Post on 16-May-2019
Monopolos Magnéticos
Mariano Echeverría
16 de junio de 2013
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 1 / 24
Inicios del Magnetismo
Figura : Lodestone, piedra magnetizada
Tales de Mileto en el siglo VI AC observó que tales piedras se atraían entresí y el hierro (acción a distancia)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 2 / 24
Inicios del Magnetismo
Figura : Primeras Brújulas
South Pointer: primeras brújulas en China para la navegación y lograr laarmonía
Brújula portuguesa del siglo XV, navegación de Colón.
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 3 / 24
Inicios del Magnetismo
Figura : Movimiento Perpetuo y Magnetismo, Epistola de Magnete, PeterPeregrinus 1269
Propone la idea de que un imán posee polos y las reglas de interacción entre ellos.Propone una máquina de movimiento perpetuo que funcionaría usando una ruedadentada que serían atraídos y repelidos constantemente por los polos del imán(modelo para entender el movimiento de los planetas)Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 4 / 24
De Magnete
Figura : Portada del libro De Magnete, William Gilbert, Edición 1628
Ridiculiza varias de las creencias medievales sobre los poderes de losimanes, e.g, detección del adulterio y poderes curativos por la ausenciade evidencia empírica
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 5 / 24
Seis Partes De Magnete
!
"
#
$
1 Resumen histórico del magnetismo y las teorías sobre el magnetismoterrestre
2 Diferencias entre la electricidad y el magnetismo, argumentos contra elmovimiento perpetuo
3 Experimentos terrella
4 Declinación (variación entre el norte geográfico y el magnético)
5 Diseño de Instrumentos Magnéticos
6 Teoría magnética del movimiento estelar y terrestre
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 6 / 24
De Magnete y la Terella
Figura : Terella de William Gilbert
Propuso que la Tierra actúa como un gran imán con dos polos
Contrastó los efectos magnéticos con los eléctricos conocidos para laépoca (división electricidad-magnetismo)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 7 / 24
Efluvio Espiral
Figura : Efluvio Espiral, Descartes, 1643
Concibió un vórtice de fluido de materia alrededor de cada imán, demanera que saliera por un polo y regresara por el otro.
Actuaría sobre el hierro por virtud de una resistencia especial delmovimiento que poseen tales sustancias (acción por contacto)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 8 / 24
Acción a Distancia
!
"
#
$
1 Fuerza Gravitacional de Newton: De la forma 1
r2 para la atracciónentre masas
2 Fuerza de Coulomb: De la forma 1
r2 para la atracción-repulsión entrecargas eléctricas
3 Fuerza de Michell-Colomb: De la forma 1
r2 para la atracción-repulsiónentre “polos” magnéticos
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 9 / 24
Magnetismo y Electricidad
!
"
#
$
Experimento de Oersted (1820) : una corriente eléctrica afecta a unabrújula
Experimento de Ampère (1826) : dos cables con corrientes eléctricasdeberían ser capaces de repelerse o atraerse tal como lo hacen losimanes. Magnetismo como corrientes amperianas.
Experimento de Faraday (1831): un imán produce una corriente.Motor homopolar.
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 10 / 24
Faraday y las Líneas de Campo
Visualizar el espacio permeado por campos (acción local)
Las interacciones (fuerzas) son mediadas por los campos y no ocurreninstantáneamente
Visualizar el campo a través de las líneas de campo, es decir, líneasque cuya dirección tangente señala la dirección del campo
Comparar el campo electromagnético como una forma de fluido
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 11 / 24
Ecuaciones de Maxwell en el Vacío y Dualidad
%
&
'
(
! · B = 0 !" E +!B
!t= 0 (1)
! · E = 0 !" B #!E
!t= 0 (2)
)*
+,E = B B = #E (3)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 12 / 24
Ecuaciones de Maxwell y Dualidad
%
&
'
(
! · B = 0 !" E +!B
!t= 0 (4)
! · E = "e !" B #!E
!t= je (5)
%
&
'
(
! · B = "m !" E +!B
!t= #jm (6)
! · E = "e !" B #!E
!t= je (7)
)*
+,E = B B = #E "e = "m "m = #"e j̄e = jm j̄m = #je (8)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 13 / 24
Potencial Vectorial y Escalar
Para las ecuaciones de Maxwell sin monopolos magnéticos se puedetomar
-.
