Post on 18-Feb-2018
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 1/42
UNIVERSIDAD AUTONOMA DEL CARIBE
SOLUCION DEEJERCICIOS METODOS
NUMERICOSInterpolación y Método Iterati!o"
Ing. SAUL PEREZ PEREZ.
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 2/42
METODOS ITERATIVOS E INTER(OLACION""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")
1. (ara la *#ncione dada
f ( x)+ ean
x0=0, x1=0.6 y x 2=0.9
"Contr#ya polino&io de interpolación de %rado #no y do para apro'i&ar
f (0.45) + y calc#le el error real"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""")
a) fx=cosx """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""",
(ro%ra&a -""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" --
b¿ fx=1+ x """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""-.
(ro%ra&a ."""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" -/
c ¿fx=lnx """""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""-0
d ¿ fx=tanx """"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""-0
(ro%ra&a 1""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" -2
2. O3ten%a la tre pri&era iteracione de lo &étodo de Jaco3i y 4a#5
Seidel para el i%#iente ite&a de ec#acione+ #ando 6 789:8"""""""""""""""""".8
a) METODO DE JACOBI.""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""".8
Il#tración ;"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" .8
(ro%ra&a ;""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" .1Il#tración /"""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" .;
(ro%ra&a ;""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""""" .0
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 3/42
METODOS ITERATIVOS E INTER(OLACION"
1. (ara la *#ncione dada f ( x) + ean x
0=0, x
1=0.6 y x
2=0.9
"
Contr#ya polino&io de interpolación de %rado #no y do para
apro'i&ar f (0.45) + y calc#le el error real"
(a) f ( x )=cos ( x ) , (b ) f ( x )=√ 1+ x , (c ) f ( x )=ln ( x ) , (d ) f ( x )=tan ( x )
O3ten%a #na cota apro'i&ada del error para cada #no de lo !alore
o3tenido con lo polino&io de interpolación"
SOLUCION.
a) f ( x )=cos ( x )
Grado 1
Contr#cción de la ta3la con lo !alore"
En ete p#nto lo <#e e =ace e ree&pla>ar lo !alore de x i , en la
*#nción dada y e!al#arlo+ lo &i&o e =ace para el !alor a interpolar de8";/
I 0 1 2
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 4/42
P ( x )= x−0.6
0−0.6∗(1 )+
x−0
0.6−0∗(0.825335 )
Con eto o3tene&o el polino&io i%#iente?
P ( x )=−1.666666 x+1+1.375558 x
P ( x )=−0.291108 x+1
Co&o e !e en ete cao olo e to&an lo !alore para I:8+ I:-
Se e!al@a f (0.45)
P (0.45 )=(−0.291108 ) (0.45 )+1=0.869001
Eti&ación del Error?
Er=|0.900447−0.869001
0.900447 |=0.034
A"ora #$ "a%$ $! %&!%'!o %orr$#ond$n*$ $n Ma*La.
El pro%ra&a #tili>ado *#e el i%#iente"
function Lagrange(x,y,xi);
p=0;
x=input('INGRESE VEC!R "E x# ')
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 5/42
En Ma*La
INGRESE +ECTOR DE ,- 0 0./,
0 0./000
INGRESE +ALOR ,- 0.3
,
0.300
INGRESE +ECTOR 4- 1 0.523663
4
1.0000 0.5236
o!no7o
1 8 (95//21225:1//93;*)<290213:99/222:9/
4
0.5/:0
So!'%=n ara 'n o!no7o d$ Grado 2
P ( x )= L0∗f ( x0 )+ L1
∗f ( x1 )+ L2∗f ( x2
)
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 6/42
P ( x )=−0.431088 x2−0.032455 x+1
Con el polino&io o3tenido e paa a e!al#ar P(0.45)
P (0.45 )=−0.431088∗(0.452 )−0.032455∗(0.45 )+1
P (0.45 )=0.898099
Con el !alor del polino&io y la e!al#ación de F (0.45) e o3tiene el error"
Eti&ación del Error? Rn=f ( x)− P ( x )
Er=
|
0.900447−0.898099
0.900447
|=0.0026
En Ma*La
INGRESE +ECTOR DE ,- 0 0./ 0.:
,
0 0./000 0.:000
INGRESE +ALOR ,- 0.3
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 7/42
So!'%=n E,%$!.
