Post on 23-Jan-2016
Matemática Básica (Ing.) 1
Sesión 14.3
Sistema Coordenado Tridimensional y Vectoresen el espacio
Matemática Básica (Ing.) 2
Consideraciones previas
¿ Cómo podemos determinar las coordenadas del cañón de proyección respecto a la esquina O ?
z
y
O
x
Matemática Básica (Ing.) 3
Espacio tridimensionalEl conjunto de todas las ternas ordenadas de números reales recibe el nombre de espacio tridimensional, y se denota por R3. Cada terna ordenada (x; y; z) se denomina punto del espacio tridimensional.
x
y
z
P
x
y
z
(0; y; z)
(0; y; 0)
(x; y; 0)(x; 0; 0)
(x; 0; z)
(0; 0; z)
(0; 0; 0)
(x; y; z)
Matemática Básica (Ing.) 4
Espacio tridimensional
Planos coordenados
plano xy: z = 0
xy
z
origen
(0;0;0)
Matemática Básica (Ing.) 5
Espacio tridimensional
Planos coordenadosplano xz: y = 0
xy
z
origen
(0;0;0)
Matemática Básica (Ing.) 6
Espacio tridimensional
Planos coordenados
plano yz: x = 0
x
y
z
origen
(0;0;0)
Matemática Básica (Ing.) 7
Espacio tridimensional
x
y
z
Plano x = a Plano y = b Plano z = c
Plano x = a es alplano yz (x = 0)
x = a
Plano yz
x
y
z
Plano xy
Plano x = az = c
Plano z = c
x
y
z
y = b
Plano xz
Plano
y = b
Plano y = b es al plano xz (y = 0)
Plano z = c es al plano xy (z = 0)
Matemática Básica (Ing.) 8
Espacio tridimensional
x
y
z
(0;0;0)
Plano x = a
Plano z = cc
a
bPla
no
y =
b
La intersección de los planos x = a, y = b, z = c (paralelos a los planos coordenados), es el punto (a; b; c)
(a; b; c)
Matemática Básica (Ing.) 9
Espacio tridimensional
x y
z
(0;0;0)
Primer octante
plano xy: z = 0
plano yz: x = 0plano xz: y = 0
¿Cuál o cuáles de los siguientes puntos pertenecen al primer octante?1.(4; 2; 9)2.(3; -2; 6)3.(4; 8; 0)4.(5; 1; 7)5.(0; 3; 9)
Matemática Básica (Ing.) 10
Distancia entre dos puntos y puntomedio de un segmento en R3
x
z
Q
P P = (x1; y1; z1)
Q = (x2; y2; z2)x1
x2
y2y1
x 2 – x 1
y2 – y1 z2
– z
1
212
212
212 )()()(),( zzyyxxQPd
M
2
;2
;2
212121 zzyyxxM
z1
z2
Dado los puntos:
y
Matemática Básica (Ing.) 11
Ejercicios1. Determine la distancia entre los puntos
P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5) y además determine elpunto medio de la línea PQ.
2. Determine la distancia entre los puntosR(-1, 2; 5) y S(3; -4; 6) y además determine elpunto medio de la línea RS.
Matemática Básica (Ing.) 12
r
Ecuación estándar de la esfera
x
y
z
2222 )()()( rlzkyhx
C P(x; y; z)
C(h; k; l)
Una esfera es el análogo tridimensional de unacircunferencia. En el espacio, el conjunto depuntos que están a una distancia fija de un puntofijo es una esfera.
C: Centro de la esfera
P: Punto cualquiera de la esfera
Matemática Básica (Ing.) 13
Ejercicios
1. Determine la ecuación estándar de la esferacon centro en (3; -2; 5) y radio 4.
2. Determine la ecuación estándar de la esferacuyo diámetro tiene como extremos a los
puntos P(-2, 3; 1) y Q(4; -1; 5).
Matemática Básica (Ing.) 14
Planos en R3
Todo plano puede escribirse como
donde A, B y C son no todos iguales a cero.
0 DCzByAx
x
y
z
Punto de cortecon el eje x
Punto de cortecon el eje z
Punto de cortecon el eje y
traza
traza
traza
Matemática Básica (Ing.) 15
Ejercicio1. Elabore la gráfica de la ecuación
2x + 3y + 5z = 30
x
y
z
Punto de cortecon el eje x
Punto de cortecon el eje z
Punto de cortecon el eje y
traza
traza
traza
Nota: Debe obtener los puntos de corte de la ecuación del plano con los ejes coordenados y luego hace la traza del plano.
Matemática Básica (Ing.) 16
Vectores en el espacioEl concepto de vector en el plano se puede extender de manera natural, con ligeros cambios, en el espacio.
Los vectores tienen tres componentes en lugar de dos y al igual que en el plano, el conjunto de segmentos dirigidos de rectas (o flechas) son vectores.
Matemática Básica (Ing.) 17
Vectores en el espacio
El vector v = v1; v2; v3
v1; v2; v3
x
y
z
v1
v2
v3
v
ij
k
Se definen:
Vectores unitarioscanónicos i, j, k:
Vector cero o nulo:
0 = <0; 0; 0>
v = v1; v2; v3 = v1i + v2j + v3k
i = <1; 0; 0>j = <0; 1; 0>k = <0; 0; 1>
Matemática Básica (Ing.) 18
Vectores en el espacio
x
y
z
Q1
Q2
Q3
vi
jk
Q
P
P1
P2
P3
El vector v que estárepresentado por laflecha que va de P a Qes:
v = PQ = OQ - OP
Matemática Básica (Ing.) 19
Vectores en el espacio
Un vector v se puede multiplicar por un escalar c de la de la siguiente manera:
cv = cv1; v2; v3 = cv1; cv2; cv3
v
cv0 < c < 1
cv
c > 1cv
c < -1
cv-1 < c < 0
Matemática Básica (Ing.) 20
Vectores en el espacio: Propiedades
I gualdad: v
Adición v w ;
Sustracción v w
Magnitud v
Producto punto v w
Vector unitari
1
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
1 1 2 2 3 3
2 2 22 3
1 1 2 2 3 3
sí y solo sí
: ;
: ; ;
:
:
v w , v w y v w
v w v w v w
v w v w v w
v v v
v w v w v w
w
vo u v 0
v: ,
1 2 3 1 2 3Para los vectores ; ; y ; ; ,v v v w w w v w
:tiene se
Matemática Básica (Ing.) 21
Vectores en el espacio: Propiedades
Si u, v y w son vectores y c es un número real, se cumple que:
donde es el ángulo que forman los vectores u y v
u
v
u v = v u
u (v + w)= u v + u w
c(u v) = (cu) v = u (cv)
0 u = 0 2
uuu
cosvuvu
Matemática Básica (Ing.) 22
Son perpendiculares sí y solo sí u v = 0
La medida del ángulo que forman se puede calcular a partir de la ecuación:
vuvu
cos
Vectores en el espacio: Propiedades
Si u y v son vectores no nulos
u
v
Matemática Básica (Ing.) 23
Ejercicio de cálculo con vectores
a) 3-2; 1; 4
b) 6; 0; -7 + -5; 5; 8
c) 1; -3; 4 – -2; -4; 5
d) |2; 0; -6|
e) 5; 3; -1 -6; 2; 3
Resuelva según el caso
Matemática Básica (Ing.) 24
Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía.
Ejercicios: 22, 24, 26, 28,30, 32 y 34 de la página 693.
Sobre la tarea,
está publicada en el AV Moodle.
Importante