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Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL
Leccion: Metodos numericos para el calculo del FIT K I
Mecanica de la Fractura
Grupo de Elasticidad y Resistencia de MaterialesUniversidad de Sevilla
Vladislav Mantic, Federico Parıs, Jose Reinoso
5 de mayo de 2016
Jose Reinoso Cuevas1 / 27
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Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL
Contenidos
1 Introduccion: calculo del FIT K I
2 Metodos numericos: Fundamentos del MEF
3 Interpolacion isoparametrica
4 Aplicacion del MEF en MFEL
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Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL
Metodos para el Caculo del FIT K I
Existen muy pocos problemas en los que se puedan determinar deforma analıtica G y K I → procedimientos alternativos
Metodos analıticos:Relacion de K I y la flexibilidad C Metodos de funciones de ponderacion (peso)Principo de superposicion
Metodos numericos:Metodo de los Elementos Finitos (MEF)Metodo de los Elementos de Contorno (MEC)
MEF es el mas empleado en aplicaciones practicas debido a su granversatilidad para distintas geometrıas, materiales, condiciones decarga
Sin embargo el MEC puede resultar mas adecuado para ciertos
problemas de la MFEL
Tecnicas experimentalesExtensometrıaFotoelasticidadRelacion de K I y la flexibilidad C Metodo de causticas
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Contenidos
1 Introduccion: calculo del FIT K I
2 Metodos numericos: Fundamentos del MEF
3 Interpolacion isoparametrica
4 Aplicacion del MEF en MFEL
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Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL
Fundamentos del MEF
Metodo de Elementos Finitos: tecnica numerica para la resolucionde ecuaciones diferenciales de forma aproximada
El dominio bajo estudio se discretiza en una serie de subdominios(elementos)
Aplicacion al problema del solido deformable → se discretiza(aproxima)
1 Geometrıa del solido2 Variables elasticas: tensiones, deformaciones y desplazamientos
Ecuaciones de gobierno1 Equilibrio interno2 Compatibilidad: relacion entre deformaciones y desplazamientos
(ε
−u)
3 Ley de comportamiento: relacion entre tensiones y deformaciones(σ − ε)
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Fundamentos del MEF
El solido se discretiza en pequenos subdominios = elementos finitos2D: triangulos/cuadrilateros; 3D: tetraedros/prismas
e1
e2
e3
e1
e2
e3 ∪
Discretización
∪
e1
e2
e3
Punto de integración
Nodo
Coordenada nodal
Ingredientes basicos que componen un modelo MEFNodos → grados de libertad nodales (incognitas): desplazamientosElementos
→ Conectividad inter-elemental: malla
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K
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Fundamentos del MEF
Teorema de los desplazamientos virtuales (TDV): si
D
εψ
ij σij dV =
D
ψi X i dv + ∂ D
ψc
i t
c
i ds
se cumple ∀ εψij y ψi campos de desformaciones y desplazamientoscompatibles ⇒ σij , t
c i y X i estan en equilibrio.
Ecuaciones de equilibrio interno (campo real):
σij , j + X i = 0 en D ; t i = σij n j en ∂ D t
Ecuaciones de compatibilidad (campo virtual):
εψ =
1
2 (ψi , j + ψ j ,i ) en D ; ψi = ψi en ∂ D u
Ley de comportamiento (elastica lineal):
σij = Cijkl εkl ; σ = C : ε
conCijkl = C jikl = Cijlk ; Cijkl = Cklij
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I t d i´ ´l l d l FIT K M t d ´ i F d t d l MEF I t l i´ i t i A li i´ d l MEF MFEL
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Fundamentos del MEFEn la notacion de Voigt (pseudovectores de orden 6 × 1 en lugar detensores 3× 3)
