Post on 11-Apr-2015
MÉTODO “DABEJA”
PARA CONSTRUIR POLIGONOS REGULARES
Y TRIÁNGULOS
EQUILÁTEROS, ISÓSCELES
Y ESCALENOS
• Construcciones con regla y compás: En Grecia, los Elementos de Euclides fueron el primer modelo de sistema axiomático.
• se preocuparon de construir sistemáticamente cada figura que imaginaban. Para tal fin crearon herramientas, entre ellos regla, compás especiales para trisecar ángulos.
• POLIGONOS REGULARES :Los polígonos que tienen todos sus lados y todos sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares.
• Triángulo equilátero: Sus tres lados tienen la misma longitud y los ángulos de sus vértices miden lo mismo (60°)
• Triángulo isósceles: Tiene dos lados iguales
• Triángulo escaleno: Todos sus lados y todos sus ángulos son distintos.
• OBJETIVO Construir polígonos regulares de n-lados a través de puntos coordenados y ordenados en el plano cartesiano para aplicar diversos contenidos del pensamiento espacial
Surge de la necesidad de graficar en el tablero polígonos sin necesidad de emplear el compás y rotados respectos de la horizontal en diversos puntos cartesianos.
• El poco empleo que se da a los números reales en las construcciones geométricas permitiendo así que el concepto de continuidad de los números reales se olvide por la falta de práctica.
• La falta de utilización de herramientas de cálculo numérico como las calculadoras científicas y el papel milimetrado para facilitar las operaciones básicas y la graficación de figuras en el plano con mayor exactitud.
El no encontrar un método diferente al de regla, compás y transportador para la construcción de triángulos y polígonos regulares, que estuvieran en diferentes posiciones en el plano cartesiano.
Construir un triángulo equilátero si:
P1=(x1, y1) L=a cm.0 ≤ θ ≤ 360º ω= (360/n), n= al número de lados.
Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) siguiendo el siguiente proceso:
CONSTRUCCION DEL TRIANGULO EQUILATERO.
Para n= 3, entonces ω= (360/3), ω= 120º
x2 – x1 = LCos θ x2 = LCos θ + x1 y2 - y1 = LSen θy2 = LSen θ + y1
punto, P2=(x2, y2)para las coordenadas del punto
P3(x3, y3)x3 – x2 = LCos (θ+ ω) x3 = LCos (θ+ ω) + x2 y y3 – y2 = LSen (θ+ ω) y3 = LSen (θ+ ω) + y2
• Definición. Todo polígono regular de n-lados tiene n-puntos coordenados y ordenados, P1(x1, y1) P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4), P5(x5, y5), Pn-2(xn-2, yn-2). Pn-1(xn-1, yn-1), Pn(xn, yn). Los cuales surgen a partir de:
• Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1 • yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1
• Con K= n-2, 0 ≤ θ ≤ 360º respecto a la horizontal ω= (360/n), n= al número de lados y LЄ R
• Para construir un polígono regular de tres lados n= 3, ω= (360/3)=120º
• L=A unidades P1=(x1, y1)
DEMOSTRACION:
1212
1212
1212
1212
12121212
YASENYXACOSX
SENAYYACOSXX
ASENYYACOSXX
SENA
YYCOS
A
XX
YYYYXXXX
DEMOSTRACION:
DEMOSTRACION:
2323
2323
2323
23232323
YASENYXACOSX
ASENYYACOSXX
SENA
YYCOS
A
XX
YYYYXXXX
3131
3131
1313
31133113
22
22
YASENYXACOSX
ASENYYACOSXX
SENA
YYCOS
A
XX
YYYYXXXX
DEMOSTRACION:
DEMOSTRACION:
Angulo de rotación respecto horizonte
l21ppSea:
21pplll 1211 cpcp
l221211 ppcppc
Segmento proyectado
De y se obtiene:
Trazamos y
Se obtiene
lll llll 13113322 cpcppppp l
lllll331221 ppcppc
Se tiene:
º180
º180,º180
33
2211
l
ll
suplementarios
211 ppc
Y ,1321l ppp
1322 ppp l
l2132 ppp
,3213l ppp
,2133 ppp ll3211 ppp l
(1) 180º11 l (2) 180º22 l (3) 180º33 l
(4) 180º123 l
(5) 180º231 l
(6) 180º312 l
tiene,se riossuplementa ángulosPor
tiene,se p punto el Desde 2
tiene,se p punto el Desde 3
mente,respectiva , (4)y (3)y (6)y (2) (5),y (1) Igualando
DEMOSTRACION:
(7)
213
23111
ll
ll
(8)
321
31222
ll
ll
(9)
312
12333
ll
ll
(8)y (7) (9),y (7) (9),y (8) Sumando
(10) 2 32121lll
(11) 2 32132lll
(12) 2 32131lll
(12)y (11) (12),y (10) (11),y (10) Igualando
DEMOSTRACION:
(15)
2 2
(14)
2 2
(13)
2 2
21
321321
32
321321
31
321321
ll
llllll
ll
llllll
ll
llllll
º360
º120
º.60
º180
.
concluye se (15)y (14) (13), De
321
321
332211
321
321
321
lll
lll
lll
lll
DEMOSTRACION:
Construir un cuadrado sí:P1(x1, y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360ºhorizontal. ω= (360/n), n= alnúmero de lados.
