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Newton

Tema 1B (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 1 / 53

Tema 1: Dinamica basica de la partıcula aislada y de lossistemas de partıculas

Contenido

1 Introduccion. Mecanica de Newton

Partıcula aislada

Sistemas de partıculas

2 Sistemas 1D

3 Ligaduras

1. Introduccion. Mecanica de Newton

Repaso breve de conceptos fundamentales de la Mecanica de Newton

Discusion del movimiento de una sola partıcula

Definicion y uso de la notacion

Cantidad de movimiento (momento lineal), leyes de conservacion,energıas cinetica y potencial

Conceptos ya estudiados (Mecanica y Ondas)

Partıcula aislada

Partıcula = Objeto de tamano insignificante

Electron en un tubo de vacıo o en los cinturones de radiacion de VanAllen

Balon de futbol

La Tierra orbitando alrededor del Sol

Tiene masa m y localizacion ~r (definimos la velocidad ~v = ~r y lacantidad de movimiento (momento lineal) ~p = m~v)

Segunda ley del movimiento de Newton, calculamos la fuerza ~F = m~a= ~p = m~r

Sistema inercial (SI)

El origen O del SI es arbitrario

La eleccion del origen implica escoger un sistema de referencia

Sistema inercial = sistema donde se cumple la 2a ley de Newton,~F = m~a = ~p

La 2o Ley de Newton se enuncia con mas precision: EXISTENSISTEMAS DE REFERENCIA DONDE LA DERIVADA EN ELTIEMPO DE LA CANTIDAD DE MOVIMIENTO ES IGUAL A LAFUERZA

Hay un numero infinito de tales sistemas. 1a ley de Newton

Sistemas inerciales

1 Consideramos dossistemas inerciales A y B

2 Una partıcula esta en ~rAen A y en ~rB en B

3 El origen de A es,~rB − ~rA en B

4 ~F = m ~rA = m ~rB , luego~rB − ~rA = 0 y

5 ~rB − ~rA = constante

Figura: Los sistemasinerciales se mueven unorespecto a otro avelocidad constante.Galileo analizo laequivalencia de estossistemas (SistemasGalileanos)

Momento angular

Conservacion de momentos

Trabajo realizado por una fuerza externa

Fuerza conservativa

Energıa potencial

Sistemas de partıculas

Pasamos de partıcula aislada a un sistema

compuesto por muchas partıculas

Para tener en cuenta las fuerzas entre las

partıculas usamos las fuerzas de accion y

reaccion

3a ley de Newton

Fuerza sobre una partıcula i

Suma sobre todas las partıculas

Centro de masas

Cantidad de movimiento (momento lineal) total

Momento angular total

Ley fuerte de accion y reaccion

Leyes de accion y reaccion

Leyes de conservacion

Momento angular total

Energıa cinetica

Energıa potencial

Conservacion de la energıa

Sistemas en 1D

En 1D todas las fuerzas que dependen solo de x son conservativas.mx = F (x)→ F = −dV

Podemos escribir:12mx2 + V (x) = E .

Esta ecuacion se obtiene al integral una vez la ley de Newton (E es laconstante de integracion)

Sistemas en 1D

Resolvemos poniendo1x = dt

e integramosr:t − t0 =

∫ xx0

dx√E−V (x)

x0 es la posicion de la partıcula en el tiempo t0, x la posicion en t.

Si esta ecuacion se invierte quedax = x(t − t0,E )

Si E y x0 se conocen, el problema queda, en principio, resuelto.

t0 puede tomarse como cero. Solo aparecen en la expresion final x0 y E .

Sistemas en 1D

Muchas de las integrales t − t0 =√

∫ xx0

dx√E−V (x)

no pueden

expresarse en terminos de funciones elementales

Volvemos a la ecuacion 12mx2 + V (x) = E y vemos que informacion

podemos sacar antes de integrar

Podemos deducir los tipos de movimientos relacionados con diferentesvalores de E .

Por ejemplo, como la energıa cinetica es siempre positiva, la partıculano puede entrar en una region donde E − V (x) es negativa.

Sistemas en 1D

Si comenzamos en una region donde E − V (x) es positiva, lapartıcula se movera a valores mayores del potencial V (x) hasta llegaral punto en que V (x) = E , donde ya no puede avanzar mas.

Este es un punto de rebote para el movimiento, E determina lospuntos de rebote.

Analizamos el movimiento de la partıcula en el potencial de la figurasiguiente para diferentes valores de E .

Sistema en 1D

Sistemas en 1D

Para un movimiento acotado, por ejemplo, con energıa E1, el tiempopara completar una orbita desde x4 a x6 y volver de nueva sedenomina periodo, P. Usando la ecuacion t − t0 =

∫ xx0

dx√E−V (x)

se tiene

P =√

2m∫ x6

dx√E−V (x)

Hemos usado que el tiempo para ir de x4 a x6 es el mismo que pararegresar.