(ara =acer la co¶ción de lo do polino&io el de %rado - y el de %rado .+
en E'cel e =icieron lo do pro%ra&a correpondiente a lo polino&io+ para
l#e%o co¶rlo en la %raca y &irar el error correpondiente+ a la
e!al#ación de la *#nción ori%inal+ con lo polino&io correpondiente"
El E'cel contiene lo co&entario repecti!o para a3er a <#e correponde
cada !alor"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 8/42
Progra7a 1
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 9/42
Al o3er!ar la %raca de la *#ncione e o3er!a #n error &ayor en el
polino&io de %rado -+ p#eto <#e no i%#e la c#r!a de la *#nción+ y olo la
corta en el p#nto donde e deea o3tener el re#ltado" Mientra <#e el
polino&io de %rado . i%#e la c#r!a de la *#nción por #n n@&ero &ayor de
p#nto+ por eta ra>ón tiene #n &enor error"
b¿ f ( x )=√ 1+ x
Grado 1
Contr#cción de la ta3la con lo !alore+ donde e e!al@a el p#nto
indicado dede *789 =ata *7.9"
I 0 1 2
f ( x) - -".0;2-
-
-"1),;8
; x i 8 8"0 8"2
Ta!a 2
f (0.45 )=√ 1+ x=1.204159
Teniendo en c#enta eto !alore e paa a encontrar el polino&io <#e
<#eda de la i%#iente &anera?
P ( x )= L0∗f ( x0 )+ L1∗f ( x1 )
P (x )= x−0.6
∗(1 )+ x−0
∗(1 264911)
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 10/42
Er=|1.204159−1.198683
1.204159 |=0.0045
EN Ma*La
Se procede a calc#lar el polino&io de interpolación por &edio de #n códi%o en
MatLa3"
INGRESE +ECTOR DE ,- 0 0./
,
0 0./000
INGRESE +ALOR ,- 0.3
,
0.300
INGRESE +ECTOR 4- 1 1.2/:11
4
1.0000 1.2/:
o!no7o
(3:/32/3061923;*)<163109:555211155 ? 1
4
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 11/42
P ( x )= x2+1.5 x+0.54
0.54(1)+ x
2+0.9 x−0.18
(1.264911)+ x2+0.6 x0.27
(1.378404 )
P ( x )=1.851851 x2−2.777777 x+1−7.027283 x
2+6.32455 x+5.1052 x2−3.06312 x
P ( x )=−0.070232 x2+0.483653 x+¿
A=ora Se e!al@a
P(0.45)
P (0.45 )=−0.070232∗(0.452 )+0.483653∗(0.45 )+1
P (0.45 )=1.203421
Eti&ación del Error?
Er=|1.204159−1.203421
1.204159 |=6.1∗10−4
En Ma*La
Utili>ando el pro%ra&a en MatLa3 Encontra&o lo re#ltado para la
interpolación con lo !alore de la ta3la ."
INGRESE +ECTOR DE ,- 0 0./ 0.:
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 12/42
8 (2/::936:/900/23;*>2)</09:53::/:301/:/ ?
(1:/0695/691:9323;*)<03626:///66/ ? 1
4
1.206
So!'%=n E,%$!.
