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Analysis
Sucesiones y Límites. El número e. Problemas
OpenUepc.com 1.1.4.1 Ver 01:05/02/2010
NOTA
La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.3.1 correspondiente a
1 SCIENCE
1.1 MATHEMATICS
1.1.4 ANALYSIS
1.1.4.1 SUCESIONES
COPYLEFT
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Miguel Pérez Fontenla miguelperez@edu.xunta.es
INDICE AUTORES
Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla
15/04/2010
+
| 1
CALCULO DE LIMITES
Sucesión Límite
(0.3,0.33,0.333,... ..., 0.33.. ..33,...n 10.3
3=
(0.9,0.99, 0.999,... ..., 0.99.. ..99,...n 0.9 1=
, , ,..., ...k k k k k= limnk k
→∞=
1 1 1 1 11, , , ,....., ,....
2 3 4n n
=
1
lim 0n n→∞
=
, , ,....., ,....1 2 3
k k k k k
n nα α α α α α = ∈
ℕ lim 0n
k
nα→∞=
2 3
1 1 1 1 1, , ,....., ,....
2 2 2 2 2n n
=
1
lim 02nn→∞
=
1 1 1 1 1 1, , , ,......, ,...
1 2 3 4n n
=
1lim 0n n→∞
=
1,2,3,4,...., ,....n n= limnn
→∞= ∞
1 , 2 ,3 ,......, , .... ;n nα α α α α α= ∈ℕ limnnα
→∞= ∞
Cociente polinomios en n( )
( )
P n
Q n
1 11 1 0( ) ...P n a n a n a n aα α
α α−
−= + + + + ' ' 1 1
' ' 1 1 0( ) ...Q n b n b n b n bα αα α
−−= + + + +
, 'α α ∈ℕ
Si grado P(n) = α > grado Q(n) = α’ => ( )
lim( )n
P n
Q n→∞= ∞
Si grado P(n) = α < grado de Q(n) = α’ => ( )
lim 0( )n
P n
Q n→∞=
Si grado P(n) = α = grado de Q(n) = α‘ => ( )
lim( )n
aP n
Q n b
α
α→∞
=
1n n+ − lim 1 0n
n n→∞
+ − =
4
4 3
2 3 1 2lim
5 3 5n
n n
n n→∞
− +=
+ por ser iguales los grados, se dividen los coeficientes principales.
3
4 3
2 3 1lim 0
5 3n
n n
n n→∞
− +=
+ por ser más grande el grado del polinomio del denominador
4
3 2
2 3 1lim
5 3n
n n
n n→∞
− += ∞
+ por ser más grande el grado del polinomio del numerador
3 3
3 3 2
8 3 1 2lim
327 3n
n n
n n→∞
− +=
+; a pesar de las raíces, los grados coinciden y el límite es
3
3
8 2
327=
+
| 2
EJERCICIOS PROPUESTOS DE LIMITES
2
2
1lim
2 1n
n n
n→∞
+ −+
2
2
4lim
2n
n n
n n→∞
−+
21lim
1 2n
n
n→∞
−+
2
1lim
1n
n
n→∞
−−
( )2
1lim 2
1n
n
n→∞
−+
+
1 2lim
2 3 2n
n n
n n→∞
+ + − +
( ) ( )( )2
2 1lim
1 2n
n n
n→∞
+ +
+
1 2lim
1n
n
n→∞
−
+
1lim
1n
n
n→∞
+
+
( )lim 12
n
n
n
n→∞
− +
22 1lim
2 1n
n n
n→∞
