Métodos matemáticos

para economía

Profesor: Dr. Noé Hernández Cortez

noe.hernandez@flacso.edu.mx

Métodos matemáticos

para economía

Fuente: Michael W. Klein’s (2010) Mathematical Methods for

economics, Segunda Edición, Editorial Pearson.

Nociones generales

1. Gráficas y ecuaciones

2. Representación y solución de sistema de

ecuaciones

3. Variación porcentual

4. Relaciones no lineales y elasticidades

Representación en 2-dimensiones

1. Representación de la asociación de pares

de variables usando el plano cartesiano

2. Representación de funciones bivariadas (2-

variables)

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

El plano cartesiano

y

x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

(1,1)

(2,6)

(5,5)

(7,2)

Puntos (pares ordenados) en el plano

cartesiano

Ecuación para una función lineal

y = mx + b

Variable dependiente Variable independiente

pendiente Intersección

Ejemplos: Pendiente Intersección

y = x 1 0

y = 3 + 0.25 x 0.25 3

y = 6 – 2 x - 2 6

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

“recorrido” ( = 2)

“incremento” ( = 1)

pendiente = incremento / recorrido (en este caso = 1/2)

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8 y

x

Representación de la función y = x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Representación de la función: y = 2x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

y

x

Representación de la función y = 3+0.25x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Representación de la función y = 6 - 2x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Representación de la función x = 4

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Cambios en la intersección del valor de b

y = 8 – 2x

y = 6 – 2x

y = 4 – 2x

Resolver el sistema de ecuaciones

y = 6 - 2x

y = 3 + x

1. Resolver para y

6 - 2x = 3 + x

2. Aislar x

3 = 3x por lo tanto x = 1

3. Resolver para y en la siguiente ecuación:

y = 6-2 = 3+1 = 4

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Solución de un sistema de ecuaciones

y = 6 - 2x ; y = 3 + x

Solución: (1,4)

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos

en la demanda”

P = 8 – 2Q

P = 4 – 2Q

P = 6 – 2Q

8-2Q = 3+Q

P = 3 + Q

Q = 5/3

P = 14/3

6-2Q = 3+Q

4-2Q = 3+Q

Q = 1

P = 4

Q = 1/3

P = 10/3

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Equilibrios con distintas intersecciones: “Desplazamientos en la

oferta”

P = 6 – 2Q

6 – 2Q = 5+Q

P = 3 + Q

Q = 1/3

P = 16/3

6 – 2Q = 3+Q

6 – 2Q = Q

Q = 1

P = 4

Q = 2

P = 2

P = 5 + Q

P = Q

Niveles, variación y variaciones porcentuales

Nivel Variación Variación porcentual

xt ∆ xt = xt – xt-1 % ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]

100

120 20 20%

140 20 16.67%

Fórmula para la variación porcentual

% ∆ xt = 100[(xt – xt-1) / xt-1]

= 100[(xt / xt-1) - 1]

Algunas reglas generales

Para z = xy, con pequeñas variaciones porcentuales

% ∆z ≅ % ∆x + % ∆ y

Para z = y/x, con pequeñas variaciones porcentuales

% ∆z ≅ % ∆y - % ∆x

Ejemplos

xt = 10 xt+1 = 11 % xt = 10%

yt = 20 yt+1 = 24 % yt = 20%

z = xy zt = 200 zt+1 = 264

% zt = 100([264/200]-1) = 32 %

z = y/x zt = 2 zt+1 = 2.18182

% zt = 100([2.18182 /2]-1) = 9.091 %

Relaciones no lineales •Las funciones no lineales no tienen tasas de

cambio constantes. Por lo tanto, sus gráficas no

son líneas rectas.

y = 2x + 3 => y = 2 x, pero no %y = 2%

x

•Una función que relaciona %y a una

constante % x toma la forma de

y = bxa

Donde a y b son parámetros constantes

Reglas de los exponentes

• x0 = 1

• x1 = x

• x-1 = 1 / x

• (xa ) b = (xb ) a = xab

• xa x b = xa+b

• xa / x b = xa – b

• xa y a = (xy)a

• xa / y a = (x/y)a

• x1/a = ax

• 20 = 1

• 21 = 2

• 2-1 = 1 / 2

• (21 ) 3 = (23 ) 1 = 8

• 22 23 = 25 = 32

• 23 / 22 = 21 = 2

• 22 32 = 62 = 36

• 42 / 22 = (4/2)2 = 4

• 9 1/2 = 9 = 3

Regla Ejemplo

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Representación gráfica de y = 8 / x

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Una recta tangente a una hipérbola muestra la pendiente en un

punto

Recta tangente en x = 1.5

pendiente = - 3.56

Recta tangente en x = 5.5

pendiente= - 0.26

Elasticidades

Una elasticidad relaciona la variación porcentual

de una variable con la variación porcentual en

otra variable;

Elasticidad entre x y y

= %y / % x

= (y / y) / ( x / x )

= (y / x) (x / y )

0 1

1

3 4 2 8 5 6 7

2

3

4

5

6

7

8

Elasticidades constantes con una hipérbola

y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)

= -3.56 (1.5/5.33) = - 1

y/y / x/x = (y/x)(x/y) = pendiente (x/y)

= -0.26 (5.33/1.5) = - 1

1. En un plano cartesiano representa los siguientes puntos: (0,5),

(4,2), (6,1), (3,3)

2. Grafica las siguientes ecuaciones lineales

1. y = 2x + 3

2. y = 21 – 4x

3. Resuelve el sistema de dos ecuaciones dadas por las

ecuaciones en el planteamiento (2) arriba expuestas. También

resuelve el sistema para el caso de la ecuación 2.1 cambiando

a y = 15 – 4x y muestra como este cambio en la ecuación 2.1

se representa en la gráfica.

4. Grafica la ecuación y = x0.5. Calcula la variación porcentual

en la variable dependiente entre los puntos donde x=4 y

x=4.41. Determina la elasticidad entre estos dos puntos.

5. Analiza la pendiente y la ordenada, paso seguido realiza la

gráfica correspondiente:

A. f(x) = x

B. y = 3x + 3

C. x = 1000

D. f(x) = 4x + 5

E. p = 3x + 6

F. p = 8 – 3x

G. p = 12 – 2x

H. p = 8 – .50x

Bibliografía

Michael W. Klein’s (2010), Mathematical Methods for economics,

Segunda Edición, Editorial Pearson.

El siguiente sitio se los recomiendo para aprender nociones

generales de Matemáticas. La página se llama Descartes y es

administrada por el Ministerio de Educación, Cultura y Deporte

del Gobierno de España.

Fuente electrónica:

http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html