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MATEMÁTICAS CON
Word Y Excel
2
AL LECTOR:
El autor de esta obra le quedará muy reconocido si le da usted a
conocer su opinión acerca de esta obra que le ofrezco, así como de
su presentación e impresión.
Le agradezco también cualquier otra sugerencia.
Mi dirección e-mail es: javisgc@yahoo.com.mx
PRIMERA EDICIÓN 2006.
® Copyright. 2006.
® copyright Javier González Cázares
Nombre de la casa de publicación: Gauss Registros Nº 03-2006-071115045600-01, SEP y Nº 03-2007-081615321700-01, SEP
Derechos de Autor Art. 184
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ÍNDICE
INTRODUCCIÓN….………………………………………………………………… 5
PRIMERA PARTE I. EDITOR DE ECUACIONES….…………………………………………………………………………………… 5
PRÁCTICA # 1. “LA VIDA DE DIOFANTO”………………………….…………………………………………… 7
II. A. CÓMO HACER ECUACIONES ………………………………………………………………………………. 8
PRÁCTICA # 2. “EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN ENTERO Y FRACCIÓN...…………………………………10
PRÁCTICA # 3. “OPERACIONES ARITMÉTICAS CON EXCEL”....……………………………………………. 11
PRÁCTICA # 4. “ECUACIONES DE PRIMER GRADO” (CON UNA VARIABLE)….………………………….. 13
PRÁCTICA # 5. “SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO”. (MÉTODO POR FÓRMULA)….…. 15
PRÁCTICA # 6. “SISTEMA BINARIO”….………………………………………………………………………… 17
PRÁCTICA # 7. “LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA”…………………………………………………………….. 19
PRÁCTICA # 8. “FACTORES DE DIVISIÓN……………………………………………………………………….. 20
PRÁCTICA # 9. “DIBUJO CON EXCEL”….……………………………………………………………………….. 21
PRÁCTICA # 10. “APLICA TUS CONOCIMIENTOS” ……………………………………………………………. 22
“PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA”….…………………………………………………………………………... 24
PRÁCTICA # 11……………………………………………………………………………………………………… 24
PRÁCTICA # 12……………………………………………………………………………………………………….25
SEGUNDA PARTE
CONCEPTOS GENERALES…………………………………………………………………………….…………. 26
PRÁCTICA 13: FRACCIONES REPRESENTADAS EN GRÁFICAS CIRCULARES …………………..…......... 38
PRÁCTICA 14: FRACCIONES EN GRÁFICA DE BARRAS ……………………………………………….…….. 40
PRÁCTICA 15: GRÁFICA CIRCULAR DE FRACCIONES ………………………………………………….……. 42
PRÁCTICA 16: FRACCIONES ……………………………………………………………………………….…….. 45
PRÁCTICA 17: SUMA Y RESTA DE FRACCIONES …………………………………………………….……….. 49
PRÁCTICA 18: SEGUNDA PARTE: SUMA DE FRACCIONES …………………………………….……………. 50
PRÁCTICA 19: MULTIPLICACIÓN ARITMÉTICA……………………………………………………………….. 52
PRÁCTICA 20: ADIVINADOR DE NÚMEROS……………………………………………………………………. 55
PRÁCTICA 21: DIBUJAR FIGURAS GEOMETRICAS……………………………………………………………. 58
PRÁCTICA 22: AREA DE FIGURAS EN EXCEL………………………………………………………………..… 60
PRÁCTICA 23: ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO…………………………………………….…….. 62
PRÁCTICA 24: ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO (TRES RECTAS EN EL ESPACIO)……………65
PRÁCTICA 25: BALANCE QUIMICO………………………………………………………………………………68
PRÁCTICA 26: COMPROBACIÓN DE ECUACIONES…………………………………………………………… 70
PRÁCTICA 27: COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS RECTANGULARES………………………. 73
PRACTICA 28: DESIGUALDADES CON INECUACIONES………………………………………………………76
PRÁCTICA 29: SISTEMAS DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMER……………………………………. 80
PRÁCTICA 30: REGLA DE KRAMER 2 (CONTINUACIÓN)……………………………………………………..83
PRÁCTICA 31: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (MÉTODO REGLA DE CRAMER)………………..84
PRÁCTICA 32: ECUACIONES LINEALES POR ELIMINACIÓN GAUSSIANA………………………………...87
PRÁCTICA 33: ECUACIÓN CUADRÁTICA……………………………………………………………………….92
PRÁCTICA 34: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA………………………………………………………….94
PRÁCTICA 35: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; SEGUNDA PARTE (USANDO SCROLL BARS)…. 95
PRÁCTICA 36: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; TERCERA PARTE (CONTINUACIÓN)…………….97
PRÁCTICA 37: ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA; CUARTA PARTE (HAGA SUS CÁLCULO Y
COMPRUEBE)………………………………………………………………………………………..99
PRÁCTICA 38: ECUACIONES POR MÉTODO ALEATORIO……………………………………….……………100
PRÁCTICA 39: ESTADÍSTICA………………………………………………………………………….…………..102
PRÁCTICA 40: GRÁFICA DE DOS FUNCIONES………………………………………………………….………104
PRÁCTICA 41: GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES………………………..…………………..……………….107
PRÀCTICA 42: “PARÁBOLA”.EJEMPLOS INTERACTIVOS……………………………………….…………….112
PRÁCTICA 43: PARÁBOLA (MÍNIMOS Y MÁXIMOS)……………………………………………….………….115
PRÁCTICA 44: GRÁFICA DE DOS FUNCIONES (INTERSECCIÓN DE DOS CURVAS)………………..……..118
PRÁCTICA 45: PENDIENTE DE UNA RECTA. 1RA. PARTE……………………………………….…………....120
PRÁCTICA 46: PENDIENTE DE UNA RECTA. 2DA. PARTE………………………………………………….....122
PRÁCTICA 47: PENDIENTE DE UNA RECTA. 3RA. PARTE…………………………………………………….123
PRÁCTICA 48: PRODUCTOS NOTABLES…………………………………………………………………………125
4
PRÁCTICA 49: CÍRCULO (Con coordenadas rectangulares y polares)….……………………………………….....127
PRÁCTICA 50: CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN…………………………………………………………………133
PRÁCTICA 51: INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN CÍRCULO…………………………………….....137
PRÁCTICA 52: FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: “COSENO”……………………………………………......141
PRÁCTICA 53: SISTEMAS DE ECUACIONES DOS X DOS……………………………………………………...148
PRÁCTICA 54: FUNCIÓN EXPLICITA………………………………………………………………………..…...151
PRÁCTICA 55: FUNCIÓN EXPLÍCITA. CONTINUACIÓN…………………………………………………..…..154
PRÁCTICA 56: ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN………………………………......……155
PRACTICA 57: ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA……………………………………….……….…...159
PRÁCTICA 58: GRAFICA DE FUNCIONES POLARES CON ANIMACIÓN…………………………………….161
PRÁCTICA 59: VECTOR (Usando coordenadas polares)……………………..………………………………….….164
5
INTRODUCCIÓN
ESTE TRABAJO QUE SE PRESENTA EN FORMA ESCRITA, EN UN PRINCIPIO ERAN UNA SERIE DE
EJERCICIOS SUELTOS Y DESORDENADOS.
AUNQUE ORIGINALMENTE FUERON HECHOS PARA LOS ALUMNOS DE LA TELESECUNDARIA “NIÑOS
HÉROES”, DE LA COMUNIDAD DE BUENAVISTA, FRESNILLO, ZAC., MEXICO; PARA EVALUAR UN
TRABAJO DE INVESTIGACIÓN PERO DE IGUAL MANERA LOS PUEDE USAR EL ALUMNO O ALUMNA DE
SECUNDARIA GENERAL O TÉCNICA.
VAN DE LO SIMPLE, DESDE COMO ESCRIBIR FÓRMULAS EN EL PROGRAMA WORD, NO SIN ANTES
PONER UN PROBLEMA PARA QUE LO REALICEN EN CASA. EN EXCEL PODRÁS APLICAR FÓRMULAS O
BIEN DEDUCIRLAS PARA DIFERENTES CASOS.
PARTO DE QUE EL ALUMNO DEBE EJERCITARSE PRIMERO EN EL SALÓN DE CLASE, QUE COMPRENDA
BIEN CÓMO RESOLVER PROBLEMAS MATEMÁTICOS Y LUEGO COMPROBAR SUS RESULTADOS EN EL
SALÓN DE CÓMPUTO. TODO BUEN CONOCIMIENTO DEBE PASAR POR UNA APROPIADA REFLEXIÓN
PRÁCTICA.
LA IDEA ES QUE APRENDA A EJERCITAR Y COMUNICARSE ENTRE SUS COMPAÑEROS Y MAESTROS SUS
RESULTADOS, DE CÓMO USAR LA HOJA EXCEL EN EL LABORATORIO DE MATEMÁTICAS, EN ALGUNOS
CASOS HAY MAS DE DOS CAMINOS A SEGUIR PARA UNA MISMA SOLUCIÓN, LA MÁS ÓPTIMA ES LA
QUE USTED ELIJA.
ES CIERTO QUE HAY UN SINNÚMERO DE CAMINOS PARA LLEGAR, EL CHISTE ES SABER CUAL ES EL
MEJOR, EL MENOS TEDIOSO, MÁS MEJOR EN EL SABER Y APLICACIÓN AL PROBLEMA DADO.
LA EXPERIENCIA EN EL SALÓN MUESTRA QUE UNA MOTIVACIÓN EN MATEMÁTICAS MUESTRA UNA
MEJOR TOLERANCIA A APRENDER Y BUSQUEDA DE OTROS CAMINOS.
LA DISCUSIÓN SOBRE SI ES APROPIADO O NO ESTE RECURSO, ES EN EL SALÓN DE CLASES, CON LOS
PROPIOS INVOLUCRADOS: COMO AUTORIDADES, MAESTROS, ESTUDIANTES Y PADRES DE FAMILIA.
PARA ENTENDER ESTE CUADERNILLO ES NECESARIO SENTARSE Y USAR LA COMPUTADORA, ES
DECIR EN LA PRÁCTICA. LOS ÚLTIMOS AVANCES EN LA TECNOLOGÍA DE LA INFORMACIÓN
PERMITEN QUE LA MATEMÁTICA SEA MÁS EXPERIMENTAL. EL ALUMNO SIEMPRE SE QUEJA DE LO
TEDIOSO QUE ES RESOLVER OPERACIONES CON VARIABLES. ¿IMPORTA, QUE EL ALUMNO APRENDA
UN ALGORITMO O QUE ESTÉ TODO EL DÍA RESOLVIENDO UN SÓLO PROBLEMA? ¿O BIEN, NI SIQUIERA
PODER RESOLVERLO? UNA VEZ APRENDIDO EL MÉTODO, PUEDE PASAR A EXPERIMENTAR Y BUSCAR
OTRAS ALTERNATIVAS, COMO REPRESENTAR NÚMEROS CON DIBUJOS, LO QUE AMPLIA EL CAMPO DE
REFLEXIÓN DE APLICACIONES Y CONOCIMIENTO. EL USO DE OTROS MÉTODOS AUNQUE NO LOS
CONOZCA PUEDE HACER QUE TENGA UNA AUTORREFLEXIÓN Y PUEDA PROPONER OTRAS VÍAS DE
SOLUCIÓN. NO TENGA MIEDO DE CONOCER, EXPERIMENTE, BUSQUE, HAGA, AUNQUE SE EQUIVOQUE.
ESTAS PALABRAS QUE ENCONTRARÁ EN TODO EL TEXTO, SON UNA REFLEXIÓN QUE A LO LARGO DE
LOS AÑOS HE TENIDO, Y QUE AGRADEZCO A MI ESPOSA JOSEFINA, MIS HIJOS JAVIER ANTONIO Y M.
JOSEFINA ADRIANA SU COMPRENSIÓN, PACIENCIA Y ENTUSIASMO.
AL PROFESOR LUIS MANUEL AGUAYO RENDON POR CREER EN MI TRABAJO, Y MI AMIGO Y
COMPAÑERO DE EN LUCHA FELIPE H. CORTÉS VÁZQUEZ.
J.G.C.
JUNIO 2006
6
PRIMERA PARTE
I. EDITOR DE ECUACIONES
El “editor de ecuaciones”, es una herramienta muy útil en Word, traslada fórmulas,
ecuaciones, etc.
Si no se encuentra en la barra de tareas, busque en “herramientas”, + “personalizar”,
buscar en “todos los comandos”, seleccionar “Insertar Editor de Ecuaciones” y
arrastrarlo a la barra de herramientas. No todas las computadoras lo tienen, pero antes de
hacerlo practicarás con tu maestro unos ejercicios usando el editor de ecuaciones.
Por ejemplo: Las siguientes fórmulas escríbelas en Word:
a
acbbx
a
acbbx
2
4;
2
4 2
2
2
1
0843 2 xx
2
1 1
2 2
1 1
2
c b
c bx
a b
a b
dc
ddc
d
d
22
32
61
2
1
)2)(1(
3
)1)(1(
13
xxx
x
xx
x
12232 xx
7
Para el primer ejemplo, abrimos editor de ecuaciones, da clic en . Enseguida aparece.
Empieza a escribir la ecuación, así como se presenta:
1er 2° 3er
Paso Paso Paso
Al final queda de esta manera:
II. PRÁCTICA # 1
1. ¿CÓMO ESCRIBIRÍAS FÓRMULAS Y ECUACIONES EN LA HOJA WORD?
Objetivo:
Usarás tus habilidades para escribir fórmulas y ecuaciones matemáticas en la computadora.
Orden de pasos:
Abres un Nuevo Documento Word, escribes el título “CÓMO HACER ECUACIONES”,
luego centrar. Como subtítulo “La vida de Diofanto”.
En Tabla, eliges Dibujar Tabla + Insertar Tabla, eliges 2 columnas y 9 filas, a
continuación Aceptar.
8
Con tu ratón, en la primera columna escribes “LENGUA VERNÁCULA”, con el cursor
derecho, escribes “LENGUA DEL ÁLGEBRA”, los cuadros que llenaremos son los del
lado izquierdo, los de la derecha los llenarás tú después del dictado.
Segundo cuadro, primera columna (a continuación abreviar a tercer cuadro y así
sucesivamente), escribe:
1. ¡Caminante! Aquí fueron sepultados los restos de Diofanto. Y los números pueden
mostrar, ¡OH, milagro!, cuán larga fue su vida,
2. Cuya sexta parte constituyó su hermosa infancia
3. Había transcurrido además una duodécima parte de su vida, cuando de vello cubriese en
su barbilla
4. Y la séptima parte de su existencia transcurrió en un matrimonio estéril
5. Pasó un quinquenio más y le hizo dichoso el nacimiento de su precioso primogénito,
(Nota: entre las filas 6 y 7, columna 1, eliges Dividir Celdas…das clic. Otra vez clic)
6. que entregó su cuerpo, su hermosa existencia, a la tierra, que duró tan sólo la mitad de
la su padre
7. Y con profunda pena descendió a la sepultura, habiendo sobrevivido cuatro años al
deceso de su hijo
8. (Nota: eliges dos columnas en esta última fila, vas a Tabla + Dividir Celdas… clic,
seleccionas Negrita, clic) Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó
la muerte.
Una vez finalizado todo el dictado, pondrás las variables y constantes apropiadas a cada
paso que se indicó, cuando hayas terminado compara tus resultados con el maestro y
resuelve en tu casa esta incógnita, que seguro te sorprenderás del resultado.
II. A. CÓMO HACER ECUACIONES
Para este ejercicio usar el “editor de ecuaciones”, harás un dictado, cuida errores de
ortografía matemática y de caligrafía.
A continuación se relata la vida de Diofanto, en el epitafio de su tumba:
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LA VIDA DE DIOFANTO1
LENGUA VERNÁCULA LENGUA DEL ÁLGEBRA
¡Caminante! Aquí fueron sepultados los
restos de Diofanto. Y los números
pueden mostrar, ¡OH, milagro!, cuán
larga fue su vida,
x
Cuya sexta parte constituyó su hermosa
infancia
Había transcurrido además una
duodécima parte de su vida, cuando de
vello cubriese en su barbilla
Y la séptima parte de su existencia
transcurrió en un matrimonio estéril
Pasó un quinquenio más y le hizo
dichoso el nacimiento de su precioso
primogénito,
que entregó su cuerpo, su hermosa
existencia, a la tierra, que duró tan sólo
la mitad de la su padre
5
2
x
Y con profunda pena descendió a la
sepultura, habiendo sobrevivido cuatro
años al deceso de su hijo.
Dime cuántos años había vivido Diofanto cuando le llegó la muerte
Obviamente el resultado lo harás “a mano”, como lo haces de manera regular o bien en tu
casa, y tus resultados los comparas con tus compañeros y maestro.
Ejercicios:
Encuentra las variables y constantes:
1. Se pretende cercar un terreno rectangular y dividirlo en tres partes con dos cercas
interiores y paralelas a uno de sus lados. Encuentre las dimensiones del terreno si la
longitud total de las cercas ha de ser de 800 m y el área del terreno es 19,200 m2.
2. Una página con 3 plg más de longitud que de anchura, tiene 80 plg2 de impresión.
Encuentre las dimensiones de la página.
1 PERELMAN, Y., “Álgebra recreativa”, Ed. Quinto Sol, México, 1983, Pág. 46.
6
x
12
x
7
x
42
57126
xxxx
x
10
PRÁCTICA # 2
“EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN ENTERO Y FRACCIÓN”
2. ESCRIBE UNA FRACCIÓN EN LA HOJA EXCEL, EN SU FORMA MÁS SIMPLE.
Es fácil en la hoja Excel tan sólo es saber cómo se hacen a mano.
Objetivo:
Que el alumno pueda expresar la división como se le enseñó en primaria y exprese
fracciones impropias en enteras y residuo.
Orden de pasos:
Abre una hoja nueva de Excel, escribe el título “EXPRESAR UNA FRACCIÓN EN
ENTERO Y FRACCIÓN”, luego en la celda C6 escribe el numerador de la fracción, en la
celda C7 escribe el denominador de la fracción. Céntralos y con Crtl + 1, Bordes para la
raya de división.
En B9 escribe “SE EXPRESA ASÍ:”
En B11 escribe la fórmula = =SI(C7=0,"indeterminada",ENTERO(C6/C7))
En C11 escribe “ENTEROS”.
Selecciona celdas desde B11 hasta D11 (fila) bajando una fila (D12), elige en personalizar
Formato + Combinar y Centrar.
En la celda E11 escribe la fórmula = RESIDUO ( C6 / C7 ), das Crtl + 1, elige línea abajo
para la línea de división.
11
En la celda E12 escribe la fórmula = C7 da ENTER.
NOTA: puedes cambiar el numerador y denominador para diferentes resultados.
EJERCICIOS:
1. Aplica el criterio de divisibilidad para encontrar los múltiplos de cualquier número.
2. Cómo encontrar si un número es divisor otro número.
PRÁCTICA # 3
“OPERACIONES ARITMÉTICAS CON EXCEL”
3. REALIZA DIFERENTES OPERACIONES ARITMÉTICAS A LÁPIZ, LUEGO
COMPRUEBA TUS RESULTADOS EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: Aprenderás cómo realizar operaciones aritméticas con computadora.
Expresiones o símbolos usados:
Usarás los siguientes símbolos en Excel, como ( + ), ( - ), ( * ), ( / ), ( ^ ), ( ABS), (COS),
(SEN), (ENTERO), (EXP), (FACT), (GRADOS), (PI), (POTENCIA), (RAIZ),
(RESIDUO).
Ejemplos:
Realiza la siguiente operación a mano:
(4)*(-5)*(-2)
¿Cuánto te resulta?
Bien, ahora introduce estas operaciones en una nueva hoja Excel:
12
Primero debes de escribir en la celda b7 el signo igual para que se resuelva como una
fórmula, luego la operación
(4)*(-5)*(-2)
Al final da ENTER.
¿Tu resultado es igual al introducir a hoja Excel?, si no es así corrige.
Ejemplo: ahora realiza 4*9 + 50/10, a mano; luego en Excel, recuerda que primero debes
introducir signo igual ( = ).
En los siguientes ejercicios, primero resuélvelos a mano y después en Excel.
EJEMPLOS A MANO EXCEL
(8+5)*(2)
8+5*2
(8/2+5)*(1+8)
8^4
6*(8+9-(15/3)^2)
ABS(-789)
COS(60)
SENO(60)
ENTERO(15.548888)
13
EXP(1)
FACT(8)
GRADOS(1)
PI()
POTENCIA(4,3)
RAIZ(144)
RESIDUO 43
FACTORIAL 8
8*2-5^3*(1/8)
8^2*5+3/1-8
8+2^(5-3)*3*1/8
8^(2+5)-3^1/8
8^(2*5)/3+1-8
Recuerda que primero tienes que hacerlo a mano y luego en Excel, compara tus resultados
y concluye.
