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Objetivos: Conocer los distintos tipos de radioterapias y los mecanismos que asociados a estos.
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Métodos y TerapiasFormulas & Ejercicios
www.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08
Dr. Willy H. GerberInstituto de Fisica
Universidad Austral de ChileValdivia, Chile
Índice
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Introducción
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Flujo de fotones y partículas
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Flujo de partículas/fotones por sección y tiempo [1/m2s]
Energía por sección [J/m2]
Partículas/Fotones por sección [1/m2]
Flujo de energía por sección y tiempo [J/m2s]
ICRU 33: Radiation Quantities and Units
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Fuentes de radiación
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Cuando estudiamos equipamiento vimos que los fotones provenían de la interacción de la materia con los electrones que se aceleraban.
Sin embargo se pueden generar rayos γ en forma directa empleando el decaimiento radiactivo de núcleos inestables.
Existen cuatro mecanismos básicos:
• Un protón se transforma en un neutrón (emitiendo un positrón)
• Un neutrón se transforma en un protón (emitiendo un electrón)
• El núcleo reduce masa emitiendo una partícula α
• Liberación de un neutrón por un proceso de fisión
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Fuentes de radiación
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Ley de decaimiento:
Actividad de la muestra [Bq=1/s]Numero de núcleos [-]Tiempo medio de vida [s]Constante de decaimiento [1/s]
ANTλ
Unidad Bq: 1 BequerelUnidad antigua: 1 Ci (Curie)Conversión: 37 mCi = 1 MBq1 Ci = 3.7×1010 1/s
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Definición histórica de la exposición
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La medición de radiación se hizo históricamente con cámaras de ionización.
1R = 2.58x10-4 C/kg
Como referencia se creo la unidad Roentgen que equivale a la cantidad de radiación que ioniza en 1 kg de aire a una atm y 22C la cantidad de 2.58x10-4 C:
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Exposición
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La relación entre actividad y la exposición es:
Elemento Γ137Cs 3.3x10-4
57Co 1.32x10-3
22Na 1.20x10-3
60Co 1.33x10-3
Exposición [R]Actividad [R]Distancia [m]Constante de exposición [R m2]
XAdΓ
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Dosis
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La Dosis se define como
Los factor de conversión son:
Si se conoce la relación de la energía de la radiación con respecto de la densidad de la materia se puede convertir la exposición en dosis:
Medio Factor (Gy/R)
Aire 0.00876
Musculo, Agua 0.009
Hueso 0.02-0.04
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Índice
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Interacción partículas cargadas - materia
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Supongamos que el núcleo tiene carga Ze, que la distanciamínima que alcanza la partícula de carga ze es b y que la velocidad es tan alta que en primer orden la trayectoria se puede considerar recta y el núcleo inmóvil:
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Si se descompone la expresión del impulso transferido de la forma:
Los primeros dos términos representan la fuerza de Coulomb máxima y el tercero un tiempo característico:
El desarrollo se calculo para el caso no-relativista, en dicho caso
con y
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Por ello en el caso que limitamos el efecto relativista solo a la partícula:
La energía cinética del objetivo seria en la aproximación no relativista:
Si comparamos la energía transferida al núcleo y a los electrones
Con lo que se concluye que la primera puede ser despreciada frente a la energía absorbida por los electrones
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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La energía absorbida por un electrón (Z=1) es:
La partícula que se dispara contra el material va impactando electrones en su ruta. En una distancia dx
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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Para pasar del parámetro b al de la energía entregada a la materia:
o
se obtiene el diferencial
y con ello la distribución de probabilidades
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La distribución de energías:
tiene mayormente una contribución para bajas energías en donde encontramos ante todo procesos de ionización y excitación. Para energías mayores, en que la contribución es menor, observamos la generación de electrones secundarios (radiación δ)
Partícula
Electrón δ
Si se acota el espectro P(E) a energías menores a las que generan los electrones δ se tendría la energía transmitida al material.
