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UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS(UNIVERSIDAD DEL PERÚ DECANA DE AMÉRICA)
FACULTAD DE QUÍMICA E INGENIERÍA QUÍMICA
ESCUELA ACADÉMICO PROFESIONAL DE QUÍMICA
MONOGRAFÍA DE FISICA I
ANALISIS DIMENSIONAL
Horario: Miércoles y viernes / 8 – 10 am
Integrantes: Código:
Martínez Gamarra Daniela 14070119
Torres Giron Joselyne Nicole 14070116
Álvarez Ninahuanca Sally 14070067
Lope Muñoz Juan Víctor
Profesor: Pablo Alarcón Velasco
INTRODUCCIÓN
No todos los problemas de ciencia pueden resolverse mediante ecuaciones
basadas en leyes o balances (de materia, energía, cantidad de movimiento.),
debido a que por un lado pueden resultar muy complejos y por otro lado los
problemas involucran un gran número de variables. Por ejemplo, para el flujo de
un fluido newtoniano en régimen laminar se pueden deducir ecuaciones de flujo y
pérdidas de fricción al aplicar un balance microscópico de cantidad de movimiento,
tal y como se ha demostrado previamente; sin embargo, para el flujo de un fluido
newtoniano en un régimen turbulento no se pueden obtener ecuaciones tan
simples. Como consecuencia de esta situación se emplean ecuaciones empíricas
basadas en experimentos. Una forma de facilitar la resolución de este tipo de
problemas y de otros similares consiste en agrupar las variables en una nueva
pseudo-variable adimensional para simplificar el análisis.
MARCO TEÓRICO
El análisis dimensional es una parte de la física que estudia la forma como se
relacionan las magnitudes derivadas con las fundamentales. Tal estudio se hace
básicamente para descubrir valores numéricos, a los que los llamaremos
“dimensiones”, los cuales aparecen como exponentes de los símbolos de las
magnitudes fundamentales.
MAGNITUDES Y UNIDADES
Todo aquello que sea susceptible de aceptar una comparación con otra de su
misma especie, es una magnitud (con la consideración de que ésta debe ser
inmaterial). Así por ejemplo son magnitudes, la longitud, la masa, el tiempo, el
área, el volumen, etc.
Llamamos unidad de medida así a aquella cantidad elegida como patrón de
comparación. Una misma magnitud puede tener varias unidades de medida.
CLASIFICACIÓN DE LAS MAGNITUDES
Por su origen
A) Fundamentales.
B) Derivadas.
Por su naturaleza
C) Escalares.
D) Vectoriales.
A) MAGNITUDES FUNDAMENTALES:
Son todas aquellas que tienen la particular característica de estar presente en
todos o casi todos los fenómenos físicos, y además sirven de base para escribir o
representar las demás magnitudes. (Cualquier magnitud física, deberá expresarse
siempre mediante las magnitudes físicas fundamentales).
NOTA: Existían anteriormente dos sistemas, los cuáles han sido reemplazados por
el Sistema Internacional de unidades (S.I.), pero los estudiaremos por ser de
utilidad.
SISTEMA ABSOLUTO
Subsistemas Longitud (L) Masa (M) Tiempo (T)
M.K.S. o Giorgi Metro (m) Kilogramo (Kg) Segundo (s)
C.G.S. Centímetro (cm) Gramo (g) Segundo (s)
F.P.S. o Inglés Pie Libra (lb) Segundo (s)
SISTEMA TÉCNICO O PRÁCTICO
Subsistemas Longitud (L) Fuerza (F) Tiempo (T)
M.K.S. o Giorgi Metro (m) Kilogramo-fuerza kg – f) Segundo (s)
C.G.S. Centímetro (cm) Gramo-fuerza (g – f) Segundo (s)
F.P.S. o Inglés Pie Libra-fuerza (lb – f) Segundo (s)
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I)
Magnitud Símbolo Unidad Básica
1. Longitud L Metro (m)
2. Masa M Kilogramo (kg)
3. Tiempo. T Segundo (s)
4. Intensidad de corriente
eléctrica
I Ampere o Amperio (A)
5. Intensidad luminosa o
lumínica.