Te recomiendo que los pasos2 a seguir en una operación de aritmética puedan variar según
sea el caso, pero primero debes de tener en cuenta que primero efectúas las operaciones que
están dentro de los paréntesis, luego multiplicaciones, divisiones y potencias, por último
efectúas las sumas o restas.
PRÁCTICA # 4
“ECUACIONES DE PRIMER GRADO”
(CON UNA VARIABLE)
4. APLICA TUS CONOCIMIENTOS DE DESPEJE DE ECUACIONES PARA
ENCONTRAR UNA “FÓRMULA”, QUE RESUELVA ECUACIONES DE PRIMER
GRADO DE LA FORMA: a x = b
Una ecuación es un enunciado en que dos cantidades son iguales, el signo de igualdad se
coloca en medio de estas dos. Las ecuaciones tienen una, dos o más letras, llamadas
variables o incógnitas. Mediante algoritmos podemos encontrar los valores de las
variables, éstos a su vez se sustituyen en las ecuaciones, hacen iguales a los dos miembros
de la ecuación, es decir satisfacen a, o es una solución de. El total de las soluciones se le
conoce como conjunto de soluciones.
Es así como para la fórmula general de una ecuación de primar grado con una variable y
una constante será:
2 Para más ejemplos: http://homepage.cem.itesm.mx
ax b
14
a
bx
Su solución, para cuando: si 0a
Es:
--------------------- fórmula (1)
De igual manera cuando, se tiene una ecuación con una variable y dos constantes, el rango
de a es el mismo:
Si 0a
La fórmula general es:
Por lo que despejando se tiene.
-------------------- fórmula (2)
En los dos casos, el valor de a, no será cero, por definición.
Objetivo. Encontrar el algoritmo general o particular Excel, para ecuaciones de primer
grado.
Orden de pasos: Abre un nuevo documento Excel. Escribe el título “ECUACIONES DE
PRIMER GRADO (CON UNA VARIABLE)”, luego en el inciso a, “el caso para una
constante”, escribe en las celdas B8 y B9 a y b respectivamente, ahora los valores de cada
una de ellas, los que quieras.
Enseguida, “el valor de la variable es:”, en la celda B12, escribe “x =”, celda C12 la
fórmula correspondiente.
Como las fórmulas están definidas en función de que el denominador no sea cero, ya que
nos daría una indeterminación o un número infinito, para resolverlas es necesario otro
curso más adelante, pero por lo pronto ponemos una restricción a nuestra fórmula.
= SI (C8=0,"indeterminada", C9/C8)
¿Por qué “indeterminada? Consulta a tu maestro.
En resumen quedaría así:
c bx
a
ax b c
axa
axa
15
Una vez terminado, empiezas en la siguiente celda escribiendo: “b) el caso para una
variable y dos constantes”. Y sigues el mismo procedimiento que el anterior, sólo que
ahora en la fórmula agregarás lo siguiente:
=SI (C21=0, “Indeterminada”, (C23-C22)/C21)
En resumen:
Comprueba tus valores, cambiando los valores de coeficientes y constantes, realiza estos
cálculos a mano y en la computadora.
EJERCICIOS:
1. Usa Word Editor de Ecuaciones para deducir las fórmulas generales de los
siguientes ejemplos:
2. Una vez que derivaste las fórmulas; aplícalas ahora en el programa Excel, luego
resuélvelos para diferentes valores.
PRÁCTICA # 5
“SOLUCIÓN DE ECUACIONES DE PRIMER GRADO”
(MÉTODO POR FÓRMULA)
5. APLICA TUS CONOCIMIENTOS DE DESPEJE DE ECUACIONES PARA
ENCONTRAR UNA “FÓRMULA”, QUE RESUELVA ECUACIONES DE PRIMER
GRADO DE LA FORMA:
ax b a x b
ax b c ax b c
ax b c ax b c
ax b c ax b
ax b cx d
16
OBJETIVO: Que determines el valor de una variable a partir de una fórmula que deduzcas
en tu salón o en tu casa, para poder resolver ecuaciones de primer grado en forma general.
Sea la fórmula general, para una ecuación:
La solución quedará:
Esta fórmula se aplica cuando: 0 ca
Pasos ordenados: Ahora, abre un nuevo documento Excel. El problema a resolver es:
Escribe la teoría como viene en la presentación Excel, luego en la celda B50, B51, B52 Y
B53, las letras de cada constante o coeficiente sucesivamente.
Desde C50 hasta C53, pon los valores de cada constante o coeficiente
Por ejemplo:
El valor que introduces en la computadora, para a = 8, es en la celda C50, pones 8 haces
ENTER y se agrega automáticamente, hazlo sucesivamente con las demás constantes.
Una vez terminado, en la celda E52 ponemos x =, para decir que el valor de equis es…,
luego en la celda F52, ponemos lo que sigue:
=SI (C50-C52 =0,"infinito, sin solución real", (C53-C51)/ (C50-C52))
Comprueba tus resultados, en la libreta. Cambia los valores a voluntad para diferentes
problemas.
ax b cx d
d bx
a c
8 5 4x x
8
5
1
4
a
b
c
c
17
EJERCICIOS:
1. En base al algoritmo propuesto resuelve para uno de los siguientes casos, basa tus
deducciones en la hoja Word Editor de ecuaciones, y luego aplícalos a Excel, para
cada caso, varía sus valores para comprobar tus resultados:
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
ax b cx d
PRÁCTICA # 6
“SISTEMA BINARIO”
6. CONVIERTE UN NÚMERO DECIMAL AL SISTEMA BINARIO EN LA HOJA DE
CÁLCULO.
Objetivo: Usarás el algoritmo binario para cambiar al sistema decimal.
Orden de pasos: Abres un Nuevo Documento Excel, escribes el título “SISTEMA DE
NUMERACIÓN BINARIO”, punto a aparte y escribes “EXPRESE EL NÚMERO
BINARIO A NÚMERO DECIMAL”, aparte escribes “INTRODUZCA CUALQUIER
NÚMERO BINARIO EN LA FILA DE LA TABLA:”.
Vamos a formar una tabla a partir de B8 hasta J11, aprietas Crtl + 1, elijes Bordes +
Contorno + Interior + Aceptar, luego para cada fila elijes un Color de Relleno diferente.
En la fila POSICIÓN, agregas en C8 el número 8, en D8 el 7 y así sucesivamente hasta J8.
En la fila POTENCIA, agregas en C9 la fórmula = (2) ^7,
en D9 la fórmula = (2) ^6, y así sucesivamente hasta J9.
18
En la fila NÚMERO BINARIO, pon el número binario que buscas. Ten cuidado que
empiezas a ponerlo de derecha a izquierda.
En la fila VALOR POSICIONAL, en la celda C11, pon la fórmula =C10*C9, en celda
D11, pon la fórmula =D10*D9, y así sucesivamente hasta la celda J11.
A partir de la celda A14, escribes “POR LO TANTO EL NÚMERO BINARIO
CONVERTIDO A NÚMERO DECIMAL ES:”.
En la celda B15, escribes la fórmula =SUMA (C11:J11). Queda de esta forma:
Asegúrate que los valores de las fórmulas están bien repasados.
ejercicios:
a) has este ejercicio pero en el sistema quinario
b) este ejercicio en el sistema octal
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PRÁCTICA # 7
"LA PROGRESIÓN ARITMÉTICA"
7. INCREMENTA 0.5 AL VALOR DE 1, PARA CONOCER SU COMPORTAMIENTO,
USA EL CONCEPTO DE PROGRESIÓN ARITMÉTICA
Objetivo: Aplicar una sucesión de números, ya sea lineal o progresiva.
Abres un nuevo documento Excel, Haces lo mismo que esta en la figura.
Luego Edición + Rellenar + Series.
La serie, es Fila + Incremento + 0.5 + Límite + 5 a continuación ACEPTAR.
Queda así:
20
Ejercicios:
1. Realiza en orden progresivo de 2.0.
2. Realiza en orden regresivo (o decreciente) del orden de – 6.
3. otro en orden de - 12.
4. El siguiente problema, se dice que lo resolvió el gran matemático Gauss, de niño
cuando su maestro de Escuela dejó a sus alumnos sumar todos los números
consecutivos del uno al cien.
a) Resuélvalo a mano, para ello le propongo anote todos los números para
sumarlos, luego encuentre la relación entre ellos.
b) Contraste su resultado con las siguientes fórmulas:
n = a + [(N - 1) x r]
S = (a + n) x N / 2
a = primer término de la progresión
n = último término de la progresión
r = razón
N = número de términos
S = suma de los términos de a a n.
5. ¿Cuál es la sucesión de la siguiente fórmula? Calcula esto mediante valores
significativos, es decir muy grandes para saber la conjetura correcta.
1 1n n
na n n
PRÁCTICA # 8
“FACTORES DE DIVISIÓN”
8. ENCUENTRA LOS FACTORES DE DIVISIÓN DE CUALQUIER NÚMERO
USANDO LA HOJA EXCEL.
Objetivo: Recordarás la formas en cómo encontrar el divisor de cualquier número y el uso
de los divisores para resolver ejemplos.
Orden de pasos: Abre un nuevo documento Excel, pon el título con tamaño 20, tipo de letra
Times, mayúsculas, “FACTORES DE DIVISIÓN”.
A continuación pondrás las fórmulas, por ejemplo, en la celda C4, pon cualquier número, a
continuación en la celda D4, el número al cual “adivinarás” si es factor de división, en la
celda E4, agregas la fórmula = SI(RESIDUO(C4,D4)=0,"ES DIVISOR,
FELICIDADES!","TE EQUIVOCASTE, INTENTA OTRA VEZ"), en la celda H4 cuando
no resulte la división pondrás = SI(C4=1,"¡TERMINASTE, FELICIDADES!",
"CONTINÚA").
Una vez terminado, debes de poner la fórmula de la cual obtienes el cociente, a partir de la
celda C5, de esta manera: = C4 / D4.
Para las demás celdas ya que encontrarás más divisores, cópialos.
21
EJERCICIOS:
a) ESTE MISMO EJERCICIO PERO CON DOS FACTORES
b) EL MISMO PERO CON TRES O MAS FACTORES
PRÁCTICA # 9
“DIBUJO CON EXCEL”
9. USA TU IMAGINACIÓN PARA DIBUJAR FIGURAS EN LA HOJA EXCEL
Objetivo: Dibujarás en la hoja Excel, usando tu imaginación.
Orden de pasos: Abre una nueva hoja Excel, luego selecciona todo el documento. Con el
ratón selecciona el número de filas que desees, a continuación, Formato + Filas + Alto, en
Alto selecciona 6.
Ahora, con el ratón selecciona el número de columnas que desees, a continuación, Formato
+ Columnas + Columnas, en columnas selecciona 0.3.
Luego has dibujos como si cada cuadrito fueran vectores o píxeles de una figura, para ello
usa el color de relleno, selecciona el color que desees y listo. Lo demás corre de tu cuenta.
Como ves en el ejemplo que está a continuación:
22
EJERCICIOS: ELABORA TUS PROPIOS DIBUJOS.
PRÁCTICA # 10
“APLICA TUS CONOCIMIENTOS”
10. EN LA HOJA DE CÁLCULO PRIMERO EN UNA COLUMNA, HAS UNA
TABULACIÓN DESDE -1.5 HASTA +2, LUEGO CALCULA PARA CADA DATO
CON LA FUNCIÓN x
y1
, FORMA UNA SEGUNDA COLUMNA, CUANDO
TERMINES, GRAFICA ESTOS DATOS.
Objetivo: Aplicarás tus conocimientos para encontrar el comportamiento de una serie de
datos, en una gráfica.
Orden de pasos:
Al expresar valores, magnitudes u otros datos por medio de tablas, podemos intuir su
comportamiento, pero cuando son muchos datos es muy difícil, por lo que usaremos una
técnica de Excel para poder relacionar los números con figuras es decir gráficas
Cartesianas.
Abre un nuevo documento Excel, luego pon el título “FUNCIONES MARAVILLOSAS”,
luego “graficar la función” y pones la fórmula:
1x
y
23
Empieza con la primera columna, pones X, después para abajo pones el número – 1.5, das
ENTER, en esa celda Edición + Rellenar + Series, clic. Elijes columna con incrementos de
o.3 hasta el límite 2.
En la columna siguiente al lado de X, pones Y, después das ENTER, en esa celda agregas
la fórmula = 1 / A6, das ENTER, seleccionas esa fórmula la copias, luego selecciona hacia
abajo todas las celdas y das ENTER para copiar la fórmula y la aplique según el dato al
lado.
Como vez la columna al lado reúne todos los datos anteriores como datos ordenados, en
D6, pones = A6, en la celda F6 pones = B6, das ENTER, cópialos y los seleccionas para
todos los valores encontrados.
Seleccionas las dos columnas, das clic en Asistente para gráficos, y sigues los pasos que ya
sabes, y al final te queda de la siguiente forma:
Contesta las siguientes preguntas:
1. Explica el comportamiento de la gráfica.
2. ¿Qué sucede en el punto x = 0?
3. ¿Se puede modificar el comportamiento de la gráfica?
4. Explica cual es la división de un número constante entre cero
EJERCICIOS:
24
1. HAS UNA GRÁFICA DE LOS SIGUIENTES DATOS
X Y
-3 -21.25
-2.5 -10
-2 -1.25
-1.5 5
-1 8.75
-0.5 10
0 8.75
0.5 5
1 -1.25
1.5 -10
2 -21.25
2.5 -35
EXPLICA SU COMPORTAMIENTO.
a) ¿cómo es su gráfica?
b) explica cuando la curva tiene un aumento o disminución
c) esta gráfica se encuentra muy seguido en otras materias y aplicaciones. ¿en que
materias? ¿en que aplicaciones de la vida real?
d) La tabla muestra la potencia al freno en H.P., a varias velocidades, de cierta turbina
Pelton, tal como se ha comprobado por medio de una serie de pruebas. Construya
una gráfica que muestre la relación entre potencia al freno en H.P. y el número de
revoluciones por minuto.
Potencia en H.P. Revoluciones por minuto
0.625 1120
0.668 1360
0.673 1500
0.658 1750
0.640 1980
0.590 2100
0.530 2340
0.475 2500
0.390 2700
PRÁCTICA # 11
“PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA” I
11. ESTADÍSTICA: EN LA SIGUIENTE TABLA SE DAN LAS TEMPERATURAS
DEL AÑO, CALCULE LA TEMPERATURA PROMEDIO.
25
MES TEMPERATURA, °C
ENERO 10
FEBRERO 14
MARZO 20
ABRIL 22
MAYO 24
JUNIO 25
JULIO 26
AGOSTO 24
SEPTIEMBRE 20
OCTUBRE 18
NOVIEMBRE 15
DICIEMBRE 12
Objetivo: apliques las fórmulas de estadística y probabilidad para resolver ejemplos
sencillos.
Solución: Abre una nueva hoja de cálculo Excel, luego agregas estos datos como tabla, das
clic en B18 pones la fórmula:
= PROMEDIO (B5:B16)
PRÁCTICA 12
“PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA” II
12. PROBABILIDAD: ¿CUÁNTAS PERMUTACIONES PUEDEN HACERSE CON
LAS 9 LETRAS DE LA PALABRA FRESNILLO?
Solución: una letra F, una R, una E, una S, una N, una I, dos L y una O,
La fórmula para calcular el número de permutaciones con n objetos,
26
1 2 3
!
! ! !...
nP
n n n
Abres un nuevo documento Excel, anotas tus resultados, con la fórmula anterior:
En la hoja de cálculo queda así:
=FACT(C3)/(FACT(C4)*FACT(C5)*FACT(C6)*FACT(C7)*FACT(C8)*FACT(C9)*FA
CT(C10)*FACT(C11))
Vea como queda en la hoja:
EJERCICIOS:
1. ¿DE CUÁNTAS MANERAS PUEDEN CUATRO PAREJAS SENTARSE
ALREDEDOR DE UNA MESA SI HOMBRES Y MUJERES HAN DE
ALTERNARSE?
2. EN EL PROBLEMA DE ESTADÍSTICA ENCUENTRE LA MODA, EL VALOR
MÁXIMO POR FÓRMULA, VALOR MÍNIMO POR FÓRMULA, ADEMÁS
HAGA UNA GRÁFICA DE BARRAS VERTICALES.
SEGUNDA PARTE
CONCEPTOS GENERALES
Excel en la Escuela es una herramienta didáctica con un gran potencial, aunque sólo
utilicemos las opciones básicas. Es una calculadora que nos permite: realizar pesadas y
complejas operaciones entre filas o columnas, ordenar o buscar datos y presentar en forma
gráfica los resultados obtenidos, con fórmulas matemáticas de una manera fácil y rápida. Se
pueden poner algoritmos, modelos, visualizaciones, y usos en ejecución matemáticos
naturalmente y con eficacia a través de construcciones interactivas de la hoja de balance y
de exhibiciones gráficas creativas. Este papel demuestra las técnicas que permiten a
27
educadores diseñar exhibiciones gráficas animadas en sus construcciones de la hoja de
balance para producir demostraciones en el salón de clase para realzar la comprensión
matemática, mientras que también presenta a estudiantes con las nuevas y mecanismos
visuales atractivos en sus tareas y proyectos matemáticos.
Esta experiencia educativa hace eficiente el desarrollo de destrezas y habilidades que
permitan obtener mejores resultados en el manejo del lenguaje algebraico. Reflexiona el
uso de la informática como un medio atractivo para profundizar conceptos algebraicos
utilizando la creatividad, el conocimiento y el razonamiento matemático.
Maneja imágenes diseñadas por el usuario a partir de expresiones algebraicas cuando las
que la creación de fórmulas permiten su ejecución.
Cuando sucede esto, lenguaje algebraico, expresiones algebraicas, grafica de funciones y
sus resultados amplían el nivel de conceptualización y comprensión.
Las habilidades necesarias para comprender este texto son: Utilizar letras para representar
números, evaluar expresiones algebraicas, identificar expresiones algebraicas, construir
expresiones algebraicas, representar categorías de números por medio de expresiones
algebraicas, utilizar procedimientos para identificar las partes de un término, clasificar
expresiones algebraicas de acuerdo al número de términos.
El autor tiene interés en desarrollar en el estudiante o maestro: el pensamiento creativo,
analógico y crítico, su interés y capacidad de conocer la realidad, de utilizar el
conocimiento y seleccionar, procesar, organizar y sintetizar información, la iniciativa
personal, la creatividad, el trabajo en equipo, crear actitudes de rigor, paciencia y
cumplimiento de las tareas, utilizar el software de propósito como medio creativo en la
conceptualización y comprensión de expresiones algebraicas.
Lo que tiene que utilizar es su libreta, lápiz, computadora del laboratorio escolar, este
cuadernillo, libro de matemáticas elemental y un medio para guardar sus tareas.
TIPOS O CLASES DE CONTROLES
Inserte la barra de controles que posee Excel, ya que esto le permitirá trabajar de forma
mucho más libre. Para esto vaya al menú Ver/Barra de Herramientas/Cuadro de
Controles.
Para que esta barra no interfiera en su área de trabajo, incorpórela en la barra de
herramientas. A continuación se presentan así:
28
Es usual que los controles sean configurados mayoritariamente a través de Visual Basic
(VBA).
Cuadro de Propiedades
Al insertar el control, hacemos clic con el botón derecho del Mouse sobre dicho control,
esto para que nos aparezca el cuadro de diálogo de propiedades de dicho control. Este
cuadro de diálogo a su vez tiene en el extremo superior un cuadro combinando o
combobox, el cual nos permitirá configurar las propiedades de algún otro control que
tengamos en el libro actual sin necesidad de estar seleccionando éste previamente.
Hay dos opciones para la visualización de las propiedades. La primera en forma alfabética
y la segunda por categorías.
El Modo Diseño, puede modificar cuantas veces sean necesarios los distintos
controles de nuestro libro. El modo diseño se encuentra activado cuando el icono adjunto
se encuentra resaltado, para activarlo sólo hace falta hacer clic sobre él. Para salir del
modo diseño, bastará con volver ha hacer clic en este mismo icono. Cabe aclarar que
cuando estamos en el modo diseño los distintos controles no estarán operativos, por lo que
será necesario salir de este modo para poder utilizar estos controles.
PRINCIPALES PROPIEDADES DEL CUADRO DE CONTROL
LinkedCell
Esta propiedad que más utilizará, está vinculada con el control en cuestión. En algunos
casos servirá para que el control muestre el contenido de dicha celda, aunque en la mayoría
de los casos será el control el que condicione el contenido de dicha celda. Para configurar
29
el control, sólo será necesario introducir el valor o mejor dicho la posición de la celda que
se desea vincular. Recomendamos hacerlo en términos absolutos, por ej. "A1". Esto es, la
celda producida por la concurrencia de la columna "A" y la Fila "1".