Con estos datos se encuentran los puntos restantes en el planocartesiano, empleando númerosreales cuyas coordenadas estarándadas por, P2(x2, y2), P3(x3, y3) P4(x4,y4) siguiendo el siguienteproceso:
•CONSTRUCCION DEL CUADRADO
n= 4, entonces ω= (360/4), ω= 90ºx2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2)
x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3,
P4(x4,y4)
Encontrando los demás puntos para graficar cualquier cuadrado.
Construir un pentágono sí: P1(x1, y1) L = a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal.ω= (360/n), n= al número de lados.Con estos datos se encuentran los puntosrestantes en el plano cartesiano, empleandonúmeros reales cuyas coordenadas estarándadas por P2(x2, y2), P3(x3, y3), P4(x4, y4) y P5(x5 , y5).
Siguiendo el siguiente proceso:
•CONSTRUCCION DE UN PENTAGONO REGULAR.
n= 5 entonces ω= (360/5), ω= 72º
x2=LCos θ + x1 y2= LSen θ + y1, P2(x2, y2)
x3=LCos (θ+ ω)+x2, y3=LSen (θ+ ω)+ y2, P3(x3, y3) x4=LCos(θ+ 2ω)+x3, y4=LSen (θ+ 2ω)+y3, P4(x4,y4)
x5=LCos(θ+ 3ω)+x4, y5=LSen(θ+ 2ω)+y4,P5(x5, y5)
Encontrando los demás puntos para graficarcualquier pentágono.
Luego, con los demás polígonos regulares de más lados se pueden construir siguiendo el mismo método. Generalizando así:
Para construir cualquier polígono regular de n-lados partiendo de P1(x1,y1) L=a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º Horizontal. ω= (360/n), n= al número de lados, entonces para la consecución de cada punto se tendrá:
GENERALIZACION PARA N-LADOS
Para las componentes en el eje horizontal X (abscisas),
x2 = LCos θ + x2-1 x2 = LCos θ + x1
x3 = LCos (θ+ ω) +x3-1 x3=LCos (θ+ ω) + x2
x4=LCos (θ+ 2ω)+x4-1 x4=LCos (θ+ 2ω) + x3
x5 = LCos (θ+ 3ω)+x5-1 x5=LCos (θ+ 3ω) + x4..
.
Xn = LCos (θ+ k ω) + xn-1
GENERALIZACION PARA N-LADOS
De igual forma para las componentes en y (ordenadas),
y2 =LSen θ + x2-1 y2 =LSen θ + y1
y3 =LSen (θ+ ω) + y3-1 y3 =LSen (θ+ ω) + y2
y4 =LSen (θ+ 2ω) + y4-1 y4 =LSen (θ+ 2ω) +y3
y5 =LSen (θ+ 3ω) + y5-1 y5 =LSen (θ+ 3ω) +y4
.
.
.
yn = LSen (θ+ k ω) + yn-1
Encontrando los puntos respectivos denotados por:
P2=(x2, y2), P3=(x3, y3), P4=(x4,y4),…Pn=(xn,yn).
GENERALIZACION PARA N-LADOS
P1=(x1, y1) L1y2= a cm. 0 ≤ θ ≤ 360º 0<ω<180º ω≠ 120º ángulo suplementario
respecto a los lados L1y3
Con estos datos se encuentran los dospuntos restantes en el plano cartesiano,empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por
P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso:
x2 – x1 = LCos θ y y2 - y1 = LSen θ x2 = LCos θ + x1 y y2 = LSen θ + y1
punto P2=(x2, y2) Luego,x3–x2 =LCos(θ+ ω) y y3-y2 =LSen (θ+ ω) x3 =LCos(θ+ ω)+x2 y y3 =LSen(θ+ ω)+y2
punto P3=(x3, y3)
CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES
Valor distancia entre dos puntos
180= 2+ω´ y 180= ω+ω´ luego,
2 + ω´ = ω + ω´
2ωα
CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ISOSCELES
223
223 yyxx 3L
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas:
Valor del ángulo α, propiedad de los Triángulos isósceles
Para construir un triángulo escaleno también existen variantes pero se conserva el principio del método:
Sea P1=(x1, y1) L1= a cm. L2=b cm.
a ≠ b. 0 ≤ θ ≤ 360º y 0<ω<180º Con estos datos se encuentran los dos puntos restantes en el plano cartesiano, empleando números reales cuyas coordenadas estarán dadas por, P2=(x2, y2) y P3=(x3, y3) con el siguiente proceso:
CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
x2 – x1 = L1Cos θ y y2 - y1 = L1Sen θ
x2 = LCos θ + x1 y y2=LSenθ + y1
entonces, P2=(x2, y2) Luego,
x3–x1 =L2Cos(θ+ω) y y3-y1=L2Sen(θ+ω)
x3=L2Cos(θ+ ω)+x2 y y3=L2Sen(θ+ω)+y2
así, P3=(x3, y3)
Variante: Para encontrar el valor del lado tres L3 y el ángulo α en el triángulo isósceles se hace necesario abordar las siguientes fórmulas conocidas
CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
• Distancia entre
dos puntos.
CONSTRUCCION DE UN TRIANGULO ESCALENO
2232
23 yyxx 3L
3Lsenω
2Lα sen
Para el ángulo α se emplea la ley de senos, respecto a ω, los lados L2 y L3
3L
ω sen2L1senα
Y para el ángulo φ, la propiedad fundamental de ángulos internos de un triángulo
φ + α+ ω´ = 180º φ = 180º-(α+ ω´ )
FIN
MÉTODO “DABEJA”
GRACIAS
DANIEL BEJARANO SEGURALicenciado en Matemáticas y Física
dabejase@yahoo.es