Post on 06-Mar-2016
I. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Las medidas de tendencia central son valores que se ubican al centro de un conjunto de datos ordenados segn su magnitud. Generalmente se utilizan 3
de estos valores, tambin conocidos como estadgrafos: la media aritmtica, la mediana y la moda.
La media aritmtica es la medida de posicin utilizada con ms frecuencia.
Si se tienen n valores de observaciones, la media aritmtica es la suma de todos y cada uno de los valores dividida entre el total de valores: Lo que
indica que puede ser afectada por los valores extremos, por lo que puede dar una imagen distorsionada de la informacin de los datos.
La Mediana, es el valor que ocupa la posicin central en un conjunto de
datos, que deben estar ordenados, de esta manera la mitad de las
observaciones es menor que la mediana y la otra mitad es mayor que la mediana;resulta muy apropiada cuando se poseen observaciones extremas.
La Moda es el valor de un conjunto de datos que aparece con mayor
frecuencia. No depende de valores extremos, pero es ms variable que la media y la mediana.
1. Media Aritmtica Simple
La media o promedio aritmtico simple se define como el cociente entre la
suma de los datos u observaciones y el nmero de datos que intervienen
en dicha suma.
a. Datos No Agrupados:
Cuando los datos no se encuentran agrupados en Tablas de Frecuencia
Poblacin: Muestra:
=1
=1
=1
=1
b. Datos Agrupados:
Para datos DISCRETOS, pero agrupados en una Tabla de Frecuencia:
Poblacin: Muestra:
=1
.
=1
=1
.
=1
Donde: es la frecuencia absoluta
1
c. Datos Continuos:
Para datos agrupados en Intervalos de clase en la Tabla de Frecuencia:
Poblacin: Muestra:
=1
.
=1
=1
.
=1
Donde: es la frecuencia absoluta
es la Marca de clase
Observacines:
1. Las frmulas b y c son idnticas, basta reemplazar por
2. En funcin a las frecuencias relativas ,tenemos:
Poblacin: Muestra:
= .
=1
= .
=1
3. En funcin a las frecuencias porcentuales ,tenemos:
Poblacin: Muestra:
=1
100 .
=1
=1
100 .
=1
2. Mediana:
Es el dato cuyo valor ocupa la posicin central dentro de un conjunto de
datos, ordenados segn su magnitud.
a. Datos Discretos:
Los datos son numerables y pueden estar agrupados o no.
1. Ordenar los datos ascendentemente.
2
2. Segn sea n un nmero par o impar,se calcula La Mediana:
n es impar n es par
= +12
= 12
(2
+ 2
+1)
b. Datos Continuos:
Los datos estn organizados en intervalos de clase.
1. Utilizando a las Frecuencias acumuladas se identifica la fila i :
2. Reemplazar los valores de la fila en la frmula correspondiente
b.1) 1. Ubico
en La , identifico la fila i, luego la frmula es:
= + (
)
b.2) 1. Ubico
en La , identifico la fila i, luego la frmula es:
= + (
)
b.3) 1. Ubico 50 en La , identifico la fila i, luego la frmula es:
= + (
)
3. Moda:
Es el Valor, clase o categora que ocurre con mayor frecuencia en un
conjunto de datos.
a. Datos Discretos:
Los datos son numerables y pueden estar agrupados o no.
Mo = dato que ms veces se repite o con la mayor frecuencia
b. Datos Continuos:
Los datos se encuentran agrupados en intervalos de clase.
3
1. Identificar la fila i correspondiente al mayor valor de frecuencia:
2. Reemplazar los valores de la fila en la frmula:
= + (
+ )
Donde:
b1. 1 = 1 ; 2 = +1
b2. 1 = 1 ; 2 = +1
b3. 1 = 1 ; 2 = +1
4. Media Aritmtica Ponderada:
Este indicador se utiliza para promediar observaciones Xi que tienen
diferente importancia relativa o pesos(Wi). Si son promedios,
entonces Es el promedio de promedios.
5. Media Geomtrica:
Es igual a la raz n del producto de las n observaciones o datos
positivos. Este promedio es usado en la elaboracin de nmeros
ndices y para el clculo de tasas promedio de variacin.
nn
1i
in
n21 X...X XXX
g
Si los datos estan en tasas :
cada Xi = 1 + tasa i donde : cada tasa = %/100
La Frmula es:
= (1 + 1)(1 + 2) . (1 + )
4
Si los datos tienen unidades de medida :
La Frmula es: =
0
X0 : es el valor de la variable medida en el perodo inicial o cero Xn : es el valor de la variable medida en el perodo final o n Tambin la utilizamos para realizar Estimaciones o valor futuro.
Conversin de tasas :
(1 + tasa 1)n1 = (1 + tasa 2)n2
Donde n1 y n2 : # de perodos de tasa, contenidos en un ao.
Ejm: Convertir una tasa trimestral(m=4) del 24%, a tasa bimestral(n=6)
(1+TBim.)6 = (1+24%)4 de donde: TBim = (1.24)6/4-1 = 38.08%
6. Media Armnica:
Es igual a la inversa del promedio de los recprocos de un conjunto de
observaciones diferentes de cero. Este indicador se utiliza para
promediar razones o variables que tienen dimensiones fsicas tales
como kilmetros por galn, costo por kilmetro, kilmetros por hora, etc.
Se calcula mediante la frmula :
n
1i i
n
1i i
h
X
1
n
1
1
X
1
nX
PROMEDIO DE DATOS DE RAZN ENTRE DOS MAGNITUDES:
Dato de Razn = Numerador / Denominador = N / D
Caso 1: Si el Numerador permanece constante :
X1= N / D1, X2= N / D2, ........ Xn= N / D
Se Promediarn, utilizando: La media armnica.
5
Entonces el promedio ser :
n
1i i
n
1i i
A
X
1
n
1
1
X
1
nX
Caso 2: Si el Denominador permanece constante :
X1= N1 / D, X2= N2 / D, .......... Xn= N / D
Se Promediarn, utilizando : La media aritmtica
Entonces el promedio ser :
n
1i
iXn
1X
Caso 3: Si el Numerador y el Denominador no permanecen
constante los datos son promedios, se juntan grupos:
Se Promediarn, utilizando: La Media ponderada:
n
1ii
n
1iii
p
w
XwX
Nota: es la magnitud del DENOMINADOR
Ejemplo: Se compra 4 lotes , cada uno por el mismo Monto de dinero (M)
En la obtencin de los precios por unidad dentro de cada lote se tiene:
en el lote 1 : M / Q1= 4.00 soles por unidad;
en el lote 2 : M / Q2= 3.92 soles por unidad;
en el lote 3 : M / Q3= 3.85 soles por unidad;
en el lote 4 : M / Q4= 3.77 soles.
Donde: M= cantidad de dinero invertida en cada lote
Como el numerador M siempre es el mismo, luego, para hallar el
precio promedio, usaremos la media armnica :
soles 88.3
77.3
1
85.3
1
92.3
1
4
1
4
X
1
44
1i i
A
6
II . MEDIDAS DE POSICIN
Percentiles
Un percentil Pp, es el valor de la variable que tiene 100p% de obsv. hacia
su izquierda y 100(1-p)% de obsv. hacia su derecha.
Percentil P0.7
|-------- 70% de datos-------------- |- ----30 % de datos--|
p0.7=0.62
Clculo del Percentil :
Primero : Se ubica el valor p.n en Fi p en Fri p% en Pi
para identificar la fila y con ello identificar : el LI y el TIC .
Segundo : La frmula es : ii
1)-(i
ip TIC f
F-pn LI P
Donde:
1)-(iF : es la frecuencia acumulada del intervalo anterior
if : frecuencia absoluta del intervalo de clase
iTIC : Tamao del intervalo de clase
1. Deciles
DECIL Di (i=1,2,...,9) es el valor de la variable que tiene 10i% de
observaciones son menores al decil y el (100-10i%) de datos son
mayores al decil.
Son casos particulares de los percentiles :
D1= P0.10,
D2= P0.20 ,
.
.
.
D8= P0.80,
D9= P0.90
7
12, 13, 15, 20,....., 55, 62, 65, 68, 74,......,93
2. Cuartiles
CUARTIL Qi (i=1,2,3), es el valor de la variable que tiene 25i% de
observaciones que son menores al cuartil y el (100-25i%) de las
observaciones son mayores al cuartil.
Tambin pueden obtenerse como percentiles :
Q1 = P0.25,
Q2 = P0.50 ,
Q3 = P0.75
RANGO INTERCUARTLICO: RIC = Q3 Q1
NOTA : la mediana es considerada como el Q2 el Decil D5
Las aplicaciones de los percentiles estn asociados al clculo de
porcentajes de datos, cuyas medidas son menores a un valor dado
(p%), al % de datos comprendidos entre dos valores dados a
y b , que son el (q % p %) donde el p% de ellos son menores que
a y el q % menores a b, Si se desea calcular el % de datos mayores
que a se tender que restar p% del 100% o sea (100 p)%.