+ −+
3
lim3n
n n
n→∞
+
3
2
2 1lim
2 1n
n n
n→∞
+ −+
2
3 4
2 1lim
1n
n
n n→∞
+
+ −
+
| 3
1lim
1n
n n
n n→∞
− −
+ −
3
2lim
2n
n
n→∞
+
+
2 1lim
4 1
n
nn→∞
++
49 4 1lim
2 1n
n
n→∞
− −+
4 2
2
4lim
2n
n n
n n→∞
− ++
1 2lim
3n
n n
n→∞
+ +
25 4lim
2n
n
n→∞
+
21 4lim
2 1n
n
n→∞
++
3 25lim
2n
n
n→∞
+
3 5
5lim
5n
n
n→∞ +
2 3
2
2lim
2 1 1n
n n
n n→∞
−
+ +
3 2
2
2 4 4lim
2 1 1n
n n n
n n→∞
+ +−
− −
4 3
2
1lim
2n
n n
n n→∞
− ++
+
2 22 3lim
2 2n
n n n
n n→∞
+ +−
− −
+
| 4
2 23 2lim
2 2 1n
n n n
n n→∞
− +−
+
24 2 2lim 2
2 2n
n nn
n→∞
− +−
+
2 24 2 3 6 3 1lim
2 1 3 1n
n n n n
n n→∞
− + − +−
+ +
2 2lim 4 3n
n n→∞
+ − −
2 2lim 3n
n n n→∞
+ − −
2 2lim 9 3n
n n n→∞
− − −
2lim 2 1n
n n n→∞
− + +
2lim 2 5n
n n→∞
− +
2lim 5 2n
n n→∞
+ −
lim 3 2n
n n→∞
−
2lim 3 9 1n
n n→∞
− +
2 2lim 4 2n
n n n→∞
+ + +
2 2lim 1 3n
n n n→∞
+ − −
2 2lim 2n
n n n n→∞
− − +
2 2lim 1 1n
n n→∞
+ − −
+
| 5
Límites de sucesiones relacionadas con el número e
31
lim 1n
n n→∞
+
3 41
lim 1n
n n
+
→∞
+
1lim 1
4
n
n n→∞
+
1lim 1
4 3
n
n n→∞
+ +
41
lim 13
n
n n
+
→∞
+ +
3 41
lim 14 3
n
n n
+
→∞
+ +
1lim 1
n
n n→∞
−
1lim 1
n
n n
−
→∞
−
21lim 1
n
n n→∞
+
321
lim 1
n
n n→∞
+
351
lim 1
n
n n→∞
−
351
lim 1
n
n n→∞
−
2lim 1
n
n n→∞
+
+
| 6
3 13
lim 14
n
n n
−
→∞
+
5 32 8
lim2
n
n
n
n
+
→∞
+
22 1
lim2 1
n
n
n
n→∞
+ −
3 21
lim 12 3
n
n n
−
→∞
+ +
1lim 1
n
n n→∞
− −
31
lim 13
n
n n
−
→∞
−
1
2
3lim 1
2
n
n n
−
→∞
+
1lim
5
n
n
n
n→∞
+ +
1lim
5
n
n
n
n→∞
+ +
22
lim1
n
n
n
n→∞
− −
23
lim1
n
n
n
n
+
→∞
+ +
32
lim3
n
n
n
n→∞
− −
25
lim6
n
n
n
n
− +
→∞
+ +
2 13 5
lim3 1
n
n
n
n
+
→∞
− +
+
| 7
12
2
3 1lim
3
n
n
n n
n n
+
→∞
+ + +
22 3 245
lim2
n n
n
n
n
n
− −+
→∞
+ +
2 32
2
1lim
3
n n
n
n
n
+
→∞
+ −
2 12 1
2
3 1lim
3
n
n
n
n n
n n
++
→∞
+ + +
2
53 1
lim3 1
n
n
n
n→∞
+ −
+
| 8
Estudia la monotonía y acotación de las sucesiones de término general siguientes:
1na
n
=
1n
na
n
= +
2nna n= −
( ) 1n
na = −
( ) 1n
na n= −
( ) ( ) 31 1n
na n= − +
( ) ( ) 21 1n
na n= − +
( ) 11n
nan
= −
23
n
na =
+
| 9
+
| 10
+
| 11
U ∊ ∊∊∊∊ ⇐⇐⇐⇐∊ ⇐ ⇐⇐ ≔ ≔≔ Ω ≈ ≡ ≤≥≲≳≴ ≴ ≮≯∀⇐∊ ≠⇐ ∅ ∃ A Bεδδεε
⇐ U ∪∪∩ ∿ ∅∿∿∿∿ ∿ ∿ ∿ ∿∿U ≮ ≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕· ♯ ×
ℕ