J Candela (cd)
6. Temperatura termodinámica ɵ Kelvin (K)
7. Cantidad de sustancia N Mol (mol)
Nombre Unidad Básica
MAGNITUDES AUXILIARES, COMPLEMENTARIAS O SUPLEMENTARIAS
1- Ángulo Plano Radian ( rad = m . m-1)
2- Ángulo Sólido Estereorradián ( sr = m2 . m-2)
B) MAGNITUDES DERIVADAS:
En número es el grupo más grande (ilimitado) en el cada uno puede definirse por
una combinación de magnitudes fundamentales y/o auxiliares. Estas
combinaciones se consiguen mediante las operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación. Por lo tanto toda magnitud derivada tendrá la siguiente
forma: [X] = LªMbTcɵdIeJfNg ,donde los exponentes numéricos: a, b, c, d, e, f, g, se
conocen como dimensiones.
Ejemplo: Área, Volumen, velocidad, aceleración, fuerza, trabajo, energía, calor,
etc.
C) MAGNITUDES ESCALARES:
Son aquellas magnitudes que quedan perfectamente determinadas o bien
definidas con sólo conocer su valor numérico o cantidad y su respectiva unidad de
medida.
Ejemplo: Área, volumen, longitud, tiempo, trabajo, energía, calor, etc.
D) MAGNITUDES VECTORIALES:
Son aquellas magnitudes que además de conocer su valor numérico y su unidad,
se necesita la dirección y sentido para que dicha magnitud quede perfectamente
definida o determinada.
Ejemplo: Velocidad, aceleración, fuerza, gravedad, etc.
ECUACIONES DIMENSIONALES
Llamadas también “fórmulas dimensionales”, son expresiones matemáticas que
colocan a las magnitudes derivadas en función de las fundamentales, utilizando
para ello las reglas básicas del álgebra, excepto la suma y resta.
Notación: Si: A se lee como magnitud "A"; entonces: [A]: se lee como “ecuación
dimensional de A".
PROPIEDADES DE LAS ECUACIONES DIMENSIONALES
Las ecuaciones dimensionales, se resuelven como cualquier ecuación algebraica,
pero además deberás tener en cuenta algunas propiedades especiales:
1) Principio de homogeneidad dimensional o principio de Fourier (P.H.).
El cual nos indica que cada uno de los términos (monomios) de la ecuación
dimensional serán iguales dimensionalmente. (En forma práctica, lo que debemos
hacer, es cambiar los signos de SUMA o RESTA por signos de IGUALDAD).
2) Términos adimensionales:
Los números, los ángulos, los logaritmos, las constantes numéricas (como el
numero π) y las funciones trigonométricas, se consideran como términos
adimensionales porque no tienen dimensiones, pero para los efectos de cálculo,
se asume que es la unidad, siempre que vayan como coeficientes, de lo contrario
se conserva su valor.
3) No se cumplen la suma y la resta algebraica.
EJEMPLO: [X] + [X] + [X] = [X]
[M] – [M] = [M]
[MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] + [MLT-1] = [MLT-1]
En estos tres ejemplos, te darás cuenta que, al sumar o restar magnitudes de la
misma naturaleza, el resultado es otra magnitud de la misma naturaleza.
4) Todas las ecuaciones dimensionales deben expresarse como productos y
nunca dejarse como cocientes.
- FÓRMULAS DIMENSIONALES (F.D.) MÁS USUALES EN EL SISTEMA
INTERNACIONAL (SI)
En el cuadro siguiente encontrarás las fórmulas dimensionales de las magnitudes
derivadas más usadas, las cuáles se debe aprender en su totalidad para el buen
aprendizaje y dominio de este tema.
El análisis dimensional es la herramienta que permite simplificar el estudio de
cualquier fenómeno en el que estén involucradas muchas magnitudes físicas en
forma de variables independientes. Su resultado fundamental, el teorema de
Buckingham (teorema Π) permite cambiar el conjunto original de parámetros de
entrada dimensionales de un problema físico por otro conjunto de parámetros de
entrada a dimensionales más reducido.
Es importante considerar que en un experimento en un modelo (a escala
geométrica del prototipo) los resultados a dimensionales que se obtienen para el
modelo son también válidos para el prototipo.