De la &i&a *or&a <#e en el anterior e reali>aron lo clc#lo olo e ca&3iola *#nción por la <#e correponda a ete p#nto en epecial"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 13/42
Progra7a 2
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 14/42
En ete cao y para la trayectoria de -8 p#nto e !e <#e lo polino&io y la
*#nción etn &#y $#nta+ por lo c#al el error e &#y pe<#eo+ eto <#iere
decir <#e dependiendo de la *#nción a er el error preente en eta+ por<#e
no e lo &i&o #na *#nción lineal <#e #na c#adrtica" Dependiendo eto
ta&3ién del n@&ero de p#nto <#e e e!al@an de la trayectoria dada"
c ¿f ( x)=ln ( x )
Grado 1
Contr#cción de la ta3la con lo !alore"
I 0 1 2
f ( x) 5
-0+--,82
/)
5
8"/-8,.
/
5
8"-8/10
8 x i 8+88888
8-
8"0 8"2
Ta!a 6
Co&o e o3er!a no e p#ede reali>ar la interpolación to&ando co&o p#nto de
inicio el lo%arit&o nat#ral de cero y al no tener #n p#nto ante de f (0.45) + no
e p#ede reali>ar la interpolación"
Grado 1
Contr#cción de la ta3la con lo !alore"
f (0 45 )=ln ( x )=−0 7985076
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 15/42
P (0.45 )=(26.012122 ) (0.45 )−16.1150983=−4.409643
Eti&ación del Error? Rn=f ( x)− P ( x )
Er=|−0.7985076+4.409643|
|−0.7985076| =4.52235
So!'%=n $n Ma*La
IN4RESE VECTOR DE '? -8F5) 8"0G
' :
8"8888 8"0888
IN4RESE VALOR 'i? 8";/
'i :
8";/88
IN4RESE VECTOR y? 5-0"--,82/) 58"/-8,./G
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 16/42
P ( x )= L0∗f ( x0 )+ L1
∗f ( x1 )+ L2∗f ( x
2)
L#e%o lo !alore de L on &#ltiplicado por cada #no de lo *7'9
correpondiente y e aca el polino&io"
P ( x )= ( x−0.6 )( x−0.9)
(10−7−0.6 )(10−7−0.9)∗(−16.1180957)+
( x−10−7 )( x−0.9)
(0.6−10−7 )(0.6−0.9)
∗(−0.510825 )+ ( x−10
−7 ) ( x−0.6 )
(0.9−10−7 ) (0.9−0.6)
(
P ( x )=−27.205584 x2+42.335428 x−16.118099
A=ora Se e!al@a P(0.45)
P (0.45 )=−27.205584∗(0.452 )+42.335428∗(0.45 )−16.118099
P (0.45 )=−2.5762877
Eti&ación del Error?
Er=
|
−0.7985076+2.57628770.7985076
|=2.2263
So!'%=n $n Ma*La.
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 17/42
5 7/;2)//,-1,,,H7-8Ht 5 29H70/0,))20)-011),./--28888888Ht 5
;1//1002-,.,22,2.),2/,./--299-1102);,)-8;0..1,;280;-/8/,28
801;)0/0./ 5 7;12H77--./,22280,;.0.;Ht9-8-1182,81/0,1)- 5,)208218...8,)2-0;,.,;81)),2,;1)/9H7t 5 1/99-./8
yi :
5."/01-
En E,%$!.
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 18/42
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 19/42
d ¿ f ( x )=tan ( x )
Grado 1
Contr#cción de la ta3la con lo !alore"
I 0 1 2
f ( x) 8 8"0,;-1
0
-".08-,
. x i 8 8"0 8"2
Ta!a
f (0.45 )=tan ( x )=0.483055
Teniendo en c#enta eto !alore e paa a encontrar el polino&io <#e
<#eda de la i%#iente &anera?
