Post on 11-Apr-2015
Mate 3041Universidad de Puerto Rico
Recinto de BayamónProf. Juan L. Vélez
Prof. José A. Toro Clarke
Proposiciones y Cuantificadores Proposiciones
Definición: Una oración declaratoria (o afirmación) que es falsa o verdadera, pero no ambas, se llama proposición.
Oraciones exclamativas, interrogativas o imperativas por naturaleza no son proposiciones.
Ejemplos:
1. Ponce es la capital de Puerto Rico
2. 2 + 2 = 3
3. ¿Qué hora es?
4. x + y = z
Proposición
Proposición
No es una Proposición; oración interrogativa
No es una Proposición; desconocemos x, y, z
Ejemplos:
5. Tome una taza de café
Nota: “Tomé una taza de café”. Si es una proposición
6. Alex Rodríguez es mejor jugador de beisbol que Dereck Jeter.
No es una Proposición
No es una Proposición; oración imperativa
Proposiciones Compuestas Definición: Una proposición es
compuesta cuando se forma por la combinación de dos o más proposiciones usando conectivos lógicos.
Conectivos y sus respectivos símbolos tales como:
sisoloysientoncessinegaciónoy ,...,,,
Ejemplos de proposiciones compuestas Leo el nuevo Día y leo el Vocero.
Si él lo dijo, entonces es cierto.
Mañana será Domingo.
Nota: “Mañana no será Domingo”.Aunque no consta de dos
proposiciones, para conveniencia se considera compuesta ya que su valor de verdad depende de una proposición diferente. “Mañana será Domingo”.
Compuesta; conectivo y
Compuesta; conectivo si…entonces
No es compuesta
Ejemplos de proposiciones compuestas La firma de abogados que atendió el
caso se llamó Goldman Antonetti y Cordóva, P.S.C
No es compuesta; y no es un conectivo en este caso por que y es parte del nombre de la firma de abogados
Símbolos de la Lógica Matemática
;qp ,qop disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso.
;qp ,qyp conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso.
p q
F F F
qp
p q
T T T
qp
Símbolos de la Lógica Matemática
;p ,pno negación de p : proposición formada al escribir “no es el caso que” o “es falso que” antes de p o al insertar la palabra “no” de manera adecuada en p.
;qp “si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso
p
T F
p
p q
T F F
qp
Símbolos de la Lógica Matemática
;qp
;QP P y Q son lógicamente equivalentes: proposiciones compuestas y son lógicamente equivalentes si tienen tablas de verdad idénticas. A esto es lo que se le conoce como una tautología.
“p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.
nppppP ,...,,, 321
nqqqqQ ,...,,, 321
p q
T T T
F F T
qp
Símbolos de la Lógica Matemática
“por lo tanto”
“para todo”
“existe”
Cuantificadores
Cuantificadores universales: todo, cada uno, todos, ninguno
Cuantificadores existenciales: hay, al menos uno
Uso de conectivos lógicosSean p que representa “Hoy estamos a 80F”,
q que representa “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras
:)1 qp Hoy estamos a 80F o es martes.
:)2 qp Hoy no estamos a 80F y es martes.
:)3 qp No es el caso que hoy estemos a 80F o que sea martes.
Ésta proposición se puede traducir como “ni p ni q” o qp
Uso de conectivos lógicosSean p que representa “Hoy estamos a 80F”,
q que representa “Hoy es martes”.
Transcriba cada proposición simbólica en palabras
:)4 qp
qp
No es el caso que hoy estemos a 80F y sea martes.
Uso de conectivos lógicosEjemplo:
Proporcione la negación de cada desigualdad sin usar los símbolos o .
;)1 qp
qp
;77117)2 yx 77117 yx
Orden de prioridad de los conectivos lógicos Se usará generalmente paréntesis para
especificar el orden en que se aplicarán los operadores lógicos.
De no haber paréntesis, se adopta el siguiente orden de prioridad.
Conectivo Prioridad
1
2
3
4
5
Tablas de verdad
Una proposición lógica con n componentes tendrá renglones en su tabla de verdad.
n2
T F
F T
pp Nota: p proposición (1 componente):
renglones.
renglones.
renglones.
221
422
823
Tablas de verdad
T T T
T F F
F T F
F F F
p q qp
T T T
T F T
F T T
F F F
p q qp
disyunción p y q: proposición compuesta que es falsa cuando ambas p y q son falsas y verdadera en otro caso.
conjunción p y q: proposición compuesta que es verdadera cuando tanto como p y q son verdadera y falsa en otro caso.
422 renglones
Tablas de verdad
T T T
T F F
F T T
F F T
p q qp
T T T
T F F
F T F
F F T
p q qp
“si p entonces q” : proposición compuesta condicional la cual es falsa cuando p es verdadera y q es falsa, y verdadera en otro caso
“p si y sólo si q” : proposición compuesta bicondicional la cual es verdadera cuando p y q tienen los mismos valores de verdad y falsa en caso contrario.
Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T
F
p p pp pp
Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F
F T
p p pp pp
Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F T
F T T
p p pp pp
Tautología y ContradicciónUna proposición compuesta
Se denomina tautología si es verdadera para toda asignación de verdad de y contradicción si es falsa.
nppppPP ,...,,, 321
Proposiciones elementales
npppp ,...,,, 321
T F T F
F T T F
p p pp pp
pp Es una tautología pp Es una contradicción
Proposiciones equivalentes
T T
T F
F T
F F
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T
T F T
F T T
F F F
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T F
T F T F
F T T F
F F F T
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T F F
T F T F F
F T T F T
F F F T T
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T F F F
T F T F F T
F T T F T F
F F F T T T
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T
p q qp qp p q qp
Proposiciones equivalentes
T T T F F F F
T F T F F T F
F T T F T F F
F F F T T T T
p q qp qp p q qp
entonces qpqp
Leyes del álgebra de proposiciones1. Ley de idempotencia
2. Ley de identidad
Prueba: Suponga que p es verdadero, entonces
Suponga que p es falso, entonces
pppppp ,
pTppFp ,
p
T
FT
Fp
p
F
FF
Fp
Leyes del álgebra de proposiciones3. Ley dominante
Prueba:
,TTp
T
TT
Tp
F
TF
Fp
F
FT
Tp
F
FF
Fp
FFp
Leyes del álgebra de proposiciones
1. Ley de complemento
2. Ley conmutativa
3. Ley asociativa
Tpp
Fpp
pqqp
pqqp
rqprqp
rqprqp
Leyes del álgebra de proposiciones4. Ley distributiva
5. Ley de absorción
6. Ley de De Morgan
pqqp
pqqp
pqpp
pqpp
rpqprqp
rpqprqp