Value
Esta propiedad denota el Valor que tendrá el control. Según sea la interacción que tenga
el control, el valor de éste cambiará. Por ejemplo en el caso de un botón de alternar, la
propiedad value toma los valores "VERDADERO" (true) o "FALSO" (false) según se
trate. En la caso de un botón de control de número, la propiedad value tomará el valor de
las secuencia respectiva.
Name
Esta propiedad denota le nombre del control, por defecto Excel le asigna un nombre
compuesto por el tipo de control mas un correlativo, por ejemplo "CommandButton1".
Esto servirá posteriormente para identificar dicho control y para configurarlo por ejemplo a
través de macros o a través de VBA.
Min, Max, SmallChange
Correspondientemente indican el valor mínimo del control, el máximo y el valor en que
éste irá cambiando (incremento o decremento, según sea el caso) cada vez que se haga clic
sobre cualquiera de las flechas de este control. El valor de propiedad SmallChange puede
ser cualquier número entero, aunque el intervalo de valores recomendado es desde -32767 a
+32767. El valor predeterminado es 1.
En la hoja Excel, en ocasiones tiene que modificar la presentación de gráficos, celdas, u
otra cosa. Aquí unas recomendaciones.
Fuente: En esta ficha podemos especificar opciones acerca de la fuente en que se van a
visualizar los datos seleccionados, ya sea el estilo, la fuente propiamente dicha, el tamaño,
el tipo de subrayado, el color y varios efectos más. También podemos ver como en todas
las demás fichas la muestra de lo que estamos haciendo. Casi todos los comandos que están
en esta ficha, los podemos encontrar en la barra de herramientas Formato.
30
Bordes: define el tipo de línea y el color de todos los bordes (internos y externos) que
posee el rango seleccionado.
Tramas: define el fondo de la celda o rango seleccionado (generalmente un color).
Proteger: tiene opciones con respecto a la protección del rango o celda seleccionados.
Asistente para gráficos: Inicia el Asistente para Gráficos, indica los pasos necesarios para
crear o modificar un gráfico.
BARRA DE FÓRMULAS
Barra situada en la parte superior de la ventana que muestra el valor constante o fórmula
utilizada en la celda activa. Para escribir o modificar valores o fórmulas, seleccione una
celda o un gráfico, escriba los datos y, a continuación, presione ENTRAR. También puede
hacer doble clic en una celda para modificar directamente los datos en ella.
Como valor predeterminado, Excel calcula una fórmula de izquierda a derecha,
comenzando por el signo igual (=).
Los argumentos pueden ser números, texto, valores lógicos como VERDADERO o
FALSO, matrices, valores de error como #N/A o referencias de celda. El argumento que se
designe deberá generar un valor válido para el mismo. Los argumentos pueden ser también
constantes, fórmulas u otras funciones. La sintaxis de una función comienza por el nombre
de la función, seguido de un paréntesis de apertura, los argumentos de la función separados
por comas y un paréntesis de cierre.
Para introducir una fórmula que contenga una función, haga clic en la celda en que desee
introducir la fórmula. Una vez completa la fórmula, presione ENTRAR.
REFERENCIAS ABSOLUTAS, RELATIVAS Y MIXTAS
Excel usa siempre referencias relativas para las direcciones de celdas introducidas en las
fórmulas. Esto significa que las referencias usadas cambiarán de modo acorde tras copiar la
fórmula de una celda a otra. Con mucha frecuencia éste es el comportamiento deseado.
En ciertos casos hay que evitar que las referencias a celdas cambien cuando se copia la
fórmula a una nueva posición. Para ello hay que utilizar referencias absolutas. Es posible
utilizar referencias absolutas para filas y relativas para columnas, o viceversa. Las
referencias relativas se convierten en absolutas introduciendo el carácter dólar ($) antes de
la letra de la columna o el número de fila, que se quieren mantener invariables. Si se desea
que no cambie ni el índice de filas ni de columnas, hay que poner el carácter dólar ($)
delante de cada uno de los dos índices.
31
Una referencia absoluta se puede insertar de dos formas diferentes:
1. Según se introduce la fórmula, se teclea el carácter $ delante del índice de fila, atrás si es
columna que se quiere mantener constante.
2. Colocando el punto de inserción en la barra de referencias de manera que esté dentro de
la referencia a la celda, pulsando la tecla F4 se pasa cíclicamente por referencias relativas,
absolutas y por los dos casos mixtos. En los casos en los que se pretende que sólo una de
las dos dimensiones, fila o columna, permanezca constante se utiliza una referencia mixta,
es decir, una referencia que contenga a la vez referencias absolutas y relativas. Por ejemplo,
la referencia $A5 evita que cambie la columna, mientras que la fila se adapta cada vez que
se copia la fórmula. Con A$5 ocurre lo contrario: la columna cambia, mientras que la fila 5
siempre permanece constante.
REFERENCIAS Y NOMBRES
Las referencias a celdas se utilizan para referirse al contenido de una celda o grupo de
celdas. El uso de referencias permite usar valores de diferentes celdas o grupos de celdas de
una hoja de cálculo para realizar determinados cálculos. Se pueden introducir también
referencias a celdas de otra hoja de cálculo, introduciendo el nombre de esa hoja antes de la
referencia a las celdas, y separándolos por el signo de admiración (!), por ejemplo:
(Hoja1!B5:C6).
Es importante saber que en las referencias a celdas o grupos de celdas, Excel no distingue
entre letras mayúsculas y minúsculas.
NOMBRES DE CELDAS Y DE CONJUNTOS DE CELDAS
A veces resulta molesto tener que utilizar repetidamente referencias tales como B2:B4 ó
B2:D3;C5:D6 en una hoja de cálculo, o seleccionar los mismos rangos una y otra vez.
Excel resuelve este problema permitiendo definir nombres y asignarlos a una celda o a una
selección. Estos nombres de celdas o de rangos se pueden utilizar en las fórmulas, crear
nombres compuestos, e incluso asignar un nombre más significativo a las constantes de uso
más frecuente.
El uso de nombres en las hojas de cálculo disminuye la posibilidad de introducir errores y
permite recordar con mayor facilidad las referencias a celdas. A la hora de crear nombres,
conviene tener en cuenta ciertas reglas:
1- Los nombres deben siempre empezar por una letra o por el carácter subrayado (_); tras
este primer carácter, se puede usar cualquier conjunto de letras, números y caracteres
especiales.
2- No se pueden utilizar espacios en blanco. Como alternativa a los espacios en blanco, se
puede emplear un carácter de subrayado o un punto.
3- Aunque los nombres pueden tener hasta 256 caracteres, conviene que sean más cortos.
Puesto que las fórmulas están limitadas a 256 caracteres, los nombres largos dejan menos.
NOMBRES DE CELDAS Y DE RANGOS O GRUPOS DE CELDAS.
La forma más simple de definir nombres es mediante el comando Insertar / Nombre /
Definir. Para ello, se pueden seguir los siguientes pasos:
32
1. Seleccionar la celda, el rango o el rango múltiple al que desee asignar el nombre.
2. Elegir el comando Insertar / Nombre / Definir, con lo cual se abre un cuadro de diálogo
tal como el mostrado en la figura.
3. Teclear el nombre que desee -en este caso concepto-en el cuadro Nombres en Libro de
Trabajo.
4. Hacer clic en Añadir o en Aceptar. Otra posibilidad -más sencilla- es seleccionar la celda
o rangos de celdas a las que se desea dar un nombre, y luego clic sobre el cuadro de
nombres de la barra de referencia. La referencia a la celda activa se sustituye por el nombre
tecleado. Al pulsar Aceptar las celdas seleccionadas quedan registradas con el nombre
tecleado.
Si lo que se desea es cambiar un nombre a unas celdas se debe proceder del siguiente
modo:
1. Seleccionar la celda, rango o rango múltiple al que desee cambiar el nombre.
2. Activar el cuadro de nombres en la barra de referencia.
3. Cambiar el nombre y pulsar Aceptar.
Para borrar un nombre se puede utilizar el botón Eliminar del cuadro de diálogo
GRAFICOS
Si los valores de un gráfico se componen de números grandes, cambian automáticamente,
puede reducirse o aumentar el texto del eje y hacerlo más legible. Por ejemplo, si los
valores oscilan entre 1.000.000 y 50.000.000, puede mostrar los números 1 a 50 con en el
eje con una etiqueta que indique que las unidades son millones.haga lo siguiente:
Cree un gráfico.
Seleccione con el botón derecho del ratón el eje de valores que esta constituida por
números de gran magnitud.
Seleccione la opción Formato de eje.
Elija la unidad de visualización más apropiada a los datos y dé a Aceptar.
33
AUDITORÍA DE FÓRMULAS
A veces se equivoca en la fórmula, cuando pase esto, en la Barra de Menú, Herramientas,
elija Auditoría de fórmulas…
Esta acción determina si la eliminación de una determinada celda puede tener efectos
perjudiciales sobre la hoja. Así, si se quiere eliminar una celda, pero no se tiene seguridad
sobre si la hoja de cálculo se verá afectada por la eliminación, se puede recurrir a la barra
Auditoria encontrando las celdas que dependen de ella (Rastrear Dependientes) así como
las celdas de las que depende (Rastrear Precedentes). A continuación se muestran flechas
que indican lo seleccionado. Las flechas permanecen en pantalla hasta que se guarda la
hoja o hasta que se clica sobre el botón Quitar Todas las Flechas.
Para incluir una nueva serie de datos en un gráfico se copia el rango de datos nuevo y se
pega sobre el gráfico.
PROTECCIÓN DE UNA HOJA
Las celdas por defecto vienen bloqueadas. Si deseamos desbloquear algunas de ellas
debemos hacer lo siguiente: Formato, Celda, pestaña Proteger, quitar la casilla de
verificación que esta puesta por defecto en 'Bloqueada'. Si marcamos 'Oculta' no se verá el
contenido de la celda en la barra de fórmulas. Esto se hace cuando no se desea que alguien
vea la fórmula de una celda. Después se debe proteger la hoja con: Herramientas, Proteger,
Proteger hoja. Se le pueden permitir más o menos acciones al usuario. Si no le permitimos
seleccionar las celdas bloqueadas y desbloqueadas no podrá posicionarse con el cursor
sobre ellas. Si únicamente le dejamos seleccionar las desbloqueadas nos encontraremos con
algo parecido a un formulario.
Algunas abreviaturas de teclado
Ctrl + C Copiar
Ctrl + V Pegar
Ctrl + X Cortar
34
Ctrl + Z Deshacer
Proteger celdas
Con Formato, Celda, Protege, quitar la casilla de verificación en Bloqueada se consigue
que en estas celdas se pueda escribir después de ejecutar Herramientas, Proteger, Proteger
hoja.
Ocultar la formula en una celda
Con Formato, Celda, Proteger, Oculta se marcan las celdas cuyas fórmulas o contenido
visto en la línea de edición se desee ocultar. Después se ha de proteger la hoja, con
Herramientas, Proteger, Proteger hoja.
INTERPOLACIÓN Y EXTRAPOLACIÓN.
La interpolación y la extrapolación son dos conceptos de modelado matemático, son muy
importantes para hacer las predicciones en las ciencias naturales, sociales, económicas, etc.;
especialmente, los estudiantes comenzarán a explorar modelos lineares o no lineares. Una
introducción se puede hacer usando una hoja de balance interactiva. “Interpolar o
extrapolar” la hoja de trabajo permite descubrir la diferencia entre dos o más términos
gráficos con solamente una comprensión de la ecuación de una línea.
En una hoja seleccione con el ratón, la línea a graficar, luego con el botón derecho elija
Agregar Línea de tendencia…
En la Carpeta Tipo, elije Lineal, luego en Opciones, clic en Presentar ecuación en el
Gráfico.
35
Como se ve, se presenta la ecuación de la recta, lo que nos da un comportamiento.
PARA PRESENTAR UN GRÁFICO PUEDE HACER LO SIGUIENTE:
Previamente haga su gráfico normalmente, se recomienda que elija Dispersión, para los
gráficos.
Cuando ya esté, en las Líneas de División, clic en Líneas principales en x e y, de Aceptar:
Luego en el gráfico, clic derecho en alguna de las dos líneas y elija Formato de Líneas de
División, Tramas, Personalizada, Líneas discontinuas, clic en el color que prefieras,
Aceptar.
Para el color del área de trazado, das clic en esta área y en Formato de área de trazado,
elijes Borde Ninguno, Área Ninguno, a continuación Aceptar.
Hasta ahora, para copiar fórmulas de una celda a otra(s), se hace con Ctrl. + C, pero hay
otra manera de hacerlo. Cuando haya escrito su fórmula acerque el cursor debajo a la
derecha del cuadro. Vea que el cursor se hace una equis, de clic en el botón izquierdo del
ratón y sosteniéndolo, arrástrelo hasta donde desee, solo suéltelo.
36
ALGUNAS FÓRMULAS USADAS
ABS(número): Devuelve el valor absoluto del argumento número. Ejemplos: La función
ABS(-5) da como resultado 5. La función ABS(10) da como resultado 10. La función
ABS(-2) da como resultado 2.
ALEATORIO(): Esta función devuelve un valor al azar comprendido entre 0 y 1. Esta
función no tiene argumentos. Cada vez que se genere un valor aleatorio será diferente al
anteriormente calculado.
CONCATENAR: Une varios elementos de texto en uno solo. Su sintaxis es
CONCATENAR (texto1;texto2; ...); Texto1, texto2, ... son de 1 a 30 elementos de texto
que se unirán en un elemento de texto único. Los elementos de texto pueden ser cadenas de
texto, números o referencias a celdas únicas.
COS(número): Esta función calcula el coseno del argumento número. El ángulo viene
expresado en radianes.
ENTERO(número): Devuelve la parte entera del número, sin importar la magnitud de la
parte decimal. Es decir, devuelve el número eliminando la parte decimal. Por ejemplo:
ENTERO(3.1) da como resultado 3.
GRADOS(): Convierte el argumento expresado en radianes a grados. Por ejemplo,
GRADOS(PI()) da como resultado 180 grados. GRADOS(PI()/2) da como resultado 90
grados.
MDETERM(matriz): Devuelve el determinante de una matriz. El argumento matriz puede
ser un rango de celdas o una constante. Esta función devuelve un único valor. Se genera el
código de error #¡VALOR! si al menos una celda de la matriz contiene un valor no
numérico o si la celda está vacía. La matriz debe tener el mismo número de filas y de
columnas; Si no se cumple con esta restricción, la función devuelve el código de error
#¡VALOR!
MINVERSA(matriz): El resultado generado por esta función es la matriz inversa del
argumento que es de tipo matriz. En el ejemplo, se explica cómo calcular la matriz inversa.
MMULT(matriz1,matriz2): El resultado de la función es el producto matricial de matriz1
y matriz2. El número de columnas de matriz1 debe ser el mismo número de filas que
37
matriz2. La matriz resultado tiene el mismo número de filas que matriz1 y el mismo
número de columnas que matriz2. Recuerde que como se trata de una función que devuelve
una matriz, el procedimiento es similar al explicado para la función MINVERSA.
RADIANES(): Esta función toma el argumento ángulo, que está expresado en grados y
devuelve su equivalente expresado en radianes. Por ejemplo: RADIANES(90) da como
resultado 1.571, es decir PI/2. RADIANES(180) da como resultado 3.142, es decir PI
REDONDEAR(número, núm_decimales): Devuelve el argumento número, con la
cantidad de decimales especificados en el argumento núm_decimales, realizando las
aproximaciones de redondeo respectivas. Por ejemplo, REDONDEAR(1.4545, 2) da como
resultado 1.45.
RESIDUO(número,núm_divisor): La función divide el argumento número entre
núm_divisor y devuelve el residuo o resto de esta división. Si la división es exacta, el
residuo da como resultado cero. Ejemplo, RESIDUO(20,5) da como resultado 0,
RESIDUO(9,4) da como resultado 1, RESIDUO(12,8) da como resultado 4.
SENO(número): Esta función devuelve el seno del ángulo especificado en el argumento
número. El ángulo va expresado en radianes. Por ejemplo, en la figura No. 21 se puede
observar que en cada una de las celdas de la columna B, se calcula el seno para el valor
correspondiente de cada una de las celdas de la columna A. A la derecha se ha incluido la
gráfica de la función seno.
SI: nos permite realizar una pregunta lógica, la cual pueda tener dos posibles resultados
Verdadero o Falso y actuar de una u otra forma según la respuesta obtenida.
Estructura: SI(Pregunta lógica; Acción en caso verdadero; Acción en caso falso). Lo que
escribamos dentro del segundo y tercer argumento serán las acciones que se realizarán en
caso de que la respuesta a la pregunta lógica sea verdadera o sea falsa. Los dos primeros
argumentos son los únicos obligatorios para esta función. Para realizar la pregunta lógica
podremos utilizar los siguientes operadores de comparación:
= para preguntar si dos valores son iguales,
> para saber si un valor es mayor que otro,
< para preguntar por menor,
>= con este podremos conocer si es mayor o igual,
<= preguntamos por menor o igual,
<> si son diferentes
Ejemplo: Imagina que en la celda A1 escribimos la edad de una persona y en la celda A2
queremos que aparezca el texto "Mayor" en el caso que la edad sea igual o superior a 18,
mientras que nos interesará aparezca "Menor" en caso que la edad sea menor de 18.
38
La función que deberíamos escribir sería =SI(A1>=18;"Mayor ";"Menor "). Observa que
en el primer argumento preguntamos por mayor o igual que 18, si la respuesta a la pregunta
es Verdadera se realizará el segundo argumento: "Mayor", en cambio si la respuesta es
falsa, realizamos el tercer argumento: "Menor".
O: Esta función también se suele utilizar conjuntamente con la función SI(). Con ella
también podremos realizar varias preguntas dentro del Si y la parte que está en el
argumento reservado para cuando la pregunta es verdadera, sólo se realizará en el caso que
cualquiera de las respuestas a las preguntas dentro de la O sea verdadera. Estructura:
O(Pregunta 1; pregunta 2; pregunta 3;...) Ejemplo: Utilizaremos el mismo ejemplo anterior
pero dejaremos pasar si la persona es mayor de 16 años o mide más de 150. De esta manera
con que se cumpla una de las dos aparecerá el texto "Puede pasar". El único caso que
aparecerá "NO puede pasar", será cuando las dos preguntas no se cumplan.
=SI(O(A1>16;B1>150);"Puede pasar";"NO puede pasar").
Y: Esta función suele utilizarse conjuntamente con la función SI(). Nos permite realizar en
lugar de una pregunta varias. Y sólo se realizará el argumento situado en la parte verdadero
del Si en el momento que todas las respuestas sean verdaderas. Estructura: Y(Pregunta 1;
pregunta 2; pregunta 3;...). Ejemplo: En la celda A1, introduciremos la edad y en la A2 la
estatura de la persona medida en centímetros. En la celda A3 aparecerá el texto "Puede
pasar" si la edad es mayor de 16 años y mide más de 150. En el caso que alguna de las dos
condiciones no se cumplan, aparecerá el texto "NO puede pasar".
=SI(Y(A1>16;B1>150);"Puede pasar";"NO puede pasar") Observa que toda la función Y()
se escribe dentro del primer argumento de la función SI().
FRACCIONES REPRESENTADAS EN
GRÁFICAS CIRCULARES Y
DE BARRAS
Existen varios tipos de gráficas en la hoja Excel, para nuestro caso usaremos las de tipo
Circular y de Barras, que resulta las más apropiadas.
PRÁCTICA 13
FRACCIONES REPRESENTADAS EN
GRÁFICAS CIRCULARES
13. EXPLICA CUÀLES SON LOS PASOS PARA GRAFICAR UNA FRACCIÒN EN LA
HOJA EXCEL.
39
Para empezar, haremos que varíe el valor del denominador haciendo que cada valor en cada
celda sea unitario, para ello dibuje una barra de desplazamiento de la barra de Formularios,
vincule su valor con la celda origen
Orden de los pasos:
Abre una nueva Hoja de Cálculo Excel.
Escribe la fracción que quieras representar, ahora escribe el número 1 (uno), en la celda E6,
en la celda F6 es =SI($C$4>=2,1,0), en G6 es: =SI($C$4>=3,1,0), en la celda H6 es
=SI($C$4>=4,1,0), en I6 es =SI($C$4>=5,1,0), y así sucesivamente hasta la celda X6
=SI($C$4>=20,1,0).
Grafique estos resultados:
Selecciónelos y con el Asistente para Gráficos, seleccione Circular:
Cambie la gráfica para representarla y modifique sus resultados.
Ponga barras de deslizamiento al denominador.
