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8/6/2019 Matematica HIPERBOLA
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Hiprbola
Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los
puntos fijos llamados focos es constante.
Elementosdelahiprbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Ejefocal
Es la recta que pasa por los focos.
Ejesecundariooimaginari
Es la mediatriz del segmento .
o
Centro
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Es el punto de interseccin de los ejes.Vrtices
Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con lacircunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.
Radiosvectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.
Distanciafocal
Es el segmento de longitud 2c.
Ejemayor
Es el segmento de longitud 2a.
Ejemenor
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Es el segmento de longitud 2b.Ejesdesimetra
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asntotas
Son las rectas de ecuaciones:
Relacinentrelossemiejes
Excentricidad
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hiprbola.
Ecuacinreducidadelahiprbola
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Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:F'( c,0)yF(c,0)
EcuacindelahiprbolaconlosfocosenelejeOY
Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(0, c)yF(0,c)
Ecua elahiprbolacon aleloaOX,ycentrodistintoalorige
Si el centro de la hiprbola es C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(X0+c,y0)yF'(X0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:
cind ejepar n
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Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuacin de la forma:
DondeAyBtienensignosopuestos.
Ecua elahiprbolac araleloaOY,ycentrodistintoalori
Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(X0,y0+c)yF'(X0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbola
ser:
cind onejep gen
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuacin de la forma:
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DondeAyBtienensignosopuestos.
Ecuacindelahiprbolaequiltera
Lashiprbolasenlasquelossemiejessonigualessellamanequilteras,portantoa= b. Y su ecuacin es:
Las asntotas tienen por ecuacin:
,
Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
La excentricidad es:
Ecuacindelahiprboleequilterareferidaasusasntotas
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Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asntotas, bastar dar un
girode 45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:
Si efectuamos ungirode45 en los ejes, la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:
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La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hiprbola.
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Se llama ecuacin reducida a la ecuacin de la hiprbola
cuyos ejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por
tanto, el centro de hiprbola con el origen decoordenadas.
Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de
los focos son:
)F'(c,0)yF(c,0
Cualquier punto de la hiprbola cumple:
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Esta expresin da lugar a:
Realizando las operaciones llegamos a:
Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(4, 0), de vrtice A(2, 0) y de centro
C(0, 0).
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Hallar la ecuacin y la excentricidad de la hiprbola que tiene como focos los
puntos F'(5, 0) y F(5, 0), y 6 como diferencia de los radios vectores.
Hallar las coordenadas de los vrtices y de los focos, las ecuaciones de las
asntotas y la excentricidad de la hiprbola 9x2 16y2 = 144.
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F'(0,
c)
y
F(0,
c)La ecuacin ser:
Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(0, 5), de vrtice A(0, 3) y de centroC(0, 0).
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Ecuacin
de
la
hiprbola
con
eje
paralelo
a
OX,
y
centro
distinto
al
origen
Si el centro de la hiprbola esC(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(x0+c,y0)yF'(x0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:
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Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuacin de la forma:
DondeA
y
B
tienen
signos
opuestos.
Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(7, 2), de vrtice A (5,2) y de centro
C(3, 2).
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EcuacindelahiprbolaconejeparaleloaOY,ycentrodistintoalorigen
Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(x0,y0+c)yF'(x0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbolaser:
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Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, unaecuacin de la forma:
DondeAyBtienensignosopuestos.
Hallar la ecuacin de la hiprbola de foco F(2, 5), de vrtice A (2, 3) y de centro
C(2, 5).
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Lashiprbolasenlasquelossemiejesson
igualessellamanequilteras,portantoa=
b. Y su ecuacin es:
Las tienen por ecuacin:asntotas
,
Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
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La excentricidad es:
Ecuacindelahiprbolaequilterareferidaasusasntotas
Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asntotas, bastar dar un
giro
de
45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:
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Si efectuamos ungirode45 en los ejes,
la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:
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La ecuacin representa una hiprbola equiltera, calcular sus vrtices y
focos.
Como las coordenadas de los vrtices se encuentran en la bisectriz del primer y
tercer cuadrante, la primera componente y la segunda componente coinciden, es
decir, x = y. Y como adems el punto A pertenece a la curva, tendremos:
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Hiprbola
Es el lugar geomtrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a los
puntos fijos llamados focos es constante.
Elementosdelahiprbola
Focos
Son los puntos fijos F y F'.
Ejefocal
Es la recta que pasa por los focos.
Ejesecundariooimaginari
Es la mediatriz del segmento .
o
Centro
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Es el punto de interseccin de los ejes.
Vrtices
Los puntos A y A' son los puntos de interseccin de la hiprbola con el eje focal.
Los puntos B y B' se obtienen como interseccin del eje imaginario con lacircunferencia que tiene por centro uno de los focos y de radio c.
