sistemas de colas: modelo básico
OSi cuando el cliente llega no hay nadie en la cola, pasa de una vez a recibir el servicio
OSi no, se une a la colaOEs importante señalar que la
cola no incluye a quien está recibiendo el servicio
Sistemas de colas: modelo básico
OLas llegadas van a la instalación del servicio de acuerdo con la disciplina de la cola
OGeneralmente ésta es primero en llegar, primero en ser servido
OPero pueden haber otras reglas o colas con prioridades
Sistemas de colas: modelo básico
Llegadas
Sistema de colas
ColaInstalación
del servicio
Disciplinade la cola
Salidas
Estructuras típicas de sistemas de colas: una
línea, un servidor
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Estructuras típicas de sistemas de colas: una línea, múltiples
servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola
ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Estructuras típicas de colas: varias líneas, múltiples servidores
Llegadas
Sistema de colas
Cola ServidorSalidas
Servidor
Servidor
Salidas
Salidas
Cola
Cola
Estructuras típicas de colas: una línea, servidores secuenciales
LlegadasSistema de colas
Cola
Servidor
Salidas
Cola
Servidor
Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución exponencial
OLa forma algebraica de la distribución exponencial es: ????
ODonde t representa una cantidad expresada en de tiempo unidades de tiempo (horas, minutos, etc.)
tetserviciodetiempoP 1)(
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución
exponencial
Media Tiempo0
P(t)
Sistemas de colas: Las llegadas – Distribución
exponencialOLa distribución exponencial supone una mayor probabilidad para tiempos entre llegadas pequeños
OEn general, se considera que las llegadas son aleatorias
OLa última llegada no influye en la probabilidad de llegada de la siguiente
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de Poisson
OEs una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas
OPara tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de
PoissonOSu forma algebraica es:
ODonde:OP(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo
O : tasa media de llegadasOe = 2,7182818…http://www.auladeeconomia.com
!)(
k
ekP
k
Sistemas de colas: Las llegadas - Distribución de
Poisson
http://www.auladeeconomia.com Llegadas por unidad de tiempo0
P
Sistemas de colas: El servicio
OEl servicio puede ser brindado por un servidor o por servidores múltiples
OEl tiempo de servicio varía de cliente a cliente
OEl tiempo esperado de servicio depende de la tasa media de servicio ()
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: El servicio
OEl tiempo esperado de servicio equivale a 1/
OPor ejemplo, si la tasa media de servicio es de 25 clientes por hora
OEntonces el tiempo esperado de servicio es 1/ = 1/25 = 0.04 horas, o 2.4 minutos
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: El servicioOEs necesario seleccionar una
distribución de probabilidad para los tiempos de servicio
OHay dos distribuciones que representarían puntos extremos:OLa distribución exponencial (=media)
OTiempos de servicio constantes (=0)http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: El servicio
OUna distribución intermedia es la distribución Erlang
OEsta distribución posee un parámetro de forma k que determina su desviación estándar:
mediak
1
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: El servicio
OSi k = 1, entonces la distribución Erlang es igual a la exponencial
OSi k = ∞, entonces la distribución Erlang es igual a la distribución degenerada con tiempos constantes
OLa forma de la distribución Erlang varía de acuerdo con k
http://www.auladeeconomia.com
Sistemas de colas: El servicio
http://www.auladeeconomia.comMedia Tiempo0
P(t)k = ∞
k = 1k = 2
k = 8
Proceso de Nacimiento y Muerte
O En el contexto de teoría de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas.
O El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t
O Supuesto 1:O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad
actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro n .
O Atención: n = la tasa media de llegadas cuando hay n clientes en el sistemahttp://www.auladeeconomia.com
Proceso de Nacimiento y Muerte
O Supuesto 2:
O Dado N(t) = n , la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (salida) es exponencial con parámetro n .
O Atención: n = la tasa media de salidas cuando hay n clientes en el sistema.
O Supuesto 3.
O La variable aleatoria de la suposición 1 (tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (tiempo que falta hasta la próxima muerte) son mutuamente independientes.
http://www.auladeeconomia.com
Modelos Poisson.
http://www.auladeeconomia.com
O En la teoría de la probabilidad y en la estadística, la distribución de Poisson es una distribución de probabilidad discreta. Ella expresa, por ejemplo, la probabilidad de que un correcto número de eventos ocurran en un periodo de tiempo, si estos ocurran con una tasa media conocida y si cada evento es independiente del tiempo transcurrido desde el último evento.
USOS
O La distribución de Poisson se utiliza en situaciones donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados.
O Permite determinar la probabilidad de ocurrencia de un suceso con resultado discreto.
http://www.auladeeconomia.com
usos
O Es muy útil cuando la muestra o segmento n es grande y la probabilidad de éxitos p es pequeña.
O Se utiliza cuando la probabilidad del evento que nos interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo distancia, área, volumen o tiempo definido.
http://www.auladeeconomia.com
usosO La distribución fue descubierta por
Siméon –Denis Poisson (1781–1840) y publicada, conjuntamente con su teoría de la probabilidad, en 1838.
O Es en muchos sentidos la versión de tiempo continuo del proceso de Bernoulli.
http://www.auladeeconomia.com