P ( x )= L0∗f ( x0 )+ L1∗f ( x1 )
P ( x )= x−0.6
0−0.6∗(0 )+
x−0
0.6−0∗(0.684136 )
P ( x )=1.140226
Co&o e !e en ete cao olo e to&an lo !alore para I:8+ I:-
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 20/42
0 0./000
INGRESE +ALOR ,- 0.3
,
0.300
INGRESE +ECTOR 4- 0 0./516/
4
0 0./51
o!no7o
(1029025952263503;*)<:0091::2390::2
4
0.3161
Grado 2
En ete p#nto e to&an lo tre !alore de la ta3la ; y con ello e calc#lan
lo !alore de L"
P ( x )= L0∗f ( x0 )+ L1∗f ( x1 )+ L2∗f ( x2)
L#e%o lo !alore de L on &#ltiplicado por cada #no de lo *7'9
correpondiente y e aca el polino&io"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 21/42
P (0.45 )=0.866585∗(0.452 )+0.620276∗(0.45 )
P (0.45 )=0.454607
Eti&ación del Error?
Er=|0.483055−0.454607
0.483055 |=0.058
En Ma*La
Con lo !alore de la ta3la ; e =ace el clc#lo en MatLa3 del polino&io y de #
!alor en el p#nto de ' indicado"
INGRESE +ECTOR DE ,- 0 0./ 0.:
, 0 0./000 0.:000
INGRESE +ALOR ,- 0.3
,
0.300
INGRESE +ECTOR 4- 0 0./516/ 1.2/0152
4
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 22/42
Progra7a 6
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 23/42
La %raca &#etra #na ec#encia de co&o #n polino&io de %rado - y #no de
%rado . i%#en la rep#eta a #na *#nción dada y el error <#e da al e%#ir la
trayectoria de la *#nción ori%inal al e!al#ar -8 p#nto de cada #no de ello"
2. O3ten%a la tre pri&era iteracione de lo &étodo de Jaco3i y 4a#5
Seidel para el i%#iente ite&a de ec#acione+ #ando 6 789:8"
4 x1+ x
2− x
3+ x
4=−2
x1+4 x
2− x
3− x
4=−1
− x1− x
2+5 x
3+ x
4=0
x1− x
2+ x
3+3 x
4=1
a) METODO DE JACOBI.
Con!er%encia?
; - 5- - - ; 5- 5-5- 5- / -
- 5- - 1
4>1−1+1 ;4>1
4>1−1−1; 4>−1
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 24/42
x3=0+0.2 x
1+0.2 x
2+0 x
3−0.2 x
4
x4=0.333333−0.333333 x1+0.333333 x2−0.333333 x3+0 x4
En *or&a &atricial <#eda <#e? X =c+Bx + repreentado &e$or de la
i%#iente &anera?
I!'#*ra%=n
A=ora partiendo del !ector i%#iente?
x=[0000]
Lo <#e e =ace e ree&pla>ar el !ector de cero y o3tener el n#e!o !alor de la
'?
Pr7$ra *$ra%=n-
x1=−0.5+(0 ) (0)−(0.25 ) (0 )+ (0.25 ) (0 )−(0.25 ) (0 )=−0.5
x2=−0.25−(0.25 ) (0)−(0 ) (0)+(0.25 ) (0)+(0.25 ) (0 )=−0.25
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 25/42
x2=−0.25−(0.25 ) (−0.5)−(0 ) (−0.25 )+(0.25 ) (0 )+(0.25 ) (0.333333 )=−0.041666
x3=0+(0.2) (−0.5)+(0.2) (−0.25 )+(0 ) (0 )−(0.2) (0.333333 )=−0.216666
x4=0.333333−(0.333333 ) (−0.5)+ (0.333333 ) (−0.25 )−(0.333333 ) (0)+(0) (0)=0.416666
A=ora tene&o <#e?