40
PRÁCTICA 14
FRACCIONES EN GRÁFICA DE BARRAS
14. GRAFIQUE UNA FRACCIÓN EN LA GRÁFICA DE BARRAS, VARÍE EL
DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN, PARA ELLO DIBUJE UNA BARRA DE
DESPLAZAMIENTO DE LA BARRA DE FORMULARIOS, VINCULE SU VALOR
CON LA CELDA ORIGEN.
Objetivo: comprender la fracción a partir de barras, usando la Hoja Excel.
Orden de los pasos:
Abre una nueva hoja Excel, y pon la fracción que quieras representar. Como presentaremos
a una fracción hasta la doceava parte de un entero, escribiremos doce fórmulas para
representarlo.
Por ejemplo en la celda, D7 la fórmula es: =1/$B$3, en la celda E7 es: =SI($B$3>1,D7), en
la celda F7 es: =SI($B$3>2,E7), en G7 es: =SI($B$3>2,F7), en H7 es: =SI($B$3>2,G7), en
I7 es: =SI($B$3>2,H7), en J7 es: =SI($B$3>2,I7), en K7 es: =SI($B$3>2,J7), en L7 es:
=SI($B$3>2,K7), en M7 es: =SI($B$3>2,L7), en N7 es: =SI($B$3>2,M7), en O7 es:
=SI($B$3>2,N7).
Selecciónelos y grafique:
Para la gráfica vaya a Asistente para Gráficos, en Barras Apiladas, Finalizar.
Aparece una gráfica así,
41
En el área de la grafica clic derecho, aparece Datos de origen en la pestaña Serie. Entonces
cambie los valores para que en una sola barra aparezca la fracción: para ello vaya a Serie:
Acerque el cursor en la parte derecha de Valores y borre $O$7, clic en Agregar, y ponga en
la Serie2 la fórmula ='FRACCIÓN EN BARRA'!$E$7, clic en Agregar Serie3, es la
fórmula ='FRACCIÓN EN BARRA'!$F$7, clic Serie4 la fórmula ='FRACCIÓN EN
BARRA'!$G$7, clic Serie5 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$H$7, clic Seri6 ='FRACCIÓN
EN BARRA'!$I$7, clic Serie7 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$J$7, clic serie8 ='FRACCIÓN
EN BARRA'!$K$7, clic Serie9 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$L$7, clic Serie10
='FRACCIÓN EN BARRA'!$M$7, clic Serie11 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$N$7, clic
Serie12 ='FRACCIÓN EN BARRA'!$O$7.
Finalmente clic en Aceptar.
Modifique la estructura de la Gráfica.
42
Para aumentar el tamaño de la barras, de clic en el área de gráfico, en formato de serie de
Datos, en la carpeta Opciones, cambie el tamaño en Ancho de Rango, disminúyelo a cero.
Modifique los valores para ver sus representaciones, experimente sus resultados.
PRÁCTICA 15
GRÁFICA CIRCULAR DE FRACCIONES
15. GRAFIQUE UNA FRACCIÓN PERO VARÍE EL NUMERADOR Y EL
DENOMINADOR DE LA FRACCIÓN, PARA ELLO DIBUJE DOS BARRAS DE
DESPLAZAMIENTO DE LA BARRA DE FORMULARIOS, VINCULE SU VALOR
CON LA CELDA ORIGEN.
Objetivo: que represente fracciones con una gráfica circular:
Orden de los pasos:
Abra una nueva Hoja Excel:
43
En B7 y B8 ponga números y expréselos como fracción. Luego vincúlelos con barras de
desplazamiento, del cuadro de formularios:
Como nota, la celda F7 se vincula con la celda B7. Haga lo mismo para la celda F8; los
valores mínimo es 1, y el máximo es 10.
En F7 la fórmula =B7, en la celda F8 la fórmula para poder evaluar un promedio o fracción
es: =B8-B7.
Selecciona estos valores:
Para graficar, en asistente para Gráficos: gráfica circular
44
Clic en Finalizar.
Para que en la grafica aparezca el porcentaje de la fracción, haga lo siguiente:
De clic en el área deseada, y seleccione formato de puntos dados:
En Rotulo de datos, clic en porcentaje, a continuación Aceptar.
Tu resultado aparece así.
Cambia los valores como desees, y experimenta tus resultados.
hasta aquí lo relacionado con las gráficas de fracciones, puede hacer las suyas inventando
otras; por ejemplo como serían si unimos dos fracciones.
45
PRÁCTICA 16
FRACCIONES
16. HAGA LA METODOLOGÍA PARA GRAFICAR UNA FRACCIÓN MEDIANTE
BARRAS, PERO VARÍE EL NUMERADOR COMO DENOMINADOR, USE DOS
BARRAS DE DESPLAZAMIENTO.
Abra un nuevo documento Excel
En la hoja Excel ponga la fracción que vaya a graficar:
En la celda D5 ponga la fórmula =B3, en la celda E5 la fórmula =B4-B3 para graficar la
fracción: seleccione D5 en Asistente para gráficos seleccione Barra 100% apilada,
Siguiente.
En Serie modifique en Valores lo siguiente =Hoja1!$D$5:$E$5, a este =Hoja1!$D$5, luego
en Asistente para Gráficos:
46
Serie 2 ponga =Hoja1!$E$5, Finalizar.
Clic botón derecho, dentro de la grafica en la Serie 1 para escoger formato de serie de
Datos con el ratón botón derecho.
Para hacer la otra gráfica haga lo siguiente:
En D8 hasta J8 haga una serie de números desde 1 hasta 7
En D7 ponga la fórmula =SI($D$8<=$B$4,1,0), en E7 =SI($E$8<=$B$4,1,0), en F7
=SI($F$8<=$B$4,1,0), en G7 =SI($G$8<=$B$4,1,0), en H7 =SI($H$8<=$B$4,1,0), en I7
=SI($I$8<=$B$4,1,0), en J7 =SI($J$8<=$B$4,1,0),
Ahora seleccione Asistente de Gráficos escoja Barra 100% apilada, como referencia la
celda D7.
Modifique en la Carpeta Serie los valores de la Serie1 =Hoja1!$D$7:$J$7 a este
=Hoja$D$7
47
En la Serie 2 ponga =Hoja1!$E$7, en la Serie 3 =Hoja1!$F$7, en la Serie 4 =Hoja1!$G$7,
en la Serie 5 =Hoja1!$H$7, en Serie 6 =Hoja1!$I$7, en Serie 7 =Hoja1!$J$7.
Para terminar clic en Finalizar.
Modifique la gráfica para que quede de esta manera:
Haga que quede transparente. En Formato de serie de datos escogemos en Área, Ninguna:
48
Borre las líneas de División
Al finalizar su trabajo quedará así:
EJERCICIOS:
Diseñe una hoja de cálculo para representar fracciones equivalentes, como se muestra:
49
PRÁCTICA 17
SUMA Y RESTA DE FRACCIONES I
17. DISEÑA EL ALGORITMO DE SUMA O RESTA DE DOS O MÁS FRACCIONES
EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: que mediante el algoritmo aritmético de suma o resta de quebrados los adaptes a
las fórmulas de la Hoja Excel.
Orden de los pasos:
Las siguientes fórmulas se aplican a la hoja Excel, y se cargan como parte de las
Herramientas para análisis.
PRIMERA PARTE
Máximo Común Divisor, devuelve el máximo común divisor de dos o más números
enteros. El máximo común divisor es el mayor número entero por el cual número1 y
número2 son divisibles sin dejar residuo. M.C.M(número1;número2; ...) Número1,
número2,... son de 1 a 29 valores cuyo mínimo común múltiplo desea obtener. Si un
valor no es un entero, se trunca.
Devuelve el máximo común divisor de dos o más números enteros. El máximo común
divisor es el mayor número entero por el cual número1 y número2 son divisibles sin dejar
residuo. M.C.D(número1;número2; ...), Número1, número2, ... son de 1 a 29 valores. Si
un valor no es un número entero, se trunca.
El Residuo Devuelve el residuo o resto de la división entre número y núm_divisor. El
resultado tiene el mismo signo que núm_divisor. RESIDUO(número;núm_divisor).
Número es el número que desea dividir y cuyo residuo o resto desea obtener.
Núm_divisor es el número por el cual desea dividir el argumento número.
Abra una nueva hoja de cálculo:
En esta, calcula el máximo común divisor de dos números: la fórmula es =lcm(A5,B5).
50
Para obtener el máximo común divisor con la fórmula =gcd(A7,B7).
El cálculo del residuo de una división con la fórmula: =RESIDUO(25,10)
Para la parte entera de esa división con: =ENTERO(B11/B12)
PRÁCTICA 18
SUMA DE FRACCIONES II
18. EN LA HOJA EXCEL, HAGA LA SUMA DE DOS FRACCIONES, CON EL
ALGORITMO TRADICIONAL (COMO SI LO HICIERA A MANO).
En una nueva hoja de cálculo escriba esto:
51
Ahora calcule el mínimo común múltiplo, =lcm(A10,C10), en las dos fracciones
equivalentes:
Divida lcm entre el denominador de cada fracción y multiplíquelo por su numerador: con la
fórmula respectiva:
Sume sus resultados como una fracción común: en la celda J9 la fórmula =F9, y así
consecuentemente:
En la celda N9 la fórmula es: =J9+L9, y en N10 es: =K10.
Para calcula las fracciones equivalentes y obtener el resultado final, haga los siguiente.
En la celda P9 la fórmula: =ENTERO(N9/N10); en la celda Q9 es: =RESIDUO(N9,N10), y
en Q10 es: =N10.
La fracción equivalente final es: en T9 =Q9/C12, en T10 es: =Q10/C12:
EJERCICIOS:
52
a) Con este mismo método, resuélvalo para una resta.
b). Diseñe el método para sumar tres fracciones.
c). Diseñe el método para cuatro fracciones.
d) Diseñe el método para multiplicar fracciones.
PRÁCTICA 19
MULTIPLICACIÓN ARITMÉTICA
19. EFECTÚA LA MULTIPLICACIÓN DE DOS NÚMEROS EN EXCEL, MAYORES
DE CIEN, EN LA QUE SE VEA LA MULTIPLICACIÓN DE CADA FACTOR COMO
SI LO EFECTUARAS A MANO.
Abre un nuevo documento Excel, la multiplicación se dos o más números, se puede
efectuar por diferentes métodos, por ejemplo en www.nrich.maths.org, su método se basa
en divisiones entre 10, sin embargo lo haremos con una fórmula llamada EXTRAE, ésta
devuelve un número específico de caracteres de una cadena de texto, comenzando en la
posición que especifique y en función del número de caracteres que especifique. Vea en la
ayuda de Excel. El método seguido es como si hiciéramos la multiplicación normalmente a
mano.
Texto es la cadena que contiene los caracteres que desea extraer.
Posición inicial es la posición del primer carácter que desea extraer de texto. La posición
inicial del primer carácter de texto es 1 y así sucesivamente.
Número de caracteres especifica el número de caracteres que desea que EXTRAE devuelva
del argumento texto.
Si la posición inicial es mayor que la longitud de texto, EXTRAE devuelve “” (texto
vacío). Si posición inicial es menor que la longitud de texto, pero posición inicial más
número de caracteres excede la longitud de texto, EXTRAE devuelve los caracteres hasta
el final de texto.
Ponemos dos números en la nueva hoja, como aparece en la figura:
53
en la celda A3, ponemos cualquier número, por ejemplo 188, en B3, la fórmula: =
EXTRAE(A3; 1; 1) para extraer el primer carácter del número, en B4 es =EXTRAE(A3; 2;
1), en B5 es =EXTRAE(A3; 3; 1), para el último carácter o digito, de igual manera para el
segundo número que esta en C3, si es 521, en D3, la fórmula aplicada =EXTRAER(C3; 1;
1), en D4 es =EXTRAER(C3; 2; 1), en D5 es =EXTRAER(C3; 3; 1).
Ponemos los dos números como multiplicamos habitualmente:
Llenaremos un cuadro como este, para efectuar la primera multiplicación, es decir, 2 por 4,
en T6 la fórmula =$O$4*$K$4 se aplicará, pero en U6 y V6 extraeremos sus dígitos
respectivamente como sigue: =SI($T$6>=10;EXTRAE($T$6;1;1);0) ;
=SI($T$6>=10;EXTRAE($T$6;2;1);$O$4*$K$4). Para efectos de escribir las celdas
cambiaremos la nomenclatura de la figura por los números del ejemplo, cambia 1POR1 al
de 2 por 4.
Como se ve, en U6 se toma la precaución si la multiplicación es mayor a diez ya que esto
afectaría a la posición del número. En K6 pon la fórmula = V6.
54
Para multiplicar el primer digito por el segundo dígito del segundo número, o sea 2 por 6,
se hace lo siguiente: En T7 se escribe la fórmula: =$O$4*$J$4, para luego pasar a U7 la
=SI($T$7>=10;EXTRAE($T$7;1;1);0) ; en V7 escribe
=SI($T$7>=10;EXTRAE($T$7;2;1);$O$4*$J$4) ; en W7 anota =V7+ U6, en X7 es
=SI($W$7>=10;EXTRAE($W$7;2;1);0) ; en Y7 es =U6 +T7 ; y para Z7
=SI($Y$7>=10;EXTRAE($Y$7;1;1);0) . Vea la figura que sigue:
Vinculamos los resultados en la multiplicación, en J6 ponemos la fórmula es la que sigue:
=SI($W$7>=10;$X$7;$W$7),
El tercer número (2 por 1) se encuentra si en la celda T8 se escribe la fórmula =$O$4*$I$4
, en U8 escribe =SI($T$8>=10;EXTRAE($T$8;1;1);0) ; en V8
=SI($T$8>=10;EXTRAE($T$8;2;1);$O$4*$I$4) , en W8 la fórmula =Z7 +T8 , en X8 pon
=SI($W$8>=10;EXTRAE($W$8;2;1);0) , en Y8 anota =W8 , y por último en Z8 es
=SI($Y$8>=10;EXTRAE($Y$8;1;1);0) .
al vincular estos resultados con la celda I6 y H6 , las fórmulas son
=SI($W$8>=10;$X$8;$W$8) y además =Z8 respectivamente.
Para efectuar las demás multiplicaciones de las decenas y centenas haga el mismo
procedimiento escrito arriba.
55
Al final vincule a los números con barras de desplazamiento, con valores mínimos de 100 y
máximo de 999.
EJERCICIOS.
1. ¿cómo haría para que uno de los factores pueda cambiar desde valores de 10 hasta
999? haga el cambio en la hoja de cálculo.
2. ¿Qué factores dan como resultado un valor ascendente?
3. diseñe una hoja de cálculo para hacer interactivo la multiplicación, como a
continuación se muestra:
PRÁCTICA 20
ADIVINADOR DE NÚMEROS
20. ADIVINA EL NÚMERO QUE PIENSO USANDO ECUACIONES ALGEBRAICAS
SIMPLES.
Objetivo: que plasmes en ecuaciones las palabras de un problema dado.
56
Orden de pasos:
Abra una nueva hoja Excel, y pon como título “El adivinador de Números”, luego en la
celda A10 escribe: PIENSA EN UN NÚMERO, en A11 escribe SUMA, en A12 EL
RESULTADO POR, en A13 RESTA, en A14 RESTA EL NÚMERO PENSADO, en A15
MULTIPLICA POR, en A16 RESTA.
Ve la figura siguiente para que te des una idea de cómo quedaría.
Ahora agrega números como el se muestra en las celdas, C11 hasta C16.
El problema se plantea así:
Es una ecuación de primer grado con una variable:
cbax
Si despejamos, tenemos:
a
bcx
Para plantear la ecuación en Excel, son sólo pasos mecánicos como observas, por lo que los
coeficientes de las variables y los términos constantes cambian según el caso, por ejemplo:
En la celda G11, pon la fórmula =C11; en celda D12, =C12; en celda G12, = C12*G11, en
G13, =G12 – C13; en D14, =D13 – 1; en D15, =C15*D14; en G15, =G14*C15; en G16,
=G15-C16.
En cualquier lugar escribe esto, por ejemplo en la celda E20
,
57
Pero esta celda ponle un nombre:
Define el nombre, en este caso, Número: a continuación Aceptar
En la celda E21, pon la fórmula: =(Número-G16)/D16
Con tus amigos o compañeros realiza este ejercicio cambiando de situaciones para
“adivinar de que números pensaste”.
58
PRÁCTICA 21
DIBUJAR FIGURAS GEOMETRICAS
21. DIBUJA UN CUADRADO Y UN TRIÁNGULO EN EL PLANO CARTESIANO
EXCEL, USANDO LAS COORDENADAS COMO VÉRTICES DE LAS FIGURAS
Objetivo:
Crear figuras geométricas en el plano Cartesiano, usando las coordenadas de sus vértices.
Para que los puntos se unan usa la Gráfica “Dispersión con puntos…”
Orden de los pasos:
Dibuja un cuadrado: Como un cuadrado tiene cuatro puntos tabularemos esos cuatro puntos
en ele plano cartesiano pero repetimos el primer punto para “cerrar” la figura.
Seleccionamos los puntos, en el asistente para gráficos elegimos
Nos queda así la figura:
59
Ajustamos colores del área de trazado y la escala apropiada para este ejemplo:
Para un triángulo, ponemos las coordenadas de esta manera:
Para poder hacer interactivo el triángulo usamos trigonometría elemental, para trazar o
calcular cada punto.
Todos estos puntos estarán en función del punto A, celdas B5:C5.
Cada ángulo deberá ser trasformado a Radianes, ya que las fórmulas así lo manejan.
Un triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales de 60 grados.
El primer punto tiene como coordenadas ( 1 , 1 ), el segundo punto se calcula por (=2+E6 ;
1).
El tercer punto con =(B6-1)/2+1 en el eje x,
60
El eje y, se obtiene con; =ABS((B6-B5)*SENO(F5))+1
Para cerrar el triángulo, el punto cuatro es (1,1). Ahora hágalo interactivo agregando Barras
de Desplazamiento:
EJERCICIOS:
Cree figuras en la Hoja Excel, como pentágonos rectángulos, etc.
PRÁCTICA 22
AREA DE FIGURAS EN EXCEL
22. CALCULA EN LA HOJA EXCEL, EL ÁREA DE UN CUADRADO Y UN
TRIÁNGULO, VARÍA SUS VALORES USANDO UNA BARRA DE
DESPLAZAMIENTO.
61
Objetivo:
Que calcules áreas de diferentes figuras aplicando Excel.
EJERCICIO 1
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel, y calcula el área de una figura. Ahora ponga las coordenadas
del cuadrado o rectángulo.
Seleccione estos datos y en asistente para gráficos, seleccione dispersión y presente la
figura a continuación:
Ahora la fórmula aplicada para calcular el área de la figura, en la celda G26, la fórmula es
=SI((D6-D5)*(C5-C8)<0,(D6-D5)*(C5-C8)*(-1),(D6-D5)*(C5-C8)).
Ejercicio cambie las coordenadas de los puntos para calcular el área de:
a). A ( 1, 1 ) B ( 5, 1 ) C ( 5, 5 ) D ( 1, 5 )
b). experimente con otras coordenadas.
EJERCICIO 2
En otra nueva Hoja Excel, Para calcular el área de un triángulo de el ejercicio 9,
62
En celda I11 que elijas, pon la fórmula =ABS((B6-B5)*SENO(F5)) para calcular la altura
del triángulo.
En la celda I13 calcula la distancia de la base =B6-B5.
Para el área de la figura en celda I15 para cualquier dimensión es =I11*I13/2.
EJERCICIOS
Calcule el área del triángulo variando las dimensiones pero con la siguiente fórmula.
PRÁCTICA 23
“ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO”
23. CALCULA EL ÁREA DE UN TRIÁNGULO PERO EN EL PLANO CARTESIANO
VARIANDO LAS COORDENADAS EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: calcular el área formada por tres rectas en el espacio Cartesiano.
Orden de pasos: Usarás la siguiente fórmula para calcular el área formada por tres rectas en
el espacio3, usando únicamente las coordenadas de cada recta.
3121322331212
1yxxyxyxyxyyxÁrea
El signo se selecciona de acuerdo a que su resultado no sea negativo.
3 Manual de Fórmulas Matemáticas, Serie Shawn,
63
Abre una nueva hoja Excel, como EJEMPLO: encontrar el área comprendida en los
siguientes puntos:
A ( 3 , 4 ) B ( -1 , 2 ) C ( 4 , 1 )
A ( x1 , y1 ) B ( x2 , y2 ) C ( x3 , y3 )
Las coordenadas en el espacio Cartesiano son:
Para graficarla, tabulamos las coordenadas en una tabla:
Seleccionamos toda la tabla, vamos a Asistente para gráficos y seleccionamos dispersión,
con puntos de datos conectados por líneas sin marcadores de datos, Clic en Siguiente:
De clic en Aceptar. Presente su gráfica como sigue:
64
Para calcula el área ponga la fórmula en una de las Celdas: por ejemplo en. J15
=(0.5)*(B7*C8+C7*B9+C9*B8-C8*B9-C7*B8-B7*C9)
Al final queda así:
Puede cambiar los valores de las coordenadas a su gusto
65
PRÁCTICA 24
“ÁREA DE UN TRIÁNGULO EN EL ESPACIO”
TRES RECTAS EN EL ESPACIO
24. CON TRES PUNTOS DADOS, ENCUENTRE EL ÁREA Y LAS ECUACIONES DE
CADA RECTA, ASÍ COMO SUS REPRESENTACIONES EN LA GRÁFICA.
