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CENTRO PRE UNIVERSITARIO UPT-CIENCIAS VECTORES
Gladys Ofelia Cruz Villar 1 2009-II
VECTORES
1. Magnitud Vectorial Es aquella magnitud que
aparte de conocer su valor numérico y su unidad
respectiva, es necesario conocer también la
dirección y sentido para que así dicha magnitud
logre estar perfectamente determinada.
2. Vector: Es un segmento de línea recta orientada
que sirve para representar a las magnitudes
vectoriales.
Figura 01: Representación de un vector
AvectordelmóduloleeSeAAA
AVectorleeSeAA
:
:
2.1 Elementos de un vector:
Punto de aplicación.- Está dado por el
origen del vector.
Intensidad, módulo o magnitud.- Es el valor
del vector, y generalmente, está dado en
escala. ejm. 5 unidades de longitud equivale
a 5 N (si se tratase de fuerza).
Sentido.- Es la orientación del vector. (Se
indica viendo hacia a dónde apunta la flecha)
Dirección.- Está dada por la línea de acción
del vector o por todas las líneas rectas
paralelas a él. (Lo indicamos por lo general
por el ángulo direccional, medido desde el
eje positivo de x)
2.2 Algunos tipos de vectores:
Vectores colineales Son aquellos vectores
que están contenidos en una misma línea de
acción.
Vectores concurrentes Son aquellos
vectores cuyas líneas de acción,se cortan en
un solo punto.
Vectores coplanares: Son aquellos vectores
que están contenidos en un mismo plano.
Vectores iguales: Son aquellos vectores
que tienen la misma intensidad, dirección y
sentido.
Vector opuesto (-A) Se llama vector
opuesto (-A) de un vector A cuando tienen el
mismo módulo, la misma dirección, pero
sentido contrario.
Figura 02: Tipos de Vectores (a).colineales,
(b).concurentes, (c).coplanares, (d).iguales,
(e).opuestos.
2.3 Operaciones Vectoriales
2.3.1 Producto De Un Vector Por Un Escalar
Cuando un vector se multiplica por un escalar,
resulta otro vector en la misma dirección y de
módulo igual a tantas veces el escalar por el
módulo del vector dado. Algunos ejemplos se
muestran en la figura 3.
θ
sentido
dirección
ángulo direccional
A
B
C
(a)
A
B
C
(b)
A
B
C
(c)
A
B
(d)
A
A
(e)
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2.3.2 Adición De Vectores Sumar dos o más
vectores, es representarlos por uno sólo
llamado resultante. Este vector resultante
produce los mismos efectos que todos juntos.
Hay que tener en cuenta que la suma vectorial
no es lo mismo que la suma aritmética.
Figura 03: Adición de Vectores por el
método gráfico. Los vectores A, B, C, D,
se convierten en un solo vector resultante
R.
Método del Paralelogramo Este método es
válido sólo para dos vectores coplanares y
concurrentes, para hallar la resultante se
une a los vectores por el origen
(deslizándolos) para luego formar un
paralelogramo, el vector resultante se
encontrará en una de las diagonales, y su
punto de aplicación coincidirá con el origen
común de los dos vectores.
Figura 04: Suma de los vectores A y B
por el método del paralelogramo.
Método del Triángulo Válido sólo para dos
vectores concurrentes y coplanares. El método
es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a
continuación del otro para luego formar un
triángulo, el vector resultante se encontrará en
la línea que forma el triángulo y su punto de
aplicación coincidirá con el origen del primer
vector.
Figura 05: Suma de los vectores A y B
por el método del triángulo.
Método del Polígono Válido sólo para dos o más
vectores concurrentes y coplanares. El método
es el siguiente. Se unen los dos vectores uno a
continuación del otro para luego formar un
polígono, el vector resultante se encontrará en
la línea que forma el polígono y su punto de
aplicación coincidirá con el origen del primer
vector
Figura 06: Suma de los vectores A, B, C, por el método del polígono.
En el caso de que el origen del primer vector
coincida con el extremo del último, el vector
resultante es nulo; y al sistema se le llama
“polígono cerrado”
Figura 07: Polígono cerrado La Suma de
los vectores A, B, C, D da como
resultante cero.
DCBAR
A
0.5 A
-2 A
Figura 03:
Representación del
Producto de los
escalares 0.5 y -2
por un vector A
θ θ
A
B
A
B
R
A
B
A
B
R
A
B
C
R
A
C
B
D
R
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Suma de Vectores Colineales: En este caso
la resultante se determina mediante la suma
algebraica de los módulos de los vectores,
teniendo en cuenta la siguiente regla de
signos.
Suma de Vectores Concurrentes y Coplanares: En este caso el módulo de la
resultante se halla mediante la siguiente
fórmula (Ver Figura 08)
cos222 ABBAR
La dirección del vector se halla según la ley
de los senos (Ver Figura 08):
sen
B
sen
A
sen
R
Figura 08: Gráfica utilizada para
ejemplificar la ley de senos y cosenos.