x1=−0.520833; x
2=−0.041666 ; x
3=−0.216666 ;x
4=0.416666
Tol=−0.5+0.520833=0.020833
Eto !alore o3tenido lo !ol!e&o a ree&pla>ar para o3tener la
i%#iente iteración"
T$r%$ra I*$ra%=n-
x1=−0.5−(0.25 ) (−0.041666 )+(0.25 ) (−0.216666 )−(0.25 ) (0.416666 )=−0.647965
x2=−0.25−(0.25 ) (−0.520833 )+(0.25 ) (−0.216666 )+ (0.25 ) (0.416666 )=−0.069791
x3=(0.2 ) (−0.520833 )+(0.2 ) (−0.041666 )−(0.2 ) (0.416666 )=−0.195833
x4=0.333333−(0.333333 ) (−0.520833 )+ (0.333333 ) (−0.216666 )−(0.333333 ) (−0.333333 )=0.506938
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 26/42
x=ero%(n,*);
&&ax=input('ingre%e e nu&ero &axi&o 1e iteracione% &&ax=')
if nargin:9
&&ax=4arargin*<;en1
if nargin:
ep%*=4arargin9<;
en1
if nargin:8
ep%9=4arargin<;
en1
if nargin:>
x(#)=4arargin8<; 7x e% un 4ector cou&na
en1
errore%=ero%(*,&&ax);
1=1iag(a);
r=(6.a-x);
nor&a6=nor&(6);
for &=*#&&ax
x=x2r/1;
r=(6.a-x); 7 re%i1uo
nor&ar=nor&(r);
errore%(&)=nor&ar; if (nor&ar?ep%*2ep%9-nor&a6)
6rea@
en1
en1
errore%=errore%(*#&)
if (&==&&ax) A nargout?=
1i%p('nu&ero &axi&o 1e iteracione% %o6repa%a1o')
en1
7 %ai1a
if (nargout:*)
4arargout*<=&; 7 no 1e iteracione%
en1
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 27/42
ngr$#$ 82@ 81@ 0@ 1
ngr$#$ $! n'7$ro 7a,7o d$ *$ra%on$# 77a,6
77a,
6
$rror$#
1.6:1: 0./:66 0.60
n'7$ro 7a,7o d$ *$ra%on$# #or$a#ado
an#
80./9:
80.0/:5
80.1:35
0.3/36
En E,%$!.
A contin#ación e e'plica el pro%ra&a con co&entario o3re co&o e =i>o
ete"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 28/42
Progra7a
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 29/42
) GAUSS8SEIDEL.
Se reali>an lo &i&o pao =ata la x
1
de la pri&era iteración+ l#e%o e
ree&pla>a el !alor o3tenido para calc#lar x
2 y a #cei!a&ente"
En *or&a &atricial <#eda <#e? X =c+Bx
I!'#*ra%=n 3
Pr7$ra *$ra%=n-
x1=−0.5+(0 ) (0)−(0.25 ) (0 )+ (0.25 ) (0 )−(0.25 ) (0 )=−0.5
x2=−0.25−(0.25 ) (−0.5)−(0 ) (0 )+ (0.25 ) (0 )+ (0.25 ) (0)=−0.125
x3=0+(0.2) (−0.5)+(0.2) (−0.125 )+(0 ) (0 )−(0.2) (0 )=−0.125
x4=0.333333−(0.333333 ) (−0.5)+ (0.333333 ) (−0.125 )−(0.333333 ) (−0.125 )=0.499999
0 5 0 125 0 125 0 499999
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 30/42
x4=0.333333−(0.333333 ) (−0.624999 )+ (0.333333 ) (−0.0000005 )− (0.333333 ) (−0.224999 )=0.616666
A=ora tene&o <#e?
x1=−0.624999; x
2=−0.0000005 ; x
3=−0.224999 x
4=0.616666
Tol=−0.5+0.624999=0.124999
T$r%$ra I*$ra%=n-
x1=−0.5−(0.25 ) (−0.0000005 )+(0.25 ) (−0.224999 )−(0.25 ) (0.616666 )=−0.710416
x2=−0.25−(0.25 ) (−0.710416 )+(0.25 ) (−0.224999 )+ (0.25 ) (0.616666 )=0.025520
x3=(0.2 ) (−0.710416 )+ (0.2 ) (0.025520 )−(0.2 ) (0.616666 )=−0.2603124
x4=0.333333−(0.333333 ) (−0.710416 )+ (0.333333 ) (0.025520 )−(0.333333 ) (−0.2603124 )=0.665416
A=ora tene&o <#e?
x1=−0.710416; x
2=0.025520; x
3=−0.2603124 ; x
4=0.665416
L a tolerancia a<# e de?