III. MEDIDAS DE VARIABILIDAD
Son Indicadores estadsticos que miden el grado de alejamiento o de
Dispersin que presenta el conjunto de Datos alrededor de su valor
Promedio. A mayor variabilidad, mayor ser la heterogeneidad en el
Conjunto. Pueden ser Absolutos: Rango, La Variancia y la Desviacin
estandart Relativos: Coeficiente de Variacin.
1. RANGO : Diferencia entre la observacin de mayor valor y la observacin de
menor valor. Es la ms Inestable de todas ellas.
R = Xmx - Xmn
2. VARIANCIA : La variancia de un conjunto de observaciones se define:
8
N
XN
1
2
Xi2
i
2
i
2 1
X X
S1
n
i
n
Tambin se tiene para datos continuos:
Poblacin:
Muestra:
3. DESVIACIN ESTANDART :
Es la raz cuadrada positiva de la variancia
4. COEFICIENTE DE VARIACIN: CV=Desviacin Estandart/|Media|
Medida de variabilidad relativa que indica la cantidad de veces que la
desviacin estndar contiene a la media aritmtica.
Interpretacin:
Coeficiente de Variabilidad en %
Calificacin: La Distribucin ser
0 Completamente homognea
0
EJERCICIOS RESUELTOS
1. Con las 20 viviendas de una urbanizacin se obtiene la siguiente
informacin sobre el consumo mensual de agua potable (en decenas de metros cbicos).
2 2.5 3 3.5 3.5 4 4 4 4 4.5
5 5.3 5.6 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9.2
Determine los valores de la media aritmtica, la mediana, la moda, el
cuartil 3, el rango, la variancia y el coeficiente de variabilidad. Interprete,
segn enunciado, cada uno de los valores hallados.
Determinacin de los valores de la media aritmtica, mediana y
moda
=
20=1
20=
2 + 2.5 + + 9.2
20= 5.18
=4.5 + 5
2= 4.75
= 4
Determinacin del valor de Q3=P75
Los datos estn ordenados
Ubicacin del Percentil :
75(20+1)/100 = 15.75 esta entre el 15 y 16
Interpolacin
Valor de la variable Ubicacin en el Pi
7 ------------ 16
P75 ------------ 15.75
6.5 ------------ 15
6.6
De donde: P75 = 7 (0.5)(0.25) = 6.875
Determinacin del valor de la Variancia
2 =
2 (20)(
2 )20=120
=616.84 (20)(5.18)2
20=
80.192
20= 4.0096
10
Determinacin del valor del Coeficiente de Variabilidad
=
||100 =
4.0096
5.18100 = 38.66%
INTERPRETACIONES :
2. En el siguiente cuadro se muestra informacin sobre la cantidad viajes al
exterior que realizaron al menos uno de los componentes de las familias residentes en la Zona A, durante el ao 2008.
N de viajes al exterior N de familias
0 500
1 250
2 100
3 40
4 10
Calcule e interprete los valores de la media aritmtica, la moda, el
percentil 50, el rango interdeclico, el rango, la desviacin estndar y el
coeficiente de variabilidad. Interprete los valores hallados.
Solucin:
1. Media: =(0)(500)+(1)(250)++(4)(10)
500+250++10 = 0.6778
2. Mediana: Mex = 0
3. MoX= 0
Deciles: D1=0 ; D9=P90= 2; RID = 2-0 = 2
4. Rango: RX= 4 0 = 4
5. Desviacin estandart:
=
[[(0)2(500) + (1)2(250) + + (4)2(10)] (610)2
900 ]
900=
756.556
900= 0.840617
= 0.916852
6. Coeficiente de variacin:
=0.916852
0.6778100 = 135.27%
11
3. En un estudio sobre el tiempo de espera (en semanas), desde que el mdico tratante decide que se debe operar hasta que se realiz la
intervencin quirrgica, de los pacientes del servicio de ciruga de Cabeza y Cuello, de los hospitales GAA y ERR., de una misma ciudad, se form el
siguiente cuadro, con datos de muestras aleatorias, de tamao 50 y 40, respectivamente:
Tiempo de espera (semanas) Marcas de
Clase
Hospital GAA Hospital ERR
Porcentaje de
Pacientes
Porcentaje de
Pacientes
Desde 4.4 a menos de 5.5 4.95 6 0
Desde 5.5 a menos de 6.6 6.05 8 7.5
Desde 6.6 a menos de 7.7 7.15 12 17.5
Desde 7.7 a menos de 8.8 8.25 16 35.0
Desde 8.8 a menos de 9.9 9.35 30 22.5
Desde 9.9 a menos de 11.0 10.45 20 12.5
Desde 11.0 a menos de 12.1 11.55 8 5.0
Total --- 100 100
a) Calcule los valores de las medidas estadsticas de tendencia central, variabilidad, asimetra y curtosis.
Clculo de las medidas estadsticas para la muestra de
pacientes del Hospital GAA
1. La Media: X1 (4.95)(0.06) + (6.05)(0.08) + + (11.55)(0.08) 8.778
2. Mediana: me1 8.8 + [0.50.42
0.3] (1.1) 9.0933
3. La Moda: mo1 8.8 + [0.3+0.16
0.3] (1.1) 9.4417
4. El Rango o amplitud : r1 12.1 4.4 7.7
SG2 (
50
49) [(4.95)2(0.06) + (6.05)2(0.08) + + (11.55)2(0.08) (8.778)2]
3.172669
SG 3.172669 1.781199
cvG 1.78199
8.778 100 20.29%
SKPG 3(8.7789.0933)
1.781199 0.5310
PG,10 5.5 + [0.10.06
0.08] (1.1) 6.05
12
PG,25 6.6 + [0.250.14
0.12] (1.1) 7.60833
PG,75 9.9 + [0.750.72
0.20] (1.1) 10.065
PG,90 9.9 + [0.90.72
0.2] (1.1) 10.89
Clculo de las medidas estadsticas para la muestra de pacientes
del Hospital ERR
XE (6.05)(0.075) + (7.15)(0.175) + + (11.55)(0.05) 8.58
meE 7.7 + [0.50.25
0.35] (1.1) 8.4857
moE 7.7 + [0.350.175
(0.350.175)+(0.350.225)] (1.1) 8.3417
rE 12.1 5.5 6.6
SE2 (
40
39) [(6.05)2(0.075) + (7.15)2(0.175) + + (11.55)2(0.05) (8.58)2] 1.936
SE 1.391402
cvE 1.391402
8.58 100 16.22%
PE,10 5.5 + [0.10.075
0.175] (1.1) 5.6571
PE,25 7.7
PE,75 8.8 + [0.750.6
0.225] (1.1) 9.533
PE,90 9.9 + [0.90.825
0.125] (1.1) 10.56
KuE (1
2) [
9.53337.7
10.565.6571] 0.187
13
b) Para la distribucin de tiempos de espera correspondiente a la muestra de pacientes del Hospital GAA, interprete, segn enunciado, los valores
de las tres medidas de tendencia central.
INTERPRETACIONES
c) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones.
ANLISIS
d) Establezca cuatro conclusiones, de gran importancia, uno para cada
grupo de medidas estadsticas.
CUATRO CONCLUSIONES
e) Qu conclusiones, de carcter comparativo, puede establecer con los
rangos intercuantlicos?
Rangos Intercuartlicos
RIQG 10.065 7.6083 2.4567
RIQE 9.5333 7.7 1.8333
CONCLUSIN
Rangos Interdeclicos
RIDG 10.89 6.05 4.84
RIDE 10.56 5.6571 4.9029
CONCLUSIN
Rangos Interpercentlicos
RIPG 11.9625 4.5833 7.3792
RIPE 11.88 5.6467 6.2333
f) Suponga que en el Hospital GAA, para el servicio quirrgico
ambulatorio, se realizar la compra de nuevos equipos de mayor
calidad, se aumentar la cantidad de equipos, ampliar el horario de atencin y se capacitar al personal que interviene en la operaciones
quirrgicas ambulatorias, por lo tanto, se debe reducir el tiempo de 14
espera de los pacientes para acceder al servicio quirrgico ambulatorio. Si se estima que el tiempo de espera se debe reducir en 20% por la
compra de nuevos equipos, y adicionalmente, se reducir el tiempo de espera en 0.25 semanas, qu ocurrir con la tendencia y la
variabilidad de la distribucin del tiempo de espera, por la mejoras que se realizarn? Justifique.
VALORES DE LAS MEDIDAS ESTADSTICAS DESPUS DE LAS MEJORAS
Y: Tiempo de espera despus de las mejoras.
YG (0.8)(8.778) 0.25 6.7724 ;
meG (0.8)(9.0933) 0.25 7.02464
moG (0.8)(9.4417) 0.25 7.30336; 1 (0.8)(7.7) 6.16
SG2 (0.8)2(3.172669) 2.030508;
SG (0.8)(3.172669) 1.424959
cvG (3.172669)(0.8)
(8.779)(0.8)0.25 100 21.04%
g) Si se considera que las dos poblaciones tienen iguales valores de
variancia, estime, para la dos poblaciones, los parmetros de dispersin afectados por la antes mencionada consideracin.
