Post on 22-Dec-2015
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111Equation Chapter 1 Section 1INSTITUTO TECNOLÓGICO DE ORIZABA
Estadística
Presenta:
Arellano Hernández Luis Eduardo
Catedrático:
Dr. Mario Leoncio Arrioja Rodríguez
Fecha de entrega:
15 de Marzo de 2015
Método de Máxima Verosimilitud aplicado a los estimadores de
la Normal
El método de estimación de máxima verosimilitud permite, en el caso de un parámetro o n vector de parámetros poblacionales desconocidos, determinar el estimador o vector de estimadores que maximizan la función de probabilidad conjunta de una muestra de n v.a. seleccionadas de la población en estudio. (Evans & Rosenthal, 2005)
Sea f (x,θ ) la fdp de una población en la cual queremos determinarθ .
Sea x1,x2,….,xn una muestra de v.a. iid seleccionadas de dicha población, a la función de
probabilidad conjunta L(θ ) de las n v.a. de la muestra la llamaremos función de verosimilitud maestral, es decir:
L (θ )=L(x1,x2,….,xn; θ )
Pero como las v.a. son independientes tenemos: L(θ ) = f(x1,θ ) f(x2,θ )….f (xn,θ ). Es decir:
L (θ )=∏i=1
n
f ( x i ,θ)
Estimador de máxima verosimilitud
El Estimador de máxima verosimilitud del parámetro θ es θ̂ siempre que L(θ̂ ) sea el valor de máxima probabilidad de la función de verosimilitud L es decir:
θ̂ es el Estimador de máxima verosimilitud de θ si y solo si L(θ̂ ) es máximo.
En la expresión L(θ )=∏i=1
n
f ( x i ,θ) la función de verosimilitud varia con el parámetro θ y
para el proceso de optimización se considera que las x i son constantes luego de haber determinado la muestra aleatoria.
Observe que como la función logaritmo natural es siempre creciente el EMV de L(θ )
también optimiza a Ln (L(θ )) y podemos definir:
l(θ )=Ln (L(θ ))= Ln (∏i=1
n
f ( x i ,θ))=∑i=1
n
ln f (x i ,θ)
y optimizar así: l' (θ )=∑
i=1
n f ' ( x i ,θ)f ( xi ,θ )
=0. Si θ=θ̂ maximiza a l(θ ) es claro que l
' ( θ̂)=0 y
l' '( θ̂ )<0.
Ejemplo para una distribución normal
Vamos a calcular el Estimador de máxima verosimilitud. del parámetro de una
N( ).
La verosimilitud de la muestra (x1,... ..., Xn) es:
Su logaritmo es:
Las derivadas parciales con respecto a los parámetros µ,σ 2 son:
Que se anulan en:
Evans, M., & Rosenthal, J. (2005). Probabilidad y estadistica: La ciencia de la incertidumbre. Barcelona: Reverté.