Post on 06-Jan-2016
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1 de 6 INTERVALOSEs el espacio que existe entre dos extremos, los cuales llamaremos como a y b
Intervalos
INTERVALO ABIERTO
INTERVALO CERRADO
Representacin Grfica Representacin Matemtica
No incluye los extremos a y b
Siempre los infinitos son Abiertos
Incluye los extremos a y b
Matemtica
Matemtica
(a , b)
[a , b]
1. (0 , 7) 1.
2. [-4 , 1/2]
2.
4. (- , 3]
4.
5.
3. [-2 , 5)
3.
( , )
[ , ]
a < x < b
a x b
< x <
x
Grfica
Grfica
Abierto(a , b)
(- , + )- < X
2 de 6 FUNCIONESEs un conjunto de pares ordenados (x , y) donde el primer elemento nunca se repite.
Mquina
x (Dominio)
(Rango)
f(x)= 4x + 3
f(x)= x + 1f(x)
X
VariableIndependiente
Si f(x)= -2x + 5 entonces f(3), f(5) y f(8) Si f(x)= -2x2 + x - 5 entonces f(3), f(-1) y f(-2)
f( 3 )= -2( ) + 5 f( 3 )= -2( )2 + ( ) - 5
f( 5 )= -2( ) + 5 f( -1 )= -2( )2 + ( ) - 5
f( 8 )= -2( ) + 5 f( -2 )= -2( )2 + ( ) - 5
Sustituir la variable independiente en f(x)
Cmo saber si una grfica es una funcin o no? - Prueba de la recta
VariableDependiente
Y1
2
3
-1
0
2
3
4
0
1
(1 , 2)
(2 , 3)
(3 , 4)
(-1, 0)
(0 , 1)
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
3 de 6
f(x)= x2 + 1X
Dominio Dominio
(5,2)f(x)= x -
f(x)= x
f(x)=ax2+bx+c f(x)=ax3+bx2+cx+d
D= x [-3 , 5 ]
D= x [0 , + )
D= x (- , + )
D= { }D= { f(x) = a }
D= { }R= { } R= { f(x) a }D= { x = a }
R= f(x) [0 , + )
R= [-2 , 2]D= {x | -3 x 5}
D= {x | x 0} R= {f(x) | f(x) 0}
R= {f(x) | -2 f(x) 2}
(-3,-2)
Rango Rango
Conjunto de Salida
1. 2. 3.
f(x)= f(x)= x
g(x)= x - 9
m(x)= -x
n(x)= 16 -x2
g(x)=
m(x)= =
Dominio
Evitar NO soluciones
Rango
Conjunto de Llegada
Y1
2
3
0
-2
4
DOMI
NI
O
RANGO
2
5
10
1
6
y = f(x)
x
y = f(x)
x
DOMINIO Y RANGO
Son los valores que se pueden asignar a la variable independiente (x) en una funcin
Son todos los valores de la variable dependiente (y) en funcin de lo que vale la variable independiente (x).
12
12
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
xa
aa
Ecuacin Primer grado (y=ab+c) 2 grado Polinomio
D= { } D= { }R= { }R= { }
-4 Log 0 | Log -5
1.- Dividir entre cero 2.- Radicando negativo1x
5x - 7
2x - 1x2 + x - 12
2x - 1(x + 4)(x - 3)
4 de 6 GRAFICAR CUADRTICA
Desplazamiento Vertical Desplazamiento Horizontal
Reflexin con respecto al eje X Reflexin con respecto al eje Y
Compresin o alargamiento
y= +x2 + 2x -3
a= 1b= 2c= -3
+x2 -x2
V (-1,-4)
Vrtice(-1,-4)
Mnimo
Mximo
V (-1,-4)
f(x)
x
Sube
Baja
y= f(x) + c
y= f(x) - c
f(x)
x
y= f(x + c)
Izquierda Derecha
y= f(x - c)
f(x)
x
y= a f(x)0 < a < 1
a > 1
Alargamiento
Compresin
f(x)
xy= -f(x)
Reflejar
f(x)
x
y= f(-x)
Reflejar
1.- Resolver por TABULACIN 2.- Resolver por VRTICE
Frmulas:f(x)
x
R= [-4 , + )D= { }
x=
x=
x= -1
y= c -
y= (-3)-
y= -4
- b2a
- ( 2 )2( 1 )
b24a
( 2 )2
4( 1 )
x y-2 -3-1 -40 -31 02 5
TCNICAS DE GRAFICACIN
5 de 6 CMO GRAFICAR FUNCIONES?y= (x - 1)2 + 2
y= | x - 1 | + 2
y= x - 1 + 2
y= x - 3 + 2
x =
V ( , )V ( , )
y =
1. Grfica base
Hallar Vrtice y Graficar
Graficar mediante tcnicas
2. Desplazar a la derecha y= f(x-c) en 3 unidades
3. Desplazar arriba y= f(x)+c en 2 unidades
3 3
3
2
2
y= + 2
Graficar
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
R=
R=
R=
R=
D=
D=
D=
D=
1x - 1
6 de 6
1. y =
3. y =
2. y =
4. y =
2 xx - 1
xx - 1
4 x2x - 2
2 xx - 2
2 xx
x 1x x
21 - 0
y = 2
y =
y =
y =
y = 2
x = 1
x - 1 = 0x = 1
x =
x =
x =
Vertical
Vertical
Vertical
Vertical
Horizontal
Horizontal
Horizontal
Horizontal
ASNTOTA DE UNA FUNCINf(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
Compilacin por Ing. Jos AnteparaTomado de: math2me.com; ceutec.com y unicoos.com
Universidad de Guayaquiljose.anteparab@ug.edu.ec
1 de 3
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
f(x)
x
TIPOS DE FUNCIONESIdentifique cules son funciones y cuales son slo relaciones
Cules es Inyectiva?
