Post on 10-Oct-2018
Conjuntos
Definición intuitiva de conjunto
Definición
Un conjunto es una colección de objetos.Ejemplos
A = {a, e, i , o, u}
B = {blanco, gris, negro}
C = {2, 4, 6, 8, 9}
D = {x |x es un país de América Latina}
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Extensión y Comprensión
Cuando un conjunto es descrito por un propiedad quecomparten sus elementos se dice que está determinado porcomprensión . Cuando damos una lista explícita de loselementos del conjunto, decimos que está determinado porextensión .
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Extensión y Comprensión
Cuando un conjunto es descrito por un propiedad quecomparten sus elementos se dice que está determinado porcomprensión . Cuando damos una lista explícita de loselementos del conjunto, decimos que está determinado porextensión .
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
A = {x |x es un número primo menor que 50}
A = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47}
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Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
B = {x |x es un entero mayor que -3}
B = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . }
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Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
C = {x |x es un número par y primo}
C = {2}
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Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
Consideremos el conjunto
D = {x |x es par, primo y mayor que 5}
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Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
Consideremos el conjunto
D = {x |x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como elconjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.
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Conjuntos
Conjuntos determinados por extensión y porcomprensión
Ejemplos
Consideremos el conjunto
D = {x |x es par, primo y mayor que 5}
El conjunto que no tiene elementos se conoce como elconjunto vacío y se acostumbra a notar por ∅ o { }.OJO {∅} NO es el conjunto vacío, es un conjunto con unelemento.
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Conjuntos
Pertenencia
Definición
Consideremos una relación binaria denotada por ∈, definidaentre un elemento a y un conjunto A.Decimos que a pertenece a A si a es un elemento de A, lo cualdenotamos por a ∈ A. En caso contrario, decimos que a nopertenece a A y lo escribimos a /∈ A.
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Conjuntos
Conjunto de referencia o conjunto universal
Consideremos el conjunto
A = {x |x es primo },
hay un conjunto de referencia?
letras?
colores?
reales?
naturales?
El conjunto referente donde se puede hablar de la propiedaddel conjunto lo tomamos como conjunto universal.
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Conjuntos
Conjunto de referencia o conjunto universal
Ejemplos
Son ejemplos de conjuntos universales:
U : N
U : R
U : Z
U : Estudiantes activos de la Universidad Nacional
U : Habitantes de Colombia
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Subconjuntos
Definición
Consideremos dos conjuntos A y B. Decimos que A essubconjunto de B si todo elemento de A es también elementode B, lo cual se nota por A ⊆ B y se lee A está contenido en B.En otras palabras
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B).
Para decir que A * B negamos la proposición anterior así:
∼ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)⇐⇒ (∃x)(x ∈ A ∧ x /∈ B)
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Conjuntos
Subconjuntos
Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cualcontradice el hecho de que vacío no tiene elementos.
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Conjuntos
Subconjuntos
Propiedades
Dado un conjunto A se tiene que ∅ ⊆ A.Pues de no ser así, existiría x ∈ ∅ tal que x /∈ A, lo cualcontradice el hecho de que vacío no tiene elementos.
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Subconjuntos
Si A ⊆ B y B ⊆ C entonces A ⊆ C. Veamos{
(∀x)(x ∈ A −→ x ∈ B)
(∀x)(x ∈ B −→ x ∈ C)=⇒ (∀x)(x ∈ A −→ x ∈ C)
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MATEMÁTICAS BÁSICAS
Conjuntos
Igualdad entre conjuntos
Igualdad entre conjuntos
Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si A ⊆ B y B ⊆ A. Enotras palabras
(∀x)(x ∈ A←→ x ∈ B)
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Conjuntos
Subconjuntos
Ejemplo
SeanA = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}, B = {2, 4, 6, 8}, C = {1, 3, 5, 7, 9}.Tenemos que B ⊆ A, pero C * A.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X |X ⊆ A}.Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjuntoPotencia de A.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Sea A un conjunto. Definimos la colección P(A) := {X |X ⊆ A}.Se conoce como el conjunto de Partes de A, o el conjuntoPotencia de A.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}.P(A) = {∅, {a}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a}.P(A) = {∅, {a}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a, b}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a, b}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {a, b}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Ejemplo
Sea A = {a, b, c}.P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Propiedades
Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).
Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A)tiene 2n elementos.
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Conjuntos
Conjunto Potencia o conjunto de Partes
Propiedades
Si A ⊆ B entonces P(A) ⊆ P(B).
Si A es un conjunto finito con n elementos, entonces P(A)tiene 2n elementos.
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Conjuntos
Operaciones entre conjuntos
Unión
Sean A y B dos conjuntos, definimos la unión de A y B como
A ∪ B := {x |x ∈ A o x ∈ B}.
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Conjuntos
Intersección
Intersección
Sean A y B dos conjuntos, definimos la intersección de A y Bcomo
A ∩ B := {x |x ∈ A y x ∈ B}.