/0B = !" A E = #!##
!A
!t(9)
Escribe los campos de esta forma hace que se satisfaganautomáticamente dos de las cuatro ecuaciones de Maxwell
No hay una única pareja de potenciales A,# que sirven, de hecho1
2
3
4Simetría Gauge:
A #$ A +!f # #$ ##!f
!t(10)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 14 / 24
Monopolos Magnéticos y Mecánica Cuántica
En principio no hay ninguna contradicción con la electrodinámicaclásica el postular monopolos
Sin embargo, si B se escribe como !" A entonces se obtieneautomáticamente que ! · B = 0
En la Mecánica Cuántica la ecuación de Schrödinger se expresautilizando el potencial vectorial directamente
i!!$
!t=
1
2m(i"!+ qA)2 $(x , y , z , t) (11)
Esto sugiere que en la Mecánica Cuántica sería imposible tenermonopolos magnéticos, sin embargo, ¡Dirac encontró una forma deevitar tal conclusión!
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 15 / 24
Monopolos Magnéticos y el Dirac String
Considere un monopolo magnético de carga g , es decir,
B =g
"2e! (12)
Figura : Esfera y coordenada esféricas
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 16 / 24
Monopolos Magnéticos y el Dirac String
No existe un campo vectorial A sobre R3 \ {(0, 0, 0)} de modo queB = !" A pues por Stokesˆ ˆ
S
B · dS =
ˆ ˆ
S+(!" A) ·dS+
ˆ ˆ
S!
(!" A) ·dS =
˛
A ·d r#
˛
A ·d r = 0
(13)
mientras que un cálculo sencillo (Ley de Gauss para monopolos)mostraría que
ˆ ˆ
B · dS = 4%g (14)
De hecho, hay requisitos topológicos para garantizar la existencia deun potencial vectorial: el primer y segundo grupo fundamental delespacio debe ser trivial, es decir, todos los lazos y todas las esferasdeben poder encongerse a un punto
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 17 / 24
Monopolos Magnéticos y el Dirac String
Considerar U!= R3 \ eje z positivo. Existe un potencial vectorial A
!
A!(",&, ') = #
g
" sin&(1 + cos&) e" (15)
Considerar U+ = R3 \ eje z negativo. Existe un potencial vectorial A+
A+ (",&, ') =g
" sin&(1 + cos&) e" (16)
Tales potenciales presentan singularidades sobre una cuerda, de ahí elnombre Dirac String.
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 18 / 24
Cuantización de la Carga
Fuera del eje z se tiene
A+ # A!=
2g
" sin&e" = ! (2g') (17)
y por la libertad gauge se consideran equivalentes.
Si se toma una partícula de carga q que está bajo la influencia delcampo magnético del monopolo, entonces
$+ = e i(2gq")$!
(18)
donde $+,$!son las soluciones respectivas a la ecuación de
Schrödinger. Como difieren en una fase, describen el mismo estado.
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 19 / 24
Cuantización de la Carga
Si se realiza una rotación, es decir, ' #$ ' + 2% la relación entre lasfunciones de onda deberían preservarse, es decir, como
$+ = e i(2gq")$!
(19)
debe tenerse que
$+ = e i(2gq("+2#))$!= e i(2gq")e i(4gq#)$
!(20)
Esto implica quee i(4qg#) = 1 (21)
obteniendo la cuantización de Dirac
qg =n
2n entero (22)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 20 / 24
Características de los Monopolos Magnéticos
La existencia de un monopolo magnético en todo el universo implicaríala cuantización de la carga eléctrica
Tal cuantización se puede obtener de la cuantización del momentoangular o bien de pedir que en el experimento Aharonov-Bohm nohubiera patrón de interferencia (tomando el string como un solenoideinfinito)
Las cargas son inversamente proporcionales y el acoplamiento entremonopolos magnéticos sería cerca de 104 más intenso que el de lascargas eléctricas
Recuperaría la simetría de las ecuaciones de Maxwell
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 21 / 24
Monopolos Magnéticos en las Teorías Modernas
!
"
#
$
Aparecen como predicciones en las Teorías de Gran Unificación(GUT), por ejemplo, los monopolos de t’Hooft Polyakov
Aparecen por razones topológicas (topological charges)
Aparecen en Teoría de Cuerdas, Kalb-Rammond Field
La dualidad de Montonen-Olive es una simetría que generaliza lassimetrías de las ecuaciones de Maxwell que involucra un intercambiode los papeles de las cargas eléctricas y magnéticas
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 22 / 24
Estatus Actual de los Monopolos Magnéticos
!
"
#
$
Intentar crearlos en aceleradores de partículas
Detectarlos en rayos cósmicos
Debido al fuerte acoplamiento, serían fáciles de detectar
MoEDAL: Monopoles and Exotic Detectors at the LHC
MACRO: Monopoles, Astrophysics and Cosmic Ray Laboratory
Monopolos Magnéticos Artificiales(http://www.thp.uni-koeln.de/rosch/Research.html)
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 23 / 24
Muchas Gracias
Mariano Echeverría Monopolos Magnéticos 16 de junio de 2013 24 / 24