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MATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS IIIMATEMÁTICAS III
ECUACIONES DE 2º ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOECUACIONES DE 2º ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOLa FORMA GENERAL de la
ecuación de 2°. grado es:02 cbxax
Sí es una ecuación de 2°. grado
b) 5 3 2 3 3 12 2 2x x x x x 2 4 0x NO
a Coeficiente de x2Nota: a no puede ser igual a cerob Coeficiente de x
c Término independienteUna ecuación es de 2°. grado, si después de simplificada, el mayor exponente de la
variables es 2.
x x x x3 1 6 2 1 a) 3 8 3 02x x
a = 3 b = 8 c = - 3
Si a = 0
entonces no es una ecuación de 2°. gradob = 2 ; c = 4
ECUACIONES INCOMPLETASECUACIONES INCOMPLETAS
Una ecuación de 2º grado puede ser reducida a una expresión
del tipo 0 donde 02 acbxax
* Si b = 0 obtenemos la expresión:
ax c2 0
Se le llama Incompleta Pura porque b = 0
* Si c = 0 obtenemos la expresión: ax bx2 0
Se le llama Incompleta Mixta porque c = 0
RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOEcuaciones Incompletas PurasEcuaciones Incompletas Puras: b=0Ecuaciones Incompletas PurasEcuaciones Incompletas Puras: b=0
Observa el triángulo rectángulo y determina el valor de x.
12 cm
15 cm
X
Por el Teorema de Pitágoras sabemos que:
15 122 2 2 x
225 144 225 144 812 2 2x x x
Es una ecuación incompleta pura porque b b = 0= 0. No existe término en x.Es una ecuación incompleta pura porque b b = 0= 0. No existe término en x.
x x x2 81 81 9 Solución de la ecuación = { -9 , 9}
Respuesta: x es igual a 9, porque el valor del lado no puede ser negativoRespuesta: x es igual a 9, porque el valor del lado no puede ser negativo
Reducir las ecuaciones a expresiones del tipo
Indicar el valor de a , b y c, para determinar su solución.
002 a con cbxax
a) 3 2 1 242x x x x
3 6 24
2 18 0
2 2
2
x x x x
x
1º. Reducir a la forma general
ax bx c2 0
a = 2 ; b = 0 ; c = -18
2 1818
22 2x x
x x x2 9 9 32º. Resolver la ecuación e indicar su solución.
Solución = { - 3 , 3 }
b) 5 2 3 22x x x 1º Reducir a la forma general
ax bx c2 0
10 5 3 2 02x x x
5 15 02x a = 5 ; b = 0 ; c = 15
5 152x
x x2 215
53
2º Resolver la ecuación
Ecuación COMPLEJA, no existe un nº real cuyo cuadrado sea negativo.
x 3
No hay solución en el campo de los números reales
Ecuaciones Incompletas Mixtas:Ecuaciones Incompletas Mixtas: c c =0=0Ecuaciones Incompletas Mixtas:Ecuaciones Incompletas Mixtas: c c =0=0
7 28 02x x a = 7 ; b = 28 ; c = 0
1º Factorizar con respecto a X
x x7 28 0
2º Si el resultado es cero, cualquiera de los factores debe ser cero
02870 x ; x
3º Encontrar las soluciones
728 0 21 xyx
4y 0 21 xx
Solución = { 0, -4 }
Resolver la Resolver la ecuación:ecuación:
a = 2 ; b = 3 ; c = 0
1º Reducir a la forma general
x xx
2
3
3 4
22 3
6262
122
33²6
622
122
33
2
xxx
xxx
2 9 36 12 362x x x
2 3 02x x
x x2 3 0
032 0 21 xxyx
23 0 21 xyx
3º Factorizar con respecto a XX
4º Si el producto es cero, cualquiera de los factores debe ser cero
2° Multiplicar ambos miembros por 6 para eliminar los denominadores
Ecuaciones Ecuaciones CompletasCompletasEcuaciones Ecuaciones CompletasCompletasResolución por la Fórmula
GeneralDada una ecuación del tipo 0 02 aconcbxax
Podemos encontrar sus soluciones, utilizando la siguiente fórmula:
a
cabbx
242
Fórmula General
La expresión que está dentro del radical se le llama DISCRIMINANTE, se representa por:
cab 42
Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación
2 3 02x x a = 2 ; b = 1 ; c = - 3
x1 1 4 2 3
2 2
2
x1 1 24
4
x1 5
4
451
451
21 xyx
1y 23
44y
46
2121 xxxx Soluciones o Raíces
xb b ac
a
2 4
2
Conclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es positivo, la ecuación tiene dos raíces reales y diferentes.
Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación
x x2 3 5 0
x3 3 4 1 5
2 1
2
a = 1 ; b = - 3 ; c = 5
xb b ac
a
2 4
2
x3 9 20
2
x3 11
2
La ecuación no tiene soluciones reales
Conclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es negativo, la ecuación no tiene solución en el campo de los números reales. Sus raíces son complejas.
x
12 0
4
Resolver la Resolver la EcuaciónEcuaciónResolver la Resolver la EcuaciónEcuación
2 28 12 102x x
2 12 18 02x x a = 2 ; b = - 12 ; c = 18
1º Reducir a la forma general
xb b ac
a
2 4
2
x
12 12 4 2 18
2 2
2
x12 144 144
4
4
012 4
01221 xyx 3 3 21 xyx Raíce
s igualesConclusión: Si el DiscriminanteDiscriminante es cero, la ecuación
tiene dos raíces iguales.
APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADOGRADOAPLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º APLICACIÓN DE LAS ECUACIONES DE 2º GRADOGRADODeterminar el perímetro del triángulo
rectángulo.
(2x+1)
cm
(x+3) cm
(3x+2)
cm Por el Teorema de Pitágoras: 3 2 2 1 32 2 2x x x
9 12 4 4 4 1 6 92 2 2x x x x x x
4 2 6 02x x
x
2 2 4 4 6
2 4
2
8
102 8
10221 xyx 1y
23
21 xx
cm 5.22233
X no puede ser 3
2
3 1 2 5 cm 1 3 4 cm
2 1 1 3 cm
Perímetro = 5+3+4 =12 cm
MARZO DE 2002
Ahora hay que poner en práctica
lo aprendid
o