En Geometría en el espacio encontramos por lo general rectas que se cruzan en el espacio
Cartesiano. Podemos encontrar las ecuaciones para las rectas dados por lo menos dos
puntos.
La ecuación general para una recta con pendiente m, es:
Donde:
x = variable independiente
x1 = primer punto coordenada en x
y = variable dependiente
y1 = primer punto coordenada en y
m = pendiente
Pero la pendiente igual a:
x2 = segunda coordenada eje x
y2 = segunda coordenada eje y
Para poder aplicar estas fórmulas en Excel, tendremos que asignar valores diferentes cada
punto.
Objetivo: aplicar la fórmula general de una recta con pendiente m, graficar y calcular el
área en Excel.
Orden de los pasos:
Abre un nuevo documento Excel, y anota en un cuadro las coordenadas de los tres puntos.
En C8, E8, C10, E10, C12 y E12 pon cualquier número, para poder ligar los valores de los
puntos en otras celdas.
Ahora pon las coordenadas como Tabla de graficos.
)( 11 xxmyy
12
12
xx
yym
66
Para calcular la primera pendiente escogemos desde el punto A a B, en la celda G15
ponemos la fórmula =(B16-B15)/(A16-A15).
En G16 la segunda pendiente es: =(B17-B16)/(A17-A16)
En G17 la tercera pendiente será: =(B17-B15)/(A17-A15).
Para estimar la primera ecuación de la primera recta, tomamos como base la ecuación
general de la recta, por lo que nos queda así: en la celda h15, ponemos “ecuación AB” y en
la celda I15, la fórmula es =CONCATENAR("y=",$G$15,"x+",
(-1)*$G$15*A15+B15).
La segunda ecuación en I16 es =CONCATENAR("y=",$G$16,"x+",
(-1)*$G$16*A16+B16).
La tercera ecuación en I17 es =CONCATENAR("y=",$G$17,"x+",
(-1)*$G$17*A17+B17).
Como se ve el la figura Excel, calcula los datos y aparecen las ecuaciones para cada recta:
TABULACIÓN:
La tabulación y graficación de las rectas se efectúa como sigue:
Para la primera recta, en la celda A21, ponemos -10, a continuación Edición, Rellenar,
Series, y selecciona Series en… columnas, Tipo Lineal, y límite 10. Aceptar.
En la celda B21 ponga la fórmula =$G$15*A21-$G$15*$A$15+$B$15
67
Cópielo hasta el límite de 10.
La segunda recta, tiene el mismo procedimiento que el anterior solo que en la celda G21
la fórmula es: =$G$16*F21-$G$16*$A$16+$B$16. Cópielo hasta el límite de 10.
Tercera recta, en la celda J21 la fórmula será: =$G$17*I21+ (-
1)*$G$17*$A$17+$B$17.
Grafíquelo con el asistente para gráficos, seleccionando Dispersión. Haga los cambios
necesarios:
Aplique la fórmula para calcular el área entre tres puntos y aplique:
Para que aparezcan las ecuaciones de cada recta, de clic en cada una de ellas con el botón
derecho y elija “Agregar Línea de Tendencia”, y en opciones elija “Presentar ecuación en
el gráfico”, a continuación Aceptar.
EJERCICIO: grafique y encuentre el área de un pentágono:
68
PRÁCTICA 25
BALANCE QUIMICO
25. BALANCEA LAS SIGUIENTES REACCIONES QUÍMICAS USANDO LA HOJA
EXCEL.
___Ca + O2 ____Ca O
_____Fe + ___H2O ___Fe3O4 + ____H2
___NH3 + ___O2 ___NO + ___H2O
Objetivo. Usar las fórmulas de Excel, para hacer balances químicos.
Orden de los pasos:
1er. Ejemplo: en el balance químico del Monóxido de carbono, primero asignamos el
nombre a cada coeficiente de cada elemento.
En las celdas B4 y H4, váyase a la barra de herramientas, en Insertar, Nombre clic en
Definir.
69
Asigne un nombre a cada coeficiente de las sustancias:
OTRO EJEMPLO
ASIGNAMOS UNA LETRA A CADA CELDA
La ecuación de balanceo es la que sigue: =SI(A=D,"CORRECTO","INCORRECTO"), la
agregamos en la celda D8.
2do. Ejemplo: en este ejemplo es un poco más complejo. En el siguiente balance asigne la
fórmula para su balanceo correcto.
Se hace el mismo procedimiento que en el primer ejemplo, es decir asigna un nombre a
cada coeficiente de cada elemento o sustancia, en la celda B13 su nombre es E, en E13 es
G, en H13 es H, en K13 es I.
La fórmula en la celda D17 es =(E+2*G+G*1=(H*3+H*4+2*I)).
3ER. EJEMPLO:
Como práctica haga el siguiente ejemplo asigne la fórmula para el correcto balanceo.
De tal manera que si te equivocas la ecuación te notifique si es así:
70
PRÁCTICA 26
“COMPROBACIÓN DE ECUACIONES”
26. RESUELVA LA SIGUIENTE ECUACIÓN A MANO, PARA ELLO DESPEJA EL
VALOR DE x:
17243
xxx
DESPUÉS COMPRUEBE SU VALOR EN LA HOJA EXCEL.
En matemáticas es común comprobar los resultados de un problema, en esta sección
veremos cómo comprobar algunas ecuaciones usando Excel.
Primero definimos la ecuación a resolver:
Por ejemplo sea la ecuación:
x/3+x/4=2x-17
Como la computadora no “entiende” nuestro lenguaje, tendremos que trasladarlo al
lenguaje Excel.
Procedimiento:
En la celda B17 escribe la ecuación: x/3+x/4=2x-17
Luego en la celda C19 escribe una solución que se te ocurra, puede ser cualquier valor:
Para que la computadora pueda asignar un valor x, se hará lo siguiente:
En la barra de Menú, Insertar, Nombre, Definir:
71
Aparece el cuadro de diálogo Definir Nombre:
Tienes que elegir x, para asignarlo:
A continuación Aceptar.
Luego en la celda C21 escribe la ecuación (o Fórmula ahora):
Fíjate que la fórmula tiene el signo de igualdad, y paréntesis, es importante ya que la
computadora lo resolverá así:
Asigna un valor ahora, puede ser 3, cambia el valor de equis en la fórmula para ver que te
resulta:
En la celda te da:
72
Si cambias el valor por 12, resulta:
Es importante seguir las reglas de aritmética para asignar las fórmulas.
Para comprobar tus conocimientos elabora las fórmulas apropiadas en la Hoja Excel, para
los siguientes ejemplos:
a) x+3x/4+9x/16=185 b)
c) d)
e) f)
COORDENADAS POLARES
Sistema de coordenadas, sistema de identificación de elementos en un conjunto de puntos
marcándolos con números. Estos números se denominan coordenadas y se puede
considerar que dan la posición de un punto dentro del conjunto.
En coordenadas polares, a cada punto del plano se le asignan las coordenadas (r,θ) con
respecto a una recta fija en el plano denominada eje polar y a un punto de dicha línea
llamado polo. Para un punto cualquiera del plano, la coordenada r es la distancia del punto
al polo, y la θ es el ángulo (medido en sentido contrario a las agujas del reloj) entre el eje
polar y la línea que une el polo y el punto, como se muestra en la figura 2. Por ejemplo, el
punto con coordenadas polares (1,/2) está situado a una unidad del polo y forma un
304
)30(330
xx
603505 xx 306707 xx
1250
xx
83
)1(2
13
)2(2
x
xx
73
ángulo de /2 radianes, o 90 grados, con el eje. Las coordenadas cilíndricas y las
coordenadas esféricas son dos extensiones distintas de las coordenadas polares en tres
dimensiones.
Normalmente las coordenadas de un punto o conjunto de puntos en un sistema de
coordenadas pueden ser transformadas a otro sistema de coordenadas. Por ejemplo, si el eje
polar y el polo de las coordenadas polares se corresponden con el eje x y el origen de las
coordenadas cartesianas respectivamente, entonces el punto con coordenadas polares
(1,/2) está situado una unidad por encima del origen, por lo que sus coordenadas
cartesianas son (0,1). De la misma manera, el punto de coordenadas polares (,3/4) es el
punto cartesiano (-1,1). Recuerde que los puntos están en radianes4
Las coordenadas polares son de gran utilidad para dibujar funciones definidas como
distancias a un punto fijo. Por ejemplo, la ecuación de un círculo de radio d dada en
coordenadas cartesianas es x2 + y
2 = d
2; mientras que en coordenadas polares el mismo
círculo de radio d es simplemente r = d.
Las proyecciones en los ejes forman un triángulo rectángulo, y sus proyecciones en los ejes
x e y se definen a partir de las funciones trigonométricas:
Para el eje x es: cosrx
Para el eje y será: rseny
PRÁCTICA 27
“COORDENADAS POLARES Y COORDENADAS RECTANGULARES”
27. GRAFICA LA SIGUIENTE FUNCIÓN EN COORDENADAS POLARES, USANDO
LA HOJA EXCEL.
4 Radián, en matemáticas, la unidad de ángulo igual al ángulo central formado por un arco de longitud igual al
radio del círculo. 1 radián = 57,3 grados
74
r = a [1 - cos( Θ ) ]
Objetivo: conocer como se grafican las coordenadas polares en la Hoja Excel.
Orden de los pasos:
Abre una nueva hoja Excel, introduce la siguiente fórmula en la hoja:
r = a [1 - cos( Θ ) ]
Las condiciones para la figura son el valor de a y Θ
Como ves, primero tabulamos los datos, en coordenadas polares y luego transformamos
esos datos a coordenadas rectangulares, empezamos con el origen ( 0 , 0 ).
Los grados varían desde 0 hasta 360 grados. Luego cambiamos a radianes. Por último
asignamos fórmula para graficar.
En la celda B11 pon la fórmula, =RADIANES(A11). Cópiala y pégalas a las demás celdas
(hasta 360 grados).
En la celda C11 pon =$C$7*(1-COS(B11)) para evaluar el primer punto. Cópiala y pégala
desde este punto hasta 360 grados.
75
Bien, ahora pasaremos de coordenadas polares a coordenadas cartesianas, ya que Excel
sólo grafica en base a las coordenadas equis e ye.
Para esto hacemos para la coordenada x. En la celda E11, la fórmula aplicada es: =C11*COS(B11), cópiala y pégala desde 0 a 360
grados.
En la celda F11, la fórmula es =C11*SENO(B11).cópiala y pégala a las demás celdas,
desde 0 hasta 360 grados. Por fin tenemos la tabulación esperada.
76
dcxbax
dcxbax
Selecciona las coordenadas x,y. elige asistente para gráficos y elije Dispersión para
graficar. Has los cambios necesarios para que quede así:
PRACTICA 28
“DESIGUALDADES CON INECUACIONES”
28. ¿QUÉ METODOLOGÍA EMPLEARÍAS PARA ENCONTRAR EL CONJUNTO DE
SOLUCIONES DE UNA DESIGUALDAD COMO LA SIGUIENTE:
EN LA HOJA EXCEL?
Objetivo: conocer que los métodos aplicados en algebra normal se aplica en la solución de
desigualdades y como introducirlos en el campo de las fórmulas de la Hoja de cálculo
Excel.
Orden de los pasos:
Abre una nueva hoja Excel, y aplica las fórmulas para resolver desigualdades, aplicando
tus conocimientos de álgebra básica y grafica tus resultados.
Un primer caso es:
La solución es:
El segundo caso:
Su solución:
ca
bdx
dcxbax
ca
bdx
77
P r o c e d i m i e n t o:
Para resolver una inecuación debemos despejar la incógnita:
1. Se pasan todos los términos que tengan la incógnita en el miembro izquierdo de la
inecuación y los términos independientes se escriben en el miembro derecho (cuando un
término pasa de un miembro de la inecuación a otro, lo hace con signo cambiado)
2. Se reducen los términos semejantes
3. El coeficiente que multiplica a la incógnita lo pasamos a dividir al miembro derecho;
pero, teniendo en cuenta que: si el coeficiente es positivo, el sentido de la desigualdad no
cambia; si el coeficiente es negativo, el sentido de la desigualdad cambia
Nota1: pasar el coeficiente numérico del miembro izquierdo a dividir al derecho equivale a
multiplicar ambos miembros por el inverso multiplicativo (recíproco)5.
En la hoja ponga para el primer caso:
Note que hay una celda para cada coeficiente o término constante.
En otra celda ponga la solución, en este caso en la celda T20, la fórmula =SI(B17=I17,"NO
TIENE SOLUCIÓN",(M17-F17)/(B17-I17)).
En D20 pon =SI((B17-I17)=0,"indeterminada",SI((B17-I17)>0,"el sentido de la inecuación
es a la derecha","el sentido de la inecuación es a la izquierda")).
Para el segundo caso:
En la celda T27, la fórmula es: =SI(B24=I24,"NO TIENE SOLUCIÓN",(M24-F24)/(B24-
I24).
En la celda C27 agrega: =SI((B24-I24)=0,"indeterminada",SI((B24-I24)>0,"el sentido de la
inecuación es a la izquierda","el sentido de la inecuación es a la derecha")).
Para graficar los resultados haga lo siguiente: agregue como coordenada en y, un valor
cero. Y seleccione Asistente para Gráficos. A loas dos resultados:
5 BALDOR, A.; Álgebra.
78
Seleccione las coordenadas en x e y para el resultado. Para x es =Hoja1!$T$27, y para el
eje y es =Hoja1!$U$27.
Clic en Aceptar. Pero todavía modifique la grafica para que quede así: x <
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
x <
Borre el eje y:
También el área de trazado, Tramas, Ninguno y en Área, Ninguna; Aceptar.
Borre las líneas de división
79
Modifique la gráfica para que la escala en x sea visible:
Ahora el punto selecciónelo para que aparezca así, ya que es una desigualdad
Se selecciona sin fondo ya que no es igual a….
La solución de estos casos se plantea así, las líneas puede seleccionarlas en la barra de
estado:
80
cambie los valores y grafique.
ejercicios:
plantee con el mismo método, para la hoja excel, si la desigualdad se plantea como sigue:
02 cbxax
encuentre sus raíces.
PRÁCTICA 29
SISTEMAS DE ECUACIONES POR REGLA DE CRAMER
29. CONSIDERE EL SIGUIENTE SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES CON DOS
INCÓGNITAS:
ENCUENTRE TODAS LAS SOLUCIONES (SI EXISTEN) A LOS SISTEMAS DADOS.
CALCULE POR DETERMINANTES USANDO LA REGLA DE CRAMER
Objetivo: resolver sistemas de ecuaciones por el método de la regla de Cramer, usando la
hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Usando el método de la Regla de Cramer, sustituya la ecuación encontrada de la general
para sistemas de ecuaciones de tres incógnitas y tres ecuaciones.
Primero, tenemos un sistema de ecuaciones 2x2:
222
111
cybxa
cybxa
222
111
cybxa
cybxa
81
Aplicando la Regla de Kramer, para resolver este sistema:
xx ;
yy
Donde:
22
11
ba
ba ;
22
11
bc
bcx ;
22
11
ca
cay
La solución es como sigue6:
1221
1221
baba
bcbcx
1221
1221
baba
cacay
Estas ecuaciones se introducen en la hoja de cálculo Excel.
Vinculamos los valores de los coeficientes en una tabla
En la celda C14 pon =E10, en C15 es =E12, en C16 es =H10, en C17 es =H12, en C18 es
=J10, en C19 es =J12.
6 Para conocer la metodología de la regla de Cramer y su demostración en: GROSSMAN, Stanley, Algebra
Lineal, Iberoamérica, 1983, México.
82
En la celda K22 escriba x, en la celda L22 ponga la fórmula =SI((C14*C17-
C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C18*C17-C19*C16)/(C14*C17-C15*C16)), que
es la primera solución.
En la celda K23 escriba y, en la celda L23 ponga la fórmula =SI((C14*C17-
C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C14*C19-C15*C18)/(C14*C17-C15*C16)).
Cambie para diferentes valores, experimente cuando las rectas son paralelas, no se cruzan,
se cruzan en las diferentes coordenadas o puntos.
La gráfica de las rectas queda así:
ECUACIONES LINEALES
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
-15 -10 -5 0 5 10 15x
y
83
2
1
2
1
b
b
a
a
PRÁCTICA 30
REGLA DE KRAMER 2
CONTINUACIÓN….
30. a. EN EL ANTERIOR, ¿QUE PASA CUANDO SON PARALELAS O
COLINEALES?, ESCRIBA LA FÓRMULA EN EXCEL, QUE DESCRIBA ESTE
SUCESO.
OBJETIVO: profundizar en el estudio de ecuaciones lineales con la Hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Se abre una nueva hoja Excel, haga el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior,
sólo que introduzca nuevas fórmulas, en esta caso la función Lógica Y.
Justificación de fórmulas:
Por ejemplo sean las ecuaciones lineales:
222
111
cybxa
cybxa
Si son paralelas:
y
Si son colineales:
2
1
2
1
2
1
c
c
b
b
a
a
En la hoja de cálculo introduzca las fórmulas:
Para la intersección en el eje x,
=SI(Y((C14/C15)=(C16/C17),(C14/C15)=(C18/C19)),"RECTAS
COLINEALES",SI(Y((C14/C15)=(C16/C17)),"RECTAS PARALELAS",SI((C14*C17-
C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C18*C17-C19*C16)/(C14*C17-C15*C16))))
Para la intersección en el eje y,
=SI(Y((C14/C15)=(C16/C17),(C14/C15)=(C18/C19)),"RECTAS
COLINEALES",SI(Y((C14/C15)=(C16/C17)),"RECTAS PARALELAS",SI((C14*C17-
C15*C16)=0,"NO TIENE SOLUCIÓN",(C14*C19-C15*C18)/(C14*C17-C15*C16))))
Nótese que la fórmula involucra la función Lógica Y, además que para cuando son rectas
paralelas sólo ponemos la condición de igualdad sin necesidad de poner la no igualdad.
2
1
2
1
c
c
a
a
84
PRÁCTICA 31
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
MÉTODO REGLA DE CRAMER
31. USANDO LA REGLA DE CRAMER, RESUELVA UN SISTEMA DE CUACIONES
LINEALES DE NXN (n filas y n columnas).
Objetivo: aplicar tus conocimientos de matrices, para resolver ecuaciones por el método de
Regla de Cramer.
Sea A una matriz cuadrada nxn, cuando su determinante es diferente de cero.
La única solución del sistema:
bAx
Es:
n
n
xx
xx
xx ..,........., 2
21
1
Objetivo: aplicar tus conocimientos de matrices, para resolver ecuaciones por el método de
Regla de Cramer.
Orden de los pasos:
Sea el sistema de ecuaciones, encuentre el valor de sus incógnitas.
nnnnnn
nn
nn
bxaxaa
bxaxaxa
bxaxaxa
....
...............................................
...
....
221
22222121
11212111
Si Adet definimos n matrices:
nnnn
n
n
aab
aab
aab
A
...
............
...
...
2
2222
1121
1
nnn
n
nnnn
n
n
baa
baa
baa
A
aba
aba
aba
A
...
............
...
...
.....
...
............
...
...
21
22221
11211
1
2221
1111
2
Por lo tanto la matriz Ai se obtiene de la i-ésima columna de A por b.
nn AAA det,.....,det,det 2211
Finalmente:
85
n
nxxx ,.....,, 22
11
Abra una nueva hoja Excel, e introduzca las variables de un sistema de ecuaciones lineales.
Ponga los valores en un arreglo matricial como se muestra:
En M9 la fórmula es =B5, en M10 es =B6, en m11 es =B7, en N9 es =E5, en N10 es =E6,
en N11 es =E11, en O9 es =I5, en O10 es =I6 y por último en O11 es =I7.
La fórmula para evaluar la matriz principal es en la celda Q10 es =MDETERM(M9:O11).
Por lo que resulta.
La matriz x, es como sigue:
En la celda X15, la fórmula vinculada con la ecuación es: =K5, y así sucesivamente para
las demás posiciones de la matriz, como se muestra en la figura.
Haga lo mismo para las demás matrices:
86
Los valores de las incógnitas se encuentran usando la regla de Cramer.
