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7/26/2019 LOGICA Tema v Inferencia
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"Usted hace mal si alaba, pero an peorsi censura, aquello que no entiende."
- Leonardo da Vinci
5. INFERENCIA LGICA
5.1.Objetivo
Conocer las Reglas de Inferencia y utilizarlas para justicar la validez
de un argumento lgico.
Retomando lo expuesto en el captulo anterior, recordemos ue !icimos
referencia a como el razonamiento deductivo puede utilizarse paradeterminar si los argumentos lgicos son vlidos o no vlidos.
#xplicamos tam$i%n como utilizar diagramas de &enn para vericar la
validez de ciertos argumentos ue esta$an compuestos por premisas y
conclusiones ue tenan cuanticadores.
Comenzaremos en esta gua deniendo y aplicando las Reglas de
Inferencia para argumentos cuyas premisas y conclusiones estn formadas
por proposiciones no cuanticadas.
5.2.Las reglas del juego
'!ora nos ocuparemos de conocer las llamadas (Reglas de Inferencia) ue
son las ue rigen el (juego)*.. + #n u% consiste el juego
***.-rataremos de dar una descripcin del mismo.
Objetivo &ericar la validez o no de un argumento lgicoElemetos del juego /remisas Conclusin
0ugador 1Intelecto
2piz y papel
Reglas del juego Reglas de Inferencia. 3 2as ue descri$iremos en estagua4
!"u# etederemos $or $remisas%5ern proposiciones simples o compuestas, por ejemplo
p
p
p6 p
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p
3p 4 6 r s
+"u# etederemos $or &o&lusi'%5er otra proposicin simple o compuesta, ue se o$tiene a partir de las
premisas aplicando las reglas del juego
!C'mo se juega%
7adas una serie de premisas p8,p9,*.pn en donde (n) es un entero positivo
y es la conclusin, el argumento ser vlido si cada vez ue las premisas
sean verdaderas , entonces tam$i%n lo es. #sto sera euivalente a pro$ar
ue el condicional
3p8p9**.pn4 es verdadero , con el antecedente 3p8p9**.
pn4 verdadero.
:$servemos ue el antecedente p8p9**.pn ser falso si alguna de las
premisas es falsa, con lo cual la implicacin sera verdadera, sin importar
el valor de .
#ntonces una va para esta$lecer la validez de un argumento, es
demostrando ue la proposicin 3p8p9**.pn4 es una tautologa
&eamos un ejemplo
7ado el siguiente argumento, vericar si es o no vlido
/remisa 8 5i llueve entonces el cielo est cu$ierto
/remisa 9 2lueve
Conclusin el cielo est cu$ierto
#ste argumento con sus premisas y su conclusin lo podemos sim$olizar
como sigue
p8 p r
p9 p
r
#l sm$olo se lee por tanto y se u$ica antes de la conclusin .
'nalicemos si 33pr4 p 4 r es una tautologa con la ta$la de certeza
p9 C p8p r p r 33pr 4p 4 r
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& & & && ; ; &; & & &; ; & &
#n efecto la implicacin 33pr 4p 4 r es una tautologa y por tanto elargumento es vlido.
&eamos otro ejemplo
5ean p, y r tres proposiciones simples dadas como sigue
p Ivn estudia
Ivn juega f
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Con este segundo ejemplo, podemos intuir ue para un argumento ue
contenga ms de = proposiciones simples, el m%todo de las ta$las de
verdad puede ser muy engorroso.
#n realidad !ay ue centrarse slo en el caso en ue cada una de las
premisas sea verdadera. #n los ejemplos anteriores esto correspondera a
la la con el som$reado claro.