Tol=−0.624999+0.710416=0.085
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 31/42
&&ax=4arargin*<;
en1
if nargin:
ep%*=4arargin9<;en1
if nargin:8
ep%9=4arargin<;
en1
if nargin:>
x(#)=4arargin8<; 7x e% un 4ector cou&na
en1
errore%=ero%(*,&&ax);
=tri(a);
r=(6.a-x);
nor&a6=nor&(6);
for &=*#&&ax
x=x2Br;
r=(6.a-x); 7 re%i1uo
nor&ar=nor&(r);
errore%(&)=nor&ar;
if (nor&ar?ep%*2ep%9-nor&a6)
6rea@
en1en1
errore%=errore%(*#&);
if (&==&&ax) A nargout?=
1i%p('nu&ero &axi&o 1e iteracione% %o6repa%a1o')
en1
7 %ai1a
if (nargout:*)
4arargout*<=&; 7 no 1e iteracione%en1
if (nargout:9)
4arargout9<=errore%; 7 1iferencia entre iteracione%
en1
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 32/42
ngr$#$ $! n'7$ro 7a,7o d$ *$ra%on$#6
$rror$#
0.500 0.6/1 0.1209
n'7$ro 7a,7o d$ *$ra%on$# #or$a#ado
an#
80.910
0.0233
80.2/06
0.//3
En E,%$!
A contin#ación eta el pro%ra&a en E'cel+ con lo co&entario necearioo3re él"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 33/42
Progra7a
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 34/42
6. Re#el!a el ite&a de ec#acione en el pro3le&a anterior #tili>ando el
&étodo SOR con :-"- y :-"1 para #na tolerancia de 10−5
en la
nor&a L∞ M#etre #na ta3la con lo !alore del !ector de incó%nita
para cada iteración y # correpondiente error"
;" 4 x
1+ x
2− x
3+ x
4=−2
/" x
1+4 x
2− x
3− x
4=−1
0" − x1− x2+5 x3+ x4=
0
)" x
1− x
2+ x
3+3 x
4=1
a. K:-"-
Lo pri&ero <#e e =ace e acar el 4a#5Seidel y a partir de él e aca
la ec#acione para SOR"
I!'#*ra%=n /
A=ora e reali>o para SOR donde e &#ltiplica por el dado cada #no delo coeciente y el !ector de re#ltado y e coloca en el !alor de
depe$e el !alor del p#nto <#e aco&paa+ e decir+ el 8"- en ete cao"
L t i S d d l i i t *
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 35/42
x2
k =−0.275 (−0.55 )−0.1 (0)+0.275 (0 )+0.275 (0 )−0.275=−0.12375
x3
k =0.22 (−0.55 )+0.22 (−0.12375 )−0.1(0 )−0.22 (0)=−0.148225
x4
k =−0.366666 (−0.55 )+0.366666 (−0.12375 )−0.366666 (−0.148225 )−0.1 (0 )+0.433333=0.577307
S$g'nda I*$ra%=n.
x1k =−0.3 (−0.55 )−0.275 (−0.12375 )+0.275 (−0.148225 )−0.275 (0.577307 )−0.55=¿ 8
0//0:
x2
k =−0.275 (−0,66049 )−0.1 (−0.12375 )−0.275 (−0.14822 )+0.275 (0.57730 )−0.275=0,0370074
x3
k =0.22 (−0.66049 )+0.22 (0,0370074 )−0.1 (−0.148225 )−0.22 (0.57730 )=¿ 802:63
x4
k =−0.366666 (−0.726889 )+0.366666 (0.125148 )−0.366666 (−0.24935 )−0.1(0.577307 )+0.433333=0.