Cules es Sobreyectiva?
X
X
X
X
XY
Y
Y
Y
Y
Y
X Y
Pregunto a los elementos del conjunto B:
Cuntas flechas te llegan? y la respuesta debe de ser: ____ ____
Pregunto a los elementos del conjunto B:
Tienes Flechas? y la respuesta debe de ser: ____
FUNCIN INYECTIVA
FUNCIN SOBRECTIVA
f(x)= x + 1
f(x)= x2
X
X
Y
D R
D R
Y
1
2
3
0
1
3
1
2
2
5
10
1
6
1
9
D= [1 , 5 ]
D= [1 , 5 ]
D= [1 , 5 ]
D= [1 , 5 ]
R= [1 , 5 ]
R= [1 , 5 ]
R= [1 , 5 ]
R= [1 , 5 ]
X XY
2 de 3
f(x)
x
f(x)
x
Cules es Biyectiva?X Y
Pregunto a los elementos del conjunto B:
1. Cuntas flechas te llegan? y la respuesta debe de ser: ____ ____ 2. Tienes Flechas? y la respuesta debe de ser: ____
FUNCIN BIYECTIVA
FUNCIN CRECIENTE
FUNCIN CONSTANTE
FUNCIN DECRECIENTE
Rectas verticales
Es InyectivaEs sobreyectiva
f(x)= 2xX
D = R
Y
D= [1 , 5 ] D= [1 , 5 ]R= [1 , 5 ] R= [1 , 5 ]
1
2
3
0
2
4
6
0
X Y
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
y = f(x)
x
3 de 3
FUNCIN CONSTANTE
4 de 3
5 de 3
63 62 60 58 60 62 63 61 60 5560 62 63 62 61 59 61 62 65 6058 62 63 60 56 63 62 58 54 6364 61 56 59 61 59 65 62 61 63
TABLAS DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA
Se ha recolectado los pesos (en Kg) de un grupo de personas:
Elabora una tabla de distribucin de frecuencias con intervalos.
ORDENANDO DATOS:(muestra) n=
1) RangoR= Xmax - Xmin
2) Nmero de intervalosRegla de Sturges:k= 1 + 3.3 log (n)
3) Amplitudc= R / k
IntervalosMarca de
clase(punto medio)
frecuencias absoluta Frecuencias relativas Porcentaje
Simple Acumulada Simple Acumulada Simple Acumulado
TOTAL
Por: Ing. Jos Antepara
6 de 3
20 23 23 26 17 19 28 35 35 2423 41 21 25 18 35 28 28 28 2421 17 21 21 19 35 25 24 26 2719 18 19 18 24 36 36 18 27 18
TABLAS DE DISTRIBUCIN DE FRECUENCIA
Se ha recolectado edades de un grupo de personas:
Elabora una tabla de distribucin de frecuencias con intervalos.
ORDENANDO DATOS:(muestra) n=
1) RangoR= Xmax - Xmin
2) Nmero de intervalosRegla de Sturges:k= 1 + 3.3 log (n)
3) Amplitudc= R / k
IntervalosMarca de
clase(punto medio)
frecuencias absoluta Frecuencias relativas Porcentaje
Simple Acumulada Simple Acumulada Simple Acumulado
TOTAL
Por: Ing. Jos Antepara
7 de 3
MEDIDAS DE TENDENCIA
MEDIDAS DE TENDENCIA
Se ha recolectado edades de un grupo de nios en una guardera:
Se tiene la siguiente distribucin del nmero de hijos por familia de un determinado barrio de Guayaquil. Calcula el
promedio de nmero de hijos por familia
Calcula el peso promedio de la siguiente distribucin de frecuencias: Peso en Kg de 110 personas, clasificados en
intervalos.
Determine:
Media Aritmtica
Media Aritmtica
Media Aritmtica
Moda:
Moda:
Mediana Moda
4 8 2 7 5 5 6 74 2 5 7 6 7 4 3
N de hijos N de familias
2 103 84 165 106 6
TOTAL
Peso en Kg N de Personas
[40 ; 50 ) 12[50 ; 60 ) 20[60 ; 70 ) 35[70 ; 80 ) 39[80 ; 90 ) 4TOTAL
Por: Ing. Jos AnteparaPor: Ing. Jos Antepara
8 de 3
MEDIDAS DE TENDENCIA
MEDIDAS DE TENDENCIA
Se ha recolectado edades de un grupo de nios en una guardera:
Determine:
Media Aritmtica
Media Aritmtica
Media Aritmtica
Moda:
Moda:
Mediana Moda
2 3 1 2 4 1 3 64 1 2 5 2 3 5 4
X f
5 144 57 165 106 6
TOTAL
Peso en Kg N de Personas
[40 ; 50 ) 12[50 ; 60 ) 20[60 ; 70 ) 35[70 ; 80 ) 39[80 ; 90 ) 4TOTAL