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Métodos para Generar Variables aleatorias
Hay cuatro métodos generales de generación de variables aleatorias y una serie de métodos Particulares de las distintas distribuciones.
La facilidad de aplicación de dichos métodos, así como el coste computacional asociado a los Mismos, varía mucho según la familia de variables aleatorias a las que se apliquen. Normalmente existen varios algoritmos que se pueden utilizar para generar valores de una Determinada distribución, y diferentes factores que se pueden considerar para determinar qué algoritmo utilizar en un caso particular. Desafortunadamente dichos factores suelen entrar en conflicto unos con otros y a veces se ha de llegar a una solución de compromiso.
Algunos de estos factores son los siguientes:
Exactitud: se han de obtener valores de una variable con una precisión dada. A veces se tiene suficiente con obtener una aproximación y otras no.Eficiencia: el algoritmo que implementa el método de generación tiene asociado un tiempo de ejecución y un gasto de memoria. Elegiremos un método que sea eficiente en cuando al tiempo y a la cantidad de memoria requeridos.Complejidad: Buscamos métodos que tengan complejidad mínima, siempre y cuando se garantice cierta exactitud.Robusted: el método tiene que ser eficiente para cualquier valor que tomen los parámetros de la distribución que siga la variable aleatoria.Facilidad de implementación.
Métodos generales
Los métodos generales para la generación de variables aleatorias son: Método de Inversión, de Aceptación-Rechazo, de Composición y de Convolución. A continuación pasamos a estudiarlos.Método De Los CuadradosConsiste en que cada número de una sucesión es producido tomando los dígitos medios de un número obtenido mediante la elevación al cuadrado.P1: Obtener semilla (valores iniciales 445)
P2: Aplicación de Algoritmos recursivos (elevar al cuadrado)
P3: Validación del conjunto de datos generadosEjemplo: Consideremos la semilla 445 X X2 N° Aleatorio445 1| 9802 | 5 0,98029802 96| 0792 | 04 0,0792792 6 | 2726 | 4 0,27262726 …………… ……………
Métodos para Generar Variables aleatorias
Método de InversiónLa función de distribución (también llamada función de distribución acumulativa), F(x), de una variable aleatoria X es definida para cada número real x como sigue:
F(x)=P(X≤x) para -∞<x<∞
Donde P(X≤x) es la probabilidad asociada con el suceso {X≤x}. Así F(x) es la probabilidad, cuando se ha realizado el experimento, de que la variable X tome un valor menor o igual que x.Una función de distribución F(x) tiene las siguientes propiedades:
Una variable aleatoria X se dice que es discreta si puede tomar unos valores determinados, no pudiendo tomar ningún valor comprendido entre dos consecutivos. Así la variable sólo puede tomar un conjunto finito de valores x1, x2,...,xn. La probabilidad de que la variable aleatoria X tome el valor xi es dado por:
Donde la sumatoria significa la suma de todas las probabilidades p(x1), p(x2),... Todas las probabilidades acerca de X se pueden calcular desde p(x), a la cual se le llama función de probabilidad para la variable discreta X. Si I=[a,b], donde a y b son números reales tales que a≤b, entonces
El método de inversión va a aprovechar las propiedades de la función de distribución para obtener un valor de la variable aleatoria a partir de un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo (0,1).
Vamos a ver en qué consiste dicho método tanto para el caso en el que la variable aleatoria sea continua como para cuando es discreta.
Caso continuo
En este caso la función de distribución es continua. Vamos a utilizar un número aleatorio u, uniformemente distribuido en (0,1) y vamos a suponer que es el valor que toma la función de distribución en un punto x. Tal punto va a ser el valor de la variable que queremos generar. Al ser la función de distribución continua, vamos a encontrar un valor de x para cualquier u.
En este caso la función de distribución es discontinua y tiene una forma
escalonada.
Caso discreto
Al ser discreta no hay fórmula de su inversa y puede ocurrir que dado un u no se encuentre imagen x de la función, sino que este valor esté entre dos valores posibles.