DATOS
Hospital Tamao de
muestra Promedio Variancia
GAA (1) 50 8.778 3.172669
ERR(2) 40 8.2775 2.139994
sp2 =
(49)(3.172669)+(39)(2.139994)
49+39= 2.175006216
cv1 =2.175006216
8.778 100 = 16.8%
cv1 =2.175006216
8.2775 100 = 17.82%
h) Si se considera que las dos poblaciones tienen iguales valores de variancia, as como iguales valores para la media, estime, para las dos
poblaciones, los parmetros de dispersin afectados por la antes mencionada consideracin.
15
DATOS
Hospital Tamao de
muestra Promedio Variancia
GAA(1) 50 8.778 3.172669
ERR(2) 40 8.2775 2.139994
Sp2 =
(49)(3.172669)+(39)(2.139994)
49+39= 2.175006216
Xp =(50)(8.778)+(40)(8.2775)
50+40= 8.5556
cv =2.175006216
8.5556 100 = 17.24%
i) Si los hospitales GAA y ERR son los nicos de la ciudad, estime la media, variancia y coeficiente de variabilidad de la distribucin de
tiempos de espera, desde que el mdico decide que se debe operar hasta que se realiza la operacin quirrgica, para el conjunto de
pacientes de los dos hospitales que deben tener la antes mencionada operacin.
=(50)(8.778)+(40)(8.2775)
50+40=
770
90= 8.5556
2 =
[(49)(3.172669)+(50)(8.778)2+(39)(2.139994)+(40)(8.2775)2](90)(8.5556)2
89
2 =
6832.2649976587.846222
89= 2.746278366
=2.746278366
8.5556 100 = 19.37%
4. Los precios de venta de 80 automviles nuevos que se vendieron el mes pasado en la agencia SOLO PARA TI fueron:
Precio de venta (miles de
dlares)
Nmeros de
ventas
De 12 a menos de 15 8
De 15 a menos de 18 23
De 18 a menos de 21 18
De 21 a menos de 24 17
De 24 a menos 27 8
De 27 a menos de 30 4
De 30 a ms 2
En esa misma agencia para los precios de los automviles vendidos en el
mismo mes el ao anterior se obtuvieron los siguientes resultados:
16
Medidas estadsticas
Media 16.5
Mediana 18.25
Moda 21.5
Rango 20
Variancia 27.4365
Desviacion estndar 5.2380
Coeficiente de variabilidad
31.7454
Al comparar ambos conjuntos de datos indique usted cuatro conclusiones
importantes, haciendo uso de las medidas estadsticas. Antes, realice los
clculos necesarios.
Solucin:
Clculo de las medidas estadsticas del mes de abril 2012
Precio de venta (miles
de dlares)
Nmero
de ventas
Mi Mi.fi M2.fi Fi
De 12 a menos de 15 8 13.5 108 1458 8
De 15 a menos de 18 23 16.5 379.5 6261.75 31
De 18 a menos de 21 18 19.5 351 6844.5 49
De 21 a menos de 24 17 22.5 382.5 8606.25 66
De 24 a menos de 27 8 25.5 204 5202 74
De 27 a menos de 30 4 28.5 114 3249 78
De 30 a ms 2 31.5
63 1984.5 80
Total 80 1602 33606
RID 26.25 15 11.25
P1 12 + [0.010
0.01] (3) 12.3; 99 30 + [
0.990.975
0.025] ( 3) 31.8
RIP 31.8 12.3 1 9.5
CUADRO RESUMEN
Medidas estadsticas
Abril 2012 Abril 2011
Media 20.025 16.5
Mediana 19.5 18.25
Moda 17.25 21.5
80 23.6471 22.12
Rando Mayor a 18
20
Variancia 19.074375 27.4365
Desviacin estndar
4.367422 5.2380
Coeficiente de
variabilidad 21.81% 31.7454%
RIQ 6.3766 -------
RID 11.25 -------
RIP 19.5 -------
CONCLUSIONES
5. En una empresa, 400 trabajadores forman el grupo 1, y lo conforman
operarios (subgrupo 1 A) y tcnicos (subgrupo 1B). La cantidad de trabajadores del grupo 1 es el 80% del total de trabajadores de la
empresa, y tienen un sueldo mensual promedio de 2730.5 nuevos soles. El otro 20% de los trabajadores de la empresa lo conforman los ejecutivos
y trabajadores administrativos (grupo 2), y tienen un sueldo mensual promedio de 6500 nuevos soles.
a) Si se conoce que el sueldo mensual promedio de los operarios es 2270 nuevos soles y el sueldo mensual promedio de los tcnicos es 3498
nuevos soles, halle el nmero de operarios y tcnicos que tiene la empresa.
N1=Nmero de trabajadores del grupo 1 = 400 = N1,A + N1,B
b) Si la direccin de la empresa establece una bonificacin de 50 soles para los operarios, una bonificacin del 8% del sueldo mensual para los
tcnicos, y una bonificacin de 200 soles para los trabajadores con del
grupo 2; halle el salario promedio para todos los trabajadores de la empresa.
Con la bonificacin, las medias de los sueldos son:
Para los operarios 1, = 1, + 50 = 2270 + 50 = 2320
Para los tcnicos 1, = (1,)(1.08) = (3498)(1.08) = 3777.84
Para los trabajadores del grupo 2 2 = 2 + 200 = 6500 + 200 = 6700
El 80% del total de trabajadores son del grupo 1 : N1,A + N1,B = 400
El 20% del total de trabajadores son del grupo 2
=1,1, + 1,1, + 22
1, + 1, + 2
=(250)(2320) + (150)(3777.84) + (100)(6700)
500= 3633.352
18
6. Una empresa constructora construy una carretera en cuatro meses, de la siguiente manera: el primer mes, construy 134 kilmetros, que
constituye el 10% del total de kilmetros que se comprometi a construir; el segundo mes, construy el 15% del total de kilmetros que se
comprometi a construir; el tercer mes, construy el 25% del total de kilmetros que se comprometi a construir y; el cuarto mes, construy lo
restante. Determine la cantidad promedio de kilmetros construidos por mes.
Si 134 Kms es el 10% del total de Kms que se construirn, En total, se
construirn 1340 Kms
Cantidad promedio de Kms construidos por mes = 1340/ 4 = 335 Kms
7. En una empresa exportadora se tiene la siguiente informacin sobre el
valor de los bienes exportados ( en miles de dlares): en el periodo 2000
al 2003 el valor de las exportaciones tuvo un crecimiento promedio anual del 40%; en el perodo 2003 al 2006, el crecimiento promedio anual fue
de 20% y ; para el perodo 2006 al 2011 se tuvo un crecimiento promedio anual del 30%. Adems, se conoce que en el ao 2000 las exportaciones
fueron de 200 mil dlares.
a) Calcule la tasa promedio de crecimiento anual para el perodo 2000
2011. Interprete el valor hallado.
Periodo 2000-2003 (1) ndices de 3 aos ,1 = 1.4
Periodo 2003-2006 (2) ndices de 3 aos ,2 = 1.2
Periodo 2006-2011 (3) ndices de 5 aos ,3 = 1.3
Periodo 2000-2011 (4) ndices de 11 aos
, = (1.4)3(1.2)3(1.3)511
= 1.297898
Tasa de crecimiento geomtrico promedio anual para 2000-2011
0.297898 = 29.7898%
INTERPRETACIN
c) Considerando el resultado de la pregunta anterior, determine la tasa de crecimiento promedio mensual; luego, estime la exportacin del mes
de octubre del ao 2012.
, = (,)1
12 = (1.297898)1
12 = 1.021967
, = 0.021967 , = 2.1967%
Exportacin del ao 2000 = 200
Exportacin del ao 2003 = (200)(1.4)3 = 548.8
Exportacin del ao 2006 = (548.8)(1.2)3= 948.3264
Exportacin del ao 2011 = (948.3264) (1.3)5 = 3521.06954
Exportacin mensual promedio para el 2011 = 3521.06954/12
= 293.422462
Estimado de la exportacin de octubre 2012
(293.422462)(1.021967)10 = 364.63813
8. Una empresa tiene tres talleres de confeccin de prendas de vestir. Se
seleccionaron al azar 30 semanas para cada uno de los talleres. Para el taller 1 se obtuvo la siguiente informacin sobre la cantidad de kilgramos
de retazos de tela:
25 28 29 29 30 32 32 32 33 34 34 34 35 35 35
36 36 36 36 36 37 37 37 37 38 38 38 39 40 41
Con esta informacin, un analista de control de calidad, obtuvo una media
aritmtica de 34.633 y una desviacin estndar de 3.718.
Para el taller 2, el analista de control de calidad obtuvo los siguientes
resultados:
Medida
Estadstica
Media
Aritmtica
Desviaci
n Estndar
Valor
Mnimo
Cuarti
l 1
Median
a
Cuarti
l 3
Valor
mximo
Valor 31.800 2.310 28.00
0
30.00
0
31.000 33.25
0
37.000
Para el taller 3, el analista de control de calidad tiene el siguiente grfico.
a) Para el taller 1, determine los valores de la moda, cuartil 1, cuartil 2, cuartil 3, rango y el coeficiente de variabilidad de la distribucin de la
variable de inters. Interprete los valores de la moda, el rango, cuartil 3 y el coeficiente de variabilidad.