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La variación promedia de la energía es:
con el radio clásico del electrón:
so obtiene:
o
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Las energías limites están dadas por:
la energía mínima que corresponde a la energía de ionización:
La energía máxima a ser transferida:
Se obtiene así:
O el stopping power
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Efecto de la fuerza de Coulomb sobre una partícula cargada
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La relación calculada con mecánica cuántica y tomando en cuentael efector pantalla ε y la polarización de los electrones δ entregando la ecuación de Bethe-Bloch:
Hans Bethe(1906-2005)
Felix Bloch(1905-1983)
Esta ecuación solo vale para partículas pesadas y no para electrones.
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Perdida de energía por colisiones
Perdida de energía por Bremsstrahlung (radiación)
El Stopping Power total se calcula de la suma ponderado por la densidad de los elementos relevantes para el tipo de mecanismo
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Relación con dosis
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La energía entregada al material por trecho (Linear energy transfer) recorrido por la partícula es:
que se puede estimar el Stopping Power
La dosis se define como la suma del Stopping Power sobre las energías, ponderado con el espectro:
con
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Camino recorrido
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El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:
Para el caso del Stopping Power de colisiones con z cargas y m masa:
Con lo que se obtiene una dependencia del camino recorrido en función de la energía y parámetros del proyectil:
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Modelamiento simplificado
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Al ser las ecuaciones difíciles de integrar se prosigue resolviendo los problemas en forma numérica o mediante modelos simplificados. Ejemplo se modela la curva de penetración mediante un polinomio simple:
100%
50%
Energía mas probable
C1 = 0.22 MeVC2 = 1.98 MeV/cmC3 = 0.0025 MeV/cm2
C4 = 2.33 MeV/cm
La energía media en la superficie es
con
con
C5 = 0.88 MeV1/2cm
Profundidad equivalente
con
Contaminación con Bremsstrahlungwww.gphysics.net – UFRO-Master-Fisica-Medica-2-Ejercicios-08.08
Ley de Bragg
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El camino medio recorrido por la partícula se puede calcular mediante:
Camino R [cm]
William L. Bragg(1890-1971)
Deposito de energía en unaprofundidad especifica
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Modelo de Difusión de Electrones
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Basado en la teoría de un gas de electrones de Fermi-Eyges
Con la desviación estándar definida por
y la potencia lineal de scattering (cambio del cuadrado del ángulo de desviación con la distancia)
Enrico Fermi(1901-1954)
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Característica de la radiación con electrones
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100%
50%
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Ventaja en el uso de radiación con electrones
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Fuente
Colimador
Paciente
Cáncer
Bolus
Órgano critico
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Ubicación de las zonas irradiadas
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100%
50%
Cancer
Oregano critic
Bolus
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Comparación con radiación con rayos gamma
29
100%
50%
Cancer
Oregano critic
Bolus
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Índice
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Interacción fotones - materia
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Absorción
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El flujo que aun prevalece en el haz de radiación en una profundidad z esta dada por:
Φ(z)Φ(0)μ(z)z
Flujo en la profundidad z [W]Flujo en la superficie [W]Absorción del material en la posición z [1/m]Profundidad [m]
El factor de absorción se relaciona con el coeficiente de atenuación σ y la densidad del material ρ mediante
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Absorción variable
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En ese caso la intensidad será:
o sea que:
o en un limite continuo:
Que para el caso μ constante se reduce a la definición original de la reducción exponencial del flujo.