Radiosvectores
Son los segmentos que van desde un punto de la hiprbola a los focos: PF y PF'.
Distanciafocal
Es el segmento de longitud 2c.
Ejemayor
Es el segmento de longitud 2a.
Ejemenor
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Es el segmento de longitud 2b.
Ejesdesimetra
Son las rectas que contienen al eje real o al eje imaginario.
Asntotas
Son las rectas de ecuaciones:
Relacinentrelossemiejes
Excentricidad
La excentricidad mide la abertura mayor o menor de las ramas de la hiprbola.
Ecuacinreducidadelahiprbola
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Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'( c,0)yF(c,0)
EcuacindelahiprbolaconlosfocosenelejeOY
Si el eje real est en el eje de abscisas las coordenadas de los focos son:
F'(0, c)yF(0,c)
Ecua elahiprbolacon aleloaOX,ycentrodistintoalorige
Si el centro de la hiprbola es C(x0,
y0) y el eje principal es paralelo a OX, losfocos tienen de coordenadas F(X0+c,y0)yF'(X0 c,y0). Y la ecuacin de lahiprbola ser:
cind ejepar n
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Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuacin de la forma:
DondeAyBtienensignosopuestos.
Ecua elahiprbolac araleloaOY,ycentrodistintoalori
Si el centro de la hiprbola C(x0,y0) y el eje principal es paralelo a OY, los focostienen de coordenadas F(X0,y0+c)yF'(X0,y0 c). Y la ecuacin de la hiprbola
ser:
cind onejep gen
Al quitar denominadores y desarrollar las ecuaciones se obtiene, en general, una
ecuacin de la forma:
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DondeAyBtienensignosopuestos.
Ecuacindelahiprbolaequiltera
Las
hiprbolas
en
las
que
los
semiejes
son
iguales
se
llaman
equilteras,
por
tantoa= b. Y su ecuacin es:
Las asntotas tienen por ecuacin:
,
Es decir, las bisectrices de los cuadrantes.
La excentricidad es:
Ecuacindelahiprboleequilterareferidaasusasntotas
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Para pasar de los ejes OX, OY a los determinados por las asntotas, bastar dar un
girode 45 alrededor del origen de coordenadas. Quedando la ecuacin como:
Si efectuamos ungirode45 en los ejes, la hiprbola que queda en el segundo ycuarto cuadrante y su ecuacin ser:
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Ecuacindelahiprbola.Ejercicios
1Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los
vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.
1
2
3
4
2Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos,
de los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:
1
2
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3Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.
4El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14).
Hallar su ecuacin.
5 Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la
distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.
6 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos
.
7 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por el punto ysu excentricidad es .
8 Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de
los vrtices de la hiprbola 50 y 2.
9 Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 = 0 con respecto a la
hiprbola x2 2y2 = 1.
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10 Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida
a sus asntotas como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
1
Representa grficamente y determina las coordenadas de los focos, de los vrtices
y la excentricidad de las siguientes hiprbolas.
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2
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
2
Representa grficamente y determina las coordenadas del centro, de los focos, de
los vrtices y la excentricidad de las siguientes hiprbolas:
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2
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
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Hallar la ecuacin de una hiprbola de eje focal 8 y distancia focal 10.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
4
El eje focal de una hiprbola mide 12, y la curva pasa por el punto P(8, 14). Hallar
su ecuacin.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
5
Calcular la ecuacin reducida de la hiprbola cuya distancia focal es 34 y la
distancia de un foco al vrtice ms prximo es 2.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
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Determina la ecuacin reducida de una hiprbola que pasa por los puntos
.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
8
Determina la ecuacin reducida de una hiprbola sabiendo que un foco dista de
los vrtices de la hiprbola 50 y 2.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
9
Determina la posicin relativa de la recta x + y 1 =0 con respecto a la hiprbola
x2 2y2 = 1.
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Ecuacindelahiprbola.Ejerciciosresueltos
10
Una hiprbola equiltera pasa por el punto (4, 1/2). Halla su ecuacin referida a
sus asntotas como ejes, y las coordenadas de los vrtices y los focos.
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Ecuacindelahiprbola.Ejercicios
1El eje focal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la
ecuacin de la hiprbola.
2Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal
es .
3El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:
. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.
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1
El eje focal de una hiprbola mide 12 y la excentricidad es 4/3. Calcular la
ecuacin de la hiprbola.
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Calcular la ecuacin de una hiprbola equiltera sabiendo que su distancia focal
es .
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3
El eje no focal de una hiprbola mide 8 y las ecuaciones de las asntotas son:
. Calcular la ecuacin de la hiprbola, sus ejes, focos y vrtices.