Moda = mo = 36
Rango = = 41-25 = 16
Coeficiente de Variacin:
20
1 =1
1 100 =
3.718
34.633 100 = 10.7354%
b) Calcule los valores de las medidas de tendencia central, los cuartiles y
las medidas de variabilidad de la distribucin de la variable de inters
correspondiente al taller 3.
3 (19)(2)+(21)(3)++(29)(3)
30 24.3333
3 24 + [1513
10] (2) 24.4 3 24 + [
2
2+6] (2) 24.5
25 22 + [7.55
8] (2) 22.625
75 24 + [22.513
10] (2) 25.9
3 30 18 12
32
[(19)2(2)++(29)2(3)](30)(24.3333)2
29 6.990184
3 6.990184 2.643896
3 6.990184
24.3333 100 10.87%
c) Realice un anlisis comparativo entre las tres distribuciones.
Media estadstica Taller 1 Taller 2 Taller 3
Media aritmtica 34.633 31.8000 24.3333
Mediana 35.500 31.000 24.400
Moda 36.000 24.500
Cuartil 1 32.000 30.000 22.625
Cuartil 3 37.000 33.250 25.900
Rango 16.000 9.000 12.000
Desviacin
Estndar 3.718 2.310 2.643896
Coef. Variabilidad 10.74% 7.26% 10.87%
ANLISIS COMPARATIVO
9. Las ventas anuales (en millones de dlares) de una empresa durante el
perodo 2005-2011, se da a continuacin: 21
Ao 2005 2006 2007 2008 2003 2010 2011
Ventas 5 3.5 ------- ------- 5.8 4.5 -------
Adems, se conoce que la tasa de crecimiento de las venta del 2007
respecto al 2006 fue 10%, la tasa de crecimiento del 2008 respecto al
2007 fue 15%, y la venta del 2010 fue 11.11% superior a la venta del
2011.
a) Determine la tasa de crecimiento promedio anual. Interprete segn enunciado.
(2010 2011 ) =2010
2011= 1.1111 (2010 2011 ) =
4.5
2011= 1.1111
2011 =4.5
1.1111= 4.05004050
, = 4.05004050
5
6= 0.96549099 , = 0.034509 .34509%
INTERPRETACIN
b) Estime las ventas de la empresa para el ltimo trimestre del 2012.
, = (.)1 4
= (0.96549099)1 4 = 0.991258
Venta estimada del trimestre 4 del 2012
=(4.05004050/4) (0.991258) 4
10. Al estudiar las ventas (en millones de dlares) de una empresa para
ver los cambios en el tiempo registrados por ella en el perodo 2000 al 2011, se obtuvo la siguiente informacin: En el ao 2006 fue de 8
millones de dlares, en el perodo 2000 al 2006 se registr una tasa promedio de crecimiento del 1%; y en el perodo 2007 al 2011 las ventas
fueron:
Ao 2007 2008 2009 2010 2011
ventas 9.4 13.8 11.7 11.9 14.7
a) Con la informacin obtenida calcule la tasa promedio de crecimiento
para el perodo 2000 2011. Interprete el valor hallado.
Ao 200
0
200
1
200
2
200
3
200
4
200
5
200
6
200
7
200
8
200
9
201
2
201
1
Ventas
(Y)
8 9.4 13.
8
11.
7
11.
9
14.
7
22
La razn de crecimiento geomtrico promedio para el periodo 2000-
2006, fue 1.01, es decir:
1.01 = 2006
2000
6=
8
2000
6 2000 = 7.5364
Determinacin de la razn de crecimiento geomtrico promedio
para el periodo 2000-2011
, = 2011
2000
11=
14.7
7.5364
11= 1.06262 , = 6.262%
b) Considerado el resultado de la pregunta anterior, estime las ventas del
ao 2012.
Estimado de las ventas del 2012 = Estimado de Y2012 =
(14.7)(1.06262) = 15.620514
c) Usando el resultado obtenido en la pregunta a), determine la tasa de
crecimiento promedio trimestral. Luego, estime las ventas del primer trimestre del ao 2013.
,(,)1 4
= (1.06262)1 4 = 1.01530026 , = 1.530026%
Estimado de las ventas del primer trimestre del 2013
= (14.7/4) (1.01530026)5= 3.964878
11. En una empresa se ha formado dos grupos de trabajadores para la confeccin de camisas para atender dos contratos. Al grupo A se le asigna un contrato, y a cada trabajador del grupo se le encarga producir la misma cantidad de camisas. Si los trabajadores del grupo A confeccionan 100, 98, 103, 100, 100 camisas por da, respectivamente.
a) Determine la cantidad promedio de camisas por da.
=5
1100 +
198 +
1103 +
1100 +
1100
= 100.1747
b) El grupo B est conformado por 4 trabajadores, y se le asigna otro contrato. La informacin sobre la cantidad de camisas confeccionadas y
cantidad de das empleados por cada trabajador, se proporciona en el
23
siguiente cuadro.
Trabajador N de camisas Confeccionadas
N de das Empleados
1 200 3
2 150 2
3 210 5
4 180 3
Suponiendo los trabajadores del grupo A trabajaron en total 20 das,
determine la cantidad promedio de camisas confeccionadas por da para
el conjunto de los dos contratos.
=Nmero total de camisas confeccionadas
Nmero total de das trabajados=
(N camisas GrA)+(N camisas Gr B)
(N das trab Gr A)+(N das trab Gr B)
=(20)(100.1747)+(200+150+210+180)
(20)+(3+2+5+3)
12. Se desea evaluar los precios de cuatro insumos importantes utilizado en
la produccin de artculos para fijar los costos de produccin de la empre sa. Para ello, se hacen las cotizaciones, obtenindose la informacin sig:
Insumos Precios (miles de
dlares/Tm)
Cantidades (en Toneladas)
A 25 30
B 30 20
C 50 10
D 40 15
a) Si la empresa tuviera que comprar por montos iguales los cuatro insumos, calcule el precio promedio de compra de los insumos.
=4
125 +
130 +
150 +
140
= 33.8028169
b) Si la empresa compra igual cantidad de cada insumo, calcule el precio
promedio de compra de los insumos.
=25 + 30 + 50 + 40
4= 36.25
13. En una pequea empresa familiar, dedicada a la confeccin de prendas de vestir, laboran 5 trabajadores en la fabricacin de camisas. La empresa
firma dos contratos: A y B. Para el contrato A confeccionan 1400 camisas, con una productividad promedio por da 140 camisas. Para el contrato B,
24
cada trabajador confecciona 280 camisas, siendo la productividad por da de 100, 98, 103, 100, 100 camisas por da, respectivamente. Determine
la productividad promedio diaria, considerando los dos contratos.
Contrato A
N total de camisas confeccionadas = 1400
Cant. Promedio de camisas por da = 140 = A
Contrato B
Trabajador 1 2 3 4 5
N camisas
confeccionadas 280 280 280 280 280
N camisas por da
100 98 103 100 100
Cant. Promedio de camisas por da
= =5
1
100+
1
98+
1
103+
1
100+
1
100
= 100.174666
Cant. Promedio de camisas por da
= =Cant total de camisas
Cant de das=
(280)(5)
Cant de das= 100.174666
Cant. De das = (280)(5)/100.174666 = 13.9756
=1400+(280)(5)1400
40+13.9756
= 116.7854
14. Una empresa exportadora de esprragos ha observado un crecimiento del 10% de sus ventas del ao 2001 con respecto al ao
anterior, en el ao 2002 sus ventas disminuyeron en dos puntos porcentuales respecto al 2001, en el 2003 se incremento en 25% respecto
al ao anterior y sus ventas fueron de 10 millones de soles; finalmente, en el ao 2010 sus ventas ascendieron a 25 millones de soles. Halle la
venta del ao 2000 y estime la venta del 2011.
Ao 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10
Venta 10
Indice ---- 1.1 0.98 1.25
(03.02) =10
02= 1.25 02 =
10
1.25 02 = 8
25
(02,01) =8
01= 0.98 01 =
8
0.98 01 =
400
49= 8.16326531
(01,00) =(400 49 )
00= 1.1 00 =
(400 49 )
1.1 00 =
40000
5390= 7.42115028
La venta del ao 2000 fue, aprox. 7.42115028 millones de soles.
15. Con el propsito de estimar y comparar el gasto mensual, por consumo
de pastas, harinas y derivados (en nuevos soles), de las familias de las dos zonas, A y B, en las que est dividido un distrito. Se seleccionaron, aleatoriamente, 40 familias de A y 60 de B. Con los datos obtenidos de la muestra de familias de A, se form el siguiente cuadro de frecuencias.
Gasto mensual por consumo de Pastas, harinas y
derivados
Nmero de Viviendas
De 40 a menos de 50 2
De 50 a menos de 60 8
De 60 a menos de 70 16
De 70 a menos de 80 10
De 80 hasta 90 4
a) Determine los valores de las medidas estadsticas para la distribucin
de gastos mensuales por consumo de pastas, harinas y derivados, correspondiente a la muestra de la zona A. Interprete de los valores de la media aritmtica, la mediana, la moda, el percentil 90, el rango intercuartlico y el coeficiente de variabilidad.