Resultante máxima de dos vectores: Dos
vectores tendrán una resultante máxima
cuando éstos se encuentren en la misma
dirección y sentido (θ = 0°).
R=A+B
Figura 09: Ejemplo de dos vectores en la misma dirección y sentido.
Resultante mínima de dos vectores: Dos
vectores tendrán una resultante mínima
cuando éstos se encuentren en la misma
dirección; pero en sentidos contrarios (θ=
180°).
R=A-B Figura 10: Ejemplo de dos vectores en la misma dirección pero sentido contrario.
2.3.3 Sustracción De Vectores
Método del Triángulo En este caso se unen
los dos vectores por sus orígenes y luego se
unen sus extremos, el vector “D” será el
vector diferencia.
BAD ABD
Figura 11: El vector diferencia con el método del triángulo.
Método del Paralelogramo En este caso se
invierte el sentido del vector que está
acompañado del signo negativo; y luego se
sigue el mismo procedimiento para adición
de vectores por el método del
paralelogramo.
Figura 12: Sustracción de vectores por el método del paralelogramo.
+
+ __
__
θ β
α
A
B
R
A
B
A
B
A
B
A
B
D
A
B
D
θ
A
B
A
B
D
180 -θ
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Se cumple:
cos2
)180cos(2
22
22
ABBAD
ABBAD
BAD
2.4 Componentes de un vector: Se denominan
componentes de un vector a todos aquellos
vectores que sumados por el método del
polígono, dan como resultado un determinado
vector. Hay que tomar en cuenta que un vector
puede tener infinitas componentes.
Figura 13: Componentes del vector R.
2.4.1 Componentes rectangulares de un vector:
Son aquellos vectores componentes de un
vector que forman entre sí un ángulo de 90°.
Figura 14: Componentes rectangulares del vector A
En función de la figura 14, se cumple:
AsenA
AA
AAA
y
x
yx
cos
2.5 Vector Unitario Es un vector cuyo módulo es la
unidad y tiene por misión indicar la dirección y
sentido de un determinado vector. A dicho
vector se le llama también versor.
El vector unitariou del vector A
se representa
mediante la ecuación:
A
Au
Podríamos representar el vector unitario como
se aprecia en la figura 15.
Figura 15: Representación del vector
Unitario
El módulo del vector unitario siempre es uno.
2.6 Versores Rectangulares Son aquellos vectores
unitarios que se encuentran en los ejes
coordenados rectangulares.
Ahora tendremos:
i : Vector unitario en el eje x (positivo).
- i : Vector unitario en el eje x (negativo).
j : Vector unitario en el eje y (positivo).
- j : Vector unitario en el eje y (negativo).
Figura 16: Representación de los versores
rectangulares.
Aquí se cumple:
jAiAA
AAA
yx
yx
ˆˆ
2.6 Suma de vectores por el método de
componentes rectangulares Para hallar la
resultante por este método, se sigue los
siguientes pasos:
1.- Se descomponen los vectores en sus
componentes rectangulares.
2.- Se halla la resultante en el eje x e y (Rx,
Ry), por el método de vectores colineales.
3.- El módulo del vector resultante se halla
aplicando el teorema de Pitágoras.
22
yx RRR
A
xA
yA
θ x
y
y
x
u
A
i i
j
j
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2.7 Producto escalar de dos vectores:
Sean los vectores kujuiuu zyxˆˆˆ y
kvjvivv zyxˆˆˆ
que forman un ángulo Θ.
Se define el producto escalar cos. vuvu
,
el resultado no es un vector, es un escalar. El
producto escalar cumple con la propiedad
conmutativa.
De esta definición se seduce que el producto
escalar de dos vectores perpendiculares es
siempre nulo y que el de dos vectores paralelos
es el producto de sus módulos.
Para los vectores unitarios kji ˆ,ˆ,ˆ , resultan las
siguientes relaciones:
0ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ
1ˆ.ˆˆ.ˆˆ.ˆ
ikkjji
kkjjii
En el caso de que los vectores estén
expresados en componentes y utilizando las
relaciones anteriores se obtiene que el
producto escalar se calcula:
zzyyxx vuvuvuvu
.
2.8 Producto vectorial de dos vectores:
Sean los vectores kujuiuu zyxˆˆˆ y
kvjvivv zyxˆˆˆ
que forman un ángulo Θ.
Se define el producto escalar
senvuvu
, Para los vectores unitarios
kji ˆ,ˆ,ˆ , resultan las siguientes relaciones:
jik
ikj
kji
ˆˆˆ
ˆˆˆ
ˆˆˆ
En el caso de que los vectores estén
expresados en componentes y se obtiene el
producto vectorial:
zyx
zyx
vvv
uuu
kji
vu
ˆˆˆ
el resultado es un vector, la dirección y el
sentido de este vector vienen determinados
por la regla de la mano derecha
El producto vectorial de dos vectores no
cumple con la propiedad conmutativa,
cumpliéndose que:
vu
=- uv
PROBLEMAS
1. Para los vectores A, B, R, se tiene que R es el
vector resultante entre A y B.