Tol=−0.55+0.66049=0.11049
T$r%$ra I*$ra%=n
xk =−0 1 (−0 66049 )−0 275 (0 0370074 )+0 275 (−0 20987 )−0 275 (0 52328 )−0 55=−0 74313
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 36/42
A contin#ación &#etro #na ta3la con lo !alore de la iteracione y #
correpondiente error+ con la nor&a l#e%o de =allar la tolerancia adec#ada"
Norma=|−0.753424671+0.753425|
|−0.753424671| =4.36667∗10
−7
Progra7a Ma*La.
function x= reax( a,6,N&ax,,x0)
7Deto1o Sor progra&a ue re%ue4e %i%te&a% 1e ecuacione% ineae% por&e1io
71e &eto1o 1e rea+acion %egun a ecuacion %iguinte a-x=6
7 "on1e a e% a &atri 1e coeficiente% corre%pon1iente a &eto1o 6 e% e
7 t 1 t 1 N 1 it i f t 1
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 37/42
6rea@;
en1
en1
%%=x*
So!'%=n Ma*La
ngr$#$ 7a*r a- 1 81 1@ 1 81 81@ 81 81 3 1@ 1 81 1 6
ngr$#$ $%*or -82@ 81@ 0@ 1
ngr$#$ N7a,-20
ngr$#$ $! a!or 1.1
ngr$#$ $%*or ,00@ 0@ 0@ 0
##
80.936
0.011
80.2505
0./:15
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 38/42
Progra7a 3
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 39/42
. K:-"1Lo pri&ero <#e e =ace e acar el 4a#5Seidel y a partir de él e aca
la ec#acione para SOR"
I!'#*ra%=n 5
A=ora e reali>o para SOR y donde <#eda por 58"1 el !alor
correpondiente a la poición de la dia%onal principal+ &ientra e
&#ltiplica por -"1 el reto de !alore de la &atri> <#edando a eta?
I!'#*ra%=n :
A contin#ación e reali>aran la 1 pri&era iteracione y l#e%o e &otrara la
ta3la con el reto de clc#lo =ec=o"
Pr7$ra I*$ra%=n.
x1
k =−0.3 (0 )−0.325 (0 )+0.325 (0 )−0.325 (0 )−0.65=−0.65
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 40/42
x3
k =0.26 (−0.70522 )+0.22 (0.09644 )−0.3(−0.19857 )−0.22 (0.68509 )=−0.27683
x4k =−0.433333 (−0.70522 )+0.433333 (0 .09644 )−0.433333 (−0.27683 )−0.3 (−0.68509 )−0.43333=0.6
T$r%$ra I*$ra%=n
x1
k =−0.3 (−0.70522 )−0.325 (0.09644 )+0.325 (−0.27683 )−0.325 (0.62849 )−0.65=−0.76401
x2
k =−0.325 (−0.76401 )−0.3 (0.09644 )+0.325 (−0.27683 )+0.325 (0.62849 )−0.325=0.00866
x3
k =0.26 (−0.76401 )+0.22 (0.00866 )−0.3 (−0.27683 )−0.22 (0.62849 )=−0.27675
x4
k =−0.433333 (−0.76401 )+0.433333 (0.00866 )−0.433333 (−0.27675 )−0.3 (−0.62849 )−0.4333333=0.
En la tolerancia para detener tene&o <#e para la tercera iteración e de?
Tol=0.70522−0.76401=0.05878
no e &enor <#e la tolerancia dada por lo c#al e de3e e%#ir iterando+ el
reto de iteracione e &#etran en la i%#iente ta3la+ con # repecti!a
nor&a"
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 41/42
Sol#ción MatLa3"
in%ree &atri> a?; - 5- - - ; 5- 5- 5- 5- / - - 5- - 1G
in%ree !ector 3?5. 5- 8 -G
in%ree N&a'?.8
in%ree el !alor :-"1
in%ree !ector '8:8 8 8 8G
:
58")/1;
8"8;--
58".,8,
8"02-,
7/23/2019 Métodos iterativos de solución
http://slidepdf.com/reader/full/metodos-iterativos-de-solucion 42/42
Progra7a /