(45)(2)+(55)(8)++(85)(4)
40 66.5
60 + [2010
16] (10) 66.25
60 + [8
8+6] (10) 65.7143
90 40 50
2
[(45)2(4)++(85)2(4)](40)(66.5)2
39
181000176890
39 105.384615
105.384615
66.5 100 15.44%
26
90 80
75 70 + [0.750.65
0.25] (10) 74; 25 60
74 60 14
b) En el siguiente cuadro, se presentan los valores de las medidas
estadsticas correspondientes a la muestra de familias de la zona B. Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones.
Medida: Valor
Promedio 98.5
Mediana 95.4
Moda 88.25
Rango 100
Variancia 146.4525
Rango intercuartlico
30
Percentil 90 125
ANLISIS COMPARATIVO
c) Es conveniente estimar el valor de la variancia ponderada? Por qu?
d) Estime el coeficiente de variabilidad de la distribucin del gasto
mensual en pasta, harinas y derivados de las familias del distrito. Compare el valor hallado con los valores estimados para las zonas A y B. Qu se puede concluir?
2 = (39)(105.384615) + (40)(66.5)2 = 18100040=1
2 = (59)(146.4525) + (60)(98.5)2 = 590775.697540=1
+ = (40)(66.5) + (60)(98.5) = 857060=1
40=1
=8570
100= 85.7
2 =
(151000+590775.6975)(8570)2
100
99
771775.6975734449
99 377.037348
=377.037348
85.7100 22.66%
27
405.384615
66.5 100 15.44%
146.4525
98.5100 12.9%
COMPARACIN
16. Una empresa dedicada a la exportacin de un producto nacional, tiene la
siguiente informacin de los ltimos 8 meses.
Mes Agosto 2011
Set. 2011
Oct 2011
Nov. 2011
Dic. 2011
Enero 2012
Febrero 2012
Marzo 2012
Cantidad
Exportada (en TM)
40 33 28 30
Tasa de Crec.
(en%)
16.67 8.57 15.79 2.27
a) Halle e interprete la tasa promedio de crecimiento geomtrico mensual.
Interprete, segn enunciado.
Mes
Ago
sto
2011
Setiemb
re 2011
Octubre
2011
Noviembr
e
Dic.
2011
Ener
o
2012
Ferb
.
2012
Mar
zo
2012
Cantidad
Exportada
(en TM)
40 33 28 30
I
ndices
------
33/40=0.825
28/33=0.8485
30/28=1.0714
11.667
1.0857
1.1579
1.0227
= (0.825)(0.8485)(1.0714)(1.1667)(1.0857)(1.1579)(1.0227)7
= 1.016966
= 1 = 0.6966%
INTERPRETACIN
b) Estime la cantidad exportada para el mes de mayo del 2012.
Estimado de la cantidad a exportar en mayo 2012
= (40) (1.016966) 9
= 73.3283
28
17. Suponga que el Valor de venta, en cientos de miles de dlares, de cierto
artefacto electrodomstico fue dos (2) , en el ao 2000. En el ao 2001, el valor de la venta disminuy en 5% en relacin al ao anterior. Para el
periodo 2001-2005, se observ un crecimiento promedio del 15%. Finalmente, para el perodo 2005-2007, el crecimiento promedio fue del
30%. Estime el Valor de venta del artefacto electrodomstico para el ao 2008, considerando la tasa de crecimiento promedio para el periodo de
estudio 2000-2007.
Ao 00 01 02 03 04 05 06 07
Ventas
(Y)
2 1.9
Indices ---- 0.95 1.15 1.15 1.15 1.15 1.3 1.3
, = (0.95)(1.15)4(1.3)27
= 1.15893
Estimacin para el 2008 _ (2) (1.15893) 8 = 6.5086
18. La empresa CONO S.A., que produce a pedido, tiene dos plantas de produccin. Con la informacin obtenida, de los costos por unidad (en
soles) de los 1000 lotes producidos por la planta A, y los 1200 lotes producidos por la planta B, desde que la empresa inici sus operaciones
hace dos aos, decide analizar estadsticamente dicha informacin, obteniendo los siguientes resultados.
Medidas Estadisticas Planta A Planta B
Promedio 68.6 86.2
Mediana 67.0 82.4
Moda 65.2 76.8
Desviacin estndar 17.0 24.6
Coeficiente de
Variabilidad
24.8% 28.5%
a) Es conveniente establecer una variancia comn para los dos conjuntos
de datos? Justifique, decuadamente, su respuesta.
b) Qu se puede afirmar de la variabilidad de la distribucin de los costos
de produccin por unidad para la empresa CONO, en relacin a los correspondientes a las distribuciones de los costos por unidad de las
dos plantas de produccin? Explique.
=(1000)(68.6)+(1200)(86.2)
2200= 78.2
2 =
(1000)(289+(68.6)2)+(1200)(605.16+(86.2)2)(2200)(78.2)2
2200
29
2 =
4994960+964272013453528
2200= 538.250909
=538.250303
78.2100 = 29.67%
COMPARACIN
c) Suponga que la empresa establece que la utilidad neta por unidad
producida es el 30% del costo por unidad producida ms 4 soles. Cules son los valores de la media y la desviacin estndar de la
distribucin de la utilidad neta por unidad producida? Justifique.
Y: Utilidad neta por unidad producida.
Y = (0.3) (X) + 4 ; donde X, es el costo por unidad producida.
, = (0.3)(,) + 4 = (0.3)(78.2) + 4 = 27146
, = (0.3)() = (0.3)(538.250303) = 6.960071
19. El distrito ST se divide en dos sectores, A y B. Para un estudio socioeconmico, se seleccionan al azar 60 familias del sector A y 80
familias del sector B. Con los datos de la variable Ingreso Familiar Mensual (en miles de soles), se obtienen los resultados que se
proporcionan en el siguiente cuadro.
Medida
Estadistica
Sector
A
Sector
B
Distrito
Si
Medida
estadstica
Secto
r A
Secto
r B
Distrit
o SI
Media 3.1000 5.3500 4.3857 Percentil
10
1.333
3
3.333
3
1.777
6
Moda 2.8000 5.6667 5.3478 Percentil
25
1.833
3
4.250
0
2.121
4
Rango 6.0000 7.0000 8.0000 Percentil 50
2.8000
5.3333
4.4093
Variancia 2.277966
2.255696
3.497636
Percentil 75
4.0000
6.3333
5.7331
Desviaci
n Estndar
1.509293
1.501898
1.870197
Percentil 90
5.5000
7.5000
6.8674
Realice un anlisis comparativo completo entre las distribuciones de
ingresos familiares mensuales de los sectores A y B, utilizando las
medidas estadsticas convenientes. Calcule los valores de las medidas
estadsticas necesarias. 30
RESUMEN DE PROPIEDADES DE LAS MEDIDAS ESTADSTICAS I
A. MEDIA ARITMTICA
1. Es un valor representativo, debido a que es el centro de gravedad o punto
de equilibrio de un conjunto de observaciones.
2. La suma de las desviaciones de las observaciones respecto a la media
aritmtica es igual a cero.
3. Si se sustituye el valor de cada observacin por el valor del promedio
aritmtico, la suma de todas las observaciones no cambia.
4. La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones con
respecto a la media aritmtica es un valor mnimo.
5. Si un conjunto de datos se divide en K subconjuntos, la media aritmtica
del conjunto es igual a la media ponderada de las medias de los K
subconjuntos, considerndose como ponderaciones pesos a las cantidades
de datos de los K subconjuntos
6. Si a cada observacin de un conjunto inicial de datos se le suma una
constante, la media aritmtica del nuevo conjunto de datos ser igual a la
media aritmtica del conjunto inicial ms la constante.
7. Si a cada observacin de un conjunto inicial de datos se le multiplica una
constante, la media aritmtica del nuevo conjunto de datos ser igual a la
media aritmtica del conjunto inicial por la constante.
8. El promedio aritmtico de la suma o diferencia de dos o ms variables es
igual a la suma o diferencia de las medias aritmticas de dichas variables.
Si: Yi = a + bXi entonces Y = a + b X
9. Desventajas de la Media:
La media puede estar afectada por los llamados valores extremos.
Solamente se puede aplicar si todos los datos u observaciones tienen
la misma importancia relativa.
B. MEDIANA
1. Divide a un conjunto de datos en dos partes iguales en cantidad de
observaciones; 50% de ellas son mayores que la mediana y el otro
50% son menores que la mediana.
31
2. La mediana est influenciada por el nmero de observaciones y no por
los valores de las observaciones.
3. No la afectan los valores extremos.
4. La suma de las desviaciones absolutas respecto a la mediana es
mnima.