Esta ec. da una formula general para el periodo de movimientosacotados entre dos puntos de rebote, con los lımites de la integralsiendo las dos raıces del radical en el denominador.

Sistemas en 1D: Potencial coseno

Analizamos un caso particular relacionado con el pendulo simple, seael potencial

V (x) = −Acosx , −∞ < x <∞, A > 0

La energıa total esta dada por:

E = 12mx2 − Acosx ≡ 1

2mv2 − Acosx .

Consiste en una serie de pozos de potencial identicos separados porbarreras de potencial identicas.

Analizamos primero la figura a), para diferentes valores de energıa.

Sistema en 1D

Sistemas en 1D

Empezamos considerando E < A,

Nos quedamos en −π ≤ x ≤ π.

Tenemos

P =√

2m∫ x2

dx√E+Acosx

Tenemos x1 < 0 y x2 > 0 (como sigue de la condicion E < A) lasraices del radical del denominador en el integrando, es decir

x1,2 = ± arc cos EA

La integral no puede ser evaluada, en general, en terminos defunciones elementales.

Los casos E = −A, E = A y E > A.

Sistema 1D: Diagrama de fase

Un sistemadinamico puedecaracterizarse porsu velocidad yposicion

Analizamos lafigura b)

Cada valor de Eproduce unconjuntodiferente decurvas

Figura: Diagrama de fase

Movimientosacotados:−A ≤ E ≤ A

Las curvas tienende ecuacion: v =

2m (E + Acosx)

Curvas cerradasque cruzan el ejex en los puntosde retorno

Valores pequenos de E ,proximos a −APodemos aproximar el potencialen serie de Taylor:V (x) = V (0) + xV ′(0) +12x

2V ′′(0) + ... ≈ A(−1 + 12x

2),nos queda la relacion v − x

2(E+A) + Ax2

2(E+A) = 1

Otros valores de E ....

Ligaduras

La ecuacion de movimiento

mi~ri = ~Fi =~F

(e)i +

∑j~Fij

asume que las partıculas pueden moverse encualquier lugar del espacio

Esto no es verdad generalmente, de hecho casi nunca es verdad – elconcepto de espacio libre es una idealizacion –

ejemplo: coche sobre el asfalto, bolas de billas sobre la superficie de lamesa, etc

las partıculas estan sometidas a ligaduras

Debemos ajustar las ligaduras a las ecuaciones

de movimiento, y la forma de hacerlo depende

del tipo de ligaduraTema 1B (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 37 / 53

Ligaduras

A veces el movimiento de los objetos estacondicionado a ciertas restricciones

las cuentas de un collar estan obligadas a moverse en un hilo

las moleculas estan obligadas a moverse en un recinto

Esto introduce:una dependencia en las ecuaciones del movimiento

la necesidad de tener en cuenta la presencia de las ”fuerzas de ligadura”

Clasificacion de las ligaduras

Si las ligaduras pueden expresarse como

ecuaciones de las coordenadas, y del tiempo,

en la forma

f (~r1, ~r2, ~r3, ..., t) = 0

decimos que las ligaduras son holonomas

Si no podemos obtener esa expresion

matematica, las ligaduras se llaman noholonomas

Si las ligaduras son independientes

(explıcitamente) del tiempo decimos que las

ligaduras son escleronomas – algunos libros

las denominan fijas

Si dependen del tiempo se denominan

reonomas – tambien se denominan moviles

Gran parte del formalismo de la Mecanica

Analıtica es solo aplicable al caso en que los

sistemas sean holonomos

No esta garantizado, en muchos casos, el

procedimiento para la resolucion de problemas

con ligaduras no holonomas

Ejercicio: recopilar ejemplos de ligaduras

holonomas y no holonomas

Ligaduras holonomas

Las ligaduras pueden expresarse como ecuaciones de lascoordenadas, y del tiempo, en la forma f (~r1, ~r2, ~r3, ..., t) = 0

partıculas en el plano XY: z = 0

solido rıgido: (~ri − ~rj)2 − c2ij = 0

Si no podemos obtener esa expresion matematica, las ligadurasse llaman no holonomas

significa: ”no sabemos como tratarlas matematicamente”

pueden ser desigualdades: z ≥ 0

pueden depender de derivadas tales como ~ri

Trataremos solo con ligaduras holonomas

Variables independientes

Una ligadura holonoma reduce el numero de variablesindependientes en uno

Si z = 0, nos quedamos solo con las variables x e y

Podemos ser capaces de resolver la ligadura para una variablef (~r1, ~r2, ~r3, ..., t) = 0, es decir x1 = g(y1, z1, ~r2, ~r3, ..., t)

nos olvidamos entonces de esa variable

podemos usar ahora, por ejemplo, un conjunto diferente de variablespara una partıcula que se mueve sobre una esfera, x2 + y2 + z2 = c2,una buena eleccion seran las variables: (θ, φ)

Tenemos un conjunto nuevo de variables, las denominamoscoordenadas generalizadas

Grados de libertad

Una partıcula libre en el espacio de tres

dimensiones (3D) tiene 3 grados de libertad.

