Post on 05-Feb-2020
Mecanica Quantica I - 2019.2 - Prova 1 1
Mecanica Quantica I - Prova 1Prof. Marco Polo
11 de setembro de 2019Inıcio: 14:00 - duracao: 3:00 horas
So serao consideradas as respostas que forem devidamente justificadas.Nao e permitido o uso de calculadoras.
Questao 01: Funcao de onda
Considere que a funcao de onda de uma dada partıcula de massa m e dada por
Ψ(x, t) = Ae−mωx2/(2})−iωt/2,
onde A e ω sao constantes reais positivas.
(a) (1,0) Encontre A.
(b) (1,0) Qual e a energia potencial V (x) a qual a partıcula esta sujeita? Que tipo de sistemafısico apresenta esse potencial?
(c) (1,0) Calcule o valor esperado da posicao da partıcula.
(d) (1,0) Calcule o valor esperado do momento da partıcula.
(e) (1,0) Calcule, apos uma medida, a probabilidade de encontrar a partıcula entre x = 0 ex =
√}/(mω).
Questao 02: Poco de potencial infinito
Para o poco de potencial infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a, considere que a partıcula demassa m esta, em t = 0, em uma superposicao dos dois primeiros estados excitados de energiadefinida:
Ψ(x, 0) =1√5
[2ψ2(x) + ψ3(x)] ,
onde ψn(x) e um estado quantico estacionario associado ao n-esimo nıvel.
(a) (1,5) Encontre Ψ(x, t).
(b) (1,5) Calcule o valor esperado da energia da partıcula. Qual e a probabilidade de, aomedir a energia da partıcula, o resultado encontrado seja o valor esperado da energia?
Questao 03: (2,0) Poco de potencial infinito
Para o poco de potencial infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a, considere que, no instante
t = 0, a funcao de onda da partıcula e dada por Ψ(x, 0) =
√8
3asin2
(πxa
). Mostre que a
funcao de onda evolui no tempo segundo a equacao
Ψ(x, t) = −16
π
√2
3a
∞∑n=1,3,5,...
1
n(n2 − 4)sin(nπx
a
)e−i(n
2π2}/2ma2)t
Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia
Mecanica Quantica I - 2019.2 - Prova 1 2
Algumas equacoes:
Poco quadrado infinito com V = 0 entre x = 0 e x = a:
• Solucao geral: Ψ(x, t) =∞∑n=1
cnψn(x)e−iEnt/}
• Estados estacionarios: ψn(x) =
√2
asin(nπx
a
)• Energia dos estados estacionarios: En =
n2π2}2
2ma2
Algumas integrais:
•∫ ∞−∞
e−αx2
dx =
√π
α(α > 0)
•∫ z
0
e−x2
dx =
√π
2erf(z)
•∫ a
0
sin2(πxa
)sin(nπx
a
)dx =
2a
π
cos(nπ)− 1
n(n2 − 4)
•∫x sin(x)dx = sin(x)− x cos(x)
•∫x cos(x)dx = cos(x) + x sin(x)
• erf(1) ≈ 0, 843
• erf(2) ≈ 0, 995
Departamento de Fısica de Ji-Parana Universidade Federal de Rondonia
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