C. MODA
1. Un conjunto de datos puede no tener moda o tener una o ms modas.
2. No est afectada por los llamados valores extremos.
3. Se aplica a conjuntos de datos cualitativos o cuantitativos.
4. La moda muestral es inestable.
D. RANGO
1. Tiene la misma unidad de medida que las observaciones.
2. Se utiliza para tener una idea rpida del grado de dispersin de un
conjunto de datos.
3. Es poco confiable.
4. El rango muestral es muy inestable.
5. El valor del rango no vara cuando se suma una constante K a cada
observacin de un conjunto de datos.
6. El valor del rango si vara cuando se multiplica por constante K a
cada observacin de un conjunto de datos.
E. VARIANCIA
1. Es confiable.
2. Su valor numrico est expresada en unidades cuadrticas.
32
3. No cambia de valor cuando se suma una constante a cada observacin
de un conjunto de datos.
4. Cambia de valor si se multiplica por una constante K, a cada
observacin de un conjunto de datos.
F. DESVIACIN ESTANDAR
1. Confiable.
2. Tiene la misma unidad de medida que los datos originales.
3. No cambia de valor cuando se suma una constante a cada observacin
de un conjunto de datos.
4. Cuando se multiplica a los datos por una constante K, el valor de la
desviacin estndar cambia segn la relacin siguiente:
G. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD
1. No tiene unidad de medida.
2. No aplicable cuando la distribucin tiene media cero.
3. Se afecta su valor cuando se suma una constante K a cada
observacin de un conjunto de datos.
4. No cambia de valor cuando se multiplica por una constante K a cada
una de las observaciones.
33
Y XK Y XS K S
1.5. GRFICOS ESPECIALES
1. DIAGRAMA DE PARETO:
Es una herramienta estadstica que permite organizar por orden de relevancia los problemas o las causas que los generan,para corregirlo.
La grfica es muy til en temas relacionados con gestin de la calidad, al analizar las causas de un problema, evaluar los resultados de los cambios
efectuados a un proceso (antes y despus) y para Identificar oportunidades de mejora continua.
PASOS PARA CONSTRUIR EL DIAGRAMA DE PARETO
1. Ordenar las categoras de la tabla de mayor a menor frecuencia.
2. Calcular las frecuencias acumuladas porcentuales Pi 3. En un sistema de Ejes Perpendiculares XY:
a) En el Eje Horizontal: se colocan las categoras igualmente
espaciadas b) En el Eje Vertical izquierdo: se marcan los valores de las
frecuencias porcentuales pi respectivas. c) En el Eje Vertical derecho: se marcan los valores de las
frecuencias porcentuales acumuladas Pi respectivas. d) Sobre el Eje horizontal, se construye rectngulos adyacentes, con
el mismo ancho pero cuyas alturas son estn determina das por el valor de las frecuencias porcentuales pi.
e) Se construye la curva formada por los puntos de interseccin entre la Frecuencia acumulada (Pi) y la prolongacin de los lados
derechos verticales de cada rectngulo.
4. Se traza un eje horizontal al nivel de % acumulado sealado(si no
hay indicacin se toma el 50%) que intersecta a la curva anterior en un punto por el cual se proyecta hacia el eje horizontal,la cual
indicar la(s) categora(s) ms relevante(s) que sern corregidas.
Ejemplo 2.5-1:
En un estudio de mercado de formacin on-line(E-Learning, o Educacina
distancia por medio de Internet) se tom una muestra aleatoria de tamao 40 encontrndose los siguientes resultados:
34
Asignatura Preferida
Jvenes
Adultos
Artes 5 2
Fotografa y videos 10 8
Informtica 15 10
Finanzas 5 15
Comercio 5 15
Total 40 50
Determine las asignaturas que se deberan recomendar en un programa educativo de educacin a distancia para atender al menos al 70% de dicho
pblico adulto.
Solucin:
1. Ordenamos las categoras en orden decreciente de sus frecuencias:
2. Calculamos las frecuencias porcentuales simples y acumuladas:
3. El Diagrama de Pareto en Minitab ser:
% de Adultos 30 30 20 16 4
Porcentaje 30.0 30.0 20.0 16.0 4.0
% acumulado 30.0 60.0 80.0 96.0 100.0
Asig. Preferida ArtesFoto y videosInformFinanzasComercio
100
80
60
40
20
0
100
80
60
40
20
0
% d
e A
du
lto
s
% A
cu
mu
lad
o d
e A
du
lto
s96
70
DIAGRAMA DE PARETO
35
Asignatura Preferida
Adultos fi
Finanzas 2
Comercio 8
Informtica 10
Fotografa y videos 15
Artes 15
Total 50
Asignatura Preferida
% de Adultos pi
% acumulado De Adultos Pi
Finanzas 30.0 30.0
Comercio 30.0 60.0
Informtica 20.0 80.0
Fotografa y videos 16.0 96.0
Artes 4.0 100.0
Total 100.0 -
Del Grfico de Pareto se observa que la lnea vertical proyectada para
el porcentaje requerido a un nivel del 70%, invade hasta la categora
Informtica,Por lo tanto se concluye que:
Cualquier propuesta debera de involucrar asignaturas de:
Finanzas, Comercio Informtica,para atender al menos al 70%
del Pblico Adulto.
2. GRFICA DE TIEMPO
Se utiliza para representar la evolucin temporal que experimenta una
variable cuantitativa continua, tales como: Precio mensual, Incremento de
las ventas anuales, Evolucin anual del PBI,etc.
El grfico refleja caractersticas propias de comportamiento,como:
Aumentos y/ disminuciones peridicas de la variable.
Tendencia creciente o decreciente durante el perodo de anlisis.
Prediccin al alza o a la baja para el siguiente Perodo de tiempo.
Su construccin se realiza en un sistema de ejes Perpendiculares XY:
Eje Horizontal: Se ubican los perodos de tiempo
Eje Vertical: Los valores de la variable en cada perodo de tiempo
La Grfica no debe intersectarse con el Eje Horizontal; si hay valores
Negativos, estos se colocan por encima del eje horizontal,
Adaptando la escala del eje vertical.
Ejemplo 2.9-2:
En el Informativo de Empleo del INEI, del 09 de agosto del 2012,
se presenta la siguiente informacin sobre la Tasa de Desempleo
Mensual en Lima Metropolitana.
36
Mes Tasa Mensual(%)
Enero 10.8
Febrero 11.1
Marzo 9.9
Abril 11.0
Mayo 9.7
Junio 9.0
Julio 8.2
Construya un grfico con sta informacin y realice un breve anlisis del
comportamiento del desempleo en Lima Metropolitana entre los meses
de Enero y Julio del 2012.
Solucin:
La variable continua,Tasa de desempleo, evoluciona mensualmente
Entonces utilizaremos una Grfica Temporal para representarla.
Para graficarla,elaboraremos la tabla horizontal temporal:
Meses Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio
Tasa Mensual % 10.8 11.1 9.9 11.0 9.7 9.0 8.2
Usando el software Minitab,tenemos:
Grfica 11
Anlisis:
1. En los Perodos de Enero-febrero y de Marzo-Abril, la tasa
mensual de desempleados en Lima Metropolitana aument,pero en el resto de los perodos,este disminuy.
2. La Tasa Mensual de desempleo en Lima Metropolitana durante los meses de Enero-Agosto,en el ao 2012, present un
comportamiento cuya tendencia fue decreciente. 3. Se pronostica que para el perodo: Agosto-setiembre la tasa
mensual de desempleo en Lima Metropolitana, seguir disminuyendo.
37
JulioJunioMayoAbrilMarzoFebreroEnero
11.5
11.0
10.5
10.0
9.5
9.0
8.5
8.0
Meses
Ta
sa
Me
nsu
al(
%)
8.2
9.0
9.7
11.0
9.9
11.1
10.8
EVOLUCIN DE LA TASA MENSUAL DE DESEMPLEO EN LIMA DURANTE EL PERODO: ENERO-AGOSTO DEL 2012
Fuente: INEI
PRACTICA CALIFICADA N 2
1) Suponga que se tiene el siguiente cuadros de frecuencia formado con los
datos por una muestra aleatoria de inmigrantes peruanos residentes en el
Japn (A) y con los datos proporcionados por muestra aleatoria de
inmigrantes peruanos residentes en Espaa (B). Los datos
correspondientes a remesas de dinero (en dlares USA) enviados durante
el mes de diciembre del 2008.
Remesa Enviada
% de Inmigrantes
(En decenas de $) Japn(A) Espaa (B)
Desde 25 a menos de 50 15 10
Desde 50 a menos de 75 30 15
Desde 75 a menos de 100 25 20
Desde 100 a menos de 125 15 25
Desde 125 a menos de 150 10 15
Desde 150 a menos de 175 3 12
Desde 175 hasta 200 2 3
Total 100 100
a) Construya y realice un anlisis comparativo de los grficos adecuados
correspondiente a los porcentajes acumulados.
b) Para ambos grupos inmigrantes, determine el porcentaje de ellos que
enviaron entre 600 y 900 dlares USA en el mes de diciembre del 2008
c) Calcule los valores de las medidas de tendencia central de las
distribuciones de remesas de dinero correspondiente a diciembre del
2008. Interprete las medidas estadsticas de la distribucin de remesas de
dinero correspondiente a la muestra de inmigrantes peruanos en Espaa
(B).
d) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, considerando
los valores de las medidas estadsticas obtenidas en la pregunta anterior.
e) Suponga que segn estudios realizados se ha determinado que, en
promedio, cada inmigrante peruano en Japn enviar en el mes de enero
2009, una remesa de dinero que ser inferior en 35% al que envi en el
mes de diciembre del 2008. Estime los valores de as medidas e tendencia
central de la de la distribucin de remesas de dinero que enviarn los
inmigrantes peruanos en el Japn en el mes de enero del 2009.
