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Materia: Concepto. Teorema de Rouché

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Se definen:

mnmn11m

1nn1111

bxaxa

bxaxa

Sistemas de ecuaciones lineales

Se definen:

Ejemplos:

mnmn11m

1nn1111

bxaxa

bxaxa

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2

ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Forma vectorial de un sistema:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

1 2 3

3 2 1 2

1 x 7 x 9 x 14

1 0 1 2

æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç

Sistemas de ecuaciones lineales

Forma vectorial de un sistema:

Forma matricial:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

1 2 3

3 2 1 2

1 x 7 x 9 x 14

1 0 1 2

æö æ ö æ ö æ ö-÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷Û + - + =ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç- -÷ ÷ ÷ ÷è ø è ø è ø è øç ç ç ç

1

2

3

3 2 1 2 x

Ax b con: A 1 7 9 , b 14 , x x

1 0 1 2 x

æ ö æ ö æ ö- ÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷= = - = =ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç- -÷ ÷ ÷è ø è ø è øç ç ç

Sistemas de ecuaciones lineales

Concepto de solución.

Sistemas de ecuaciones lineales

Concepto de solución.

Ejemplo:

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3

x x 2

ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Concepto de solución.

Ejemplo:

1 2 3

1 2 3 1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14 x 1, x 2, x 3

x x 2

ì - + =ïïïïï - + = Þ = = =íïïï - = -ïïî

3 1 2 2 3 3 4 3 2

1 7 2 9 3 1 14 27 14

1 3 2

ì ´ - ´ + = - + =ïïïï - ´ + ´ = - + =íïïï - = -ïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles

Sistemas de ecuaciones lineales

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles

Ejemplos:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2

ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Clasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados)- Incompatibles

Ejemplos:

Soluciones:

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2 a b 1x 2y 3z 9k 2

x 7x 9x 14 2a 3b 03y z 2k 5

2a 2b 0x x 2

ì ì- + =ï + =ïï ïìï - + - =ï ïï ï ïï - + = - =í í íï ï ï- + =ïï ïîï ï + =- = - ïîïïî

1 2 3x 1, x 2, x 3= = =1 1

x ( 7z 23k 16), y (z 2k 5)3 3

= - + + = - +

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas homogéneos

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas homogéneos

Ejemplo:

x 2y 3z 9k 0

3y z 2k 0

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 1x ( 7z 23k), y (z 2k)

3 3= - + = -

Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Frobenius

Para Ax b Sea: A* (A b)

Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible

Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible

Si rango(A) nº incognitas determinado

Si rango(A) nº incognitas indeterminado

= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ

Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Frobenius

Ejemplo 1:

Para Ax b Sea: A* (A b)

Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible

Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible

Si rango(A) nº incognitas determinado

Si rango(A) nº incognitas indeterminado

= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Teorema de Rouché-Frobenius

Ejemplo 1:

Para Ax b Sea: A* (A b)

Si rango(A) rango(A*) Sistema incompatible

Si rango(A) rango(A*) Sistema compatible

Si rango(A) nº incognitas determinado

Si rango(A) nº incognitas indeterminado

= =

¹ Þ

= Þ

= Þ

¹ Þ

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

3 2 1

rango(A) rango 1 7 9 3

1 0 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - ÷è øç3 2 1 2

rango(A*) rango 1 7 9 14 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç - - ÷è øç

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 2:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 2:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 2 3 9rango(A) rango 2

0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

1 2 3 9 2rango(A*) rango 2

0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 2 3 9rango(A) rango 2

0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

1 2 3 9 2rango(A*) rango 2

0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

a b 1

2a 3b 0

2a 2b 0

ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 2:

Ejemplo 3:

x 2y 3z 9k 2

3y z 2k 5

ì - + - =ïïíï - + =ïî

1 2 3 9rango(A) rango 2

0 3 1 2

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

1 2 3 9 2rango(A*) rango 2

0 3 1 2 5

æ ö- - ÷ç ÷= =ç ÷ç ÷ç ÷-è ø

a b 1

2a 3b 0

2a 2b 0

ì + =ïïïï - =íïïï + =ïî

1 1

rango(A) rango 2 3 2

2 2

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç

1 1 1

rango(A*) rango 2 3 0 3

2 2 0

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷= - =ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷è øç

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:

:

1azyx

1zayx

1zyax

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +

Sistemas de ecuaciones lineales

Ejemplo 4:Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solucióndel sistema:

Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

1azyx

1zayx

1zyax

3

a 1 1

Det(A) 1 a 1 a 3a 2

1 1 a

= = - +

3a 3a 2 0 a 1,a 2- + = Þ = =-

Sistemas de ecuaciones lineales

Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado

Sistemas de ecuaciones lineales

Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado

Veamos que pasa si a=1:

ax y z 1

x ay z 1

x y az 1

x y z 1

Si a 1 x y z 1

x y z 1

ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ

Sistemas de ecuaciones lineales

Luego ya podemos afirmar:Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3 Compatible y determinado

Veamos que pasa si a=1:

Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1 Compatible e indeterminado

ax y z 1

x ay z 1

x y az 1

x y z 1

Si a 1 x y z 1

x y z 1

ü+ + = ïïïï+ + = ýïï+ + = ïïþü+ + = ïïïï= Þ + + = ýïï+ + = ïïþ

Sistemas de ecuaciones lineales

Veamos que pasa si a=-2:

ax y z 1 2x y z 1

x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1

x y az 1 x y 2z 1

ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ

Sistemas de ecuaciones lineales

Veamos que pasa si a=-2:

Calculamos:

ax y z 1 2x y z 1

x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1

x y az 1 x y 2z 1

ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ

2 1 1

rango(A) rango 1 2 1 2

1 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

2 1 1 1

rango(A*) rango 1 2 1 1 3

1 1 2 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

Sistemas de ecuaciones lineales

Veamos que pasa si a=-2:

Calculamos:

Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3 Incompatible

ax y z 1 2x y z 1

x ay z 1 Si a 2 x 2y z 1

x y az 1 x y 2z 1

ü ü+ + = - + + =ï ïï ïï ïï ï+ + = = - Þ +- + =ý ýï ïï ï+ + = + +- =ï ïï ïþ þ

2 1 1

rango(A) rango 1 2 1 2

1 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

2 1 1 1

rango(A*) rango 1 2 1 1 3

1 1 2 1

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç= - =÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç -è ø

Mini-video 2 de 3

Materia: Resolución de Sistemas Lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas equivalentes

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas equivalentes

Ejemplos:

4x

2x

4x3

2x

3

1x

2xx

0xx2

6xx

0xx2

6xx

2

1

2

21

21

21

21

21

21

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas equivalentes

Ejemplos:

Se obtienen:- Intercambiando entre sí dos ecuaciones- Multiplicando una ecuación por un número 0- Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

4x

2x

4x3

2x

3

1x

2xx

0xx2

6xx

0xx2

6xx

2

1

2

21

21

21

21

21

21

Sistemas de ecuaciones lineales

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Sistemas de ecuaciones lineales

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Ejemplo:1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Ejemplo:

Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Antes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

Ejemplo:

Resulta que:Rango(A) =rango(A*)=2

Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7 4 1 4 3 4 1 4 3 7

x 2x x 3 1 0 2 1 1 0 2 1 3A ; A*

3x x 2x 2x 4 3 1 2 2 3 1 2 2 4

2x x x 1 2 1 0 1 2 1 0 1 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Tenemos que: 1 2 3 4

1 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 41 2 3 4

1 2 41 3 4

1 2 3 4 1 3 4

1 2 4 1 2 3 4

1 3 4

4x x 4x 3x 7

x 2x x 3

4x x 4x 3x 7

3x x 2x 2x 4

4x x 4x 3x 74x x 4x 3x 72x x x 1x 2x x 3

3x x 2x 2x 4 x 2x x 32x x x 1 3x x 2x 2x 4

x 2x x 3

2x

1 2 4

1 2 3 4

1 2 4

x x 1

3x x 2x 2x 4

2x x x 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:

1 2 3 4

1 2 3 41 3 4

1 3 41 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7

4x x 4x 3x 7x 2x x 3

x 2x x 33x x 2x 2x 4

2x x x 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Cualquiera de ellas nos valdrá.Por ejemplo:

A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

1 2 3 4

1 2 3 41 3 4

1 3 41 2 3 4

1 2 4

4x x 4x 3x 7

4x x 4x 3x 7x 2x x 3

x 2x x 33x x 2x 2x 4

2x x x 1

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b

Sistemas de ecuaciones lineales

Definición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

Resolución de sistemas Cramer:- reducción- sustitución- igualación- matriz inversa Ax=b; x=A-1b- Regla de Cramer (Ejemplo)

Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Sistemas de ecuaciones lineales

Tenemos:

1 2

3

2 2 1 3 2 1

14 7 9 1 14 9

2 0 1 1 2 18 16x 1; x 2;

3 2 1 3 2 18 81 7 9 1 7 9

1 0 1 1 0 1

3 2 2

1 7 14

1 0 2 24x 3

3 2 1 81 7 9

1 0 1

-

-

- - - -= = = = = =

- -

- -

- -

-

-

-= = =

-

-

-

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas Indeterminados

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundarias

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer

Ejemplo: Resolver

1xxx2

3xx2x

421

431

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas IndeterminadosIncógnitas principales y secundariasResolución: paso a sistema Cramer

Ejemplo: Resolver

Solución:

1xxx2

3xx2x

421

431

1 3 4

1 2 4

x 3 2x x1 0 2 1 1 0Rango 2, 0

2x x 1 x2 1 0 1 2 1

Sistemas de ecuaciones lineales

OjO con los sistemas mal condicionados

Sistemas de ecuaciones lineales

OjO con los sistemas mal condicionados

1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1

æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø

Sistemas de ecuaciones lineales

OjO con los sistemas mal condicionados

1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1

æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø

1

2

3

4191 0.5 0.33 x 1.83

18850.5 0.33 0.25 x Sol:

630.33 0.25 0.2 x 0.78

1637

1.

3

1

6

æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

OjO con los sistemas mal condicionados

1

2

3

1 0.5 0.33 x 1.83 1

0.5 0.33 0.25 x 1.08 Sol: 1

0.33 0.25 0.2 x 0.78 1

æ öæ ö æ ö æö÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷= ®ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç ç÷ ÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø è ø

1

2

3

4191 0.5 0.33 x 1.83

18850.5 0.33 0.25 x Sol:

630.33 0.25 0.2 x 0.78

1637

1.

3

1

6

æ ö÷ç - ÷ç ÷ç ÷çæ öæ ö æ ö ÷ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç=ç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ çç ç ç ÷÷ ÷ ÷ ç ÷ç ç ç÷ ÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç ç çè øè ø è ø ÷ç ÷ç ÷- ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷Det(A) 0@

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss

Sea Ax=b y A*=(A|b)

El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:

De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.

sIbA

Sistemas de ecuaciones lineales

Método de Gauss

Sea Ax=b y A*=(A|b)

El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal:

De tal forma que Ax=b I x=s x=s que sería la solución del sistema.

Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.

sIbA

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷

2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷

2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷

2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

2 1 21

3 3 326 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

1 2 3

1 2 3

1 3

3x 2x x 2

x 7x 9x 14

x x 2

ì - + =ïïïïï - + =íïïï - = -ïïî

Ejemplo:

3 2 1 2

1 7 9 14

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷-ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç - -è ø

3 2 1 2 2 1 21

3 3 3 3 3 3 31 7 9 14 1 7 9 14

1 0 1 2 1 0 1 2

æ ö æ ö- -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷» - = -ç ç÷ ÷÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç- - - -÷ ÷ç ç÷ ÷ç ç÷ ÷÷ ÷ç çç ç÷ ÷è ø è øç ç÷ ÷

2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

1 0 1 2

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- -ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷2 1 21

3 3 319 26 40

03 3 3

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

2 1 21

3 3 326 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö- ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

2 4 80

3 3 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷

Sistemas de ecuaciones lineales

11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Sistemas de ecuaciones lineales

11 141 0

19 1926 40

0 119 198 24

0 019 19

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷- - ÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 1926 40

0 119 19

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç» - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷ç ÷ç ÷çè ø÷ç ÷

11 141 0

19 190 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç - - ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çç ÷è øç ÷

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

æ ö÷ç ÷ç ÷ç ÷» ç ÷ç ÷ç ÷ç ÷÷çè ø

Luego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.

Mini-video 3 de 3

Materia: Prácticas con

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

La función RowReduce[ ] de Mathematica:

Sistemas de ecuaciones lineales

La función RowReduce[ ] de Mathematica:

Sistemas de ecuaciones lineales

La función Solve[ ] de Mathematica:

Sistemas de ecuaciones lineales

La función Solve[ ] de Mathematica:

Sistemas de ecuaciones lineales

La función Solve[ ] de Mathematica:

Sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales

OJO con los sistemas indeterminados:

Sistemas de ecuaciones lineales

OJO con los sistemas indeterminados:

Sistemas de ecuaciones lineales

OJO con los sistemas indeterminados:

Sistemas de ecuaciones lineales