σ = (σ11, σ22, σ33, σ23, σ13, σ12)T, ε = (ε11, ε22, ε33, γ 23, γ 13, γ 12)T
σ = Cε = CBu, ε = Bu
El operador de compatibilidad desplazamientos-deformacion (3D):
B =
∂ ∂ x
0 0
0 ∂ ∂ y
0
0 0 ∂
∂ z
0 ∂ ∂ z
∂ ∂ y
∂ ∂ z
0 ∂ ∂ x
∂ ∂ y
∂ ∂ x
0
La matriz de rigidez (representa las ecuaciones de Lame):
C =
λ + 2G λ λ 0 0 0λ λ + 2G λ 0 0 0λ λ λ + 2G 0 0 00 0 0 G 0 00 0 0 0 G 0
0 0 0 0 0 G
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Fundamentos del MEF
Introduciendo las expresiones anteriores en la ecuacin del TDV
D
(Bψ)T CBu dV = D
ψTXdv + ∂ D
(ψc )Ttc dS (∀ ψ continuos)
Discretizacion de los desplazamientos reales (funcionesaproximantes)
u
= u 1
u 2
u 3
=
ni =1
ai φi (x , y , z )
ni =1
b i φi (x , y , z )
ni =1
c i φi (x , y , z )
= Φa
; n
: n
◦
nodos del modelo
Matriz de funciones aproximantes:
Φ =
φ1 0 0 . . . φn 0 0
0 φ1 0 . . . 0 φn 00 0 φ1 . . . 0 0 φn
, a =
a1
b 1c 1...anb nc n
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Fundamentos del MEF
Agrupamos los desplazamientos virtuales (columnas) en una matriz
(funciones proyectantes)
Ψ =
ψ1 0 0 ψ2 0 0 . . . ψn 0 0
0 ψ1 0 0 ψ2 0 . . . 0 ψn 00 0 ψ1 0 0 ψ2 . . . 0 0 ψn
Operando llegamos a: D
ΨTBTCBΦdV
a =
D
ΨTXdV +
∂ D
(Ψc )Ttc ds
El sistema de ecuaciones anterior puede expresarse como:
Ka = Fext, a→ u→ ε→ σ
donde K es la matriz de rigidez del sistema y Fext identifica lasacciones externas de volumen y de contorno aplicadas al solido bajoestudio
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Fundamentos del MEF
1 Las funciones proyectantes y aproximantes: ψi = φ i = N i
K = KT→ simetrıa de la matriz de rigidez
2 Las funciones aproximantes φi se escogen de pequeno soporte -definido por los elementos finitos que comparten un nodo →adaptabilidad a la geometrıa del dominio y a la solucion
La interpolacion del campo de desplazamientos (variables primariasdel problema) a nivel de elemento:
x
= [x , y , z ] coord. espacio real; ξ = [ξ
1
, ξ
2
, ξ
3
] coord. espacio natural
u(x) ≈
nnI =1
N I (x)dI = N(x)de ; nn: n◦ nodos del elemento
N I - las funciones de interpolacion, de - el vector de los despl.nodales del elemento (nodo I : dI = [d x ,I , d y ,I , d z ,I ])
Ejemplo: interpolacion despl. u x en un elemento de 4 nodos:u x (x) = N 1(x)d x ,1 + N 2(x)d x ,2 + N 3(x)d x ,3 + N 4(x)d x ,4
Si definimos Ψ = Φ = N → la expresion final del TDV: D
NTBTCBNdV
d =
D
NTXdV +
∂ D
NTtdS
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Contenidos
1 Introduccion: calculo del FIT K I
2 Metodos numericos: Fundamentos del MEF
3 Interpolacion isoparametrica
4 Aplicacion del MEF en MFEL
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I p p p
Interpolacion isoparametrica
En un elemento finito se usan las mismas funciones de interpolacionpara la geometrıa y desplazamientos
1 =
nnI =1
N I (x)
x =
x
y
z
≈
nnI =1
N I (x)xI = N(x)xe
u =
u x u y u z
≈ nn
I =1
N I (x)dI = N(x)de
Espacio coordenado parametrico definido en el elemento master)→ Necesitamos la transformacion geometrica entre el espacio real
(x , y , z ) y el espacio parametrico (ξ1
, ξ2
, ξ3
)Dicha transformacion debe ser biunıvoca (Jacobiano > 0)
x =
x (ξ1, ξ2, ξ3)y (ξ1, ξ2, ξ3)z (ξ1, ξ2, ξ3)
=
nnI =1
N I (ξ1
, ξ2
, ξ3)xI (se calcula facil)
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I
Interpolacion isoparametrica
e1
e2
e3
∪
Punto de integración
Nodo
e1
e2
e3
Transformacióngeométrica
Espacio real
Espacio paramétrico
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Interpolacion isoparametrica (2D)