38
2) La empresa industrial MECASIST S.A. dispone de la siguiente informacin
de ingresos y gastos de la empresa (en millones de S/.) del periodo 2001-
2008.
Ao 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
Ingresos 2.0 3.5 4.0 5.3 6.5 6.8 6.0 5.6
Egresos 2.4 3.2 4.3 4.5 5.6 5.8 5.4 5.2
Establezca el los grficos necesarios para a analizar la informacin dada
y la de las utilidades anuales..Qu conclusiones importantes puede
obtener?
3) La empresa distribuidora de perfumes LA OLOROSA realiza una encuesta,
seleccionando, aleatoriamente, 80 de sus clientes. La encuesta tiene
como objetivo, 50 encuestados, 50 sealaron por lo menos una
deficiencia. La informacin, sobre las deficiencias sealadas por los
encuestados, se resume en el siguiente cuadro.
Construya un grfico apropiado con la informacin proporcionada. Qu
debe hacer la empresa para mejorar su servicio e imagen?
Segunda PC 2
1. Con el propsito de estimar y comparar el monto cobrado por telefona
fija de dos empresas operadoras,A y B, en un distrito de Lima
Metropolitana en el mes de agosto del presente ao, se tomaron
muestras aleatorias e independientes de clientes, registrndose los
siguientes montos facturados de 50 clientes de A, en nuevos soles:
39
Deficiencia Nmero de veces
Demora en la entrega del pedido 35
Mala facturacin 52
Entrega incompleta del pedido 30
Falta de informacin sobre precios 18
Embalaje inadecuado 25
Mala atencin del vendedor 40
Total 200
97.07 104.91 109.93 110.60 110.84 111.41 111.64 112.86 113.17 114.04
115.00 115.15 115.63 115.70 116.85 117.04 117.59 117.63 119.19 119.20
119.23 119.82 120.40 122.44 123.52 123.83 124.13 124.43 124.53 126.08
126.08 126.11 126.63 126.82 127.61 128.10 128.24 128.26 129.53 129.81
129.93 130.25 130.34 131.04 133.02 135.63 138.23 139.77 140.94 143.42
Para la empresa B se tiene el siguiente cuadro de frecuencias:
Monto facturado (en soles) % de Clientes
Desde 105.0 a menos de 114.0 3
Desde 114.0 a menos de 123.0 7
Desde 123.0 a menos de 132.0 8
Desde 132.0 a menos de 141.0 24
Desde 141.0 a menos de 150.0 35
Desde 150.0 a menos de 159.0 15
Desde 159.0 hasta 168.0 8
Total 100
a) Construya un cuadro comparativo de los montos pagados por telefona
fija por los clientes seleccionados de las dos empresas ene Studio y luego
a partir de l determine los valores de las medidas estadsticas de
tendencia central.
b) Interprete los valores de las medidas de tendencia central para la
empresa A.
c) Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, considerando
los valores de las medidas estadsticas obtenidas en la pregunta b).
d) Para las dos empresas, determine el valor mnimo del monto mensual en
telefona fija para estar dentro del cuarto superior de los que ms gastan
en telefona fija. A qu medida estadstica corresponde los valores
hallados? Para cul de las empresas es mayor?.
e) Si en el mes de agosto se hubiera aplicado una reduccin de la renta
bsica que hubiera implicado una reduccin de 25 soles en el monto
facturado para cada cliente, determine para la empresa A los valores de
las medidas de tendencia central considerando la reduccin de 25 soles.
40
2.- Se dispone de la siguiente informacin con respecto a los anlisis de
rentabilidad de Telefnica del Per, en decenas de miles de dlares:
Fuente: Memorias Anuales de Telefnica del Per.
Establezca el (los) grficos necesarios para analizar esta informacin.
Qu conclusiones importantes puede obtener?
3. Con las 20 viviendas de una urbanizacin se obtiene la siguiente
informacin sobre el consumo mensual de agua potable (en decenas de
metros cbicos).
2 2.5 3. 3.5 3.5 4 4 4 4 4.5
5.3 5.6 6 6.5 7 7.5 8 8.5 9.2 9.5
Determine los valores de la media aritmtica, mediana y moda, para los
datos no organizados en cuadros de frecuencia. Interprete, segn
enunciado, cada uno de los valores hallados.
4. En una empresa grfica se realiza un control de calidad de los talonarios
de facturas impresas. Se seleccionaron 200 talonarios de facturas,
obtenindose la siguiente informacin:
Deficiencia encontradas en el corte de papel
Deficiencia Nmero de
veces
Corte de
papel
20
Engrapado 10
Numeracin 15
Impreso 5
Total 50
Construya un grfico apropiado para la informacin proporcionada. Qu
acciones debe tomar la empresa para superar el 70% de las deficiencias
encontradas? 41
Ao 2004 2005 2006 2007
Ingresos 4085 4193 4499 44.22
Unidad Neta 182 176 178 91
5.- En un estudio sobre los gastos semanales en gasolina de los automovilistas
de los distritos de san Isidro y de Lince, se tomaron muestras aleatorias cuyos
resultados fueron:
Gasto semanal en
gasolina (nuevos soles)
Nmero de
automovilistas
en San Isidro
Porcentaje de
automviles en
Lince
De 50 a menos de 80 5 20
De 80 a menos de 110 5 30
De 110 a menos de 140 20 25
De 140 a menos de 170 35 15
De 170 a menos de 200 25 10
De 200 a menos de 230 10 0
a)- Calcule los valores de las medidas de tendencia central para los dos
distritos. Luego, interprete, para San Isidro, los valores de las medidas de
tendencia.
b)- Realice un anlisis comparativo de las dos distribuciones, utilizando los
valores de las medidas de tendencia central calculadas en la pregunta anterior.
c)- Cul de las dos distribuciones presenta mayor valor del Rango
Intercuartlico? Justifique su respuesta.
d)- Para los dos distritos, determine el valor mnimo del gasto semanal en
gasolina para estar dentro del quinto superior de la distribucin respectiva. En
qu porcentaje es mayor o menor el valor mnimo del gasto semanal en
gasolina para estar dentro del quinto superior correspondiente a San Isidro en
relacin al respecto valor minimo correspondiente a Lince?
6.- En un estudio comparativo de os gastos semanales en movilidad (en nuevos
soles) que realizan los trabajadores de la empresa MIVOL S.A, encontrando los
siguientes resultados:
Medidas estadsticas Trabajadores
estables (1)
Trabajadores
eventuales (2)
Promedio 45.730 64.450
Mediana 46.332 63.826
Suma de cuadrados corregida 9424.902 5947.11
42
La empresa MIVOL S.A, cuenta con 180 trabajadores, de los cuales 78 son
eventuales.
Adems, se conoce que los trabajadores estables gastan en su movilidad
semanal, el 10% de su sueldo semanal, mientras que, los trabajadores
eventuales gastan el 12% de su sueldo semanal para su movilidad semanal.
a)- Determine los montos de la mediana y el promedio de los montos
semanales no destinados a movilidad de los trabajadores estables.
b)- Calcule el promedio de los montos no destinados a movilidad semanal de los
trabajadores de la empresa.
43
Estadstica 1 CONTROLES 2
1. La medida estadstica considerada como el valor de equilibrio del nmero
de observaciones de una poblacin o muestra, es:
A) La media aritmtica
B) La mediana
C) La moda D) El percentil 75
2. Marque la afirmacin correcta
A) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la
mediana es mayor o igual que la suma de las distancias de las observaciones son respecto a la media aritmtica.
B) La suma de los cuadrados de las diferencias de las observaciones con respecto a la mediana es mayor o igual que la suma de los cuadrados
de las diferencias de las observaciones con respecto a la media aritmtica.
C) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana nunca es igual que la suma de las distancias de las
observaciones con respecto a la media aritmtica.
D) La suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana es mayor que la suma de las distancias de las observaciones
con respecto a la moda.
3. Marque la afirmacin correcta.
A) La moda muestral y la mediana muestral estn afectados por los llamados valores extremos.
B) La media aritmtica, la mediana y la moda se puede aplicar a cualquier tipo de dato.
C) La media aritmtica muestral es ms inestable que la media muestral.
D) Cuando un cuadro de frecuencias para datos continuos tiene alguno
de sus intervalos extremos abiertos, puede existir dificultad para el clculo de la mediana.
