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Universidad Católica del Norte
Departamento de Matemáticas Cálculo 1.
Guía n° 9 Máximos y Mínimos
Segundo semestre 2010
1. En un círculo de radio r, se corta un sector en forma de rebanada de
pastel. El arco externo tiene longitud s. si el perímetro total del
sector 2r s+ , es de 100 [m], ¿qué valores de r y s maximizan el área
del sector?
2. ¿Cuál es el menor perímetro posible para un rectángulo cuya área se
de 16 [pul2]?
3. En la figura se muestra un rectángulo inscrito en un triángulo
rectángulo isósceles cuya hipotenusa tiene 2 unidades de largo.
¿Cuál es el área más grande que puede tener el rectángulo?
-1 1 0
B
P(x, ?)
x
4. Un terreno rectangular está delimitado por un río en un lado y por
una cerca eléctrica de un solo cable en los otros tres. ¿Cuál sería la
mayor área que puede cercarse con un cable de 800 [m]?
5. Se requiere diseñar un cartel que contenga 50 [pul2] de impresión
con márgenes de 4 [pul] en los extremos superior e inferior y de 2
[pul] en los lados. ¿Cuáles serán las dimensiones totales que
minimicen la cantidad de papel usada?
6. Se desea elaborar un pequeño recipiente cilíndrico sin tapa que
tenga un volumen de 24π [cm3]. El material que se usa para la base
cuesta 3 veces más que el que se emplea para la parte cilíndrica.
Suponiendo que en la construcción no se desprecia material, evaluar
las dimensiones que hacen mínimo el costo del material de
fabricación.
7. Un cable ha de unir un punto A en una de las riberas de un río sin
curvas, de 2 [km] de ancho, a un punto B, que se encuentra a 5[km]
de A río arriba pero en el otro lado. El cable debe ir primero bajo el
agua (en línea recta) desde A hasta un punto C al otro lado del río y
luego bajo tierra desde C hasta B. ¿Dónde debe esta C para
minimizar el precio, si cuesta US$ 5 por metro llevar el cable bajo el
agua y US$ 3 por metro llevar el cable bajo tierra?
8. Se debe construir una canaleta horizontal con una plancha de 8 [cm]
de ancho, doblando verticalmente hacia arriba partes iguales en
ambos costados. ¿Cuántos centímetros debe doblarse a cada lado
para obtener la máxima capacidad?
9. Halle el volumen de la caja abierta de base cuadrada y volumen
máximo que se pueda hacer a partir de una pieza cuadrada de
hojalata de 18 [cm] de lado cortando cuatro cuadrados iguales en las
esquinas y doblando los lados hacia arriba.
10. Determinar las dimensiones del cono circular recto de mayor
volumen que puede inscribirse en una esfera de radio 9 unidades.
11. Encontrar las constante A y B, de modo que la función
F(x) = x3+ Ax2 + Bx + C. Tenga un mínimo relativo en x = 4 y un
punto de inflexión en x = 1. ¿es necesario determinar la constante C?