Segunda Parcial LAPSO 2011 2 CDIGO 756 1/3

Universidad Nacional Abierta Clculo Integral(756)

Vicerrectorado Acadmico Cd. Carrera: 126

rea de Matemtica Fecha: 03 03 - 2012

MODELO DE RESPUESTAS Objetivos 5 al 7

OBJ 5 PTA 1 Dada la curva definida por F(t) = (a cos t , a sen t , g(t)) , prueba que sta es plana si

g(t) es solucin de la ecuacin 0)t(g)t(g =+ . Solucin:

Calculemos [ ]

2)t(F)t(F

)t(F)t(F)t(F)t(P

= , 0)t(F)t(Fr

(ver pgina 576 del libro

Matemtica III de Ingeniera de la UNA).

Calculemos

[ ] )t(F))t(F)t(F()t(F)t(F)t(F = Entonces,

))t(g,tcosa,tasen()t(F = ))t(g,tasen,tcosa()t(F =

))t(g,tcosa,tasen()t(F =

==

)t(gasenttcosa)t(gtcosaasent

kji)t(F)t(F

( )2a,)t(gasent)t(gtcosa,)t(gasent)t(gtcosa ++=

= )t(F))t(F)t(F( ( ) ))t(g,tcosa,tasen(a,)t(gasent)t(gtcosa,)t(gasent)t(gtcosa 2 ++= =+++= ))t(g)t(gtcossent)t(gtcos)t(gtsen)t(gtsent(cosa 222

))t(g)t(g(a))t(g)t(g)tcostsen((a 2222 +=++= Luego, 0)t(P = si g(t) es solucin de la ecuacin 0)t(g)t(g =+ . Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles

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OBJ 6 PTA 2 Calcula, si es posible, la suma de la siguiente serie numrica:

=

+1n

n

nn

623

Solucin:

La serie dada =

+1n

n

nn

623 es una serie numrica de trminos positivos y el

trmino general es:

nnnn

n

n

n

n

n

nn

n 31

21

62

63

62

63

623a

+

=

+

=+=+= .

Ahora, como las series =

=

1n 1n

nn

31y

21 son series geomtricas (ver

pginas 313 y 314 del libro Clculo II de la UNA), de razones 31ry

21r ==

respectivamente, lo cual nos indica que ambas series son convergentes (por qu?)

entonces, la serie =

+1n

n

nn

623 tambin converge.

Ahora, =

=

=

=

+

=

+

=+

1n 1n1n1n

n

nn nnnn

31

21

31

21

623

= 23

211

311

131

211

121 =+=

+

Ver pginas 313 y 314 del libro Clculo II de la UNA

Por lo tanto, 23

623

1n

n

nn

=+=

OBJ 7 PTA 3

Determina si la serie =

1n n

)ncos( es absolutamente convergente, condicionalmente

convergente o divergente. Solucin:

Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles

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Se tiene que, =

=

=1n

n

1n n

)1(

n

ncos por qu?

Estudiemos si la serie converge absolutamente

=

==

1n1n

n

n

1

n

)1( esta es la serie armnica que es divergente Verifcalo!.

Luego, la serie =

1n n

)ncos( no converge absolutamente.

Estudiemos si la serie converge condicionalmente

La serie =

1n

n

n

)1( es una serie alternada, entonces, usando el criterio para la

convergencia de series alternadas (ver pg. 356 del libro Clculo II de la UNA), se tiene que:

i) 0n

1lmalmn

nn

==

ii) an an+1

1n

1

n

1

+ de donde, n+1 n para todo n

Luego, la serie =

1n

n

n

)1( converge condicionalmente.

Por lo tanto, la serie =

1n n

)ncos( converge condicionalmente.

FIN DEL MODELO DE RESPUESTAS

Especialista: Alejandra Lameda G. Evaluadora: Florymar Robles

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