's pues, para no tener ue !acer todo este tra$ajo de ta$las de verdad,
!aremos uso de las reglas de inferencia, t%cnica ue nos permitir
a. Considerar millones de dlares en la lotera
5i 5ilvia gana 8> millones de dlares en la lotera entonces ?ario renunciar
a su tra$ajo
/or tanto, ?ario renunciar a su tra$ajo
9. 5i 'lejandro se casa, es porue consigui el pr%stamo
'lejandro consigui el pr%stamo
:$servacin
#n el juego es vlido sustituir una premisa por otra euivalente@ es
conveniente pues, recordar algunas de las proposiciones ue son
euivalentes, como por ejemplo
p es euivalente a 6p
6 3p 4 es euivalente a p 6 y otras**
/or tanto, 'lejandro se casar
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5.,. -eguda Regla * Le del -ilogismoAna segunda regla de inferencia, viene expresada mediante la implicacin
lgica
33p4 3r 443pr4 35e deja como ejercicio pro$ar ue se trata de una
tautologa4
y se escri$e como
p
r
pr
#jemplos8.&ericar si el siguiente argumento es vlido o no
Rita est !orneando un pastel
5i Rita est !orneando un pastel, entonces no est practicando guitarra
5i Rita no est practicando guitarra entonces su padre no pagar el seguro
del carro
/or tanto, el padre de Rita no pagar el seguro del carro.
5im$olizando estas premisas y la conclusin, el argumento lucira as
p
p6
6 6 r
6 r
-ratemos a!ora de usar las reglas de inferencia para deducir la veracidad de
6 r a partir de las premisas dadas.
/aso Razones
8 p6 /remisa
9 6 6 r /remisa
= p6 r 2ey del silogismo en 8 y 9
B p /remisa 6 r ?odus /onens en = y B
#ste mismo argumento lo pudi%ramos justicar tam$i%n como
/aso Razones
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8 p /remisa
9 p 6 /remisa
= 6 ?odus /onens en 8 y 9
B 6 6 r /remisa
6 r ?odus /onens en = y B
Es im$ortate re&al&ar /ue 0OA- las $remisas debe serutiliadas e la dedu&&i' de la &o&lusi'.
5.5. 0er&era Regla * +odus 0olles 3 del latn (m%todo de la negacin)Ana tercera regla de inferencia , viene expresada mediante la implicacin
lgica
33p4 646p 35e deja como ejercicio pro$ar ue se trata de una
tautologa4
y se escri$e como
p
6
6p
#jemplo
8.&ericar si el siguiente argumento es vlido o no
5i #lena est estudiando, entonces no est practicando -aiDc!i
#lena est practicando -aiDc!i
/or tanto, #lena no est estudiando
9. &ericar si el siguiente argumento es vlido
pr
rs
t 6 s
6 t u
6 u .
6p
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/aso Razones8 pr
rs
/remisas
9 ps #n 8 , ley del silogismo
= t 6 s /remisa
B 6 s t /ropiedad conmutativa del en =
st #uivalencia para B
E pt #n 9 y ley del silogismo
F 6 t u /remisa
G tu #uivalencia para F
H p u #n E y G ley del silogismo8> 6 u /remisa
6 p #n H y 8>, ?odus -ollens
' continuacin encontrarn una ta$la con las Reglas de inferencia ue
tra$ajaremos en las prximas sesiones.
5e recomienda completar el cuadro ue sigue con lasim$li&a&ioesl'gi&as aso&iadasy luego vericar con las mismas, ue se trata de una
-autologa.
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5.4. 0abla &o las Reglas de Iere&ia
Regla deIere&ia
Im$li&a&i' l'gi&arela&ioada
Nombre de la Regla
p
p
33p4 p 4 ?odus /onens o
Regla de la separacin
p
r
pr
33p4 3r 443p
r4
2ey del silogismo
p
6
6p
33p4 646p ?odus -ollens
p
.
p
Regla de la Conjuncin
p
6p .
Regla del silogismo
disyuntivo
p
p
Regla de la simplicacin
conjuntiva
p .
p
Regla de la amplicacin
disyuntiva
pr
r
3p 4 r
Regla de la demostracin
por casos
6p ;>
p
Regla de contradiccin
p
rs
p r
s
Regla del dilema
constructivo
p
rs
6 6s
6p 6r
Regla del dilema
destructivo
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Ejer&i&ios*
8.' continuacin se da la sim$olizacin con proposiciones de H argumentos.
5e pide ue veriuen su validez, especicando en cada paso las razones
3reglas4 ue lo justican.
8.
3p 6 4 r J 3p r4 J
9.
p 3r4
p s
t
6 s .