Para el valor de x la fórmula es :
En el numerador la fórmula es: =AC10, y en el denominador =S10, la división se
encuentra: con la división =Si(N22=0,”no existe”,N21/N22.
Haga lo mismo para las demás variables:
Por lo tanto la solución para este sistema de coordenadas es:
87
Una gráfica de este sistema de ecuaciones, con el software llamado GraphCalc:
PRÁCTICA 32
ECUACIONES LINEALES POR ELIMINACIÓN GAUSSIANA
32. ANALICE EL MÉTODO DE ELIMINACIÓN GAUSSIANA, PARA RESOLVER
ECUACIONES LINEALES DE NXN
Objetivo: aplicar el método de eliminación Gaussiana, usando la hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
88
Sea cualquier vector n: f, y consideremos el sistema Ax = f , lo resolvemos por eliminación
Gaussiana7, la posibilidad tiene una única solución, si A
-1 existe, entonces hay una
solución, que es:
U = A-1
f
La única solución es:
fA
z
y
x
u 1
………………….. ( 1 )
En el ejemplo anterior, abra la hoja 2 y ligue los coeficientes de la Hoja “regla de cramer” y
forme otra Matriz.
Cada uno de los coeficientes forma la segunda matriz. Por ejemplo en la celda D10 pon la
fórmula ='REGLA DE CRAMER'!A5, para ligar el coeficiente de la hoja, has lo mismo
para los demás coeficientes:
A continuación calcule la Matriz Inversa.
Para ello haga lo siguiente: seleccione una matriz con los coeficientes del sistema de
ecuaciones sin los términos constantes.
De clic en fx, y seleccione Matriz Inversa:
7 GROSSMAN, Stanley; Álgebra Lineal, Grupo editorial Iberoamérica, 1983, México.
89
Ahora seleccione el rango D10:F12 y Aceptar.
Ahora clic en F2 + Crtl +Shift +Enter:
Multiplique la Matriz Inversa por los términos constantes de los sistemas de ecuaciones:
En la celda J18 la fórmula es: ='REGLA DE CRAMER'!K5, en la celda J19 es ='REGLA
DE CRAMER'!K6, en J20 es ='REGLA DE CRAMER'!K7.
90
Para efectuar la multiplicación matricial primero seleccione M18:M20.
En la barra de fórmulas =, luego clic en fx, y seleccione el Producto Matricial de Dos
Matrices:
Aceptar, ahora la Matriz 1 tiene los rangos D18:F20 y la Matriz 2 los rangos son J18:J20,
clic en Aceptar.
Clic en F2 + Crtl + Shift + Enter:
De acuerdo a la formula ( 1 )
fA
z
y
x
u 1
91
La solución se presenta de esta forma:
Por lo que la respuesta la representas así:
EJERCICIOS.
Haga ejemplos interactivos, en el que pueda cambiar los valores de los coeficientes de la
variables, x, y, z:
Notas:
Cuando introduce matrices Excel por defecto pone paréntesis {} si es así se introducen
correctamente.
Cuando introduce una matriz el símbolo = en la barra de fórmulas significa que introducirá
una fórmula.
Verifique que la matriz inicial sea no degenerada o igual a cero.
92
PRÁCTICA 33
ECUACIÓN CUADRÁTICA
33. ¿CUÁLES SON LAS RAÍCES DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA
02 cbxax
EN LA HOJA EXCEL?
Objetivo:
Explore el comportamiento de la ecuación cuadrática con diferentes valores dados en la
hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel. Introduzca los valores como sigue:
Ahora tabúlelos:
En las celdas ponga las fórmulas para ligarlas con los coeficientes de la ecuación
cuadrática.
La tabulación queda así:
La ecuación cuadrática tiene dos soluciones, lo cual nos conduce a usar la “Fórmula
General”:
a
acbbx
2
42
2,1
93
Sin embargo las raíces de la fórmula general tienen restricciones cuando tienen raíces
negativas, por lo que hay que considerarlas como si fueran números complejos:
042 acb
Un número complejo se representa como un vector:
bia
Donde a es la parte real del número y bi es la parte compleja, el valor de i es igual 1 .
En la celda M22 pon la fórmula es: =SI(D16=0,"ES UNA
RECTA!",SI((D17)^2<4*D16*D18,"Tiene Raíz Imaginaria",((-1)*D17+RAIZ((D17)^2-
(4)*D16*D18))/(2*D16)))
Pero como son dos raíces en la celda M23 la fórmula es: =SI(D16=0,"ES UNA
RECTA!",SI((D17)^2<4*D16*D18,"Tiene Raíz Imaginaria",((-1)*D17-RAIZ((D17)^2-
(4)*D16*D18))/(2*D16))).
Fíjese en los signos de la fórmula
Para expresar el resultado cuando contenga raíces negativas (números complejos):
En las celdas O22 y O23, la fórmula es =SI((D17)^2<4*D16*D18,"=","")
En las celdas P22 y P23 la fórmula es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,((-
1)*D17)/(2*(D16)),"").
En la celda Q22 la fórmula es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,"+",""), primera raíz.
En la celda Q23 es: =SI((D17)^2<4*D16*D18,"-","") por ser la segunda raíz.
En las celdas R22 y R23 la fórmula para la parte imaginaria8 es:
=SI((D17)^2<4*D16*D18,W22/(2*D16),"").
Por último para agregar 1 , en las celdas S22 y S23 la fórmula es:
=SI((D17)^2<4*D16*D18,"i","").
Nota: en las celdas R22 y R23 la celda W22 es la parte de la raíz negativa si la hay, es
decir: =ABS((D17)*(D17)-(4*D16*D18)).
Ejemplos.
8 éstos números son usados en electrónica
94
PRÁCTICA 34
“ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA”
34. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE
CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA.
Objetivo: sustituir los valores de los coeficientes para evaluar el valor de la incógnita.
Orden de los pasos: Abre una nueva Hoja Excel, y escribe la ecuación general para una
incógnita:
“ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” I
(USANDO FÓRMULAS TRADICIONALES)
Haga lo conducente para la ecuación general:
bax
Usando los métodos tradicionales de despeje, es:
95
a
bx
Cuando el valor de a es diferente a cero.
Como verás, la fórmula es sencilla, en la celda H14 la fórmula es:
=SI(E12=0,"Indeterminada",SI(H12=0,"0",H12/E12)).
PRÁCTICA 35
“ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” II
(USANDO SCROLL BARS)
35. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE
CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA, PERO USE BARRA DE
DESPLAZAMIENTO.
Usaremos los controles de los Formularios, esto se hace en la barra de Herramientas, Ver,
Herramientas, Formularios, clic.
En una nueva hoja de Cálculo anota lo siguiente:
Las ecuaciones de Primer Grado tienen solución cuando:
96
dcxbax
Despejamos para encontrar el valor de x:
ca
bdx
Esto es válido si la resta de ( a – c ), es diferente de cero.
Para empezar en la celda D8 pon la fórmula: =E8-10.
En la celda E8 pon el número cero, luego:
Aparece el cuadro siguiente:
Selecciona Barra de Desplazamiento:
Una vez que lo seleccionaste dibuja la barra en esa celda y clic al botón derecho y dale en
Formato de Control:
97
Anota los siguientes datos:
Valor mínimo 0, valor máximo 20 (por ejemplo), vincula este control con la celda $E$8,
clic en Aceptar.
Te queda de esta manera:
Has lo mismo para las celdas D9, D10 y D11.
La figura es la que ves:
Para la fórmula solución; en la celda C15 la fórmula es: =SI((D8-D10)=0,"NO TIENE
SOLUCIÓN",(D11-D9)/(D8-D10)).
Haga sus experimentos con esta ecuación y concluya.
PRÁCTICA 36
“ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” III
36. ENCUENTRA LA RELACIÓN MATEMÁTICA Y ESCRÍBELA EN LA HOJA DE
CÁLCULO PARA ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA, HAGA UNA TABLA DE
VALORES Y UBIQUE EL VALOR CORRECTO.
Objetivo: Usarás las notaciones & y “”, en la Hoja Excel.
98
El ejemplo anterior tiene una variante usando las notaciones anteriores si hace que la
fórmula quede así.
En la celda D15 la fórmula de manera ordenada es así: =F8&"x + ("&F9&") =
("&F10&")x + ("&F11.
Si introduce la fórmula cerrando el paréntesis al final de ésta aparece el siguiente aviso:
Por eso en la celda J15 cerramos la ecuación.
El cálculo de la solución de la variable x, hace por aproximación, es decir dándole valores
enteros a x, hasta que la hoja de cálculo nos diga si es falso o verdadero el resultado, para
esto la fórmula de plantea así, es decir como una igualdad, se cumple o no se cumple.
En la celda K19, la fórmula que debe cumplir con la igualdad es:
=($F$8*K19+$F$9=$F$10*K19+$F$11)
En K19 rellene hasta 10 con incrementos de uno. En la celda L19 cópiela y pegue hasta
L49.
Vea sus resultados y busque el resultado,
99
Como ves el resultado es x = 4.
EJERCICIO: HAGA ESTE MISMO MÉTODO PERO PARA LA ECUACIÓN
cbax
PRÁCTICA 37
“ECUACIONES CON UNA INCÓGNITA” IV
(HAGA SUS CÁLCULO Y COMPRUEBE)
37. ¿CÓMO RESOLVERÍAS UNA ECUACIÓN ax + b =0, EN LA HOJA EXCEL?
Para la fórmula ax = b, básicamente se hace la fórmula así: =SI(D13=(D7-D6)/D5,"DISTE
AL CLAVO!","INTENTA OTRA VEZ!"). la figura te da un acercamiento a la solución.
100
Conclusión: has tus cambios y experimenta con diferentes valores, para esto, calcula a
mano el valor y comprueba tus resultados.
PRÁCTICA 38
“ECUACIONES POR MÉTODO ALEATORIO”
38. ENCUENTRA EL VALOR DE LA INCÓGNITA PARA UNA ECUACIÓN:
cbax
EN LA HOJA EXCEL, POR EL MÉTODO ALEATORIO.
Objetivo: Mediante el azar elegir el valor correcto de una variable, para resolver ecuaciones
de primer grado, usando la hoja Excel.
Orden de los pasos: la Función =ALEATORIO.ENTRE(valor inferior, valor superior),
devuelve un número aleatorio entre los números que especifique. Devuelve un nuevo
número aleatorio cada vez que se calcula la hoja de cálculo.
Si esta función no está disponible y devuelve el error #¿NOMBRE?, instale y cargue el
programa vaya a la Barra de Menú Herramientas, de clic en Complementos y elija
Herramientas para análisis.
Para activar la función es decir cambiar el valor, pulse la tecla F9, hasta encontrar un valor
apropiado.
Abra una nueva Hoja Excel, escriba la función aleatoria, =ALEATORIO.ENTRE(-10,10).
101
Para escribir y solucionar una ecuación de primer grado, primero haga esto: en la barra de
menú, Nombre, Definir, te aparece este cuadro de diálogo, dale Aceptar.
Introduzca los valores de los coeficientes:
La ecuación formada es: =C11&"x+("&C12&")=("&C13 agréguela en otra celda.
Delante de la ecuación anterior ponga esta: =C11*x+C12=C13.
Cambie los valores a x, según sea el caso hasta que no aparezca FALSO en la Hoja de
cálculo.
102
La solución para este caso particular encuéntrela.
EJERCICIOS: cambie los valores de los coeficientes y experimente sus resultados.
PRÁCTICA 39
“ESTADÍSTICA”
39. EN BASE A LAS CALIFICACIONES A UN GRUPO DE ALUMNOS, CALCULE
LA FRECUENCIA, LOS INTERVALOS, EL VALOR MÍNIMO Y MÁXIMO,
FRECUENCIA RELATIVA, MODA, DESVIACIÓN ESTÁNDAR, EL COEFICIENTE
DE VARIACIÓN, MEDIANA Y PROMEDIO EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: que las herramientas de la Hoja Excel, ayudan y facilitan el manejo de la
información.
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel, y use las fórmulas =SUMA(número1,número2,…),
=CONTAR.SI.(rango,criterio), =MIN(número1, número2,…),
=MAX(número1,número2,…), =MEDIANA(número1, número2,…), =MODA(número1,
número2,…), =PROMEDIO(número1, número2,…), =DESVEST(número1, número2,…),
además de fórmulas que “inventes”.
“ESTADÍSTICA” I
Escriba lo siguiente en la hoja Excel, para preparar los datos:
En este ejemplo aplicado para las calificaciones de un grupo de estudiantes, permite
comprender el comportamiento académico.
En la celda G11 calcula el valor mímino con la fórmula =MIN(A7:T9), luego el valor
máximo con =MAX(A7:T9) en la celda G12.
103
En E14 la oscilación es: =G12-G11, en la celda E15 El número de datos por intervalo de:
10, por lo que el número de intervalos es: =E14/H15.
La fórmula SUMA(número1,número2,…), =CONTAR.SI.(rango,criterio), ayudan para
tabular la frecuencia de datos:
En la celda D19ponga la fórmula =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=39"). En la celda D20 es
=CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=49")-D19, en la celda D21 la fórmula es
=CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=59")-(D20+D19). En la celda D22 es
=CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=69")-(D19+D20+D21). En la celda D23 la fórmula
=CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=79")-(D19+D20+D21+D22), en celda D24 es
=CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=89")-(D19+D20+D21+D22+D23), por último en celda D25,
es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=99")-(D19+D20+D21+D22+D23+D24), como notarás se
restan los datos de la celda anterior.
Para comprobar si los datos recopilados son correctos súmelos con =SUMA(D19:D25).
El cálculo de las frecuencias relativas es el siguiente =D19/$D$26*100, cópielo y péguelo
desde G19 hasta G25. La suma de las frecuencias debe ser 100%, por lo que suma así
=SUMA(G19:G25).
104
La Mediana es =MEDIANA(A7:T9), la Moda =MODA(A7:T9), la media
=PROMEDIO($A$7:$T$9), la Desviación Estándar =DESVEST($A$7:$T$9), el
coeficiente de variación =G32/F30.
“ESTADÍSTICA” II
Básicamente son las mismas fórmulas, sólo que cambiamos las fórmulas del cálculo de la
frecuencia: en la celda D19 la fórmula es =CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<=39")-
CONTAR.SI($A$7:$T$9,"<30"), en las demás celdas la fórmula es la misma sólo que
cambia el rango de intervalo. Haga los cambios pertinentes. Grafique.
PRÁCTICA 40
“GRÁFICA DE DOS FUNCIONES”
40. GRAFIQUE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo:
Que grafiques por métodos tradicionales de tabulación de datos sustituyéndolos en las
funciones, use la hoja de cálculo Excel.
105
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja de cálculo Excel, y ponga los datos que siguen:
El método de tabulación se obtiene mediante la sustitución de la variable y realizando las
operaciones respectivas (las funciones son como recetarios de cocina, es decir son
instrucciones precisas).
Asigne valores a los coeficientes de cada función:
Para la Recta, en la celda G5 ponga a1 =, en H5 ponga un valor; en celda G6 ponga b1 =,
en H6 ponga otro valor numérico.
Para la Parábola, en la celda G10 ponga a2 =, en H10 ponga algún valor; en celda G11,
ponga b2 =, en H11, escriba una valor, en G12 escriba c2 =, en H12 escriba otro valor
numérico.
PARA EMPEZAR A TABULAR, PRIMERO LA RECTA:
En la celda B16 escriba la fórmula ="y="&H5&"x+("&H6&")", luego escriba -10, en la
celda B18; en Edición + Rellenar + Series. Elija Series en: Columnas, Límite +10; clic en
Aceptar.
En la celda C18, la fórmula es: =$H$5*B18+$H$6, cópielo y péguelo hasta la celda C38.
106
PARA TABULAR LA PARÁBOLA:
En la celda D16, escriba la fórmula ="y="&H10&"x²+("&(H11)&")x+("&H12&")", luego
escriba -10, en la celda D18; en Edición + Rellenar + Series. Elija Series en: Columnas,
Límite +10; clic en Aceptar.
En la celda E18, la fórmula es: =$H$10*D18*D18+$H$11*D18+$H$12, cópielo y péguelo
hasta la celda E38.
Seleccione los valores,
En el Asistente para Gráficos seleccione Dispersión con Líneas suavizadas, Aceptar.
Experimente con otros valores, sustitúyalos y verifique.
107
PRÁCTICA 41
GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES
41. GRAFICA EN TRES DIMENSIONES EN LA HOJA EXCEL, LA SIGUIENTE.
Objetivo: Visualizar figuras en tres dimensiones, usando la hoja de cálculo Excel.
“GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES” I
Orden de los pasos:
Abre una nueva hoja Excel. Anote lo siguiente: los valores del eje x, y eje y, los intervalos
van desde -3 hasta +3, con incrementos de 0.1
Tabula ahora en columna C, los límites de x. desde -3 < x < +3
A continuación Aceptar:
Introduzca la fórmula =(RAIZ(C9*C9+$D$8*$D$8)-2)^2, en la celda D9:
044 22 yxzz
108
Note que los valores de la celda D8, son absolutos, es decir son fijos, y los de la celda C9
relativos. Copie y pegue en la columna D, hasta los valores de +3.
Haga lo mismo para la columna E, y así sucesivamente en todos los valores hasta +3, se
reitera el proceso hasta completar las columnas
Selecciona desde la celda D9, hasta BK68.
….
Use el Asistente para Gráficos, seleccione Superficie, Superficie 3D:
109
A continuación Aceptar:
110
“GRAFICAS EN TRES DIMENSIONES” II
Abra una nueva hoja de cálculo:
Asigne un valor a x, también a y.
Seleccionamos el rango B8:BJ68.
111
Aparecen los datos:
Selecciona desde C9:BJ68, usa el asistente para Gráficos, en superficie, superficie 3D.
112
EJERCICIOS:
Haga las gráficas 3D de las siguientes:
a) z = x^2 + y^2
b) z = 1 / sqrt(x^2+y^2)
c) z = x^2 - y^2
d) z = cos(x^2 - y^2)
113
PRÀCTICA 42
“PARÁBOLA”
EJEMPLOS INTERACTIVOS.
42. ESTUDIE EL COMPORTAMIENTO GENERAL DE LA PARÁBOLA EN LA HOJA
DE CÁLCULO, USANDO FORMULARIOS Y GRÁFICOS.
Objetivo: Observar el comportamiento de una parábola usando la hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Abre nuevo documento Excel, pon el título “GRÁFICA DE UNA PARÁBOLA”, luego
pones los datos de la fórmula.
cbxaxy 2
En la columna A, pones la serie desde – 15 hasta + 15, la fórmula que agregas al
documento es,
=$D$6*(A10)^2+$D$7*A10+$D$8
Ya que los valores de los coeficientes son constantes, los valores de éstos se agregarán el
signo $, debido a que son absolutos y no cambiarán a lo largo de la fórmula.
Damos valores a los coeficientes, a = 2, b = 3, c = 1, luego graficamos normalmente.
114
Para nuestro caso, abrimos formularios en el Menú Ver, Barra de Herramientas y clic en
Formularios.
Aparece el cuadro de diálogo Formulario:
A continuación seleccionamos Barra de Desplazamiento , luego arrastramos hasta la
derecha de los coeficientes.
Ahora ponemos una fórmula a cada coeficiente para variar sus valores, por ejemplo, en la
celda D6, será así: = E6 – 50.
Luego clic en el botón derecho del ratón, para dar Formato control:
115
Vinculamos la Barra de desplazamiento con la Celda E6, pero con su valor absoluto, $E$6,
a continuación Aceptar. En la celda E6 ponemos 50, Enter.
Así sucesivamente para los demás coeficientes: en la celda D7 su fórmula es: = E7- 100,
su formato de Celda se vincula con E7; en la celda D8, es: = E8 – 100, el Formato de
control E8.
EJERCICIOS:Cambie los valores de los coeficientes acercando el cursor a cada barra de
desplazamiento.
PRÁCTICA 43
PARÁBOLA
(MÍNIMOS Y MÁXIMOS)
43. MEDIANTE EL CÁLCULO DE TANGENTE A LA CURVA, ENCUENTRE EL
MÍNIMO O MÁXIMO EN UNA PARÁBOLA, GRAFIQUE SUS RESULTADOS.
Objetivo: mostrar el comportamiento máximo o mínimo de la parábola usando Excel.
Orden de los pasos:
Mostrar el comportamiento parabólico requiere del uso de el álgebra superior, pero si no
está familiarizado con esto, aquí se mostrará de manera fácil como encontrar el mínimo o
máximo de una parábola.
En primer lugar, el coeficiente del término cuadrático puede tener dos signos (positivo o
negativo), lo cual nos indica si tiene un máximo o mínimo.
Si el coeficiente del término cuadrático es positivo, la parábola tiene un mínimo, pero si es
negativa ésta tiene un máximo.