La matriz Jacobiana de la tansformacion isoparametrica J se define
(det[J] > 0):
J = ∂ (x , y )
∂ (ξ1, ξ2) =
∂ x ∂ξ1
∂ y
∂ξ1
∂ x
∂ξ2∂ y
∂ξ2
Las derivadas de las funciones de interpolacion en el espacio real
∂ N I ∂ x
∂ N I ∂ y
=
∂ξ
1
∂ x ∂ξ
2
∂ x
∂ξ1
∂ y
∂ξ2
∂ y
∂ N I ∂ξ1
∂ N I ∂ξ2
= J
−1 ∂ N
I ∂ξ1
∂ N I ∂ξ2
Relacion desplazamientos-deformacion
ε = B(x)de =
∂ N 1∂ x
0 ∂ N 2∂ x
0 ∂ N 3∂ x
0 ∂ N 4∂ x
0
0 ∂ N 1∂ y
0 ∂ N 2∂ y
0 ∂ N 3∂ y
0 ∂ N 4∂ y
∂ N 1∂ y
∂ N 1∂ x
∂ N 2∂ y
∂ N 2∂ x
∂ N 3∂ y
∂ N 3∂ x
∂ N 4∂ y
∂ N 4∂ x
de
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Funciones de interpolacion (2D) en el elemento master
Adaptabilidad a diferentes geometrıas
Repetibilidad en el montaje → programacion computacional
Elemento cuadrilatero lineal:
N I = 1
4
1 + ξ1
I ξ1
1 + ξ2I ξ
2, con ξ1
I , ξ2I = ±1; (I = 1, 2, 3, 4)
e1
e2 [x, y] [x, y]
[x, y][x, y]
Espacio real Espacio paramétrico
[1,-1][-1,-1]
[1,1][-1,1]
1 2
34
1 2
34
1
2
3
4
1
2
3
4
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Funciones de interpolacion (2D) en el elemento master
Elemento triangular lineal:
N 1 = 1− ξ1 − ξ2; N 2 = ξ1; N 3 = ξ2
Elemento triangular cuadratico
N 1 = λ(2λ− 1); N 2 = ξ1(2ξ1 − 1); N 3 = ξ2(2ξ2 − 1)
N 4 = 4ξ1λ; N 5 = 4ξ1ξ2; N 6 = 4ξ2λ; λ = 1− ξ1 − ξ2
1 2
3
1 2
3
6
4
5
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Funciones de interpolacion (2D) en el elemento master
Elemento cuadrilatero cuadratico (9 nodos)
N I = 1
4 1 + ξ1
I ξ1
1 + ξ2
I ξ2
; (I = 1, 2, 3, 4); N 9 =
1− (ξ1)2
1− (ξ2)2
N I = 1
2(ξ1
I )2
(ξ1)2 + ξ1I ξ
1
(1−ξ2)2+ 12
(ξ2I )
2
(ξ2)2 + ξ2I ξ
2
(1−ξ1)2; (I = 5, 8)
Elemento cuadrilatero cuadratico (8 nodos)
N I = 1
4
1 + ξ1
I ξ1
1 + ξ2I ξ
2
ξ1I ξ
1 + ξ2I ξ
2 − 1
; (I = 1, 2, 3, 4);
N I =
1
21−
(ξ1)2 1 + ξ2
I ξ2 (I = 5, 7)
N I = 1
2
1− (ξ2)2
1 + ξ1
I ξ1
(I = 6, 8)
1 2
8
5
6
4 7 3
9
1 2
8
5
6
4 7 3
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Contenidos
1 Introduccion: calculo del FIT K I
2 Metodos numericos: Fundamentos del MEF
3 Interpolacion isoparametrica
4 Aplicacion del MEF en MFEL
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Aplicacion del MEF en MFEL: placa a traccion
grieta
nododuplicado
MALLA DEFORMADA
e1
e2
u
Aprox MEF ( valor finito)
Solución MFEL ( valor asintótico
en el entorno de la grieta)
u
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Aplicacion del MEF en MFEL: placa a traccion
Aunque se realice un refinamiento de la malla en el entorno de la grieta
→ diferencias basicas con respecto a la solucion teorica se mantendrıan
u MFELy =
4
E K I
r
2π ∼ K I
√ r ; σMFEL
y = K I √
2πr ∼ K I √
r
Elementos de orden superior (cuadraticos): misma problematica
Determinacion de K I (primer termino asintotico del desarrollo de la
solucion teorica de la MFEL) requiere el uso de procedimientosespeciales:
1 Metodo de regresionEnfoque en tensionesEnfoque en desplazamientos
2 Metodo de los elementos singulares3 Metodo de las integrales de lınea4 Metodo de la extension virtual de la grieta
Metodo de la flexibilidadMetodo de la energıa de deformacion
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Metodo de regresion
Enfoque en desplazamientos
lgu MFELy
≈ lg
4K I
E √
2π
+
1
2 lg (r ) → y = ax + b
Para determinar K I → zona de ajuste de MEF, siendo a ≈ 0,5 (indica laprecision de la aproximacion)
b = lg
4K I
E √
2π
→ K I =
E √
2π
4 10b
lg (u )
lg ()
1 0.5
Zona de ajuste
Desvío por la influencia de otrostérminos del desarrollo en serie
Desvío por la discretización (no poderrepresentar pendiente infinita)
10-3 10-2 10-1 10-0
Recta de regresión
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M´ d d i´
