Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 € por 24 l de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 l de aceite de oliva. Sabiendo que 1 l de aceite cuesta el triple que 1 l de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 l de aceite más 4 l de leche.

a) Plantea un sistema de ecuaciones lineales que permita determinar el precio de cada artículo.

b) Resuelve el sistema planteado en el apartado anterior mediante el Método de Gauss.

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

a) Traducimos al lenguaje algebraico el enunciado del problema.

Si llamamos x a la leche, y al jamón serrano y z al aceite de oliva:

24x + 6y +12z = 156

z = 3x

y = 4z + 4x

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

b) Para resolver el sistema del apartado anterior por el Método de Gauss debemos transformarlo en un sistema escalonado de la forma:

?x + ?y + ?z =?

0 + ?y + ?z = ?

0 + 0 + ?z = ?

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

Pasos:

1- Ordenamos las ecuaciones:

24x + 6y + 12z = 156

3x – z = 0

4x – y + 4z = 0

1ª

2ª

3ª

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

2- suprimimos la x de la 2ª ecuación, reduciéndola con la 3ª. Multiplicamos la 2ª por 4, la 3ª por (-3) y sumamos. Obtenemos la 2ª ecuación sin x.

12x + 0y – 4z = 0

-12x + 3y – 12z = 0

0x + 3y – 16z = 0

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

3- Suprimimos la x de la 3ª ecuación, reduciéndola con la 1ª. Multiplicamos la 3ª por (-6) y sumamos. Obtenemos la 3ª ecuación sin x.

24x + 6y + 12z = 156

-24x + 6y - 24z = 0

0x + 12y - 12z = 156

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

Escribimos el sistema obtenido:

24x + 6y + 12z = 156

0x + 3y - 16z = 0

0x + 12y - 12z = 156

1ª

2ª

3ª

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

4- Suprimimos la y de la 3ª ecuación, reduciéndola con la 2ª. Multiplicamos la 2ª por (-4) y sumamos.Obtenemos la 3ª ecuación sin y.

-12y + 64z = 0

12y - 12z = 156

0y + 52z = 156

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

5- Con el sistema escalonado obtenemos las soluciones:

24x + 6y + 12z = 156

3y – 16z = 0

52z = 156

1ª

2ª

3ª

Resolución de problemas mediante el Método de Gauss

Calculamos z en la 3ª ecuación:

52z = 156

Sustituimos z en la 2ª y calculamos y:

3y – 16 ∙ 3 = 0

Sustituimos z e y en la 1ª y calculamos x:

24x + 6∙16 + 12∙3 = 156

z = 3

3y = 48 y =16

24x = 156 – 96 -36

24x = 24 x = 1