Post on 08-Jul-2015
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LOGARITMOS
2
Logaritmación• Es una operación inversa de la potenciación, consiste en
calcular el exponente cuando se conocen la base b y la potencia
N.
𝑏𝑥 = 𝑁
54 = 𝑁 𝑏3 = 64 3𝑥 = 243
Para calcular la
potencia N se
emplea la
potenciación
Para calcular la
base b se emplea
la radicación
Para calcular el
exponente x se
emplea la
logaritmación
3
Definición de logaritmo• Logaritmo de un número positivo N en una base b, positiva y
diferente de 1, es el exponente x al cual debe elevarse la base
b para obtener el número N.
Expresión de los logaritmos• Los logaritmos se expresan en dos formas equivalentes: «forma
exponencial» y «forma logarítmica».
4
Forma
exponencial
Forma
logarítmica
log x
b N x b N
Algunas precisiones sobre
logaritmos• Los logaritmos son exponentes y pueden ser cualquier número
real.
• Sólo tienen logaritmo los números reales positivos.
• La base de los logaritmos es un número real positivo y diferente
de 1.5
0
10
0𝑥 < 0 𝑥 = 0 𝑥 > 0
𝑏 > 0 𝑏 ≠ 0
N > 0
6
Identidad fundamental de los
logaritmos• Si el logaritmo de un número N en una base b es exponente de
su propia base, es igual número N.
Ejemplos.
4
2008
log 6
log 1500
1) 4 6
2) 1500
2008
Propiedades
Propiedades generales de los logaritmos
7
8
Logaritmo de 1• El logaritmo de 1, en cualquier base, es igual a cero.
• Ejemplos:
5
7
1) log 1 0
2) log 1 0
9
Logaritmo de la base• El logaritmo de la base es igual a la unidad.
• Ejemplos:
6
2
1) log 6 1
2) log 2 1
10
Logaritmo de un producto• El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos
de los factores.
• Ejemplos:
2 2 2
5 5 5
1) log 7 5 log 7 log 5
2) log 25 4 log 25 log 4
11
Logaritmo de un cociente
• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia del logaritmo
del dividendo (numerador) menos el logaritmo del divisor
(denominador).
• Ejemplos:
2 2 2
5 5 5
11) log log 1 log 6
6
102) log log 10 log 5
5
12
Logaritmo de una potencia
• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
por el logaritmo de la base.
• Ejemplos:
3
2 2
4
5 5
1) log 6 3log 6
2) log 5 4log 5
13
Logaritmo de una raíz• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del radicando
dividido entre el índice.
• Ejemplos:
33
log 121) log 12
2 4 5
5
log 62) log 6
4
14
Producto de logaritmos recíprocos
• El producto de dos logaritmos recíprocos es igual a la unidad.
• Ejemplos:
2 5
32
1) log 5 . log 2 1
2) log 3 . log 2 1
15
Número y base potencias• Si el número y la base son potencias indicadas con igual base, el
logaritmo es igual al cociente de los exponentes de las
potencias.
• Ejemplos:
4
6
2
61) log 2
4 5
2
3
22) log 3
5
16
Invariabilidad del logaritmo• Si al número y a la base de un logaritmo se eleva a una misma
potencia o se extrae radicales del mismo grado, el logaritmo no
varía.
• Ejemplos:
4
4
331) log 5 log 5 1212
2) log 6 log 6
Más Propiedades
Propiedades complementarias de los
logaritmos
17
18
Reducción de potencias• Si en un logaritmo, número y base son potencias, es igual al
producto del cociente de los exponentes por el logaritmo de la
base del número en la base de la base.
• Ejemplos.
5
4
22
41) log 3 log 3
5 2
3
66
32) log 5 log 5
2
19
Base y número inversos
• Si base y número de un logaritmo son inversos de números enteros, es igual al logaritmo del número inverso, en la base inversa.
• Ejemplos.
1 2
2
11) log log 13
13
1 4
4
12) log log 8
8
20
Cambio de base• El logaritmo de cualquier número, en cualquier base, es igual al
logaritmo del número dividido entre el logaritmo de la base, ambos logaritmos en la nueva base.
• Ejemplos.
52
5
log 31) log 3
log 2 3
6
3
log 212) log 21
log 6
21
Regla de la cadena
• Si en un producto de logaritmos hay un encadenamiento entre base y
número, de tal modo que la base de un logaritmo es número en el siguiente
factor, es igual al logaritmo del primer número en la última base.
• Ejemplos.
2 4 5 5
6 3 5 8 8
1) log 3.log 2.log 4 log 3
2) log 2.log 6.log 3.log 5 log 2
CologaritmoSe llama cologaritmo de un número de una base dada
al opuesto (negativo) del logaritmo de dicho número,
es decir:
0log log
0 1b b
xco x x
b b
Ejemplos:
2 2log 8 log 8 3co
log100 log100 2co
1.-
2.-
Antilogaritmo
Llamada también exponencial, se define así:
log0 1
x
b
xanti x b
b b
Ejemplos:
5
3log 5 3 243anti
10
2log 10 2 1024anti
1.-
2.-
Ejercicios Resueltos
EJERCICIOS PROPUESTOS
GRACIAS
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