Método de Aceptación Rechazo
Este método es más probabilístico que el anterior. Los métodos de inversión, composición y convolución son métodos de generación directos, en el sentido en que tratan directamente con la función de distribución. El método de aceptación-rechazo es menos directo en su aproximación
Es a X una variable aleatoria con función de densidad .
Supóngase que f(x)=Cg(x)h(x) con C una constante, , y
h(x) una función de densidad en I. Si e Y (con función de densidad h) son independientes, entonces
Demostración:
Q.E.D.
Algoritmo de aceptación y rechazo:
1.
Se genera y un valor y de la variable Y (de forma independiente).
2.Si u>g(y), se va al paso 1.
3.
Si , entonces se hace x=y.Ahora interesa conocer cuál es la probabilidad de que en una iteración concreta se rechace el valor generado:
Como el número de iteraciones del método hasta aceptar un valor sigue
una distribución geométrica de parámetro (cuya esperanza es C), entonces si queremos optimizar el método habrá que intentaar que C sea próxima a uno y que h sea sencilla de generar.
Si hacemos , entonces buscamos que sea . Se tendrá
Como coincide con h salvo la constante y h es una función de
densidad en I, entonces también se tiene que cumplir que sea finita.
Método de composición
El método consiste en generar dos números aleatorios, uno sirve para seleccionar un trozo y el otro se utiliza para generar un valor de una variable que sigue la distribución de dicho trozo. El valor de la variable obtenida es el valor buscado.
Sea f(x) la función de densidad de una variable aleatoria X. El método de composición consiste en lo siguiente:1.
Se descompone f como , con fi función de densidad,
, , .2.
Se elige la i-ésima función con probabilidad pi y se genera un valor para la función de densidad fi.
Método de convolución
Muchas variables aleatorias incluyendo la normal, binomial, poisson, gamma, erlang, etc., se pueden expresar de forma exacta o aproximada mediante la suma lineal de otras variables aleatorias.
El método de convolución se puede usar siempre y cuando la variable aleatoria x se pueda expresar como una combinación lineal de k variables aleatorias
Permite generar una distribución a partir de la suma de distribuciones más elementales o mediante la transformada z.
Procedimientos especiales
Existen algunas distribuciones estadísticas de probabilidad en las cuales es posible emplear sus propiedades para obtener expresiones matemáticas para la generación de variables aleatorias en forma eficiente. En varios casos se aplica el Teorema Central del Límite y en otros se utiliza el método directo para encontrar las variables aleatorias.
Transformada inversa, aceptación-rechazo, convolución, directos.
El método de la transformada inversa: Suponga que queremos generar el valor de una variable aleatorio discreta X con función de masa de probabilidad
(Transformada Inversa de La place) La Transformada Inversa de La place de una función F (s) es una función única L−1 {F } (t) = f (t), que es continua en [0, ∞), tal que satisface F (s) = L{f} (s).
En otras palabras, la transformada inversa de La place de una función F (s) es una función f (t) cuya TL sea F (s).
A la transformada inversa de una función se le denota con la letra minúscula correspondiente a la de su transformada o utilizando el operador transformada inversa L−1 {.}.
En las siguientes propiedades se asume que las funciones f(t) y g(t) con funciones que poseen transformada de La place.
Observaciones: 1.- Podemos escribir lo anterior en forma algorítmica, como Generar un número aleatorio USi U<p0 hacer X = x0 y terminarSi U<p0+ p1 hacer X = x1 y terminarSi U<p0+ p1 + p2 hacer X = x2 y terminar
Generación de variables aleatorias discretas: distribuciones poisson,Binomial, y geométrica.
Método de la transformación inversa
Sea X una variable aleatoria discreta con función de distribución F y probabilidades puntuales
Considerando la función F, que es escalonada, se tiene el siguiente algoritmo:1.
Se hace s=p1, i=1.2.