Teorema “Π” DE Buckingham
El teorema Π de BUCKINGHAM establece que en un problema físico en que se
tengan “n” variables que incluyan “m” dimensiones distintas; las variables se
pueden agrupar en “n-m” grupos a dimensionales independientes.
Los grupos a dimensionales se forman a partir de la siguiente expresión genérica:
i=1,….m-n
Este teorema proporciona un método de construcción de parámetros
adimensionales, incluso cuando la forma de la ecuación es desconocida. De todas
formas la elección de parámetros adimensionales no es única y el teorema no
elige cuáles tienen significado físico.
ANALISIS DEL TEMA
Fines del Análisis Dimensional
1. El análisis dimensional sirve para expresar (relacionar) las magnitudes
derivadas en términos de las fundamentales.
2. Sirven para comprobar la veracidad o falsedad de las fórmulas físicas, haciendo
uso del principio de homogeneidad dimensional.
3. Sirven para deducir nuevas fórmulas a partir de datos experimentales.
(Fórmulas Empíricas).
Propiedades de las ecuaciones dimensionales
a) Dimensión de cualquier número es uno.
Ejemplo: [3] = 1 , [0,025] = 1 , [5/7] = 1
b) Dimensión de cualquier función trigonométrica es uno.
Ejemplo: [sen30º] = [tg3x] = 1
c) Dimensión de cualquier función logarítmica es uno.
Ejemplo: [log300] = [log1] = 1
d) Dimensión de cualquier función exponencial es uno.
Ejemplo: [e-0.5] = [24.37] = [10200] = 1
e) Dimensión de cualquier constante adimensional es uno.
Ejemplo: [e] = [ת] = 1
f) Si x = x0 ± y0 , [x] = [x0] ± [y0]
g) Si x = yzr , [x] = [y][z][r]
h) Si x = y/z , [x] = [y]/[z]
i) Si x = yn , [x] = [y]n
j) Si x= aym , [x] = [y]m
Principio de homogeneidad
Es una ecuación dimensional correcta, cada termino tiene la misma ecuación
dimensional. Sea la ecuación homogénea:
S=A + B + C + D.E
*Solamente se puede sumar o restar cantidades que tienen las mismas unidades.
Otra forma de definirla: “Los dos o más miembros que forman una igualdad deben
presentar la misma ecuación de dimensiones”. “Sólo se puede sumar o restar
cantidades de la misma especie”.
Ejemplo: Si y = y0 + pa – mt2 ,[y] = [y0 + pa – mt2]
[y] = [y0] = [pa] = [mt2]
Suponiendo: [y] = L, luego [y0] = [pa] = [mt2] = L
Recuerde:
- La unidad fundamental de la corriente eléctrica es el ampere
- Existe 7 magnitudes fundamentales según el S.I.
- Si: eX + dY + Z representa una magnitud física, entonces:
(eX ) = (dY) = (z)
- En el S.I el calor es una magnitud derivada.
- En el sistema técnico la fuerza es una magnitud fundamental.
- El análisis dimensional permite comprobar si una formula es dimensionalmente
correcta.
- El análisis dimensional es útil, para establecer las unidades de las magnitudes
derivadas.
- La interacción es considerada como el primer fenómeno físico.
APLICACIONES EN EL CAMPO DE LA QUÍMICA (Fisicoquímica)
En química trabajamos con cantidades y propiedades medibles. Algunas de éstas,
como la longitud, masa y volumen, son muy simples, pero hay otras, como la
tensión superficial y la viscosidad, que son mucho más complejas. Estas
cantidades se expresan en términos de unidades escogidas arbitrariamente. Por
ejemplo, podemos escoger como medida de longitud el metro, el pie o pulgada.
Como hay una vasta gama de unidades, podríamos escoger una unidad separada
e independiente para cada cantidad, con lo que podríamos llegar a tener tantas
unidades como cantidades medibles.