4. La medida estadstica considerada como el valor de equilibrio de los
valores de las observaciones es:
A) La media aritmtica
B) La mediana C) La moda
D) El percentil 75
5. Marque la alternativa correcta con respecto a la moda:
A) La ventaja de la moda sobre la mediana es que no se afecta con los
valores extremos. B) El percentil 50 es mayor que el valor modal cuando existen valores
extremos bajos. 44
C) Cuando se tiene una distribucin unimodal con valores extremos altos, el valor de la media aritmtica es inferior al valor modal.
D) La moda es el dato que tiene mayor frecuencia dentro de un conjunto de datos cualitativos o cuantitativos y puede no existir o
tomar uno o ms valores dentro de dicho conjunto.
6. Marque la alternativa correcta.
A) Si la nota promedio de los 18 alumnos del aula A es 18 y la de los 14 alumnos del , aula B es 14, la nota promedio de los alumnos de
ambas secciones no es mayor de 16. B) Si la edad promedio de 10 personas es 12 y la edad promedio de 12
personas es 10, entonces la edad promedio de todas estas personas es 11.
C) Para un conjunto de 15 personas la suma de sus edades es 180 y
para otro conjunto 20 de personas la suma de sus edades es 240, entonces la edad promedio de todas ellas est entre 15 y 20.
D) Cuando se juntan dos muestras que tienen medias: 252 y 252, entonces el valor de la media del conjunto total es igual a 252.
7. Marque la afirmacin correcta:
a. El valor de la media aritmtica simple nunca coincide con el valor de un
decil.
b. La suma de los valores absolutos de las desviaciones de las observaciones
con respecto a su media aritmtica es menor o igual que la suma de los
valores absolutos de las desviaciones de las observaciones con respecto a
cualquier otra constante real.
c. Para una distribucin asimtrica, la suma de los valores de los cuadrados
de las desviaciones de las observaciones con respecto a su media
aritmtica es menor o igual a la suma de los cuadrados de los valores de
las desviaciones de las observaciones con respecto a su moda
d. Las suma de las distancias de las observaciones con respecto a la mediana
es menor que la suma de las distancias de las observaciones con respecto
a la media aritmtica, cuando la distribucin tiene valores extremos
bajos
8. Respecto al coeficiente de variablidad muestral la afirmacin correcta es:
a. No tiene unidad de medida y es constante.
b. Mide la variabilidad relativa y siempre tiene valor no negativo.
c. Mide la variabilidad absoluta y siempre tiene valor no negativo.
d. No es aplicable cuando al media aritmtica es igual a cero y no puede ser
mayor al 100 %.
e. No es aplicable cuando la media aritmtica tiene un valor negativo.
9. Marque la afirmacin correcta:
45
a. El coeficiente de variablidad solo es aplicable cuando se comparan dos
poblaciones de tamaos diferentes.
b. La variancia ponderada muestral es representativa cuando la variabilidad
absoluta poblacional entre los grupos es similar.
c. El coeficiente de variabilidad es una medida de dispersion relativa que no
se altera de valor cuando se suma una cantidad constante negativa a las
observaciones de una muestra.
d. El coeficiente de variabilidad se debe utilizar para comparar la tendencia
de dos conjuntos de datos que tienen diferentes unidades de medida.
10. En cuanto a las medidas de variabilidad marque la alternativa correcta:
a. El coeficiente de variabilidad no es aplicable cuando no existen valores
extremos.
b. El rango es una medida de variabilidad relativa que tiene la ventaja de
ser fcil de calcular.
c. Al estudiar el gasto semanal en gasolina de los automovilistas de dos
distritos que tienen como consumo pormedio 35 y 60 nuevos soles, la
comparacin de la variabilidad de los consumos debe ser efectuada con la
desviacin estndar.
d. Para comparar la homogeneidad de dos conjuntos de datos para los
cuales los valores de sus promedios aritmticos son similares y estan
expresados en unidades de medida diferentes, se debe utilizar el
coeficiente de variabilidad.
11. Marque la alternativa correcta:
a. Cuando a cada observacin se le resta una constantes igual a 25;
entonces, la variancia de las nuevas observaciones es mayor que la
variancia de los datos originales.
b. Si a cada observacin se le multiplica la constante -5, entonces la
desviacin estndar de las nuevas observaciones ser igual a la
desviacin estndar de las observaciones originales multiplicada por -5.
c. Con los ingresos mensuales de los empleados de una empresa se tiene
una desviacin estndar de 252 soles y un coeficiente de variabilidad de
28%. Si a todos los empleados se les otorga un incremento de 300
nuevos soles en sus ingresos mensuales, el valor del coeficiente de
variabilidad de los nuevos ingresos mensuales es igual a 28%.
d. Suponga que x es el gasto semanal en movilidad que realizan los
alumnos de la UP y que su variancia es 80. Si se define el ingreso
semanal por alumno como W=6x+60, variancia de W es 2880
12. Marque la afirmacin correcta:
a) El coeficiente de variabilidad es aplicable cuando se comparan poblaciones de tamaos iguales o diferentes. 46
b) Me = 72. Esto significa que el 50% de los datos de la distribucin es igual a 72.
c) Para un mismo conjunto de datos, u siempre tiene un valor mayor o igual que Me.
d) P60 = 42 esto significa que el 42% de las observaciones son mayores a 60.
13. Marque la afirmacin correcta:
a) La desviacin estndar o es el promedio de las distancias de las
observaciones con respecto a la media aritmtica. b) La varianza o2 es el promedio de las distancias de las observaciones
con respecto a la media aritmtica. c) La suma de cuadrados corregida es un valor mnimo.
d) La suma de los cuadrados de las desviaciones de las observaciones respecto a la mediana es un valor mnimo.
14. Marque la afirmacin correcta:
a) Si la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa es 36%; entonces , en promedio, las ventas crecieron trimestralmente
a una tasa promedio igual al 9%. b) Si la tasa de crecimiento promedio anual de las ventas de una empresa
es 36%, entonces, la razn de crecimiento geomtrico promedio anual es 0.64.
c) Dos distribuciones son unimodales y simtricas, luego las dos tienen la misma variabilidad.
d) La media de una distribucin simtrica es igual a 40; luego, el 50% de las observaciones son menores o iguales a la moda, y el otro 50% de
las observaciones son mayores que el valor de la moda.
15. Marque la afirmacin correcta:
a) Cuando se suma una constante a cada observacin de un conjunto de
datos, se ven afectados la media aritmtica, la mediana, la variancia y el rango.
b) Cuando se suma una constante a cada observacin de un conjunto de datos, se ven afectados la media aritmtica, la mediana, el primer decil
y el coeficiente de variabilidad. c) Cuando se multiplica por una constante a cada observacin de un
conjunto de datos, se ven afectadas solamente las medidas de tendencia central.
d) Cuando se multiplica por una constante cada observacin de un conjunto de datos, se ven afectadas todas las medidas de variabilidad.
16. Marque la afirmacin correcta:
a. En la representacin tallo-hoja, las hojas se asocian a las cifras o dgitos ms significativos.
b. En la representacin tallo-hoja, la primera hoja tiene que salir necesariamente del dato ms pequeo disponible.
47
c. Las curvas Ojivas son no decrecientes. d. Los grficos circulares no sirven para realizar comparaciones.
17. Marque la afirmacin correcta
a. El grfico de Pareto permite analizar los cambios de una variable a
travs del tiempo. b. Para construir los polgonos de frecuencia se deben usar las marcas
de clase. c. En un cuadro de frecuencias para datos continuos los intervalos
siempre tienen el mismo tamao. d. Los intervalos de clase no siempre son colectivamente exhaustivos.
18. Marque la afirmacin correcta
a. En la tcnica tallo-hoja, el nmero de tallo determina el nmero de intervalos de clase.
b. Con la tcnica tallo-hoja se establece que el lmite superior del
ltimo intervalo sea igual a la observacin de mayor valor. c. Para comparar dos conjuntos de datos, sus cuadros de frecuencias
deben tener la misma cantidad de intervalos. d. Para comparar dos conjuntos de datos, mediante sus cuadros de
frecuencias, nunca se debe trabajar con tamaos de muestra diferentes.
19. Marque la afirmacin correcta:
a. La suma de los valores absolutos de las observaciones con respecto
a la media aritmtica es igual a cero. b. La suma de las desviaciones absolutas de las observaciones con
respecto a la mediana nunca puede ser cero. c. La suma de las desviaciones de las observaciones con respecto a la
mediana puede ser negativo.
d. La tcnica tallo-hoja siempre es aplicable a cualquier conjunto de datos.
20. Marque la alternativa correcta.
A) Si la nota promedio de los 18 alumnos del aula A es 18 y la de los 14
alumnos del, aula B es 14, la nota promedio de los alumnos de ambas secciones no es mayor de 16.
B) Si la edad promedio de 10 personas es 12 y la edad promedio de 12 personas es 10, entonces la edad promedio de todas estas personas
es 11. C) Para un conjunto de 15 personas la suma de sus edades es 180 y para
otro conjunto 20 de personas la suma de sus edades es 240, entonces
la edad promedio de todas ellas est entre 15 y 20. D) Cuando se juntan dos muestras que tienen medias: 252 y 252,
entonces el valor de la media del conjunto total es igual a 252.
Prof: MILE LEN
48