Se genera .
Si , entonces x=xi es el valor que se genera y finaliza el algoritmo. Si u>s, entonces se hace i=i+1, s=s+pi y se repite el paso 2.
Método del alias
(Este método sólo es válido para variables cuya probabilidad está concentrada en un número finito de puntos) Sea X tal
que P(X=xi)=pi, . Tras una fase de preprocesamiento que se detalla más adelante, se tiene el siguiente algoritmo:1.
Se genera . Sean y=1+[ku], z=frac(ku).2.
Si , entonces k=y. Si z>Q(y), entonces k=A(y). Se toma x=xk.
Falta determinar los valores Q(i) y los alias A(i) de modo que se tenga
Fase de preprocesamiento:1.
Para cada se define
2.Se repiten las siguientes operaciones (a lo sumo) k-1 veces:
Selecciónese i tal que , Ii=true. Si esto no es posible, finaliza el preprocesamiento.
Selecciónese j tal que , Ij=true.
Hágase Ii=false, A(i)=j, Q(i)=kai, .
Ejemplo: Sea con x=0,1,2,3. El
vector de probabilidades es ( )
i=4, j=1, I(4)=False, A(4)=1, ,
i=3, j=2, I(3)=False, A(3)=2, ,
i=1, j=2, , A(1)=2,
Ahora asignamos el 1 al valor 0, el 2 al 1, el 3 al 2 y el 4 al 3, con lo cual cuando apliquemos la segunda parte del algoritmo del alias nos dará los valores que buscamos.
Distribuciones concretas
Distribución geométrica
Representa el número de fracasos hasta que se produce el primer éxito en un experimento de Bernouilli de parámetro p.
La variable geométrica se puede relacionar fácilmente con la variable exponencial:
Sea .
Sea x>0.
Como , tomemos tal que para conseguir la expresión de probabilidad puntual de una distribución G(p). Basta
tomar . Tras esto se toma un valor y generado según
una y se toma x=[y]. Ya se vio que para ello hay que
hacer , con , por lo que se concluye que
Distribución binomial negativa
Representa el número de fracasos antes del r-ésimo éxito en un experimento de Bernouilli de parámetro p.
Existen varias formas de simular variables con distribución binomial negativa: la más inmediata es ir simulando experimentos de Bernouilli de parámetro p y contabilizar los fracasos hasta que se obtiene el éxito r-ésimo. Otro modo consiste en observar que una variable BN(p,r) es suma de r variables geométricas G(p) independientes, por lo que basta simular r veces una geométrica con parámetro p y sumar los valores obtenidos.
Veamos también un algoritmo directo basado en el método de composición.
Sean (Poisson) y .
Luego esta composición es . Como nosotros queremos simular
una BN(p,r), entonces debemos tomar , , resultando el siguiente algoritmo:1.
Se genera .2.
Se genera .
Este valor x está distribuido según una distribución binomial negativa BN(p,r).
Distribución de Poisson
En la primera parte de la asignatura se vio que si los tiempos entre
sucesos consecutivos son , entonces el número de sucesos por
unidad de tiempo sigue una distribución de Poisson de parámetro . En
consecuencia, para generar una variable , podemos proceder del
siguiente modo: se generan valores tales que
. Ese valor x corresponderá a una variable .
Como los valores Tj son exponenciales de parámetro , entonces se
tiene que , con , por lo que
En resumen, el algoritmo es el siguiente:1.
Sean k=1, x=1.2.
Se genera y se hace k=kui.3.
Si , entonces x-1 es el valor buscado. En caso contrario se hace x=x+1 y se va al paso 2.
Generación de variables aleatorias continuas: distribuciones Uniforme,Exponencial, normal, Erlang, Gamma, Beta, y Triangular
Distribución exponencial
Un método que ya se usado varias veces consiste en tomar
con . Otro método, basado en los estadísticos ordenados y que permite generar n valores a la vez, es el siguiente: se generan
Ordenando obtenemos y definimos u(0)=0, u(n)=1. Ahora se hace
Estos valores corresponden a una variable Exp(1) y son independientes.