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Metodo de regresion
Enfoque en tensiones: Calculo de tensiones via MEF → menor precisional no ser variables primarias (mayor refinamiento en el fondo de la grieta)
lg σMFELy ≈ lg K I
√ 2π− 1
2 lg (r )
→y = ax + b
De nuevo K I → zona de ajuste de MEF, siendo a ≈ −0,5 (indica laprecision de la aproximacion)
b = lg
K I √
2π
→ K I =
√ 2π10b
lg (σ )
lg ()
10.5
Zona de ajuste
Desvío por la influencia de otrostérminos del desarrollo en serie
Desvío por la discretización (no poderrepresentar pendiente infinita)
10-3 10-2 10-1 10-0
Recta de regresión
típicamente la tensión se hace constante y la
recta de regresión va por debajo por esta zona
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M´ d d l l i l El i ´ i 1/4
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Metodo de los elementos singulares: Elemento isoparametrico a 1/4
Resultados bastante fiables: no requieren un refinamiento excesivo de lamalla en el fondo de la grieta
Degeneracion de los elementos isoparametricos cuadraticos de 8 nodos
Muchos de estos elementos estan implementados en paquetes comercialesde MEF (ANSYS)
Ilustracion: Elemento isoparametrico a 1/4
1 2
8
5
6
4 7 3
Jose Reinoso Cuevas24 / 27
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M t d d l l t i l El t i t i 1/4
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Metodo de los elementos singulares: Elemento isoparametrico a 1/4
Barsoum (1976) Henshell-Shaw (1975): modificacion de las posicionesnodales correspondientes al centro de las aristas en el fondo de la grieta
N 1(ξ1, ξ2 =
−1) =
1
2
ξ1 1
−ξ1
N 2(ξ1, ξ2 = −1) = 1
2ξ1
1 + ξ1
; N 5(ξ1, ξ2 = −1) =
1− (ξ1)2
Nodo en el fondo de grieta
Nodo
Nodo en la arista que emanael fondo de grieta (posición a1/4)
2 1
3 4
5
8
7
6
5*
8*
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Metodo de los ele e tos si la es Ele e to iso a a et ico a 1/4
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Metodo de los elementos singulares: Elemento isoparametrico a 1/4
Tomando: x 1 = 0, x 2 = L, x 5 = L/4 (lado 1-2-5):
x (ξ1, ξ2 = −1) = 1
2ξ1
1− ξ1x 1 +
1
2ξ1
1 + ξ1x 2 +
1− (ξ1)2
x 5
x (ξ1, ξ2 = −1) = L
4
1 + (ξ1)2
; ξ1 = −1 + 2 x
L → ∂ x
∂ξ1 = √ xLNotese como el Jacobiano ∂ x
∂ξ1 |x =0 = 0
Al estar en la frontera del dominio del elemento, el Jacobiano puede sernulo y no se pierde la biyectividad de la transformacion
Interpolacion de los desplazamientos (u y ,1 = 0 ,simetrıa)
u y (ξ1, ξ2 = −1) = 12ξ1
1− ξ1u y ,1 + 1
2ξ1
1 + ξ1u y ,2 +
1− (ξ1)2
u y ,5
Operando:
u y =
x
L
2
x
L− 1
u y ,2 + 4
1−
x
L
u y ,5
u y =
x L
4u y ,5 −
u y ,2 + 0
x L
u y se compone de: (i) termino en √
x (comparar con la solucion teorica)y (ii) termino lineal en x
Se puede estimar K I directamente a partir de los desplaz. nodales
u y =
x
L
4u y ,5 − u y ,2 + 0
x
L
≈ 4
E K I
x
2π → K I ≈ f (u y ,5, u y ,2)
Jose Reinoso Cuevas26 / 27
Introduccion: calculo del FIT K I Metodos numericos: Fundamentos del MEF Interpolacion isoparametrica Aplicacion del MEF en MFEL
Metodo de los elementos singulares: Elemento a 1/4 con base triangular
7/26/2019 Mefenmecfracjr Vm v4
http://slidepdf.com/reader/full/mefenmecfracjr-vm-v4 27/27
Metodo de los elementos singulares: Elemento a 1/4 con base triangular
Se hacen colapsar los nodos 1-4-8 en un unico nodo
Los nodos 5 y 7 se colocan a L/4
Barsoum (1977) establece que esta tipologıa de elemento se comporta
mejor que el elemento a 1/4 cuadrilatero: es capaz de representar laevolucion en funcion de √ r (en el entorno del nodo 1) → u y
Extension 3D
1
2
8
5
6
4
7
3
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