6 r 6 t
=.
3 6 p4 r
r s t
6 s 6 u
6 u 6 t
6/
B.
3r 6 4 3p4 pJ r
.
ps6 r
p r
6 / s
E.
pp3 r4
r s t
6 s .
tF. 3 p4 rJ p 3r4J
ayuda utilizar euivalencias opro$ar ue la proposicin es
una tautologa
G.
s
t 6
6 t r
r 6 s
H.
p
r
p t
6 t .r 7 $ /8
9.?uestra con un contraejemplo ue los dos argumentos ue se dan a
continuacin no son vlidos@ es decir, asigna valores de verdad a las
proposiciones p, , r y s , de modo ue todas las premisas sean verdaderas
y ue la conclusin sea falsa.
a4 3p 4 r4J 3r 6 4 J p $4 p
p r
p 36 r4
66 s
s
=.7emostrar ue las siguientes conclusiones son consecuencia de las
premisas dadas. Indica las reglas de inferencia ue utilices para justicar
cada paso de la demostracin.
/remisas Conclusi
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n8 p 6
6 p (r s4r s
9 xK>xL yx K z x K y
x K z
x L >
= x L >y K 8
x K y y K M
y K M y L 8
x K y
x K >
B 6 r t
s r6 s
a 6 $
6 c $ a c
E $
$6 d
a d
a $
F p
6 t
t
p
G 6 s
6 s
6 3 sr4
r
H p
6
p s
s
8
>
s 6 t
t
6 s 3 r4
v r
8
8
s 6 r
t6 s
t
6 r
89
t r
6 r
ts
8
=
p 6 t
s t
s
p u
u
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&lidosInvlidos
?%todos
7iagramas de &enn
-a$las de verdad
Reglas de Inferencia
Con proposiciones simples
Con cuanticadores y predicados?%todo del condicional
/roposiciones
Identicar
5im$olizar
/roposiciones
sim$licas
&alidar
'rgumento lgico
/remisas
Razonamiento
Conclusin
/remisas Conclusin en espaNol
/remisas Conclusin
con Conectivos
/redicados
CuanticadoresConstantes
'rgumentos con razonamiento
deductivo
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5.9. Las Reglas de iere&ia $ara $ro$osi&ioes &o&uati:&adores.
Oasta a!ora !emos tra$ajado con las Reglas de inferencia en el contexto
de proposiciones sin cuanticadores. Recordamos ue para vericar la
validez de un argumento en donde aparecan premisas yPo conclusiones con
cuanticadores, utilizamos el m%todo de 7iagramas de &enn.
'!ora nos ocuparemos de dar B reglas adicionales ue nos permitirn
validar de otra manera argumentos con cuanticadores. -am$i%n !aremos
referencia a otro m%todo de validacin, conocido como el (m%todo del
condicional (.
'ntes de plantear las nuevas reglas, se presenta un cuadro resumen de los
procesos ue !emos seguido a lo largo de todo el curso para llegar a validarargumentos y para u$icar los contenidos vistos.
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' continuacin enunciaremos B reglas ue servirn para validar
argumentos cuando aparecen proposiciones cuanticadas.
5.;.Regla de es$e&i:&a&i' uiversal 7RE
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9. #jemplo
Ting
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5.1>.Regla de es$e&i:&a&i' e?iste&ial 7REE8
5i un predicado es verdadero para cierto3s4 reemplazo3s4 de un universo dado,
entonces este predicado es verdadero para alguna constante especca de ese
universo. #s decir 5i x P /3x4 es verdadero, entonces /3a4 es verdadero para
alg
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8B x P 653x4 RV# en 8=
Ejer&i&ios varios *
1. &ericar la validez o no de los siguientes argumentos. #n caso de tenerpremisas yP o conclusiones con cuanticadores, utilizar el m%todo de
7iagramas de &enn y si resulta vlido , compro$arlo tam$i%n utilizando las
Reglas de Inferencia.
a. -odos los !om$res son mortales. 5crates es un !om$re. /or tanto,
5crates es mortal.