Distribución gamma
Sea y . Como esta distribución es reproductiva respecto
del segundo parámetro y una variable es una , consideramos la siguiente descomposición:
Es por esto por lo que basta limitarse a simular variables
con . El siguiente teorema nos da un método directo para simular
estas variables. Si y son independientes, entonces
Demostración: Sean v>0, 0<w<1. Por la independencia de W y V:
Se considera el cambio
Así
El recinto transformado es
La distribución marginal de X es
Luego . Q.E.D.
Distribución beta
Si , , entonces f está acotada y se puede aplicar aceptación y
rechazo. El valor máximo de f se alcanza en para una cota de
Sin embargo, el método sólo es eficiente si tanto como están próximos a uno. En los dos siguientes teoremas veremos dos métodos
para simular variables beta de modo eficiente. Si e son independientes, entonces
Demostración:
Se considera el cambio de variable
La densidad conjunta es
El recinto transformado es
La distribución marginal de X1 es
Luego Q.E.D.
Sean U1, e independientes, . Si , entonces
Demostración: Como U1 y U2 son independientes, entonces Y1 e Y2 también lo son.
Distribución de Y1 (la de Y2 se obtiene de forma análoga pero considerando en lugar de ):
El recinto transformado es 0<y1<1. Distribución de (Y1,Y2):
Como Y1 e Y2 son independientes, entonces
Distribución de :
Se considera el cambio de variable
El recinto transformado es
Ahora, si , entonces:
En consecuencia,
Luego
Además, la probabilidad de que se acepte el par (y1,y2) en una iteración concreta es
Q.E.D.
Distribución normal
Para generar una variable , basta generar una variable N(0,1), pues
Con el fin de generar una variable N(0,1) se considera el cambio de coordenadas siguiente (cambio polar):
con e independientes. Las variables Z1, Z2 son N(0,1) e independientes.
Demostración:
El recinto transformado es .
Así
Luego y son independientes.
Distribuciones Empíricas de probabilidad
La distribución empírica asociada a una muestra es la ley de probabilidad sobre el conjunto de las modalidades, que afecta a
cada observación con el peso . La idea es la siguiente. Supongamos que queremos aumentar artificialmente la cantidad de datos. La forma más simple sería sacar aleatoriamente nuevos valores a partir de los valores ya observados, respetando sus frecuencias. En otras palabras, se simularía la distribución empírica.
Definición 2.1 Sean una muestra, los
diferentes valores que toman los . Para denotamos:
el número de veces que el valor aparece o sea el efectivo del
valor . La distribución empírica de la muestra es la ley de
probabilidad sobre el conjunto , tal que:
La media, la varianza y la desviación estándar pueden ser vistas como carácterísticas probabilistas de la distribución empírica.
La media de la muestra es la esperanza de su distribución empírica.
Para un carácter discreto, la moda de la distribución empírica es el valor que tiene la frecuencia más alta. Para un carácter continuo agrupado en clases de amplitudes iguales, hablamos de clase modal. Una distribución empírica se llama unimodal si la frecuencia maximal es significativamente mayor que las otras. Puede ser bimodal o multimodal en otros casos.
Para estudiar una distribución empírica, la primera etapa consiste en ordenar los datos en orden creciente, es decir escribir sus estadígrafos de orden.
Definición 2.2 Sea una muestra numérica. Llamamos estadígrafos de orden de la muestra, a los
valores iguales a los puestos en orden creciente:
Aquí tenemos como ejemplo a una muestra de tamaño y sus estadígrafos de orden.
La función de distribución empírica es la función de distribución de la distribución empírica.
Definición 2.3 La función de distribución empírica es la función
de en , que denotamos por y que toma los valores:
En otras palabras, es la proporción de los elementos de la muestra que son menores o iguales a .