20157
RBA
Determinar el ángulo formado por los vectores
A y B.
a) 37º b) 53º c) 30º d) 60º e) 45º
3. Hallar el módulo de la resultante de los
vectores mostrados en la figura:
vu
v
u
uv
2 u
25 u
10 u
143º
127º
a) 10
b) 5
c) 15
d) 25
e) N.A.
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4. Determina el módulo de la resultante de los
vectores colocados en el triángulo equilátero.
5. Dados dos vectores uno de módulo 5 y otro
de módulo 3. ¿Qué ángulo existe entre ellos
para obtener uno de módulo 7?
a) 15º b) 30º c) 45º d) 60º e) 120º
6. Si el sistema mostrado tiene resultante
horizontal, determinar el módulo de los
vectores mostrados en la figura:
7. Se tienen dos vectores de igual módulo “a”
que forman entre sí un ángulo Θ. Hallar el
módulo de su diferencia.
a) 2a senΘ b) 2a cosΘ c) 2a sen2
d)2
2 sena e) 2
cos2a
8. En el cuadrado el lado mide 2 u. Hallar el
módulo de la resultante.
9. En el hexágono regular de lado “L”
determinar el módulo de la resultante. Si “O”
es el centro del hexágono.
10. Determine el módulo del vector resultante
del sistema mostrado si “M”: punto medio, y
“O”: centro de la circunferencia, y .4a
11. La Figura muestra 6 vectores
FyEDCBA
,,,, Halle
FEDCBAS
2 .
12. Para el conjunto de vectores dados
determine el vector unitario del vector
resultante.
5 u
10 u
15 u
a) 5√3 u
b) 5√2 u
c) 10 √3 u
d) 10√2 u
e) 3 √3 u
53º
45 u
60 u
50 u
a) 30 u
b) 15 u
c) 10 u
d) 50 u
e) 25 u
a) 2u
b) 4u
c) 3u
d) 5u e) 0
O
a) 2L
b) 7L
c) 9L
d) 4L
e) 6L
M
O
37º
53º
a
b
c
d
a) √5
b) √6
c) 2√5
d) 3√5
e) 3√6
A
B
C
D
E
F
a) 2 A
b) 2 B
c) C
+ D
d) E
e) 0
5 5
5
x
y
z a) 2)ˆˆ( ji
b) 2)ˆˆ( ji
c) - i
d) - j
e) k
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13. Se tienen los vectores jiBiA ˆˆ;ˆ
y
kjiC ˆˆˆ
. Halle el valor de la expresión:
CBAV
.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
14. Dados los vectores jiA ˆ3ˆ2
;
jiB ˆ2ˆ
, determine BA
BA
a) 1,75 k b)0,68 k c)-1,75 k d)1,92 k e)-1,92 k
15. En un sistema de coordenadas x,y,z,
rectangulares se dan los vectores:
jiA ˆ6,0ˆ8,0
y jiB ˆ4ˆ3
. Indique
verdadero (V) o falso (F) en las siguientes
proposiciones.
i. Sólo A es vector unitario.
ii. La magnitud BA
es 4,8
iii. El producto BA
es 5 k
a) VVV b) FVV c) VFV d) VVF e) FFF
16. Hallar el ángulo β para que el módulo de la
suma de los vectores sea mínimo
17. Si la resultante de los 3 vectores
mostrados es nula, hallar F
18. Se sabe que al sumar las tres fuerzas que
se indican con una cuarta fuerza, se obtiene
que el módulo de la resultante es 50 N y que
forma 53º con el semieje +x. Determine la
cuarta fuerza en N.
a) ji ˆ60ˆ20
b) ji ˆ40ˆ20
c) ji ˆ56ˆ28
d) ji ˆ66ˆ38
e) ji ˆ28ˆ50
19. Si BAS
, sonde A
y B
son vectores
unitarios, identifique la veracidad (V) o
falsedad (F), de las proposiciones siguientes:
i. El módulo de S
satisface: 0≤S≤2.
ii. S
también puede ser unitario.
iii. Si α = 60º es el ángulo entre A
y B
,
luego S
=3
a) VVV b) FVV c) VFF d) FFF e) VVF
20. Tres vectores CyBA
, , tienen
componentes x e y como se muestra en la tabla.
Calcular el ángulo que forma el vector 3 A
-
2 B
+ C
, con el eje x.
A B
C
x 3 4 -1
y 1 -2 1
a) 0 b) 45º c) 60º d) 90º e) 180º
y
x a
a
a
10º 50º
β
a) 10º
b) 20º
c) 15º
d) 25º
e) 30º
y
x
12
F
24
20º 70º
α
a) 10 √3
b) 12 √3
c) 14√3
d) 16√3
e) 2√3
-4
3
-4
-7
4
1F
=50N
3F
=20√2 N 2F
=60N
-7