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Matlab Integración Numérica, Método del TrapecioCLASE 12
16-JULIO-2014
Integración Numérica en Matlab
En ciertas ocasiones nos encontramos con funciones para las que no
podemos hallar una primitiva, esto puede deberse por supuesto a falta
de habilidad de nuestra parte, aunque también ocurre que alguna
funciones elementales simplemente no tienen primitivas que al igual
sean funciones elementales que podamos calcular, por ejemplo, no hay
funciones elementales que tengan alguna de las siguientes como su
derivada:
Integración Numérica en Matlab
Funciones que no tienen primitivas, en estos casos se recurre a los métodos numéricos para integrarlas.
Integración Numérica en Matlab
Recordemos que :
Función primitiva o antiderivada de una función dada , es otra función
cuya derivada es la función dada.
Si una función tiene primitiva, tiene infinitas primitivas,
diferenciándose todas ellas en una constante.
Integración Numérica en Matlab
Cuando se desea calcular una integral definida que contiene una
función cuya primitiva no podemos hallar, entonces no se puede aplicar
el teorema fundamental del cálculo y es aquí cuando se debe recurrir a
una técnica de aproximación.
Regla de los Trapecios.
Una forma de aproximar una integral definida, consiste en usas N
trapecios, como se muestra en la figura 1. En el desarrollo de este
método, se supone que f es continua y positiva en el intervalo y que la
integral definida representa el área de la región limitada por la gráfica
de y el eje , desde .
Regla de los Trapecios.
Figura 1: Función , el área bajo la curva, se puede
aproximar mediante n trapecios, en este caso 4
trapecios.
Regla de los Trapecios.
En el caso de las aproximaciones de las integrales por el método de los
trapecios, es tan simple tanto en descripción como a nivel de código,
como es sabido, es por esto, que nos limitaremos únicamente a la
utilización de la “formula” y los pasos que se deben seguir para
implementar nuestro método; el algoritmo es el siguiente:
Regla de los Trapecios.
1. En primer lugar se parte el intervalo comprendido entre en
subintervalos más pequeños, definidos por la variable , nombrando el
ancho de esos subintervalos como (que en nuestro caso representa a ).
Regla de los Trapecios.
2. Se realiza la siguiente serie
Como se puede observar, es una sumatoria, donde todos los términos están
multiplicados por 2 excepto el primero y el ultimo termino y posteriormente
están multiplicados todos por lo que podríamos llamar entonces .
Código en Matlab.
En esto punto crearemos una función en Matlab, que nos permita aproximar aquellas funciones
de las que se habló con anterioridad, manteniendo los criterios ya mencionados en primer
lugar, crearemos en nuestro directorio una función llamada intrap (integrales por
trapecios), que recibirá como parámetros, el la función, el limite inferior y el limite
superior; también pudiéramos recibir como parámetro el numero de subintervalos
deseados , nosotros lo definimos como 400 ya que por lo regular las regiones a integrar no son
muy grandes, pero la modificación del código es libre y si quieres, puedes modificar también el
parámetro (también se puede hacer, para aumentar la precisión).
Código en Matlab.
Código en Matlab.
Posteriormente, como dijimos le daremos el valor de aunque esto
depende de su elección a la hora de montar el programa como
recibiendo el parámetro, en este punto se calcula el valor de con la
formula que se vio en el punto 1 del algoritmo, también se evalúa el
primer termino de la serie, ya que este no esta multiplicado por 2 y es
el resultado de evaluar la expresión en el limite inferior.
Código en Matlab.
Código en Matlab.
Ahora se usará un ciclo FOR para contar el número de iteraciones, las
cuales dependerán del número de subintervalos, la variable i se inicia
con un valor de 2, para descontar la evaluación del primer termino que
se hizo al inicio del programa, y para descontar la ultima iteración, que
se hará luego de termino el FOR, ya que esta ultima tampoco esta
multiplicada por 2.
Código en Matlab.
Código en Matlab.
Luego de terminado el ciclo FOR, se procede a hacer la evaluación del
n-ésimo termino, es decir, el ultimo termino, después de esto, como se
comentó al final de algoritmo, se multiplican todos los términos
sumados , así:
Código en Matlab.
Finalmente después de ejecutado todo el código, el programa nos
retornará una buena aproximación de la integral que queremos hallar
por más difícil que esta sea.
Código en Matlab.
La forma correcta de utilizar esta función, en nuestro caso es,
declarando inicialmente una variable simbólica por ejemplo
posteriormente podemos nombrar una función y llamar a la función
donde será el limite inferior de nuestro intervalo de integración y el
superior, el funcionamiento se ilustra a continuación donde los limites
de la función serán de .
Código en Matlab.
Código en Matlab.
El valor exacto, como resultado de llevar a cabo la integración de entre
; en el ejemplo anterior podemos notar la aproximación llevada a cabo
mediante el método del trapecio.
Código alternativo en Matlab.
La función integral recibe la función , los limites y el número de
trapecios para el cálculo. Hay que definir previamente la función .
Código alternativo en Matlab.
Código alternativo en Matlab.
Ejemplo
Evalué la siguiente integral
a. Analíticamente
b. Con el uso de la herramienta Matlab
Código alternativo en Matlab.
Primero declaramos la función
Código alternativo en Matlab.
Segundo ejecución y resultado