Un sistema de N partıculas tendra 3N grados

de libertad (esta partıcula no esta sometida a

ninguna ligadura)

Cada ligadura resta un grado de libertad. Si

tenemos k ligaduras, nos quedaran 3N − k

grados de libertad

Coordenadas generalizadas: qj con j = 3n − k

Tomamos un conjunto de variables que pueden corresponder concualquier magnitud, no necesariamente longitudes, pudiendo serincluso adimensionales, y que cumplen los siguientes dos requisitos:

deben ser independientes entre sı

el numero de variables elegido debe ser igual

al numero de grados de libertad del sistema

Ecuaciones de transformacion

N partıculas tienen 3N grados de libertad (estapartıcula no esta sometida a ninguna ligadura)

Cada ligadura resta un grado de libertad. Si tenemos k ligaduras, nosquedaran 3N − k grados de libertad

Usando coordenadas generalizadas q1, q2, ..., q3N−k tendremos

~ri = ~ri(q1, q2, q3, ..., t)

Estas son las ecuaciones de transformacion

desde el conjunto (~ri) al conjunto (qi)

Ejemplo: el paso de coordenadas (x , y , z) a

coordenadas (θ, φ):

x = c sen θ cosφ, y = c sen θ senφ, z = c cos θTema 1B (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 46 / 53

Espacio de configuracion

El espacio construido con lascoordenadas generalizadas recibe elnombre de espacio de configuracion

La eleccion de las coordenadas generalizadas

no es unica

La eleccion de unas coordenadas generalizadas

frente a otras pueden tener ventajas

La posible simetrıa del problema puede dar

indicios sobre la eleccion mas adecuadaTema 1B (Grupo 2) Mecanica Teorica (2017-2018) 25 de septiembre de 2017 47 / 53

Coordenadas generalizadas

En ciertos casos las ligaduras pueden darse tambien en formadiferencial.

Las ligaduras tienen entonces la forma:∑Nk ak(x1, x2, ..., xn)dxk = 0,

xk representa las distintas coordenadas, y las ak son funciones deestas coordenadas.

Distinguimos dos casos:

Que la expresion anterior represente la diferencial total de una funcionU, la podemos integrar y obtener una ecuacion de la forma:fk(~r1, ~r2, ..., t) = 0, k = 1, 2, ...., s. En este caso las ligaduras sonholonomas.

Si la expresion anterior no es una diferencial total, podemos integrarsolo despues de resolver el problema completo. En este caso nopodremos eliminar coordenadas dependientes, ligadura no holonoma.

Coordenadas generalizadas

Si la expresion∑N

k ak(x1, x2, ..., xn)dxk = 0, es una diferencial total,podemos obtener un criterio para que las ligaduras diferenciales seanholonomas.

Debemos tener: ∑k akdxk = dU con ak = ∂U

∂xk.

Esto nos lleva a∂ak∂xi

= ∂2U∂xi∂xk

= ∂ai∂xk

Ası, la expresion diferencial representa una ligadura holonoma si loscoeficientes obedecen las condiciones de integrabilidad :

∂ak∂xi

= ∂ai∂xk

Ligaduras

Una esfera en un campo gravitacionalque rueda sin friccion desde el polosuperior de una esfera grande.

Sistema conservativo

Las ligaduras cambian completamentedespues de que haya abandonado laesfera grande y no pueden presentarseen la formafk(~r1, ~r2, ..., t) = 0, k = 1, 2, ...., s.

Sistema no holonomo.

No depende del tiempo explıcitamente,sistema escleronomo.

Figura: Una pequena esfera rodando sobreuna esfera grande

Ligaduras

Un cuerpo desliza con friccion haciaabajo en un plano inclinado.

La inclinacion del plano varıa con eltiempo.

Las coordenadas y el angulo deinclinacion estan relacionados por:yx − tg ωt = 0.

Sistema: holonomo, reonomo. Comohay friccion, es no conservativo.

Figura: Cuerpo deslizando en un planoinclinado.

Ligaduras

Rueda rodando sobre unplano sin deslizar.

Ejemplo de sistema conligaduras diferenciales.

Usamos las coordenadasxM , yM del centro, elangulo ϕ que describe larotacion, y el angulo ψque caracteriza laorientacion del plano dela rueda relativo al eje y .

Figura: Rueda rodando sobre un plano.

Ligaduras

La velocidad v del centro de la rueda y lavelocidad de rotacion estan relacionadaspor: v = aϕ.

Las componentes de la velocidad son:xM = −vsenψ, yM = vcosψ.

Con el valor de v ,

dxM + asenψ.dϕ = 0,

dyM − acosψ.dϕ = 0.

Ligaduras diferenciales. Como el angulo ψse conoce solo despues de resolver elproblema, las ecuaciones no son integrables.

Sistema: no holonomo, escleronomo yconservativo.

Figura: Rueda rodando sobre un plano.

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