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Conjuntos
Unión e Intersección
Propiedades
A ∩ B = B ∩ A
A ∪ B = B ∪ A
A ∩ ∅ = ∅
A ∪ ∅ = A
A ∪ A = A
A ∩ A = A
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Conjuntos
Unión e Intersección
Propiedades
A ⊆ A ∪ B
A ∩ B ⊆ A
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)
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Conjuntos
Complemento
Definición
Sea A un conjunto considerado como subconjunto de unconjunto universal U. Definimos el complemento de A (conrespecto a U) como
A′ = {a ∈ U|a /∈ A}.
El complemento de A se nota por A′ o por AC .
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Conjuntos
Complemento
Propiedades
A′′ = A
A ⊆ B si y sólo si B′ ⊆ A′
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
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Conjuntos
Diferencia
Definición
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia de A y Bcomo
A− B = {x |x ∈ A ∧ x /∈ B}
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Conjuntos
Diferencia
Propiedades
A− B = A ∩ B′
A− A = ∅
A− ∅ = A
A− B = A si y sólo si A ∩ B = ∅
A− B = ∅ si y sólo si A ⊆ B
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Conjuntos
Diferencia
Ejercicio
Sean U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {2, 3, 6}y C = {3, 5, 7}. Encuentre
A− B
B − A
(A− B) ∪ C′
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Conjuntos
Diferencia Simétrica
Definición
Sean A y B dos conjuntos. Definimos la diferencia simétrica deA y B como
A△B = (A− B) ∪ (B − A)
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Conjuntos
Diferencia Simétrica
UA B
Figura: A △B
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Conjuntos
Diferencia Simétrica
Propiedades
A△B = B△A
A△∅ = A
A△A = ∅
Si A ⊆ B entonces A△B = B − A
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Conjuntos
Producto Cartesiano
Definición
Dados dos conjuntos A y B definimos el producto cartesianode A y B, notado por A× B como
A× B := {(a, b)|a ∈ A ∧ b ∈ B}.
Los elementos de A× B se llaman parejas ordenadas, y comosu nombre lo indica importa el orden en que aparece, esto es,(a, b) 6= (b, a). Así
B × A = {(b, a)|b ∈ B ∧ a ∈ A}
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Conjuntos
Producto Cartesiano
Ejercicio
Sean A = {1, 5, 9} y B = {6, 7}. Encuentre
A× B
B × A
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Conjuntos
Producto Cartesiano
Propiedades
A× B es igual a B × A ?
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Conjuntos
Cardinal de un conjunto
Definición
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquiernúmero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3
Si B = {x |x es primo y x < 12} entonces n(B) =
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Conjuntos
Cardinal de un conjunto
Definición
Si un conjunto A tiene k elementos, donde k es cualquiernúmero natural, decimos que el cardinal de A es k y se nota
n(A) = k .
Ejemplo
Si A = {a, b, c} entonces n(A) = 3
Si B = {x |x es primo y x < 12} entonces n(B) = 5
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Conjuntos
Producto Cartesiano
Número cardinal de un producto cartesiano
Si n(A) = a y n(B) = b, entonces
n(A× B) = n(B × A) = n(A)× n(B) = n(B)× n(A) = ab.
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Conjuntos
Producto Cartesiano
Ejercicios
Encuentre el número cardinal en cada caso
Si n(A× B) = 36 y n(A) = 12, encuentre n(B)
Si n(A× B) = 100 y n(B) = 4, encuentre n(A)
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Conjuntos
Resumen
Operaciones entre conjuntos
Sean A y B dos conjuntos cualesquiera, donde U es elconjunto universal.
El complemento de A es A′ = {x |x ∈ U|x /∈ A}
La unión de A y B es A ∪ B = {x |x ∈ A ∨ x ∈ B}
La intersección de A y B es A ∩ B = {x |x ∈ A ∧ x ∈ B}
La diferencia de A y B es A− B = {x |x ∈ A ∧ x /∈ B}
La diferencia simétrica de A y B esA△B = {x |(x ∈ A ∧ x /∈ B) ∨ (x /∈ A ∧ x ∈ B)}
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Conjuntos
Resumen
Leyes de De Morgan
Para dos conjuntos A y B
(A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(A ∪ B)′ = A′ ∩ B′
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Conjuntos
Conjuntos
Ejercicio
Cierta empresa entrevistó a 140 personas en un centrocomercial de un suburbio con el fin de averiguar algunas de suscostumbres para cocinar, y obtuvo los siguientes resultados.58 utilizan horno microondas,63 utilizan hornillas eléctricas,58 utilizan gas,19 utilizan microondas y hornillas eléctricas,17 utilizan microondas y gas,4 utilizan tanto gas como hornillas eléctricas,1 utiliza los tres,2 cocinan sólo con energía solar,Realice un diagrama donde se puedan leer estos datos.
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