…
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Absorción puntual
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El flujo “que sufre scatterring” en la profundidad z será:
dz
z + dzz
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Absorción variable
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En tres dimensiones debemos considerar que la Intensidad decrece en función del radio:
R r
Muestra
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Absorción variable
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Si se supusiese que la energía es entregada en forma directa a la zonaen que ocurre el scattering, se puede considerar un volumen dV de masa:
Como la dosis es la energía absorbida por unidad de masa
Con lo que se obtiene para el caso monocromático (una sola energía):
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Barras o agujas
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Para el caso de que se apliquen semillas concadenadas o barras/agujas la dosis debe ser calculada sumando a lo largo L de la fuente. Un elemento dx de la fuente de actividad A contribuye en:
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Absorción
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Integrando a lo largo de la fuente
con
Se obtiene la llamada integral de Sievert y requiere de ser integrada numéricamente:
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Alternativas
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Fuentes Vida media Energía (keV) Aplicación
Cesio 137 30 a 662 Abuja
Oro 198 2.7 d 412 Semilla
Yodinio 125 60 d 27-35 Semilla
Paladio 103 17 d 20-23 Semilla
Iridio 192 74 d 136-1060 Alambre
Radio 226 1620 a 47-2440 Abuja
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Ejercicios
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1. Una muestra de Co-60 tiene 50 curie, su vida media es de 5.26 añosy al decaer emite un electrón de 0.31 MeV y dos fotones de 1.17 y 1.33 Mev. Cuanta energía emite 1g de Co-60 por segundo? (0.832 J/s)
2. Cual es el flujo de energía a una distancia de 10 cm si los fotones del ejercicio anterior se propagasen sin interacción con el medio? (5.89 W/m2)
3. Cual es la distancia media entre dos moléculas en agua? Asuma que la masa molar es 18 g y la densidad 1 g/cm3. (3.10x10-10 m)
4. Cual es la velocidad de una partícula alfa con una energía de 1MeV? Recuerde que la masa del protón y el neutrón son similar y del orden de 1.67x10-27 kg (5.49x106 m/s)
5. Si suponemos que la partícula alfa recién descrita viaja por un medio tipo agua y su distancia mínima al centro de una molécula es la mitad de la distancia media entre moléculas calculada en el ejercicio 3; cual es el tiempo característico de la interacción? (5.67x10-17 s)
6. Cual es la fuerza máxima que ejerce esta partícula alfa sobre la molécula de agua? (1.44x10+6 N)
7. Cual es el impulso promedio que se asocia a la fuerza estimada en 6 y el tiempo de interacción de 5? (8.14x10-11 kgm/s)
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Ejercicios
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8. Cual es la energía transferida a una molécula de agua como un todo?(1.11x10+5 J)
9. Cual es la energía transferida a un electrón? (1.11x10+5 J)10. Cual es la relación entre las energías transferida a un electrones respecto de las
de la molécula (núcleo)? (3.28x10+4)11. Si los electrones penetran una muestra en 2.2 cm cual es la energía probable?
(5.49 MeV)12. Cual es el R50? (1.1 cm)13. Cual es la energía en la superficie? (2.56 MeV)
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Ejercicios
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1. Simule en forma manual la forma como un haz se propaga en la aproximación Pencil Beam. Considere un haz monocromático de 1 MeV en un medio tipo agua y vaya calculando la proporción que logra sobrevivir cm a cm en un total de 20 cm. Indique además la proporción que se genera en fotones involucrados en scattering Rayleigh, Compton, Fotoeléctrico y pares en cada elemento. Considere los factores de absorción Rayleigh: 4x10]4 cm2/g, Fotoeléctrico: 3 5x10]4 cm2/g 3.5x10 cm /g, Compton: 6x10]2 cm2/g y los restantes con valores despreciables.
2. Aplique el método cono colapsado en una hoja cuadriculada. Calcule como se distribuyen los electrones al decimo paso para el caso de que un 50% continua al cuadrito en la dirección de movimiento, y cada vez 25% a los cuadritos paralelos al cuadro anterior descrito.
3. Usando los cálculos de los dos ejercicios anteriores y empleando la tabla de números rondom que se muestra a continuación, calcule para tres casos tirando los dados si se genero electrón y donde fue este a dar. Asuma que el cuadriculado del ejercicio 2 tiene una malla de 1x1 mm. 0.830301|0.750572|0.160337|0.054459|0.043647|0.158783|0.961808 0 897865|0 666354|0 623756|0 746108|0 693814|0 449321|0 2084450.897865|0.666354|0.623756|0.746108|0.693814|0.449321|0.2084450.954671|0.386558|0.269915|0.940382|0.993867|0.707698