116
a
bx
despejando
bax
2
:
20
a
bacy
4
4 2
Hasta aquí no hay problema. ¿Y sus coordenadas?
Si la ecuación general de una parábola es:
cbxaxy 2
Y aplicando el criterio de la 1ra. Derivada (dy/dx), en la función para máximos y mínimos:
x
cbxax
x
y
)( 2
Aplicando las propiedades para exponentes y constantes:
baxy 2´
Igualando a cero por máximos y mínimos:
………………… ( 1 )
Esta ecuación ( 1 ) es la coordenada en x; para encontrar la coordenada y, solo sustituya en
la ecuación original.
ca
bb
a
bay
22
2
Elevando al cuadrado y multiplicando (términos y signos):
ca
b
a
aby
24
2
2
2
Aplicando leyes de los exponentes:
ca
b
a
by
24
22
Sumando y restando:
…………………… ( 2 )
Esta fórmula ( 2 ) corresponde a la coordenada y.
Por lo tanto las coordenadas del máximo (o mínimo) son:
117
a
bac
a
b
4
4;
2
2
Abra una nueva hoja Excel:
Escriba los datos a continuación:
En la celda C4, ponga la fórmula =D4-5, y un número en D4, ponga una barra de
desplazamiento, con una vinculación con la celda C4, mínimo de 0, máximo 10.
En la celda C5, ponga la fórmula =D5-40, y un número en D5, ponga una barra de
desplazamiento, con una vinculación con la celda C5, mínimo de 0, máximo 100.
En la celda C6, ponga un número, ponga una barra de desplazamiento, vinculándola con
ésta, con un mínimo 0, máximo 100.
Haz una tabulación desde -10 < x < + 10, y con la fórmula para la parábola: en la celda B9,
=$C$4*A9^2+$C$5*A9+$C$6, cópiala y pégala hasta +10 (B49):
Grafica con el asistente para gráficos, Dispersión:
118
Modifique la gráfica, dándole clic botón derecho, en ésta: Formato área de Trazado, haga
los cambios que desee.
De nuevo en el eje x, clic botón derecho, en Escala, Mínimo = - 10, Máximo = + 10. en el
eje y, en Escala, Mínimo = - 20, Máximo = + 20.
Clic derecho en la curva, Formato de Serie de Datos…, Tramas, Grosor, Mediano. Otra vez
en la curva, en Agregar Línea de Tendencia, Tipo Polinomial, Orden 2, en la carpeta
Opciones, clic en Presentar Ecuación en el Gráfico. Aceptar.
Para saber si la parábola tiene un máximo o mínimo, en la celda G4 escriba: LA
PRÁBOLA.
En la celda G5, escriba la fórmula: =SI(C4=0,"Es una RECTA",SI(C4>0,"tiene un mínimo
y su","tiene un máximo y su")).
En la celda G6, escriba Y SUS COORDENADAS SON:
En la celda P4 escriba: =-($C$5)/(2*$C$4). En P5 escriba: =(4*C4*C6-(C5*C5))/(4*C4).
Las coordenadas son:
PRÁCTICA 44
GRÁFICA DE DOS FUNCIONES
119
“INTERSECCIÓN DE DOS CURVAS”
44. GRAFIQUE UNA RECTA Y UNA PARÁBOLA, ADEMÁS CALCULE LOS
PUNTOS DE INTERSECCIÓN EN LA HOJA EXCEL.
Si tenemos dos curvas, que se cruzan en el espacio Cartesiano, sus fórmulas son:
Para encontrar el lugar de intersección, procedemos a usar el método de igualación:
22
2
211 cxbxabxa
Despejamos:
01122
2
2 bxacxbxa
Sumamos términos semejantes y agrupamos:
0)()( 1212
2
2 bcxabxa
Factorizamos, usando la fórmula general para una ecuación cuadrática, intersección en el
eje x:
2
122
2
1212
2,12
)(4)()(
a
bcaababx
Intersección en el eje y, se encuentra sustituyendo en la recta (por ser más fácil de
encontrar).
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja (Hoja 2) de cálculo Excel. Anote los valores de los coeficientes de las
curvas (recta y parábola).
11 bxay
22
2
2 cxbxay
120
En la celda K10 ponga la siguiente fórmula, para simplificar: =I8-I3, además en K11: =I9-
I4.
En la celda H18 la fórmula es: =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"NO HAY
INTERSECCIÓN","HAY INTERSECCIÓN EN"), vea que las raíces de la fórmula general
no deben ser negativas.
En la celda H20 la primera raíz es: =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"",(-
K10+RAIZ(K10*K10-(4*I7*K11)))/(2*I7)). Este valor corresponde a la proyección en el
eje x.
La segunda raíz (intersección entre las dos curvas): =SI((K10*K10-(4*I7*K11))<0,"",(-
K10-RAIZ(K10*K10-(4*I7*K11)))/(2*I7)). Este segundo valor corresponde a la
proyección en el eje x.
La proyección en y, que corresponde a la primera raíz; en la celda I20, =SI((K10*K10-
(4*I7*K11))<0,"",I3*H20+I4).
La proyección en y, que corresponde a la segunda raíz; en la celda I22, =SI((K10*K10-
(4*I7*K11))<0,"",I3*H22+I4).
La presentación es:
121
EJERCICIOS:
Grafique e indique los puntos donde se intersectan, cuando suceden los casos de:
a) Una recta y un círculo con centro en el origen.
b) Una recta y una función: dcxbxaxy 23
c) Invente otros ejemplos y experimente sus resultados.
PRÁCTICA 45
“PENDIENTE DE UNA RECTA” I
45. CALCULE LA PENDIENTE DE UNA RECTA EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: crear gráficas con las variantes de comportamiento de una recta como son la
pendiente (o grado de inclinación) y su intersección con el eje y, usando fórmulas y hoja de
cálculo Excel.
Orden de los pasos:
La fórmula para estimar la pendiente se entiende como la distancia vertical dividida por la
distancia horizontal entre dos puntos cualesquiera de la recta, es decir, es la tasa de cambio
a lo largo de la línea de regresión9.
La sintaxis ortográfica de esta fórmula es:
PENDIENTE(conocido_y;conocido_x)
Conocido_y: es una matriz o rango de celdas de puntos de datos numéricos dependientes.
Conocido_x: es el conjunto de puntos de datos independientes.
Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan
números. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas
vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor
cero. Si los argumentos conocido_y y conocido_x están vacíos o contienen un número
diferente de puntos de datos, PENDIENTE devuelve el valor de error #N/A.
INTERSECCIÓN CON EL EJE y
La función INTERSECCION.EJE calcula el punto en el que una línea intersecará el eje y
utilizando los valores X e Y existentes. Se basa en el mejor ajuste de la línea de regresión
trazado con los valores X y los valores Y.
9 Vea Menú ? (ayuda), de la hoja de cálculo Excel.
122
La sintaxis ortográfica matemática para la hoja Excel:
INTERSECCION.EJE(conocido_y;conocido_x)
Conocido_y: es el conjunto de observaciones o datos dependientes.
Conocido_x: es el conjunto de observaciones o datos independientes.
Los argumentos deben ser números o nombres, matrices o referencias que contengan
números. Si el argumento matricial o de referencia contiene texto, valores lógicos o celdas
vacías, estos valores se pasan por alto; sin embargo, se incluirán las celdas con el valor
cero. Si los argumentos conocido_y y conocido_x contienen un número diferente de puntos
de datos o no contienen ninguno, INTERSECCION.EJE devuelve el valor de error #N/A.
Abra una nueva hoja Excel.
Tabula una recta y = x +1, desde - 5 < x < + 5, en la columna A. en la columna B6 la
fórmula =A6+1, cópiela y pégala hasta B16.
En la celda F9 ponga la fórmula de la pendiente: =PENDIENTE(B6:B16,A6:A16). En la
celda F11 la fórmula de la intersección con el eje:
=INTERSECCION.EJE(B6:B16,A6:A16).
Para graficar seleccione desde A6:B16, vaya a Asistente para Gráficos, elija Dispersión,
dispersión con líneas suavizadas…
Este es como ejemplo, por eso no hay variación. Por eso el siguiente nos da una visión del
comportamiento de una recta al variar su pendiente:
123
PRÁCTICA 46
“PENDIENTE DE UNA RECTA” II
46. CALCULE LA PENDIENTE DE LA GRÁFICA EN UNA SERIE DE DATOS
OBTENIDOS EN UNA PRUEBA DE FATIGA A UNA BARRA DE ACERO.
En una serie de pruebas a una probeta de acero, se hacen las siguientes anotaciones:
Grafíquelas usando el Asistente para Gráficos + Dispersión.
RESISTENCIA DE MATERIALES
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
DEFORMACIÓN (ε)
ES
FU
ER
ZO
(σ
)
124
Como observas, hay una línea desde 0 hasta 4 en la deformación, calculamos su pendiente:
en la celda F25, la fórmula =PENDIENTE(B6:B21,A6:A21), calcula su pendiente.
PRÁCTICA 47
PENDIENTE DE UNA RECTA III
47. PARA UNA SERIE DE TABULACIONES EN x E y, CORRESPONDIENTE A
UNA RECTA, CALCULE LA PENDIENTE, LUEGO ENCUENTRE LA ECUACIÓN
PARTICULAR DE ESTA TABULACIÓN, AL FINAL VARÍE LA PENDIENTE Y EL
PUNTO DE INTERSECCIÓN CON EL EJE y USANDO BARRA DE
DESPLAZAMIENTO.
Abra una nueva Hoja, entonces tabula en x e y. Toma el intervalo -19 < x < + 19, -25
< y < +13, en incrementos de 1.
En F12 abra una Barra de Deslizamiento, en incrementos de 1, valor máximo 100.
125
En F11 pon la fórmula =(F12-50)/10, para cambiar los valores de la gráfica, ya que
tabularemos otra columna: por ejemplo en D.
En la celda D4 la fórmula es: =C4*$F$11, cópiala y pégala hasta D42, haz los cambios
para comprobar los cambios.
Con el Asistente para Gráficos, seleccione Dispersión, …
En el área de el eje x, clic botón derecho, Formato de ejes…, seleccione la escala mínimo -
19, máximo 19. Haga lo mismo para el eje y, con un mínimo de -30 y máximo de 30.
Haga los cambios para presentar la gráfica apropiadamente.
Para calcular la pendiente, haga lo siguiente.
En la celda I23, la fórmula =PENDIENTE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42), no resulta en un
valor que nos convenza:
Ya que desde un principio asignamos una pendiente en F11, esta fórmula la multiplicamos
por F11. =PENDIENTE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42)*F11.
Para calcula la intersección con el eje y, la fórmula apropiada es con los valores de la
columnas B y C. En la celda I24 la fórmula es: =SI($D$4:$D$42=0,"recta colineal con el
eje x",INTERSECCION.EJE($C$4:$C$42,$B$4:$B$42)*F11).
Agregue una Línea de Tendencia.
La gráfica final queda como sigue:
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
-30 -20 -10 0 10 20 30 Serie1
126
PRÁCTICA 48
PRODUCTOS NOTABLES10
48. EFECTÚE LA OPERACIÓN DE UN BINOMIO AL CUADRADO MEDIANTE
PRODUCTOS NOTABLES EN LA HOJA EXCEL.
Objetivo: escribir fórmulas algebraicas con la hoja de cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel. Use la función CONCATENAR, para escribir fórmulas
algebraicas.
La función CONCATENAR: Concatena o une argumentos de texto.
Sintaxis: =CONCATENAR (texto1;texto2; ...)
Texto1, texto2, ... hasta 30 elementos de texto que se unirán en un elemento de texto
único. Los elementos de texto pueden ser cadenas de texto, números o referencias a celdas
únicas. Puede utilizar el operador "&" en lugar de CONCATENAR para unir elementos de
texto.
Escriba las siguientes fórmulas para productos notables en una hoja Excel.
10
http://homepage.cem.itesm.mx/lgomez/
127
65423324566
65423324566
543223455
543223455
4322344
4322344
22233
22233
222
222
61520156)(
61520156)(
510105)(
510105)(
464)(
464)(
33)(
33)(
2)(
2)(
yxyyxyxyxyxxyx
yxyyxyxyxyxxyx
yxyyxyxyxxyx
yxyyxyxyxxyx
yxyyxyxxyx
yxyyxyxxyx
yxyyxxyx
yxyyxxyx
yxyxyx
yxyxyx
Las series de Fourier sintetizan los productos notables en una fórmula general:
Si n = 1, 2, 3, … entonces:
nnnnnn yxnnn
yxnn
ynxxyx
...!3
)2)(1(
!2
)1()( 3221
Es así como en la hoja Excel, se hará el primer caso, el cuadrado de la suma de dos
términos:
En la celda D32 escribe el valor del primer término, en D33 el segundo valor.
En B37, escribe ( ax + by )²= .
En la celda C37, escribe:
=CONCATENAR(C32^2,"x²+(",2*C32*C33,")xy+(",C33^2,")y²")
EJERCICIOS:
Realice para los demás casos de productos notables, descritos arriba, experimente y analice
sus resultados.
128
PRÁCTICA 49
CÍRCULO
(Con coordenadas rectangulares y polares)
49. GRAFIQUE UN CÍRCULO CON CENTRO EN EL ORIGEN, EN COORDENADAS
RECTANGULARES Y OTRO EN POLARES.
Objetivo: Relacionar las coordenadas Cartesianas con las Polares, usando la Hoja de
Cálculo Excel.
Orden de los pasos:
Un círculo unitario con centro en el origen, se define como:
222 yxr
Y sus coordenadas, si tomamos en cuenta el Teorema de Pitágoras, y por trigonometría
básica:
cosx ; seny
Además, también la fórmula puede ser:
22 xry
Para un valor de x, tiene dos valores válidos en y.
CÍRCULO I
(Con coordenadas rectangulares y polares)
49. a. GRÁFICA DEL CÍRCULO EN COORDENADAS RECTANGULARES.
Abra una nueva Hoja Excel, haga la tabulación desde -1 < x < +1, con un radio 1.
En la celda J11, escriba 1, vincúlelo con una barra de desplazamiento con un mínimo de 1
y un máximo de 10.
129
La fórmula de un círculo con centro en el origen es:
222 yxr
La despejamos para y:
22 xry
El círculo es unitario, por lo que la tabulación será desde -1 < x < +1, para ello vaya a
Edición, Rellenar, Series…, con un incremento de 0.01, como ve el valor de y, tienen dos
valores, uno positivo y otro negativo, lo que serán realmente dos tabulaciones.
Valores positivos:
En la celda B7, escriba =RAIZ($J$12-A7*A7), cópiela y péguela hasta x = +1,
Valores negativos:
En la celda E7, escriba =(-1)*RAIZ($J$12-D7*D7), cópiela y péguela hasta x= +1.
Secciónalos y con Asistente para Gráficos, Dispersión,…
130
Clic en le gráfico, y con el Formato del área de trazado, Opciones de gráfico, Formato de
líneas de división…, Formato de serie de datos, modifica para que quede así:
CÍRCULO II
(Con coordenadas rectangulares y polares)
49. b. GRÁFICA DEL CÍRCULO CON CENTRO EN ORIGEN EN COORDENADAS
POLARES.
En una nueva Hoja Excel:
En esta parte iniciaremos con las fórmulas trigonométricas, vistas arriba, tanto la
proyección en x, como en y.
131
Tabulamos en la celda A4 desde 0º < t < 360 º, luego cambiamos a Radianes, en la celda
B4, con la fórmula =RADIANES(A4), cópiala y pégala hasta 360 º.
Para tabular la proyección en x, escribimos =COS(B4), copiamos y pegamos hasta 360 º
Bien, para tabula eje y, escribe =SENO(B4), cópiala y pégala hasta 360º,
Selecciona los ejes x e y, usa el Asistente para gráficos, Dispersión…,
132
EJERCICIO: el problema anterior, es cuando el círculo unitario, haga los cambios
necesarios para ver los cambios cuando cambia de valor el radio.
CÍRCULO III
(Con coordenadas rectangulares y polares)
49. c. MODIFIQUE EL PROCEDIMIENTO PARA GRAFICAR EL CÍRCULO EN
COORDENADAS RECTANGULARES, PARA DIFERENTES VALORES DEL RADIO.
Si vemos con cuidado la primera parte de estos ejemplos, vemos que si aumentamos el
valor del radio sucede esto:
133
Esto es debido a que la tabulación no cambia, es decir sigue siendo desde -1 hasta +1.
Para poder cambiar el valor de la tabulación en función del cambio del valor del radio,
hacemos esto:
En una nueva hoja Excel: en la celda D4, escribimos el valor del radio, 15, por ejemplo,
luego en la celda D5, la elevamos al cuadrado: =D4*D4.
Luego en la celda A8 escribimos =(-1)*D4, para iniciar la tabulación, para cambiar el
incremento de cambio en el valor del intervalo, en D5 la fórmula = D4*D4; la fórmula en
la celda B8 es =(-1)*A8/100, ya que los cambios son en decimales.
Para el primer círculo, con los valores positivos de la fórmula, en la celda D8, escribe =A8.
en D8 escribe =D8+$B$8, cópiala y pégala hasta la celda D208.
.
Para el segundo círculo, con los valores negativos de la fórmula, en la celda G8, escribe
=A8. en G9 escribe =G8+$B$8, cópiala y pégala hasta la celda G207.
Para el primer círculo, en los valores de y, en la celda E8, escribe =RAIZ($D$5-D8*D8),
cópiala y pégala hasta E208; el segundo círculo es desde H8 con la fórmula =(-
1)*RAIZ($D$5-G8*G8), cópiala y pégala, hasta H208.
Grafícala con el asistente para gráficos. Primero selecciona para el primer círculo,
134
Clic derecho en el área de gráfico, en Datos de origen agrega la otra tabulación:
ejercicios:
Haga la hoja Excel, cuando el círculo tiene la siguiente fórmula:
a) cbyax 22
b) 222 )()( rkyhx
c) 022 FEyDxyx
PRÁCTICA 50
CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN
50. GRAFIQUE UN CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN EN LA HOJA DE CÁLCULO.
Objetivo: usar la Hoja Excel, para experimentar el comportamiento del círculo en
coordenadas Cartesianas.
Introducción: el círculo fuera el origen, en el punto C ( h , k ) y radio r, tiene como
ecuación general:
222 )()( rkyhx
135
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel, anote los valores de los coeficientes h, k y r.
Asigne un Nombre a cada coeficiente, clic en la celda D6, luego en Menú, Insertar,
Nombre, Definir Nombre,… y escoge h. a continuación Aceptar.
Haz lo mismo para las demás (k, r).
Ahora, para tabular tendrás que definir los límites, es decir de donde a dónde, graficarás,
esto se logra calculando los límites del círculo:
136
El límite inferior: en la celda A12, escribe = h – r:
El límite superior, en la celda A15: = h + r:
Establece el número de puntos a graficar: 200, entonces: en la celda A17, escribe la
Diferencia: Δx = A12 – A15.
Define el número de celdas (o puntos) para graficar: 200, escribe en la celda B12 la
fórmula =ABS(Δx/200)
Verifica tus primeros resultados tabulando en la celda D12 escribiendo = A12, luego en la
celda A13 escribe =D12+$B$12. cópiala y pégala hasta D212. si notas son los valores de x.
Verifica tus límites si corresponde con lo calculado.
Ahora tabularemos los valores de y, pero como el despeje de la ecuación general del
círculo involucra a dos signos o valores; en la columna E, las fórmulas serán cuando la raíz
cuadrada es positiva; en celda E12, escribe =RAIZ(r*r-((D12-h)*(D12-h)))+k, cópiala y
137
pégala hasta E212. en la columna F las fórmulas involucran a los valores negativos, por lo
que en la celda E12 la fórmula es: =(-1)*RAIZ(r*r-((D12-h)*(D12-h)))+k; cópiala y pégala
hasta F212.
Selecciona estas tres columnas (D, E, F) y con el Asistente para Gráficos:
Para graficar el centro del Círculo, clic botón derecho en el gráfico, Datos de Origen…
Clic en la carpeta Serie, Agregar, escribe en Valores de X: =Hoja1!$D$6, en los Valores de
Y: =Hoja1!$D$7.
138
Nota. Si tu Círculo aparece así, en tus experimentos.
Es porque el último resultado da un número demasiado pequeño y Excel no puede
representarlo, para corregirlo, sólo escriba la fórmula siguiente: en celda D212,
=REDONDEAR(D211+$B$12,0).
Haz los cambios necesarios para que tu gráfico quede así.
139
PRÁCTICA 51
INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA Y UN CÍRCULO
51. EXPERIMENTA EN LA HOJA DE CÁLCULO EL COMPORTAMIENTO ENTRE
UNA RECTA Y UN CÍRCULO.