Para simplificar esta situación escogeremos un número mínimo de unidades y
definiremos todas las otras unidades en términos de estas unidades
fundamentales. En el sistema centímetro-gramo-segundo, conocido como sistema
cgs, el centímetro, el gramo y el segundo solar medio son las unidades
fundamentales. El centímetro es la centésima parte de la distancia entre dos
líneas en una barra de platino iridiado que se guarda en la oficina internacional de
pesos y medidas en Sévres, cerca de París, en Francia. El metro que contiene 100
cm, se consideraba originalmente como la diezmillonésima parte de la distancia
entre el Ecuador y el Polo Norte. El gramo, la unidad de masa, es la milésima
parte de una masa de platino iridiado que se guarda en la misma institución. El
segundo solar es 1/86400 de un día solar medio, es el tiempo promedio que tarda
la Tierra en completar una revolución sobre su eje polar.
TABLA 1-1
Cantidad Dimensiones Unidades cgs
Longitud L cm
Área L2 cm2
Volumen L3 cm3
Tiempo T seg
Velocidad LT-1 cm por seg
Aceleración LT-2 cm por seg por seg
Masa M gramo
Fuerza, peso LT-2M dina
Presión L-1T-2M dinas por cm2
Densidad L-3M gramos por cm3
Tensión superficial T-2M dinas por cm, ergs por
cm2, gramos por seg2
Energía L2T-2M erg
Si representamos a la longitud por “L”, al tiempo por “T” y la masa por “M”,
podemos preparar la Tabla 1-1 para algunas de las magnitudes usadas más
comúnmente en fisicoquímica.
Puede observarse en esta tabla la distinción entre masa y peso. Nótese que se
define a la dina como la fuerza que le da a una masa de un gramo una aceleración
de un cm por seg, y que el erg es el trabajo que se realiza cuando una fuerza de
una dina actúa sobre una distancia de un centímetro.
Si introducimos una unidad de temperatura, se puede expandir la Tabla 1-1 para
incluir tres cantidades nuevas: capacidad calorífica, calor específico y entropía.
TABLA 1-2
Cantidad Dimensiones
Temperatura ɵ
Capacidad calorífica L2T-2Mɵ-1
Calor específico L2T-2ɵ-1
Entropía L2T-2Mɵ-1
Esta unidad nueva es el grado de temperatura, y se representa por la letra griega
teta (ɵ). En la tabla 1-2 se da una lista de las dimensiones, pero no de las
unidades cgs usadas en cada caso, por las razones que se explican en el párrafo
siguiente.
La capacidad calorífica se define como la cantidad de calor que se necesita para
elevar la temperatura de una sustancia dada en 1ºC. El calor específico es la
cantidad de energía que se requiere para elevar la temperatura de 1g de la
sustancia 1ºC. En estas dos definiciones estamos estableciendo la unidad de
temperatura como el grado centígrado, que tiene un tamaño igual al del grado en
la escala absoluta. La entropía tiene las mismas dimensiones que la capacidad
calorífica. No se da una lista de las unidades cgs para las cantidades de la Tabla
1-2, porque al igual que la energía, rara vez se expresan en el sistema cgs.
En vez de ello se usan dos unidades prácticas, que son el joule absoluto y la
caloría definida. El joule absoluto, por definición, es igual a 107 ergs, y la caloría
definida es igual a 4.184 joules absolutos. Esta caloría no difiere significativamente
de la caloría 15º, que se toma como la cantidad de calor necesaria para elevar la
temperatura de 1g de agua 1º a 15ºC. La capacidad calorífica se expresa en
calorías por grado y el calor específico en calorías por grado por gramo. Es de
notarse que las dimensiones son siempre las mismas, independientemente de las
unidades usadas para las diversas cantidades.
La presión se ha dado en dinas por centímetro cuadrado, las atmósferas,
centímetros de mercurio y milímetros de mercurio son unidades prácticas de gran
utilidad. Algunas veces se les llama a estas, unidades secundarias.
El litro es unidad de este tipo. Se recordará del análisis cuantitativo que el litro es
el volumen de un kilogramo de agua libre de aire a 4ºC. Su volumen corresponde
a 1.000028 decímetros cúbicos. Por lo tanto, el milímetro (mL) no es exactamente
igual al centímetro cúbico (cm3), aunque la diferencia es tan pequeña que tiene
muy poco efecto en la mayoría de los cálculos fisicoquímicos. Otro sistema cuyo
uso se está extendiendo mucho en física es el sistema MKS, en el que las
unidades básicas son el metro, el kilogramo y el segundo. El uso de este sistema,
sin embargo, no se ha divulgado tanto en fisicoquímica.