$. 5i !u$o so$orno y no se castiga a los culpa$les entonces se viola
la Constitucin. 5i contin
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g. Tinguna accin injusta es loa$le. 'lgunos actos del !om$re son
acciones injustas. 2uego, algunos actos del !om$re no son loa$les.
!. 'lgunas serpientes no son venenosas. -odas las serpientes son
reptiles. /or tanto, algunos reptiles no son venenosos.
5.12.El +#todo del Codi&ioal
#ste m%todo para demostrar la validez de un 'rgumento consiste en lo
siguiente
5i en un argumento la conclusin est dada en forma de condicional , o
transforma$le en %l, entonces se puede asumir su antecedente como premisa
y mediante el proceso deductivo 3usando las reglas de inferencia4 se de$ellegar al consecuente.
Ate&i'*el antecedente ue asumimos como premisa no puedecontradecir al resto de ellas @ en este caso el m%todo del condicional no se
puede utilizar.
-omemos el siguiente argumento como ejemplo
3p 64W3 r 4S 3p 6r4
)aso Ra'8 p 6 /remisa
9 r /remisa
= p 5e asume como verdadero el antecedente de la
conclusinB 6 ?odus /onens en 8,= 6r ?odus -ollens en 9,B
p 6r -eorema del Condicional
#ste m%todo se explica comparando las ta$las de verdad de p8 3p
4 y de 3p8 p 4 3+/or u%4*'naliza la misma y saca tus propias
conclusiones.
'rgumento
$1
p , siendo $1una premisa o una conjuncin de premisas 3todas
verdaderas4
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p8 p p p8 p p8 3p 4 3p8 p 4
& & & & & & && & ; ; & ; ;
& ; & & ; & && ; ; & ; & &
2. Atilizando el m%todo del condicional, demuestra la validez de lossiguientes argumentos
a4 5i los precios su$en, la inXacin es inevita$le. 5i los precios no su$en, la
deXacin es inevita$le. /or consiguiente , la inXacin o la deXacin son
inevita$les.
$45i el volcn entra en erupcin, entonces, la po$lacin correr el riesgo de
morir si decide permanecer en el lugar. /or tanto, si el volcn entra en
erupcin y la po$lacin decide uedarse en el lugar, entonces correr el
riesgo de morir.
c4 5i estudias educacin, sers ms po$re. #studias derec!o o educacin. 5i
estudias derec!o, no sers feliz. #res feliz. /or tanto , sers ms po$re.
d4 p r e4 p 6 f4 p 6
r 6 3 p4 r
r s 63 r4 63p r4
6p s
g4 x /3x4 6U3x4 !4 x O3x4 3C3x4 73x44
x R3x4 U3x4 x O3x4 53x4
x R3x4 6/3x4 x C3x4 73x4
(. ' continuacin se dan varios 'rgumentos 2gicos. 5e pidevericar si son vlidos o no. #n caso de tener premisas yPo conclusiones concuanticadores, utilizar el m%todo de 7iagramas de &enn y si resulta vlido,
compro$arlo tam$i%n utilizando las Reglas de Inferencia.
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a. -odos los venezolanos son americanos. Ting
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amiga$les ni peueNos. /or lo tanto algunos do$erman son peueNos, pero
no son amiga$les.
,. #ste ejercicio est tomado de un li$ro de 2eMis Carroll8,matemtico y autor de (las aventuras de 'licia en el pas de las maravillas
/remisa 8 Ting
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/remisas Conclusin
8. 6 s
s 3 ! g46 g !
9.s
t 6
6 t r
s r
=.3 r 4 p
r t
3 r4 6 t
6 r
B.6 r
6 p
rp
.p
r
p t6 t
r 3 p 4
E.p 6 r
6 r s
p t6 s
t
F.
6 s 6 r
6 r 6 t
6 s p6 p
6 t 6 p
G.
p 6 p r
r 6
t s
H.5 p
6 p 6 t
6 t r
6 s r
8>.
e f 6 !
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88.6 3 p 6 r4
p
rs
3 s 4 3 t s4
s t
89.pt
s
s r
p 6
6 r t
8=.s 6
6 p s6 p
8B.6 36 p 6 4
s 6 6 p s
&6 p
e f g