Objetivo: comprender el comportamiento entre una recta y un círculo en el plano
Cartesiano, usando la hoja Excel.
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel, y anote lo siguiente:
Bien, ahora defina nombres a cada coeficiente, usando Insertar, Nombre, Definir
Nombre,…
Elija h, para la celda D6, y así sucesivamente para los otros coeficientes
Grafique un círculo como en la Práctica “CÍRCULO FUERA DEL ORIGEN”.
140
Ahora tabule una Recta: inicie valores de x, en la celda H12, desde – 10 < x < + 10. los
valores de y, inicie en la celda I12 escribiendo =(c_-a*H12)/b, cópiela y pégala hasta la
celda I32.
Ya que está graficado el Círculo, de clic con el botón derecho en la gráfica, elija Datos de
origen, Series, …
De en Agregar, para graficar la Recta, en X: escriba =Hoja1!$H$12:$H$32; en Y: escriba
además =Hoja1!$I$12:$I$32, de en Aceptar.
Queda una gráfica así:
Ejercicio:
Encuentre la fórmula general para encontrar la intersección, también cuando no lo hay, y
los puntos de intersección como pares ordenados.
141
Ejercicio: cambie la fórmula de la recta por esta: baxy , ¿cómo es la hoja de Excel?,
haga los cambios y experimente
PRÁCTICA 52
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
“COSENO”
52. ANALIZE EL COMPORTAMIENTO DEL CÍRCULO UNITARIO CUANDO ES LA
FUNCIÓN COSENO.
Objetivo: analizar el comportamiento de las funciones trigonométricas, usando la Hoja de
cálculo Excel.
Orden de los pasos:
142
Abra una nueva Hoja Excel, haga una tabulación, en la columna A (4:363), de 0 hasta 360
grados.
Cambie los Grados a Radianes, en celda B4, =RADIANES(A4), cópiala y pégala hasta
B363.
Graficar la proyección en el eje X, con el coseno.
Para el eje Y, con el seno del ángulo,
Seleccionamos toda la tabulación para graficar el círculo, en Dispersión clic, en líneas
suavizadas:
En el área de trazado, clic con el botón derecho, seleccionamos formato de área de trazado,
color blanco y área blanca aceptar.
143
En el grafico clic en las divisiones principales, seleccionamos el color con líneas punteadas.
Para dar animación en F4, ponemos la formula =COS(F6), en G4 la formula =SENO(F6),
ahora para introducir una barra de desplazamiento en F5 ponemos el valor 0, en F6, la
fórmula =RADIANES(F5). Esto es para cambiar a diferentes valores del ángulo en el
círculo que trazamos.
Para agregar este punto en el círculo en la grafica dibujada damos con el botón derecho del
Mouse, en datos de origen damos clic.
En agregar serie ponemos los valores de X e Y, clic en aceptar. Ahora en Barra de Menú,
Insertar, Columna.
PARA TRAZAR
ESTE PUNTO
144
Para la barra de desplazamiento. En Ver,
Se muestra la barra de desplazamiento:
Escógela y luego con el botón derecho del Mouse, clic en formato de control:
Vincula con la celda $G$5, luego
en valor máximo a 360 grados
a continuación aceptar.
En G5 pones cero (0), para vincular los grados, en la celda G6 la fórmula
=RADIANES(G5).
145
Para poner el punto agrega otra serie dándole en la grafica clic derecho, te vas a datos de
origen y agregas los valores de x e y (=Hoja1!$G$4 y la formula =Hoja1!$H$4 tal y
como esta en la figura luego Aceptar.
Para que el punto interactivo se vea tenemos que elegir un color en formato, además del
círculo. El cual queda así.
En las celdas L2 y L3 pon cero, en M2 escribe =G4, en M3 pon = H4.
En celda G19 pon cero, en G20 cero; en H19 = G4; en H20 escribe cero.
En la celda G22 pon = G4, en G23 cero; en H22 la fórmula =G4, en H23 es = H4.
Da clic en la Gráfica, Datos de Origen, Series.
146
Agrega las siguientes Series:
Para agregar la serie tres en equis =Hoja1!$L$2:$M$2 , en y =Hoja1!$L$3:$M$3.
Para agregar la serie cuatro en valor equis =Hoja1!$G$19:$H$19 en y
=Hoja1!$G$20:$H$20.
La serie cinco en equis =Hoja1!$G$22:$H$22 en y =Hoja1!$G$23:$H$23.
Listo ya tienes tu hoja interactiva.
Como son líneas, cambie los colores para dar más efecto, al triángulo unitario.
Para graficar el comportamiento como Onda Cosenoidal, tabulamos de nueva cuenta:
En la celda J6, de Edición, da en Rellenar, luego Series desde cero grados hasta 360°,
después en la otra columna, cambiar grados a radianes como sigue:
Copie hasta 360 grados y péguelo.
En la siguiente columna para tener el punto en el eje y, con el coseno del ángulo:
147
Pero para graficar con movimiento, se hace un “truco”, no tomaremos en cuenta la columna
tabulada, es decir generamos otra columna con un valor por arriba del grafico, y solo
mostramos los valores del círculo unitario, para ello necesitamos otra columna, pero con la
siguiente fórmula: =SI(J6<=$G$5;L6;20) copiar y pegar a las demás celdas hasta 360
grados.
Note lo siguiente:
La gráfica real se grafica, pero si en el formato de la escala y, se opta por hacer que la
escala sea sin cambios, dando clic en el eje y, con el botón derecho, optamos por formato
de ejes y seleccionando en escala, mínimo -1.6 y máximo + 1.6.
De clic en la Barra de desplazamiento, de en Cortar,
En la celda F32, escriba “ÁNGULO”; en H32, “COSENO DEL ÁNGULO”.
En la celda F33, escriba =G5, en H33 es =COS(G6).
De clic en la Barra de desplazamiento, clic Cortar, en Barra de Menú, Ver, Barra de
Herramientas, Cuadro de Controles:
148
Clic Modo diseño, Barra de Desplazamiento, clic Propiedades, carpeta Por Categorías: en
Max escribe 360, en Min escribe 0, en LinkedCell escribe G5, sal del Modo Diseño,
dándole clic ahí.
Ejercicios: Haga los procedimientos para las funciones SENO Y TANGENTE DEL
ÁNGULO.
PRÁCTICA 53
SISTEMAS DE ECUACIONES DOS X DOS
53. EN LA INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS, ¿CUÁL ES SU INTERSECCIÓN,
PENDIENTES Y ÁNGULO ENTRE ELLAS?
Objetivo: usar la hoja Excel, para resolver ecuaciones de dos x dos, usando fórmulas
tradicionales.
Introducción: un sistema de ecuaciones dos x dos, tiene las siguientes ecuaciones:
Para encontrar su intersección, usando el método de igualación:
ax by c
dx ey f
149
bdae
bfecx
;
b
axcy
Donde las pendientes de cada recta son:
b
am 1 ;
e
dm 2
El ángulo de una recta con respecto el eje x, se encuentra con la fórmula:
)arctan(m
Para saber si entre las rectas existe un ángulo recto aplique esta:
2
1
1
mm
Orden de los pasos:
Anote los datos como a continuación se presenta, en una nueva hoja Excel.
Ya que cada coeficiente tiene un valor y una letra, nómbrelos cada una usando, en Menú,
Insertar, Nombre, Definir Nombre,… por ejemplo con el coeficiente a:
150
Así hágalo para los demás coeficientes.
Use el método de Igualación para encontrar, el valor de la intersección x e y.
En la celda C21, escriba =SI(Y(a/b=d/e,c_/b=f_/e),"SON
COLINEALES",SI(a/b=d/e,"SON PARALELAS",(e*c_-b*f_)/(a*e-b*d))).
Ahora en la celda D21, escribe =SI(Y(a/b=d/e,c_/b=f_/e),"SON
COLINEALES",SI(a/b=d/e,"SON PARALELAS",(c_-a*C21)/b)).
Por definición: la Recta es la unión (o distancia) de dos puntos como mínimo.
Para graficar las dos rectas: en la celda C26 escriba 15, en D26, escriba – 15.
Primera recta: En C26, escribe =(c_-a*C26)/F12, en D26 es =(c_-a*D26)/b;
Segunda recta: En C27 es =(f_-d*C26)/e, en D27 es =(f_-d*D26)/e.
Vea que los límites para las dos rectas es – 15 < x < + 15.
Seleccione desde C26:D27, luego Asistente para Gráficos, para la primera recta, luego
agregue la segunda recta para graficarlas.
151
Haga los cambios para presentar su gráfico.
En D30 escriba =-a/b, y asigne el nombre m´,
En D31 escriba =-d/e, y asigne el nombre m´´.
Para encontrar el ángulo de cada recta, haga una tabulación:
Primer ángulo recta #1 en la celda J27 y escriba
=ABS(SI(m´>0,GRADOS(ATAN(m´)),(180-ABS(GRADOS(ATAN(m´)))))). Asígnele un
nombre.
Segundo ángulo recta #2 en la celda J28 escriba
=ABS(SI(m´´>0,GRADOS(ATAN(m´´)),180-ABS(GRADOS(ATAN(m´´))))). Póngale un
nombre.
En M21 el ángulo entre las rectas se encuentra con =ABS(Θ´´-Θ´)
En K21 escriba la fórmula =SI((a/b)=-1/(d/e),"SON PERPENDICULARES",""), para
encontrar si hay perpendicularidad o no entre rectas.
152
EJERCICIOS:
a). Encuentre la recta perpendicular a las siguientes rectas:
a) y = 3x -1
b) y = 5/2x + 3
c) y = 0.452X – 5
b). Cambie las fórmulas que se usaron en este ejercicio por estas:
PRÁCTICA 54
FUNCIÓN EXPLICITA
54. EN UNA RECTA: y = mx + b, VARÍE LA PENDIENTE (m) Y LA INTERSECCIÓN
CON y (b), USANDO BARRAS DE DESPLAZAMIENTO.
Objetivo: graficar funciones explicitas usando la hoja Excel.
Orden de los pasos:
Una función explicita muy general es la recta:
bmxy
Donde m es la pendiente y b el punto por donde pasa la recta cuando x = 0.
dcxy
baxy
153
Anota una función explicita como a continuación se muestra:
Recuerda que puedes escribir como se encuentra ya que en algunas celdas son fórmulas y
en otras no.
Ahora en las celdas B4 y F4, escribe un número en cada una de ellas.
Abre un cuadro de formularios para que selecciones dos Barras de Desplazamiento, una
para vincularla con C3 y otra para F4.
Para C3 escribe =C4-10, abra la Barra de Desplazamiento, vincúlala con la celda C4 con un
mínimo de 0 y un máximo de 60.
En la celda F3 escribe =F4-10, abra una Barra de desplzamiento, línkala con F4 con un
mínimo de 0 y un máximo de 30.
Haz una tabulación en x, la celda H6 escribe -10, en H7 escribe ahora = H6 + 0.1, cópiala y
pégala hasta la celda H230.
En la columna I, para los valores de y, celda I6 escribe =$C$3*H6+$F$3, cópiala y pégala
hasta la celda I230.
Selecciona las dos columnas H e I. con el Asistente para Gráficos, Dispersión…
154
Da clic con el botón derecho del Mouse, en la Línea de la recta. Selecciona Agregar Línea
de Tendencia, en la carpeta Tipo, Lineal; en carpeta Opciones, clic en Presentar Ecuación
en Gráfico.
Cambie la escala, líneas, etc., para presentarla apropiadamente o su gusto.
Ejercicios: haga las gráficas en hojas de cálculo para las funciones explícitas siguientes:
a) x
baxy 3
155
b) 22 xaa
by
c) )90( xseny
PRÁCTICA 55
FUNCIÓN EXPLÍCITA
CONTINUACIÓN
55. EN UNA RECTA ENCUENTRE LAS PROYECCIONES DE X E Y,
EXPERIMENTE PARA DIFERENTES VALORES CON BARRA DE
DESPLAZAMIENTO.
Después de tabular una recta cualquiera, en otra celda ligue un valor de x, luego en otra el
valor correspondiente de y, que es 0, primer punto. Luego el valor de x, reescríbelo en otra
celda, y calcula el valor correspondiente en y, escríbelo en otra celda, segundo punto. Para
el tercer punto, el valor de x, es 0; el valor de y, es el valor calculado en el segundo punto.
Para dar la apariencia de proyección une estos puntos en la gráfica.
Para la línea de proyección eje x y eje y, elija dispersión, Dispersión con puntos de Datos
conectados por líneas:
Queda la gráfica así:
156
Seleccionamos esas proyecciones, clic con botín derecho, Formato de Serie de Datos…
Selecciona líneas discontinuas
Cada punto cambie su color para distinguirlos haciendo el mismo procedimiento que el las
líneas discontinuas.
PRÁCTICA 56
ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN
56. ¿COMO SE GRAFICARÁ UNA PARÁBOLA FUERA DEL ORIGEN EN LA HOJA
EXCEL, USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO?
157
hxpky 42
kyphx 42
esta parabola tiene por ecuación:
1. Cuando tiene vértice (h,k), y su eje paralelo al eje x:
Ecuación (1)
2. Cuando tiene vértice en (h,k), y su eje paralelo al eje y:
Ecuación (2)
3. Si despejamos de la fórmula dos tenemos:
khxp
y 2
4
1 Ecuación (3)
El Foco se localiza en el punto F ( h , k + p )
La Directriz es la recta y = k – p
Empleando álgebra deducimos de la ecuación tres, que la fórmula general para la parábola
es:
Abra un nuevo documento Excel:
k
p
hx
p
hx
py
424
1 22
158
Tabulamos desde -20 hasta + 20, con Edición, Rellenar, clic en columnas límite 20,
aceptar.
Ahora ponemos la fórmula: =(1/(4*($C$17))*(P9-$C$13)*(P9-$C$13)+$C$14), copiamos
y pegamos para las demás celdas.
Para tabular la gráfica dispersión aceptar:
Graficamos eligiendo Dispersión, con líneas suavizadas y sin marcadores de datos:
En C23, ponga la fórmula = D23 – 20, y en D23 algún número.
En C24, fórmula = D24 – 20 y en D24 algún número
En C27, Fórmula = D27 – 20 y D27 algún número.
Para cada una de las celdas (C23, C24 y C27), ligue dos barras de desplazamiento
159
Para el foco clic en la gráfica, con el botón derecho elegimos Datos de origen, en la opción
Serie clic en Agregar, para poner el punto. En el eje x pon la fórmula =Hoja3!$H$23, en el
eje y la fórmula =Hoja3!$H$24, dale Aceptar.
Agregue datos en la columna R, la fórmula = $H$27.
Para dibujar la directriz igualmente vaya a la grafica con el botón derecho la opción Datos
de Origen y en agregar serie, en los valores de x ponga: =Hoja3!$P$9:$P$49, y en los
valores de y: =Hoja3!$R$9:$R$49, a continuación aceptar.
Para poner la fórmula de la fórmula general es.
En K23 la fórmula es: =1/(4*(C27))
En M23 la fórmula: =SI(N26<0;"-";"+"), y en N26: =((-1)*(C23))/(2*(C27))
En N23 la fórmula: =ABS(N26) y en N26: =((-1)*(C23))/(2*(C27))
En P23 La fórmula: =SI(R26<0;"-";"+"), y en R26: =Q26+C24, en Q26:
=(C23*C23)/(4*(C27))
Por último en Q23: =R26
160
PRACTICA 57
ECUACION GENERAL DE LA PARÁBOLA
57. ¿CÓMO GRAFICARÍAS UNA PARÁBOLA CON CENTRO EN ( 0 , p ), LA
DIRECTRIZ Y SU FOCO, VARIANDO SUS VALORES?
La ecuación general de una parabola en el origen ( 0 , p ) es:
Donde: ( 0 , p ) son las coordenadas del foco con directriz en el eje y = - p .
Objetivo: conocer como cambia una parábola cuando tiene diferente valor el coeficiente 4
p.
Pasos:
Abre un nuevo documento Excel,
Asignamos el valor de p con la fórmula =d5/10-5, para luego vincular con una barra de
desplazamiento, esto para tener valores positivos y negativos.
Luego calculamos mediante tabulación: desde -10 hasta +10 en la columna x:
pyx 42
161
Note que en la columna y se introduce la fórmula: =(A8*A8)/(4*$C$5), para el primer
valor, copie para los demás valores de x, en la columna de la directriz escriba:
=$C$5 -2* $C$5
Vincula la celda d5, con una barra de desplazamiento.
Por último pon las coordenadas del foco, directriz y ecuación de la parábola como la vemos
comúnmente, como a continuación.
162
prueba para diferentes valores.
PRÁCTICA 58
GRAFICA DE FUNCIONES POLARES CON ANIMACIÓN
ANIMACIÓN 1
58.a. HAGA QUE UNA GRÁFICA VAYA APARECIENDO A MEDIDA QUE VARÍEN
LOS VALORES EN LA TABULACIÓN USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO.
Orden de los pasos:
Abra una nueva hoja Excel, y anote los siguiente:
Edición rellenar desde 1 hasta 369 grados
En la siguiente columna poner la fórmula=RADIANES(A15), en la que sigue columna del
radio =$C$9*($C$10-SENO($C$11*B15)), en la columna del eje x =C15*COS(B15), EN
ELE EJEY =C15*SENO(B15)
163
Elije la gráfica que sigue.
Haz lo necesario para que quede así:
En otra hoja de cálculo se hace lo siguiente: Para el nuevo trazo es desde 0 hasta 360
puntos:
Para el nuevo eje y:
Abre una nueva columna de grados desde 0 hasta 360, Luego has los respectivo con los
ejes x e y.
Para el nuevo punto x la fórmula queda así:
=SI($A10<=$C$5,INTRODUCCIÓN!D15,B9), copia y pega hasta 360, en esa misma
columna,
164
Para el nuevo eje y la fórmula queda así: =SI($A10<=$C$5,INTRODUCCIÓN!E15,C9)
copia y pega de igual manera que el anterior.
Seleccione el tipo de grafico de dispersión con líneas suavizadas.
para que quede la otra gráfica hecha vaya a formato de serie de datos con el botón derecho
elija “datos de origen” a continuación agregar lo siguiente; para el eje x
=INTRODUCCIÓN!$D$15:$D$375, para el eje y =INTRODUCCIÓN!$E$15:$E$375.
Luego elija en “tramas” la opción personalizada sin línea suavizada el color que prefiera. Y
el estilo de línea discontinua.
Al final queda así:
ANIMACIÓN II
58.b. HAGA QUE UNA GRÁFICA VAYA APARECIENDO A MEDIDA QUE VARÍEN
LOS VALORES EN LA TABULACIÓN USANDO BARRA DE DESPLAZAMIENTO,
PERO COMO SI FUERA UN VECTOR.
Vuelva a graficar para iniciar una nueva animación
165
Como ya esta la gráfica, necesitamos el vector generador de la curva para esto ponemos las
coordenadas.
En la celda E13 ponemos la fórmula = C6, y en la celda F13 la fórmula que sigue =C7
Para graficarla simplemente de clic con el botón derecho la curva y elija Datos de origen,
Agregar las coordenadas del nuevo vector: Valores de X: ='ANIMACIÓN 2'!$E$12:$E$13,
Valores de Y: ='ANIMACIÓN 2'!$F$12:$F$13
Ahora haga lo necesario para que quede así o bien usted elija la forma de presentación.
166
PRÁCTICA 59
VECTOR
(Usando coordenadas polares)
59. EN LA HOJA EXCEL GRAFIQUE UN VECTOR PERO EN COORDENADAS
POLARES, VARÍE EL VALOR DEL ÁNGULO CON UNA BARRA DE
DESPLAZAMIENTO.
Objetivo: con el uso de las matemáticas y la hoja de cálculo Excel, ver el comportamiento
de los vectores usados en Física.
Orden de los pasos: como ya se vio en la práctica de “Coordenadas Polares”, la aplicación
matemática al estudio de la Física, son los vectores.
En una nueva Hoja Excel, anote los datos que a continuación se sugieren.
167
Los grados en Excel, son leídos tal y como están, pero para calcular una función
trigonométrica es necesario cambiarla a Radianes: en la celda H17, escriba la fórmula
=RADIANES(D14).
Además vincule una Barra de desplazamiento en la celda D14, con un Mínimo de 0, un
Máximo de 360 (de 0 a 360 grados).
En I14 y I15 escriba 0, luego en I14 la fórmula =D13*COS(H17), corresponde a los
valores de x. en I15 si =D13*SENO(H17) son los valores de y.
Use el Asistente para Gráficos para graficar el Vector: sólo que es necesario presentarlo
como tal, use Dispersión, Dispersión con Puntos:
Si da clic en el punto ( 0 , 0 ), para quitar el Formato de Puntos…,
168
Vamos a la Carpeta Tramas, Marcados y clic en Ninguno. Aceptar.
La visualización final es: