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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame1N.º
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Índice
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Chapter 1: Mathematical Modeling and Engineering Problem Solving............... Pág. 2 Chapter 5: Roots of Equations - Bracketing Methods - Método do Gráfico......... Pág. 11 Bissection Method......... Pág. 15 Método da Falsa-Posição... Pág. 19 Chapter 6: Roots of Equations - Open Methods - Simple-Fixed Point Iteration.... Pág. 21 Newton-Raphson.................. Pág. 23 Secant Method................... Pág. 25 Multiple Roots.................. Pág. 27 - Sistema de Equações Não-Lineares............... Pág. 30 Chapter 8: Roots of Equations - Engineering Aplications........................ Pág. 33 Parte 3: Resolução de Sistemas de Equações..................................... Pág. 36 Parte 5: Regressão Linear...................................................... Pág. 45 Parte 6: Numerical Differentiation and Integration............................. Pág. 50
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-Resolução de Integrais em Excel (Simpson Rule)........................ Pág. 50
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Parte 7: Equações Diferenciais Ordinárias....................................... Pág. 57 Método de Euler........................................................ Pág. 58 Vários Exemplos no Modellus............................................ Pág. 60 "rkfixed" e "Odesolve"................................................. Pág. 71 Runge-Kutta 4th Order.................................................. Pág. 75 Exames Resolvidos............................................................... Pág. 82
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Equações Diferenciais A B C dcA/dt=-k1*CA dcB/dt=k1*CA-k1*CB
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k1 k2
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dcC/dt=k2*CB
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A B
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k1
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k2
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dA/dt=-v1+v2 dB/dt=v1-v2 v1=k1*A v2=k2*B
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Forma Numérica para resolver por aproximação: dA/dt=-v1+v2 => A(t+dt)=A(t)+(-v1(t)+v2(t))*dt dB/dt=v1-v2 => B(t+dt)=B(t)+(v1(t)-v2(t))*dt v1=k1*A => v1(t)=k1*A(t) v2=k2*B => v2(t)=k2*B(t)
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A B+C D
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k3
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k2
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k1
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dA/dt=(-v1+v2)=-k1*A+k2*b*C dB/dt=(v1-v2-v3) dC/dt=(v1-v2-v3) dD/dt=v3=k3*B*C v1=k1*A V2=k2*B*C v3=k3*B*C
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Se A=0,B=1,C=0 e D=1, não há reacção!!! Porque C é o reagente limitante...
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Chapter 1: Mathematical Modeling and Engineering Problem Solving
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Exemplo 1.1 (MODELLUS)
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Caixa de texto
t v 0.00 0.00 2.00 16.40 4.00 27.77 6.00 35.64 8.00 41.09 10.00 44.87 12.00 47.49 14.00 49.30 16.00 50.56 18.00 51.43 20.00 52.03 22.00 52.45 24.00 52.74 26.00 52.94 28.00 53.08 30.00 53.17 32.00 53.24 34.00 53.29 36.00 53.32 38.00 53.34 40.00 53.36 42.00 53.37 44.00 53.37 46.00 53.38 48.00 53.38 50.00 53.38
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Método Analítico
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passo utilizado foi 2
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Declive no ínico é g Solução Numérica obtém-se integrando a função
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Diminuir o passo => Solução Numérica, fica mais perto da Solução Analítica
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Exemplo 1.1 (Excel)
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Método Analítico
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aplicar a fórmula de v(t), substituindo t pelos valores da coluna t
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Exemplo 1.2 (Modellus)
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Método Numérico
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t v_num 0.00 0.00 2.00 19.60 4.00 32.00 6.00 39.86 8.00 44.82 10.00 47.97 12.00 49.96 14.00 51.22 16.00 52.02 18.00 52.52 20.00 52.84 22.00 53.04 24.00 53.17 26.00 53.25 28.00 53.30 30.00 53.33 32.00 53.36 34.00 53.37 36.00 53.38 38.00 53.38 40.00 53.38 42.00 53.39 44.00 53.39 46.00 53.39 48.00 53.39 50.00 53.39
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passo utilizado foi 2
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Exemplo 1.2 (Excel)
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Método Numérico
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v_numérico=v_0
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v_numérico=célula anterior+(g-(m/c)*célula anterior)*dt
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v_analítico= expressão v(t), substituindo t pelos valores da coluna t
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correspondentes
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em que a célula anterior se refere a v
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Exemplo 3.1 (Modellus)
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O passo continua a ser 2 O gráfico é t em função de v_sol e de v_num A tabela apresenta os valores de t, v_sol e v_num
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o passo utilizado foi de 0.5
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Método Numérico
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Caixa de texto
t y_solv 0.00 0.00 0.50 -0.17 1.00 -0.22 1.50 -0.03 2.00 0.30 2.50 0.55 3.00 0.56 3.50 0.40 4.00 0.30 4.50 0.42 5.00 0.73
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Exercício 1.13 (Modellus)
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como temos 2 "y's" aplicamos "comment" na 1ª equação
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y=y_0
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y=célula anterior+(3*(Q/A)sen(t)^2)-(Q/A)*dt
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t=0
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t=célula anterior+dt
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Exercício 1.13 (Excel) Método Numérico
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Exercício 1.12 (Modellus) Método Numérico
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o passo foi de 0.1
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Caixa de texto
t c 0.00 10.00 0.10 9.90 0.20 9.80 0.30 9.70 0.40 9.61 0.50 9.51 0.60 9.41 0.70 9.32 0.80 9.23 0.90 9.14 1.00 9.04
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Como temos dois "c's" aplica-se "comment" na 1ª equação
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Exercício 1.12 (Excel) Método Numérico
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t=0
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t=célula anterior+dt
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c=c_inicial
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c=célula anterior + (-k*célula anterior)*dt
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Chapter 5: ROOTS OF EQUATIONS, Bracketing Methods
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Método Gráfico
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Exemplo 5.1 (Excel)
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c=c_inicial
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c=célula anterior+dc
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f(c)=((g*m)/coluna correspondente ao c)*(1-EXP((-coluna correspondente a c*m)*t))-v
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Neste caso, a coluna correspondente é o c=c_inicial
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Nesta tabela mantém-se tudo igual, excepto o passo e o c_inicial
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Exemplo 5.1 (Mathcad)
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Método do Gráfico
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xc
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o sinal de igual é o normal, para gerar a tabela
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o sinal de igual é :=,serve para atribuir valores
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Método do Gráfico
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Exemplo 5.2 (Excel)
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x=0
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x=célula anterior+dx
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f(x)=sin(10*coluna anterior)+cos(3*coluna anterior) Neste caso a coluna anterior é x=0
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x_inicial=2.1
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Método do Gráfico
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Exemplo 5.2 (Mathcad)
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xi
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xf
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o sinal de igual, é o sinal normal, para dar origem à tabela
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sinal de igual é :=
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Método da Bissecção
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Exemplo 5.3 (Excel)
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Continuação...
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xL=12
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2
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1
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=SE(H2>0;F2;A2)
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xU=16
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=SE(H2<0;F2;B2)
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f(c)=((g*m)/c)*(1-exp((-c/m)*t))-v
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aplicamos à função
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os valores de xL e xU correspondentes
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f(xL)*f(xU)
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xR=xL+xU/2
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para cada linha
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aplicamos à função
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f(c)=((g*m)/c)*(1-exp((-c/m)*t))-v
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os valores de xR correspondentes
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Texto digitado
f(xL)*f(xR)
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f(xR)*f(xU)
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A B C D E F G H I
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
3
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame17
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 5.4 (Excel)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Acrescentar à tabela a seguinte coluna:
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=ABS((F3-F2)/F3)*100
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Coluna F => xR
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame18
Inês Cascais
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Exemplo 5.5 (Mathcad)
Inês Cascais
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Método da Bissecção
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Outra maneira... (mais completa)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Palpite!!
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame19
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Método da Falsa-Posição
Inês Cascais
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Inês Cascais
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Exemplo 5.6 (Excel)
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Inês Cascais
Imagem colocada
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
1 2 3
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
xL=12
Inês Cascais
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Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
xU=16
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
=SE(J2>0;H2;A2)
Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(J2<0;H2;B2)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=B2-(E2*(A2-B2)/(D2-E2))
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
aplicamos à função
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Caixa de texto
f(c)=((g*m)/c)*(1-exp((-c/m)*t))-40
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
os valores de xL e xU respectivamente
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
f(xL)*f(xU)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=ABS((H3-H2)/H3)*100
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
xR=xL+xU/2
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
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A B C D E F G H I J K
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame20
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Exemplo 5.11
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a)
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Inês Cascais
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(Excel)
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Inês Cascais
Texto digitado
x^3.3=79 x=79^(1/3.3) x=3.758707
Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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b)
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Exemplo 5.17(Mathcad)
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Chapter 6: ROOTS OF EQUATIONS, Open Methods
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Simple Fixed - Point Iteration
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Exemplo 6.1 (Excel)
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(e^x)-x=0
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i=0
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Inês Cascais
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célula anterior+1
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xi=0
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
solução
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erro associado
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solução analítica
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Texto digitado
Palpite
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Erro Absoluto
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Função
Inês Cascais
Texto digitado
Quanto mais o valor "novo", for próximo do "velho", menor o erro
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame22
Inês Cascais
Texto digitado
Simple Fixed - Point Iteration
Inês Cascais
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Exemplo 6.1 (Mathcad)
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i:=0..9
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame23
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Método de Newton-Raphson
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Exemplo 6.3 (Excel)
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Equação de Newton-Raphson
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valor da função em x_i
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valor da 1º derivada em função de x_i
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valor de x_i incial (dado do problema)
Inês Cascais
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Passo
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Inês Cascais
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Obtém-se a partir da equação de Newton-Raphson Neste caso, fica: célula anterior - f(x_i)anterior/f'(x_i)anterior
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame24
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Método de Newton-Raphson
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Exemplo 6.3 (Mathcad)
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cálculo da 1ª derivada
Inês Cascais
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1]
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Inês Cascais
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Inês Cascais
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame25
Inês Cascais
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Secant-Method
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Inês Cascais
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Inês Cascais
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Exemplo 6.6 (Mathcad)
Inês Cascais
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame26
Inês Cascais
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Secant-Method
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Inês Cascais
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Exemplo 6.6 (Excel)
Inês Cascais
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Inês Cascais
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Inês Cascais
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A B C D
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Inês Cascais
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1 2 3
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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=A2-((C2*B2-A2))/((D2-C2))
Inês Cascais
Texto digitado
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=A2-1
Inês Cascais
Texto digitado
=EXP(-A2)-A2
Inês Cascais
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x_i=1
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Inês Cascais
Texto digitado
=EXP(-B2)-B2
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame27
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Exemplo 6.9 (Excel)
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Newton-Raphson
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Newton-Raphson Modificado
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Standard
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Inês Cascais
Texto digitado
Modificado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Multiple Roots
Inês Cascais
Texto digitado
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1ªDerivada em ordem a x
Inês Cascais
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2ª Derivada
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame28
Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 6.9 (Mathcad)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Multiple Roots
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame29
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Sistema de Equações Não Lineares
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Exemplo 6.10 (Excel)
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Palpite
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Palpite
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
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Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Texto digitado
Inês Cascais
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Texto digitado
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Texto digitado
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xi e yi, correspondem neste caso, a 1,5 e 3,5 respectivamente
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
xi e yi, correspondem neste caso, a 1,5 e 3,5 respectivamente
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Inês Cascais
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Sistema de Equações Não Lineares
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 6.10 (Mathcad)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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With a SOLVE BLOCK
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame31
Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 6.11 (Excel)
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Inês Cascais
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame32
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Exemplo 6.11 (Mathcad)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame33
Inês Cascais
Texto digitado
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Chapter 8: ROOTS OF EQUATIONS, Engineering Applications
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Exemplo 8.1(Excel)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Inês Cascais
Texto digitado
V=R*300/1
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Aplicar:
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Aplicar:
Inês Cascais
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame34
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Exemplo 8.3 (Excel)
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É uma ferramente do excel muito útil quando queremos encontrar raízes de funções, como é o caso!
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Foi mais eficaz
Inês Cascais
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Método da falsa-posição
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Inês Cascais
Texto digitado
Método da Bissecção
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Raíz
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Texto digitado
Problema Resolvido com os dois métodos
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame35
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Texto digitado
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Exemplo 8.4 (Excel)
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Texto digitado
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Newton-Raphson
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Raíz
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Quando a função se anula, podemos olhar para a coluna do tempo e tirar a raíz da função
Inês Cascais
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Texto digitado
. . .
Inês Cascais
Imagem colocada
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Texto digitado
c_inicial
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Caixa de texto
=SE(c_in*(1-EXP(-0,04*D16))+(c_0*EXP(-0,04*D16))<=c_fin;c_in*(1-EXP(-0,04*D16))+(c_0*EXP(-0,04*D16));"STOP")
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Texto digitado
D16 => t=0
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame36
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Resolução de Sistemas de Equações
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM( : )
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM( : )
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM( : )
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM( : )
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=determinante*/determinante=150/150
Inês Cascais
Texto digitado
=determinante*/determinante=300/150
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=determinante*/determinante=1500/150
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(A=B;"TRUE";"FALSE)
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
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Texto digitado
Pegar nos valores do sistema a laranja (-12,1,-1) e multiplicar pelos respectivos x1,x2 e x3 na tabela do determinante*
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A B
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PART THREE: LINEAR ALGEBRAIC EQUATIONS
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Exercício 9.8 (Excel) Regra de Kramer
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Exercício 9.8 (Mathcad)
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Determinante de A
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Soluções:
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Verificação
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Exemplo 12.1 (Mathcad) Regra de Kramer
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Exemplo 12.1 (Mathcad) Third-Method
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Exemplo 12.1 (Mathacad)
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1º Método
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2º Método
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3ºMétodo
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Exemplo 12.1 (Excel)
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={MATRIZ.INVERSA( : )}
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Devia dar zero
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={MATRIZ.MULT( : ; : )}
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91 92 93 94 95
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66 67 68 69 70
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=SE(C$90*C66+D66*C$91+C$92*E66+C$93*F66+C$94*G66=H66;"VERDADEIRO";"FALSO")
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C D E F G H
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C
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c1 c2 c3 c4 c5
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Exercício 12.6 (Mathcad)
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Exercício 12.6 (Excel)
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R11
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R33*
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={MATRIZ.INVERSA( : )
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={MATRIZ.MULT(
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: ; : )}
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Matrizes e Derivadas (Excel)
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Matriz Inicial
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Matriz Inversa
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={MATRIZ.INVERSA(A1:C3)}
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1 2 3
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A B C
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Transposta
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={TRANSPOR(A1:C3)}
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h=1
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h=célula anterior *0.1
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Substituir x=3, na função f(x)
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A B C D
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1 2 3 4
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=((2*((3+A1^2))-(18))/A1
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PART FIVE: Curve Fitting. Chapter 17- Least-squares regression
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Exemplo 17.1 (Excel) REGRESSÃO LINEAR
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=CONTAR(A1:A7)
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A B C D E
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1 2 3 4 5 6 7
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=(A1*B1)
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A
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10 11
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=$A$11*A1+$A$10
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a1
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a0
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=MEDIA(B1:B7)
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=MEDIA(A1:A7)
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=INTERCEPTAR(B1:B7;A1:A7)
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=DECLIVE(B1:B7;A1:A7)
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Exemplo 17.4 (Mathcad) Linearization of a power equation
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Exemplo 17.4 (Excel) Linearization of a power equation
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Linearização da equação 17.13
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=slope
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=intercept
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A B C D E F G
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1 2 3 4 5
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Sum da coluna =Sr
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=(Sr/(n-2))^1/2)
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=DECLIVE(D1:D5;C1:C5)
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=INTERCEPTAR(D1:D5;C1:C5)
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=10^(E1)*A1^(F1)
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INTERCEPT(ln y; x)
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DECLIVE(ln y; x)
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EXP(ord. na orig)
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=Declive
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Exemplo 17.5 (Excel) Regressão Polinomial
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A B C D E F G H I J K L
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1 2 3 4 5 6
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=CONTAR(A1:A6)
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Texto digitado
=MEDIA(B1:B6)
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=(B1-y/)^2
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e=
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Sistema de Equações
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Matriz Inversa
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Inês Cascais
Texto digitado
Soluções
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Inês Cascais
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Verificação
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Texto digitado
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Matriz das Soluções
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M
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7 8 9
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=B1-$M$7-$M$8*A1-$M$9*C1
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Texto digitado
=$M$7+$M$8*A1+$M$9*C1
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Texto digitado
=ABS(A1-L1)
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N O P
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1 2 3
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4 5 6
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=MATRIZ INVERSA(N1:P3)
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Q
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4 5 6
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=MATRIZ.MULT(N4:P6;Q4:Q6)
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Texto digitado
=$M$7*N6+$M$8*O1+$M$9*P1
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Texto digitado
=SUM xiyi ("F0")
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Texto digitado
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Texto digitado
=SUM xi^2yi ("G0")
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Texto digitado
=SUM yi ("B0")
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame49
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Texto digitado
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Texto digitado
Exemplo 17.5 (Mathcad)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame50
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PART SIX: Numerical Differentiation and Integration. Chapter 21-Newton-Cotes Integration
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Texto digitado
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Texto digitado
Simpson Rules
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Texto digitado
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Texto digitado
Resolução de Integrais (Excel)
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Trapezoidal
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Texto digitado
Simpson 1/3
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Simpson 3/8
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A B C D E F G H I J K L
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
t=t_1=1
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=célula anterior +dt
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=0.8*EXP(-0.2*A1)
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Texto digitado
=SE(É.NÚM(A1);(0.8* EXP(-0.2*(A1+0.5*dt)) );"")
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Texto digitado
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Texto digitado
=SE(É.NÚM(A1);(0.8* EXP(-0.2*(A1+(1/3)*dt )));"")
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(É.NÚM(A1);(-4*EXP(-0.2*A1))-(-4*EXP(-0.2*t_1));"")
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(É.NÚM(A2);(G1+(dt*(B2+B1)/2));"")
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=ABS(((F2-G2)/F2)*100)
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(É.NÚM(A2);I1+(dt*((B1+4*C1+B2)/6));"")
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=ABS(((F2-I2)/F2)*100)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SE(É.NÚM(A2);K1+dt*((B1+3*D1+3*E1+B2)/8);"")
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=ABS(((F2-K2)/F2)*100)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame51
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Texto digitado
Simpson Rule 1/3 (Mathcad)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame52
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Texto digitado
Continuação...
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame53
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Método de Simpson 3/8 (Mathcad)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame54
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Texto digitado
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Numerical Differentiaton
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Inês Cascais
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Cálculo de um integral utilizando Modellus
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=16-f(x)/f'(x)
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Texto digitado
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Resolução de integrais-Observação Gráfica (Mathcad)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame56
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Resolução de Integrais - Regra do Trapézio (Excel)
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Regra do Trapézio
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Texto digitado
t=0
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=célula anterior+dt
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Texto digitado
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A B C D
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Texto digitado
1 2
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=2,1*EXP(-0,5*A1)
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Texto digitado
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Texto digitado
=(A2-A1)*(B2+B1)/2
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=SOMA(C$1:C2)
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame57
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Texto digitado
PART SEVEN: Ordinary Differential Equations (Introduction) and Chapter 25 Runge-Kutta Methods
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Texto digitado
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Texto digitado
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Método prático de resolução da equação diferencial ordinária e confirmação (Mathcad)
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Confirmação...
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Método de Euler (Excel)
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Texto digitado
t=0
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Texto digitado
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Texto digitado
=célula anterior+dt
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A=A0
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A B C
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
1 2
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=B1+C1
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Texto digitado
=k*B1*('L'-B1)*dt
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Método de Euler: Serve para resolver equações diferenciais a partir de um valor inicial. Consiste na integração numérica de uma equação diferencial, tendo como objectivo a obtenção de valores das variáveis ao longo do tempo, das as condições iniciais (parâmetros), ou seja, estima-se o valor de cada variável, supondo que a variação é constante ao longo do tempo. Assim, para calcular o valor de uma grandeza num determinado instante soma-se o valor anterior à variação ocorrida.
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame59
Page 60
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame60
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Pára-quedista com amortecimento (Modellus)
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Inês Cascais
Caixa de texto
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Inês Cascais
Texto digitado
Ordinary Differential Equations (Modellus)
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Caixa de texto
t T 0.00 80.00 0.10 77.07 0.20 74.29 0.30 71.64 0.40 69.12 0.50 66.73 0.60 64.45 0.70 62.28 0.80 60.22 0.90 58.26 1.00 56.39 1.10 54.62 1.20 52.93 1.30 51.32 1.40 49.80 1.50 48.34 1.60 46.96 1.70 45.64 1.80 44.39 1.90 43.20 2.00 42.07 2.10 41.00 2.20 39.97 2.30 39.00 2.40 38.07 2.50 37.19 2.60 36.35 2.70 35.55 2.80 34.80 2.90 34.07 3.00 33.39 3.10 32.73 3.20 32.11 3.30 31.52 3.40 30.96 3.50 30.43 3.60 29.92 3.70 29.43 3.80 28.97 3.90 28.54 4.00 28.12 4.10 27.72 4.20 27.35 4.30 26.99 4.40 26.65 4.50 26.32 4.60 26.02 4.70 25.72 4.80 25.44 4.90 25.18 5.00 24.93 5.10 24.68 5.20 24.46 5.30 24.24 5.40 24.03 5.50 23.84 5.60 23.65 5.70 23.47 5.80 23.30 5.90 23.14 6.00 22.99 6.10 22.84 6.20 22.70 6.30 22.57 6.40 22.45 6.50 22.33 6.60 22.21 6.70 22.11 6.80 22.00 6.90 21.90 7.00 21.81 7.10 21.72 7.20 21.64 7.30 21.56 7.40 21.48 7.50 21.41 7.60 21.34 7.70 21.28 7.80 21.21 7.90 21.16 8.00 21.10 8.10 21.05 8.20 20.99 8.30 20.95 8.40 20.90 8.50 20.86 8.60 20.81 8.70 20.77 8.80 20.74 8.90 20.70 9.00 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Texto digitado
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Ordinary Differential Equations (Modellus)
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Usando solução analítica
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Caixa de texto
t A As A_euler 0.00 0.30 0.30 0.30 0.10 0.31 0.31 0.31 0.20 0.32 0.32 0.32 0.30 0.33 0.33 0.33 0.40 0.34 0.34 0.34 0.50 0.35 0.35 0.35 0.60 0.37 0.37 0.37 0.70 0.38 0.38 0.38 0.80 0.39 0.39 0.39 0.90 0.40 0.40 0.40 1.00 0.42 0.42 0.42 1.10 0.43 0.43 0.43 1.20 0.44 0.44 0.44 1.30 0.46 0.46 0.46 1.40 0.47 0.47 0.47 1.50 0.49 0.49 0.48 1.60 0.50 0.50 0.50 1.70 0.52 0.52 0.51 1.80 0.53 0.53 0.53 1.90 0.55 0.55 0.54 2.00 0.56 0.56 0.56 2.10 0.58 0.58 0.58 2.20 0.60 0.60 0.59 2.30 0.61 0.61 0.61 2.40 0.63 0.63 0.63 2.50 0.65 0.65 0.64 2.60 0.67 0.67 0.66 2.70 0.68 0.68 0.68 2.80 0.70 0.70 0.70 2.90 0.72 0.72 0.71 3.00 0.74 0.74 0.73 3.10 0.76 0.76 0.75 3.20 0.78 0.78 0.77 3.30 0.80 0.80 0.79 3.40 0.81 0.81 0.81 3.50 0.83 0.83 0.83 3.60 0.85 0.85 0.85 3.70 0.87 0.87 0.87 3.80 0.89 0.89 0.89 3.90 0.91 0.91 0.91 4.00 0.93 0.93 0.93 4.10 0.95 0.95 0.95 4.20 0.97 0.97 0.97 4.30 0.99 0.99 0.99 4.40 1.01 1.01 1.01 4.50 1.03 1.03 1.03 4.60 1.05 1.05 1.05 4.70 1.07 1.07 1.07 4.80 1.09 1.09 1.09 4.90 1.11 1.11 1.11 5.00 1.13 1.13 1.13 5.10 1.15 1.15 1.15 5.20 1.17 1.17 1.16 5.30 1.19 1.19 1.18 5.40 1.21 1.21 1.20 5.50 1.23 1.23 1.22 5.60 1.25 1.25 1.24 5.70 1.27 1.27 1.26 5.80 1.28 1.28 1.28 5.90 1.30 1.30 1.30 6.00 1.32 1.32 1.32 6.10 1.34 1.34 1.33 6.20 1.36 1.36 1.35 6.30 1.37 1.37 1.37 6.40 1.39 1.39 1.39 6.50 1.41 1.41 1.40 6.60 1.42 1.42 1.42 6.70 1.44 1.44 1.44 6.80 1.46 1.46 1.45 6.90 1.47 1.47 1.47 7.00 1.49 1.49 1.48 7.10 1.50 1.50 1.50 7.20 1.52 1.52 1.51 7.30 1.53 1.53 1.53 7.40 1.55 1.55 1.54 7.50 1.56 1.56 1.56 7.60 1.57 1.57 1.57 7.70 1.59 1.59 1.59 7.80 1.60 1.60 1.60 7.90 1.61 1.61 1.61 8.00 1.62 1.62 1.62 8.10 1.64 1.64 1.64 8.20 1.65 1.65 1.65 8.30 1.66 1.66 1.66 8.40 1.67 1.67 1.67 8.50 1.68 1.68 1.68 8.60 1.69 1.69 1.69 8.70 1.70 1.70 1.70 8.80 1.71 1.71 1.71 8.90 1.72 1.72 1.72 9.00 1.73 1.73 1.73 9.10 1.74 1.74 1.74 9.20 1.75 1.75 1.75 9.30 1.76 1.76 1.76 9.40 1.77 1.77 1.77 9.50 1.77 1.77 1.78 9.60 1.78 1.78 1.78 9.70 1.79 1.79 1.79 9.80 1.80 1.80 1.80 9.90 1.81 1.81 1.81 10.00 1.81 1.81 1.81 10.10 1.82 1.82 1.82 10.20 1.83 1.83 1.83 10.30 1.83 1.83 1.83 10.40 1.84 1.84 1.84 10.50 1.84 1.84 1.85 10.60 1.85 1.85 1.85 10.70 1.85 1.85 1.86 10.80 1.86 1.86 1.86 10.90 1.86 1.86 1.87 11.00 1.87 1.87 1.87 11.10 1.87 1.87 1.88 11.20 1.88 1.88 1.88 11.30 1.88 1.88 1.89 11.40 1.89 1.89 1.89 11.50 1.89 1.89 1.89 11.60 1.90 1.90 1.90 11.70 1.90 1.90 1.90 11.80 1.90 1.90 1.91 11.90 1.91 1.91 1.91 12.00 1.91 1.91 1.91 12.10 1.91 1.91 1.92 12.20 1.92 1.92 1.92 12.30 1.92 1.92 1.92 12.40 1.92 1.92 1.93 12.50 1.93 1.93 1.93 12.60 1.93 1.93 1.93 12.70 1.93 1.93 1.93 12.80 1.93 1.93 1.94 12.90 1.94 1.94 1.94 13.00 1.94 1.94 1.94 13.10 1.94 1.94 1.94 13.20 1.94 1.94 1.95 13.30 1.95 1.95 1.95 13.40 1.95 1.95 1.95 13.50 1.95 1.95 1.95 13.60 1.95 1.95 1.95 13.70 1.95 1.95 1.96 13.80 1.96 1.96 1.96 13.90 1.96 1.96 1.96 14.00 1.96 1.96 1.96 14.10 1.96 1.96 1.96 14.20 1.96 1.96 1.96 14.30 1.96 1.96 1.96 14.40 1.96 1.96 1.97 14.50 1.97 1.97 1.97 14.60 1.97 1.97 1.97 14.70 1.97 1.97 1.97 14.80 1.97 1.97 1.97 14.90 1.97 1.97 1.97 15.00 1.97 1.97 1.97 15.10 1.97 1.97 1.97 15.20 1.97 1.97 1.98 15.30 1.98 1.98 1.98 15.40 1.98 1.98 1.98 15.50 1.98 1.98 1.98 15.60 1.98 1.98 1.98 15.70 1.98 1.98 1.98 15.80 1.98 1.98 1.98 15.90 1.98 1.98 1.98 16.00 1.98 1.98 1.98 16.10 1.98 1.98 1.98 16.20 1.98 1.98 1.98 16.30 1.98 1.98 1.98 16.40 1.98 1.98 1.98 16.50 1.98 1.98 1.99 16.60 1.99 1.99 1.99 16.70 1.99 1.99 1.99 16.80 1.99 1.99 1.99 16.90 1.99 1.99 1.99 17.00 1.99 1.99 1.99 17.10 1.99 1.99 1.99 17.20 1.99 1.99 1.99 17.30 1.99 1.99 1.99 17.40 1.99 1.99 1.99 17.50 1.99 1.99 1.99 17.60 1.99 1.99 1.99 17.70 1.99 1.99 1.99 17.80 1.99 1.99 1.99 17.90 1.99 1.99 1.99 18.00 1.99 1.99 1.99 18.10 1.99 1.99 1.99 18.20 1.99 1.99 1.99 18.30 1.99 1.99 1.99 18.40 1.99 1.99 1.99 18.50 1.99 1.99 1.99 18.60 1.99 1.99 1.99 18.70 1.99 1.99 1.99 18.80 1.99 1.99 1.99 18.90 1.99 1.99 1.99 19.00 1.99 1.99 1.99 19.10 1.99 1.99 1.99 19.20 1.99 1.99 2.00 19.30 1.99 1.99 2.00 19.40 2.00 2.00 2.00 19.50 2.00 2.00 2.00 19.60 2.00 2.00 2.00 19.70 2.00 2.00 2.00 19.80 2.00 2.00 2.00 19.90 2.00 2.00 2.00 20.00 2.00 2.00 2.00
Page 62
Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame62
Inês Cascais
Texto digitado
Exemplos de equações diferenciais (Modellus)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
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Imagem colocada
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Caixa de texto
t A 0.00 1.00 0.10 0.98 0.20 0.96 0.30 0.94 0.40 0.92 0.50 0.90 0.60 0.89 0.70 0.87 0.80 0.85 0.90 0.84 1.00 0.82 1.10 0.80 1.20 0.79 1.30 0.77 1.40 0.76 1.50 0.74 1.60 0.73 1.70 0.71 1.80 0.70 1.90 0.68 2.00 0.67 2.10 0.66 2.20 0.64 2.30 0.63 2.40 0.62 2.50 0.61 2.60 0.59 2.70 0.58 2.80 0.57 2.90 0.56 3.00 0.55 3.10 0.54 3.20 0.53 3.30 0.52 3.40 0.51 3.50 0.50 3.60 0.49 3.70 0.48 3.80 0.47 3.90 0.46 4.00 0.45 4.10 0.44 4.20 0.43 4.30 0.42 4.40 0.41 4.50 0.41 4.60 0.40 4.70 0.39 4.80 0.38 4.90 0.38 5.00 0.37 5.10 0.36 5.20 0.35 5.30 0.35 5.40 0.34 5.50 0.33 5.60 0.33 5.70 0.32 5.80 0.31 5.90 0.31 6.00 0.30 6.10 0.30 6.20 0.29 6.30 0.28 6.40 0.28 6.50 0.27 6.60 0.27 6.70 0.26 6.80 0.26 6.90 0.25 7.00 0.25 7.10 0.24 7.20 0.24 7.30 0.23 7.40 0.23 7.50 0.22 7.60 0.22 7.70 0.21 7.80 0.21 7.90 0.21 8.00 0.20 8.10 0.20 8.20 0.19 8.30 0.19 8.40 0.19 8.50 0.18 8.60 0.18 8.70 0.18 8.80 0.17 8.90 0.17 9.00 0.17 9.10 0.16 9.20 0.16 9.30 0.16 9.40 0.15 9.50 0.15 9.60 0.15 9.70 0.14 9.80 0.14 9.90 0.14 10.00 0.14 10.10 0.13 10.20 0.13 10.30 0.13 10.40 0.12 10.50 0.12 10.60 0.12 10.70 0.12 10.80 0.12 10.90 0.11 11.00 0.11 11.10 0.11 11.20 0.11 11.30 0.10 11.40 0.10 11.50 0.10 11.60 0.10 11.70 0.10 11.80 0.09 11.90 0.09 12.00 0.09 12.10 0.09 12.20 0.09 12.30 0.09 12.40 0.08 12.50 0.08 12.60 0.08 12.70 0.08 12.80 0.08 12.90 0.08 13.00 0.07 13.10 0.07 13.20 0.07 13.30 0.07 13.40 0.07 13.50 0.07 13.60 0.07 13.70 0.06 13.80 0.06 13.90 0.06 14.00 0.06 14.10 0.06 14.20 0.06 14.30 0.06 14.40 0.06 14.50 0.06 14.60 0.05 14.70 0.05 14.80 0.05 14.90 0.05 15.00 0.05 15.10 0.05 15.20 0.05 15.30 0.05 15.40 0.05 15.50 0.05 15.60 0.04 15.70 0.04 15.80 0.04 15.90 0.04 16.00 0.04 16.10 0.04 16.20 0.04 16.30 0.04 16.40 0.04 16.50 0.04 16.60 0.04 16.70 0.04 16.80 0.03 16.90 0.03 17.00 0.03 17.10 0.03 17.20 0.03 17.30 0.03 17.40 0.03 17.50 0.03 17.60 0.03 17.70 0.03 17.80 0.03 17.90 0.03 18.00 0.03 18.10 0.03 18.20 0.03 18.30 0.03 18.40 0.03 18.50 0.02 18.60 0.02 18.70 0.02 18.80 0.02 18.90 0.02 19.00 0.02 19.10 0.02 19.20 0.02 19.30 0.02 19.40 0.02 19.50 0.02 19.60 0.02 19.70 0.02 19.80 0.02 19.90 0.02 20.00 0.02 20.10 0.02 20.20 0.02 20.30 0.02 20.40 0.02 20.50 0.02 20.60 0.02 20.70 0.02 20.80 0.02 20.90 0.02 21.00 0.01 21.10 0.01 21.20 0.01 21.30 0.01 21.40 0.01 21.50 0.01 21.60 0.01 21.70 0.01 21.80 0.01 21.90 0.01 22.00 0.01 22.10 0.01 22.20 0.01 22.30 0.01 22.40 0.01 22.50 0.01 22.60 0.01 22.70 0.01 22.80 0.01 22.90 0.01 23.00 0.01 23.10 0.01 23.20 0.01 23.30 0.01 23.40 0.01 23.50 0.01 23.60 0.01 23.70 0.01 23.80 0.01 23.90 0.01 24.00 0.01 24.10 0.01 24.20 0.01 24.30 0.01 24.40 0.01 24.50 0.01 24.60 0.01 24.70 0.01 24.80 0.01 24.90 0.01 25.00 0.01 25.10 0.01 25.20 0.01 25.30 0.01 25.40 0.01 25.50 0.01 25.60 0.01 25.70 0.01 25.80 0.01 25.90 0.01 26.00 0.01 26.10 0.01 26.20 0.01 26.30 0.01 26.40 0.01 26.50 0.00 26.60 0.00 26.70 0.00 26.80 0.00 26.90 0.00 27.00 0.00 27.10 0.00 27.20 0.00 27.30 0.00 27.40 0.00 27.50 0.00 27.60 0.00 27.70 0.00 27.80 0.00 27.90 0.00 28.00 0.00 28.10 0.00 28.20 0.00 28.30 0.00 28.40 0.00 28.50 0.00 28.60 0.00 28.70 0.00 28.80 0.00 28.90 0.00 29.00 0.00 29.10 0.00 29.20 0.00 29.30 0.00 29.40 0.00 29.50 0.00 29.60 0.00 29.70 0.00 29.80 0.00 29.90 0.00 30.00 0.00 30.10 0.00 30.20 0.00 30.30 0.00 30.40 0.00 30.50 0.00 30.60 0.00 30.70 0.00 30.80 0.00 30.90 0.00 31.00 0.00 31.10 0.00 31.20 0.00 31.30 0.00 31.40 0.00 31.50 0.00 31.60 0.00 31.70 0.00 31.80 0.00 31.90 0.00 32.00 0.00 32.10 0.00 32.20 0.00 32.30 0.00 32.40 0.00 32.50 0.00 32.60 0.00 32.70 0.00 32.80 0.00 32.90 0.00 33.00 0.00 33.10 0.00 33.20 0.00 33.30 0.00 33.40 0.00 33.50 0.00 33.60 0.00 33.70 0.00 33.80 0.00 33.90 0.00 34.00 0.00 34.10 0.00 34.20 0.00 34.30 0.00 34.40 0.00 34.50 0.00 34.60 9.88E-4 34.70 9.68E-4 34.80 9.49E-4 34.90 9.30E-4 35.00 9.12E-4
Inês Cascais
Texto digitado
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Inês Cascais
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Exemplo 2
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Caixa de texto
t A 0.00 0.50 0.10 0.50 0.20 0.49 0.30 0.49 0.40 0.48 0.50 0.48 0.60 0.47 0.70 0.47 0.80 0.46 0.90 0.46 1.00 0.45 1.10 0.45 1.20 0.45 1.30 0.44 1.40 0.44 1.50 0.43 1.60 0.43 1.70 0.43 1.80 0.42 1.90 0.42 2.00 0.42 2.10 0.41 2.20 0.41 2.30 0.41 2.40 0.40 2.50 0.40 2.60 0.40 2.70 0.39 2.80 0.39 2.90 0.39 3.00 0.38 3.10 0.38 3.20 0.38 3.30 0.38 3.40 0.37 3.50 0.37 3.60 0.37 3.70 0.36 3.80 0.36 3.90 0.36 4.00 0.36 4.10 0.35 4.20 0.35 4.30 0.35 4.40 0.35 4.50 0.34 4.60 0.34 4.70 0.34 4.80 0.34 4.90 0.34 5.00 0.33 5.10 0.33 5.20 0.33 5.30 0.33 5.40 0.32 5.50 0.32 5.60 0.32 5.70 0.32 5.80 0.32 5.90 0.31 6.00 0.31 6.10 0.31 6.20 0.31 6.30 0.31 6.40 0.30 6.50 0.30 6.60 0.30 6.70 0.30 6.80 0.30 6.90 0.30 7.00 0.29 7.10 0.29 7.20 0.29 7.30 0.29 7.40 0.29 7.50 0.29 7.60 0.28 7.70 0.28 7.80 0.28 7.90 0.28 8.00 0.28 8.10 0.28 8.20 0.27 8.30 0.27 8.40 0.27 8.50 0.27 8.60 0.27 8.70 0.27 8.80 0.27 8.90 0.26 9.00 0.26 9.10 0.26 9.20 0.26 9.30 0.26 9.40 0.26 9.50 0.26 9.60 0.26 9.70 0.25 9.80 0.25 9.90 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Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 3
Inês Cascais
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Inês Cascais
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Caixa de texto
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame63
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Exemplo 4
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Inês Cascais
Caixa de texto
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Inês Cascais
Texto digitado
Exemplo 5 A <-> B
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Caixa de texto
t A 0.00 0.50 0.10 0.50 0.20 0.51 0.30 0.51 0.40 0.52 0.50 0.52 0.60 0.52 0.70 0.52 0.80 0.53 0.90 0.53 1.00 0.53 1.10 0.53 1.20 0.54 1.30 0.54 1.40 0.54 1.50 0.54 1.60 0.54 1.70 0.55 1.80 0.55 1.90 0.55 2.00 0.55 2.10 0.55 2.20 0.55 2.30 0.55 2.40 0.56 2.50 0.56 2.60 0.56 2.70 0.56 2.80 0.56 2.90 0.56 3.00 0.56 3.10 0.56 3.20 0.56 3.30 0.56 3.40 0.56 3.50 0.56 3.60 0.56 3.70 0.57 3.80 0.57 3.90 0.57 4.00 0.57 4.10 0.57 4.20 0.57 4.30 0.57 4.40 0.57 4.50 0.57 4.60 0.57 4.70 0.57 4.80 0.57 4.90 0.57 5.00 0.57 5.10 0.57 5.20 0.57 5.30 0.57 5.40 0.57 5.50 0.57 5.60 0.57 5.70 0.57 5.80 0.57 5.90 0.57 6.00 0.57 6.10 0.57 6.20 0.57 6.30 0.57 6.40 0.57 6.50 0.57 6.60 0.57 6.70 0.57 6.80 0.57 6.90 0.57 7.00 0.57 7.10 0.57 7.20 0.57 7.30 0.57 7.40 0.57 7.50 0.57 7.60 0.57 7.70 0.57 7.80 0.57 7.90 0.57 8.00 0.57 8.10 0.57 8.20 0.57 8.30 0.57 8.40 0.57 8.50 0.57 8.60 0.57 8.70 0.57 8.80 0.57 8.90 0.57 9.00 0.57 9.10 0.57 9.20 0.57 9.30 0.57 9.40 0.57 9.50 0.57 9.60 0.57 9.70 0.57 9.80 0.57 9.90 0.57 10.00 0.66
Inês Cascais
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
semelhante
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Texto digitado
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Exemplo 6
Inês Cascais
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Imagem colocada
Inês Cascais
Caixa de texto
t T 0.00 80.00 0.10 77.07 0.20 74.29 0.30 71.64 0.40 69.12 0.50 66.73 0.60 64.45 0.70 62.28 0.80 60.22 0.90 58.26 1.00 56.39 1.10 54.62 1.20 52.93 1.30 51.32 1.40 49.80 1.50 48.34 1.60 46.96 1.70 45.64 1.80 44.39 1.90 43.20 2.00 42.07 2.10 41.00 2.20 39.97 2.30 39.00 2.40 38.07 2.50 37.19 2.60 36.35 2.70 35.55 2.80 34.80 2.90 34.07 3.00 33.39 3.10 32.73 3.20 32.11 3.30 31.52 3.40 30.96 3.50 30.43 3.60 29.92 3.70 29.43 3.80 28.97 3.90 28.54 4.00 28.12 4.10 27.72 4.20 27.35 4.30 26.99 4.40 26.65 4.50 26.32 4.60 26.02 4.70 25.72 4.80 25.44 4.90 25.18 5.00 24.93 5.10 24.68 5.20 24.46 5.30 24.24 5.40 24.03 5.50 23.84 5.60 23.65 5.70 23.47 5.80 23.30 5.90 23.14 6.00 22.99 6.10 22.84 6.20 22.70 6.30 22.57 6.40 22.45 6.50 22.33 6.60 22.21 6.70 22.11 6.80 22.00 6.90 21.90 7.00 21.81 7.10 21.72 7.20 21.64 7.30 21.56 7.40 21.48 7.50 21.41 7.60 21.34 7.70 21.28 7.80 21.21 7.90 21.16 8.00 21.10 8.10 21.05 8.20 20.99 8.30 20.95 8.40 20.90 8.50 20.86 8.60 20.81 8.70 20.77 8.80 20.74 8.90 20.70 9.00 20.67 9.10 20.63 9.20 20.60 9.30 20.57 9.40 20.55 9.50 20.52 9.60 20.49 9.70 20.47 9.80 20.45 9.90 20.43 10.00 20.40 10.10 20.38 10.20 20.37 10.30 20.35 10.40 20.33 10.50 20.31 10.60 20.30 10.70 20.28 10.80 20.27 10.90 20.26 11.00 20.25 11.10 20.23 11.20 20.22 11.30 20.21 11.40 20.20 11.50 20.19 11.60 20.18 11.70 20.17 11.80 20.16 11.90 20.16 12.00 20.15 12.10 20.14 12.20 20.13 12.30 20.13 12.40 20.12 12.50 20.12 12.60 20.11 12.70 20.10 12.80 20.10 12.90 20.09 13.00 20.09 13.10 20.09 13.20 20.08 13.30 20.08 13.40 20.07 13.50 20.07 13.60 20.07 13.70 20.06 13.80 20.06 13.90 20.06 14.00 20.05 14.10 20.05 14.20 20.05 14.30 20.05 14.40 20.04 14.50 20.04 14.60 20.04 14.70 20.04 14.80 20.04 14.90 20.03 15.00 20.03 15.10 20.03 15.20 20.03 15.30 20.03 15.40 20.03 15.50 20.03 15.60 20.02 15.70 20.02 15.80 20.02 15.90 20.02 16.00 20.02 16.10 20.02 16.20 20.02 16.30 20.02 16.40 20.02 16.50 20.02 16.60 20.01 16.70 20.01 16.80 20.01 16.90 20.01 17.00 20.01 17.10 20.01 17.20 20.01 17.30 20.01 17.40 20.01 17.50 20.01 17.60 20.01 17.70 20.01 17.80 20.01 17.90 20.01 18.00 20.01 18.10 20.01 18.20 20.01 18.30 20.01 18.40 20.01 18.50 20.01 18.60 20.01 18.70 20.01 18.80 20.00 18.90 20.00 19.00 20.00 19.10 20.00 19.20 20.00 19.30 20.00 19.40 20.00 19.50 20.00 19.60 20.00 19.70 20.00 19.80 20.00 19.90 20.00 20.00 20.00 20.10 20.00 20.20 20.00 20.30 20.00 20.40 20.00 20.50 20.00 20.60 20.00 20.70 20.00 20.80 20.00 20.90 20.00 21.00 20.00 21.10 20.00 21.20 20.00 21.30 20.00 21.40 20.00 21.50 20.00 21.60 20.00 21.70 20.00 21.80 20.00 21.90 20.00 22.00 20.00 22.10 20.00 22.20 20.00 22.30 20.00 22.40 20.00 22.50 20.00 22.60 20.00 22.70 20.00 22.80 20.00 22.90 20.00 23.00 20.00 23.10 20.00 23.20 20.00 23.30 20.00 23.40 20.00 23.50 20.00 23.60 20.00 23.70 20.00 23.80 20.00 23.90 20.00 24.00 20.00 24.10 20.00 24.20 20.00 24.30 20.00 24.40 20.00 24.50 20.00 24.60 20.00 24.70 20.00 24.80 20.00 24.90 20.00 25.00 20.00 25.10 20.00 25.20 20.00 25.30 20.00 25.40 20.00 25.50 20.00 25.60 20.00 25.70 20.00 25.80 20.00 25.90 20.00 26.00 20.00 26.10 20.00 26.20 20.00 26.30 20.00 26.40 20.00 26.50 20.00 26.60 20.00 26.70 20.00 26.80 20.00 26.90 20.00 27.00 20.00 27.10 20.00 27.20 20.00 27.30 20.00 27.40 20.00 27.50 20.00 27.60 20.00 27.70 20.00 27.80 20.00 27.90 20.00 28.00 20.00 28.10 20.00 28.20 20.00 28.30 20.00 28.40 20.00 28.50 20.00 28.60 20.00 28.70 20.00 28.80 20.00 28.90 20.00 29.00 20.00 29.10 20.00 29.20 20.00 29.30 20.00 29.40 20.00 29.50 20.00 29.60 20.00 29.70 20.00 29.80 20.00 29.90 20.00 30.00 20.00 30.10 20.00 30.20 20.00 30.30 20.00 30.40 20.00 30.50 20.00 30.60 20.00 30.70 20.00 30.80 20.00 30.90 20.00 31.00 20.00 31.10 20.00 31.20 20.00 31.30 20.00 31.40 20.00 31.50 20.00 31.60 20.00 31.70 20.00 31.80 20.00 31.90 20.00 32.00 20.00 32.10 20.00 32.20 20.00 32.30 20.00 32.40 20.00 32.50 20.00 32.60 20.00 32.70 20.00 32.80 20.00 32.90 20.00 33.00 20.00 33.10 20.00 33.20 20.00 33.30 20.00 33.40 20.00 33.50 20.00 33.60 20.00 33.70 20.00 33.80 20.00 33.90 20.00 34.00 20.00 34.10 20.00 34.20 20.00 34.30 20.00 34.40 20.00 34.50 20.00 34.60 20.00 34.70 20.00 34.80 20.00 34.90 20.00 35.00 20.00 35.10 20.00 35.20 20.00 35.30 20.00 35.40 20.00 35.50 20.00 35.60 20.00 35.70 20.00 35.80 20.00 35.90 20.00 36.00 20.00 36.10 20.00 36.20 20.00 36.30 20.00 36.40 20.00 36.50 20.00 36.60 20.00 36.70 20.00 36.80 20.00 36.90 20.00 37.00 20.00 37.10 20.00 37.20 20.00 37.30 20.00 37.40 20.00 37.50 20.00 37.60 20.00 37.70 20.00 37.80 20.00 37.90 20.00 38.00 20.00 38.10 20.00 38.20 20.00 38.30 20.00 38.40 20.00 38.50 20.00 38.60 20.00 38.70 20.00 38.80 20.00 38.90 20.00 39.00 20.00 39.10 20.00 39.20 20.00 39.30 20.00 39.40 20.00 39.50 20.00 39.60 20.00 39.70 20.00 39.80 20.00 39.90 20.00 40.00 20.00 40.10 20.00 40.20 20.00 40.30 20.00 40.40 20.00 40.50 20.00 40.60 20.00 40.70 20.00 40.80 20.00 40.90 20.00 41.00 20.00 41.10 20.00 41.20 20.00 41.30 20.00 41.40 20.00 41.50 20.00 41.60 20.00 41.70 20.00 41.80 20.00 41.90 20.00 42.00 20.00 42.10 20.00 42.20 20.00 42.30 20.00 42.40 20.00 42.50 20.00 42.60 20.00 42.70 20.00 42.80 20.00 42.90 20.00 43.00 20.00 43.10 20.00 43.20 20.00 43.30 20.00 43.40 20.00 43.50 20.00 43.60 20.00 43.70 20.00 43.80 20.00 43.90 20.00 44.00 20.00 44.10 20.00 44.20 20.00 44.30 20.00 44.40 20.00 44.50 20.00 44.60 20.00 44.70 20.00 44.80 20.00 44.90 20.00 45.00 20.00 45.10 20.00 45.20 20.00 45.30 20.00 45.40 20.00 45.50 20.00 45.60 20.00 45.70 20.00 45.80 20.00 45.90 20.00 46.00 20.00 46.10 20.00 46.20 20.00 46.30 20.00 46.40 20.00 46.50 20.00 46.60 20.00 46.70 20.00 46.80 20.00 46.90 20.00 47.00 20.00 47.10 20.00 47.20 20.00 47.30 20.00 47.40 20.00 47.50 20.00 47.60 20.00 47.70 20.00 47.80 20.00 47.90 20.00 48.00 20.00 48.10 20.00 48.20 20.00 48.30 20.00 48.40 20.00 48.50 20.00 48.60 20.00 48.70 20.00 48.80 20.00 48.90 20.00 49.00 20.00 49.10 20.00 49.20 20.00 49.30 20.00 49.40 20.00 49.50 20.00 49.60 20.00 49.70 20.00 49.80 20.00 49.90 20.00 50.00 20.00
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Exemplo 7 (Folger-s Book)
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Ordinary Differential Equations - Solução Analítica
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(Mathcad)
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Ordinary Differential Equations - Função de crescimento limitado
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SOLUÇÃO ANALÍTICA!!!!! aplicando o teorema fundamental do cálculo...
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Ordinary Differential Equations, Numerical Method (Folger's book)
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A
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B
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C
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v1
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v2
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v3
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condições iniciais
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vector variáveis
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Parâmetros
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A =x0 B =x1 C =x2
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A
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B
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C
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T
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A+B
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C+D
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1
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2
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Folger (Mathcad)
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Differential Equations 1st order solved with RKFIXED and ODESOLVE (Mathcad)
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Differential_Equations_2nd_order_solved_with_RKFIXED_and_ODESOLVE.mcd
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Differential_Equations_solved_with_ODESOLVE.mcd
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System_of_ODEs_solved_with_rkfixed.mcd
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Resolver Numericamente...
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R4K- Runge-kutta 4th order
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Exemplo (Excel)
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t=0
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=célula anterior+dt
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A B C D E F G
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1 2 3 4 5 6 7 8
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A=A0
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=B1+C1
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=(1/6)*(D1+2*E1+2*F1+G1)*dt
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=k*B1*('L'-B1)
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=k*(B1+0,5*D1*dt)*('L'-(B1+D1*0,5*dt))
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=k*(B1+0,5*E1*dt)*('L'-(B1+E1*0,5*dt))
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=k*(B1+F1*dt)*('L'-(B1+F1*dt))
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exemplo_Fogler_p540_RK4th_order (Excel)
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Gráfico de t em função de x
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t=0
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=célula anterior+dt
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A B C D E F
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x=x0
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=B1+(1/6)*(C1+2*D1+2*E1+F1)*dt
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=0,000273*EXP( 16306 * ( (1/535) - (1/(535+90,45*B1)) ) ) * (1-B1)
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=0,000273*EXP( 16306 * ( (1/535) - (1/(535+90,45*(B1+0,5*C1*dt))) ) ) * (1-(B1+0,5*C1*dt))
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=0,000273*EXP( 16306 * ( (1/535) - (1/(535+90,45*(B1+0,5*D1*dt))) ) ) * (1-(B1+0,5*D1*dt))
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Texto digitado
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Texto digitado
=0,000273*EXP( 16306 * ( (1/535) - (1/(535+90,45*(B1+E1*dt))) ) ) * (1-(B1+E1*dt))
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rk4 ABC (Excel)
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A B C D E F G H I J K L M N O P
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t=0
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=célula anterior+dt
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A=A_0
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=B1+(1/6)*(C1+2*D1+2*E1+F1)*dt
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=-k_1*$B1+k_2*$G1*$L1
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=-k_1*($B1+dt*C1/2)+k_2*($G1+dt*H1/2)*($L1+dt*M1/2)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=-k_1*($B1+dt*D1/2)+k_2*($G1+dt*I1/2)*($L1+dt*N1/2)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=-k_1*($B1+dt*E1)+k_2*($G1+dt*J1)*($L1+dt*O1)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
B=B_0
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=G1+(1/6)*(H1+2*I1+2*J1+K1)*dt
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=k_1*$B1-k_2*$G1*$L1
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*C1/2)-k_2*($G1+dt*H1/2)*($L1+dt*M1/2)
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Texto digitado
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*D1/2)-k_2*($G1+dt*I1/2)*($L1+dt*N1/2)
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*E1)-k_2*($G1+dt*J1)*($L1+dt*O1)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
C=C_0
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=L1+(1/6)*(M1+2*N1+2*O1+P1)*dt
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Texto digitado
=k_1*$B1-k_2*$G1*$L1
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*C1/2)-k_2*($G1+dt*H1/2)*($L1+dt*M1/2)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*D1/2)-k_2*($G1+dt*I1/2)*($L1+dt*N1/2)
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Texto digitado
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Texto digitado
=k_1*($B1+dt*E1)-k_2*($G1+dt*J1)*($L1+dt*O1)
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame78
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Texto digitado
rk4_d2x_dt2_a_dx_dt_b_x_0 (Excel)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Imagem colocada
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Imagem colocada
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Texto digitado
A B C D E F G H I J K
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Texto digitado
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Texto digitado
t=0
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=célula anterior+dt
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Texto digitado
y(x)=y(0)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=B1+(1/6)*(C1+2*D1+2*E1+F1)*dx
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Imagem colocada
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Texto digitado
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Texto digitado
a1=G1
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=(G1+0,5*H1*dx)
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Texto digitado
=(G1+0,5*I1*dx)
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Texto digitado
=(G1+J1*dx)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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=dy(0)/dx=0
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Texto digitado
=G1+(1/6)*(H1+2*I1+2*J1+K1)*dx
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(-b*B1-a*G1)
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Texto digitado
=(-b*(B1+0,5*C1*dx)-a*(G1+0,5*H1*dx))
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Texto digitado
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Texto digitado
=(-b*(B1+0,5*D1*dx)-a*(G1+0,5*I1*dx))
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Texto digitado
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Texto digitado
=(-b*(B1+E1*dx)-a*(G1+J1*dx))
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Texto digitado
t em função de y(x)
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Texto digitado
rk4_solving_dcdt_1_V_Q_cin_-_Q_c_(Excel)
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Imagem colocada
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=B1+(dt/6)*(C1+2*D1+2*E1+F1)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/V)*(Q*cin-Q*B1)
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Texto digitado
=(1/V)*(Q*cin-Q*(B1+0,5*dt*C1))
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Texto digitado
=(1/V)*(Q*cin-Q*(B1+0,5*dt*D1))
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Texto digitado
=(1/V)*(Q*cin-Q*(B1+dt*E1))
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Texto digitado
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Texto digitado
c=c_0
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rk4 (Mathacad)
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Texto digitado
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Imagem colocada
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Imagem colocada
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Excel
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Mudar vírgulas por pontos
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edit -> replace
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Texto digitado
Mudar o nome da célula
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Texto digitado
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Texto digitado
insert -> name
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Texto digitado
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Texto digitado
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c(coluna) e l(linha) não podem existir como parâmetro (Nome da célula)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
MATRIZES
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Inversa
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Texto digitado
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Texto digitado
=MATRIZ.INVERSA( : )
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Texto digitado
Transposta
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=TRANSPOR( : )
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Texto digitado
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Texto digitado
={MATRIZ.MULT( : ; : )}
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Texto digitado
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Texto digitado
InversaMatriz B
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Texto digitado
SELECCIONAR O NR. DE LINHAS E COLUNAS F2+Ctrl+Shift+Enter
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Texto digitado
Multiplicar Matrizes
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Texto digitado
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Texto digitado
Função SE =SE(teste lógico, se for verdadeiro, se for falso)
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Texto digitado
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Texto digitado
pi -> PI() e -> EXP(1) e^2 -> EXP(2) sen 90º -> sin(PI()/2)
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Imagem colocada
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
1/3 =(1/6)*dx*((f(x)+4*f(x+dx/2)+f(x+1)) 3/8 =(1/8)*dx*((f(x)+3*f(x+dx/3)+3*f(x+2/3dx)+f(x+1))
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Mathcad
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
= (BOULEAN), Proponho que isto seja igual aquilo = (Normal), Para fazer a conta := , Para atribuir um valor
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
cursor sobre a variável symbolic -> variable -> solve
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Texto digitado
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Texto digitado
Método do gráfico <=> Tabela
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
..<=>;
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
d/dx f(x) symoblic -> dá-nos a derivada
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
cursor sobre a variável (x) symbolic -> variable -> solve
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
The secant Method Mathcad n aceita índices negativos vantagem -> não preciso fazer a derivada
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Cálculo da derivada:
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
odesolve(x,5),...)
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Texto digitado
não resolve sistemas de equações
Inês Cascais
Texto digitado
variável independente
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Texto digitado
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Texto digitado
limite superior
Inês Cascais
Texto digitado
passo(por omissão!)
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Texto digitado
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Texto digitado
T.
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Texto digitado
Não é uma iteração, é um rótulo
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Texto digitado
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Texto digitado
Para resolver sistemas de equações: rkfixed explicita na dependente e na independente integra, y, entre 0 e 4, com passo 40, d
Inês Cascais
Texto digitado
vector (variáveis dependentes)
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Limites de integração
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
passo
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
função incremento
Inês Cascais
Texto digitado
Para fazer um gráfico com mais de uma função: separa-se por 1 vírgula
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Texto digitado
EXAMES
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Imagem colocada
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
t
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
T
Inês Cascais
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Método de Euler
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
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Texto digitado
t=0
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Texto digitado
Inês Cascais
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Texto digitado
=A1+dt
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=T0
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Texto digitado
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Texto digitado
ABC
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Texto digitado
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Texto digitado
1
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=B1+C1
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=-r_*(B1-T_env)*dt
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
t
Inês Cascais
Texto digitado
T
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Imagem colocada
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Texto digitado
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Texto digitado
A B C D E F G
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Texto digitado
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Texto digitado
1 2
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
t=0
Inês Cascais
Texto digitado
=A1+dt
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=T0
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=B1+G1
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=-r_*(B1-T_env)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=-r_*((B1+0,5*C1*dt)-T_env)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=-r_*((B1+0,5*D1*dt)-T_env)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=-r_*((B1+E1*dt)-T_env)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=(1/6)*(C1+2*D1+2*E1+F1)*dt
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Imagem colocada
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Substituir, T por... (T+0.5*(k1,k2,k3)*dt)
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame84
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
AB C D E
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
1 2 3
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
z=0
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Texto digitado
=A1+dz
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Texto digitado
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Texto digitado
=((250*A1)/(6+A1)) *EXP(-A1/10)
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=SOMA(E1:E...) (=F, Método de Simpson 3/8)
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=((250*(A1+2*dz/3))/(6+(A1+2*dz/3)))*EXP(-(A1+2*dz/3)/10)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=((250*(A1+dz/3))/(6+(A1+dz/3)))*EXP(-(A1+dz/3)/10)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=((250*A1)/(6+A1))*EXP(-A1/10)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A1=>z=0
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Estimativa do valor do integral
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Para fazer o gráfico que nos permite estimar o integral, temos de utilizar a função integranda...
Inês Cascais
Texto digitado
Simpson 3/8, só precisamos de F(z+(1/3)dz) e F(z+(2/3)dz)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Simpson 1/3 precisamos de F(z+(1/2)dz)
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame85
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame86
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Sistema de Equações:
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Determinante:
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
AB C D E
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
1 2 3 4
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM(A1:D4)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A B C D
Inês Cascais
Texto digitado
5 6 7 8
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM(A5:D8)/Determinante
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
9 10 11 12
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM(A9:D12)/Determinante
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A B C D
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
13 14 15 16
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
17 18 19 20
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM(A13:D16)/Determinante
Inês Cascais
Texto digitado
=MATRIZ.DETERM(A17:D20)/Determinante
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
VERIFICAÇÃO:
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
=150*x_1
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=50*(x_2-x_1)
Inês Cascais
Texto digitado
=75*(x_3-x_2)
Inês Cascais
Texto digitado
=225*(x_4-x_3)
Inês Cascais
Texto digitado
=50*(x_2-x_1)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=75*(x_3-x_2)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=225*(x_4-x_3)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=2000
Inês Cascais
Texto digitado
Substituir os valores na matriz inicial as duas colunas correspondem aos dois lados da igualdade
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
substituir a coluna de x1 pela solução e calcular o determinante
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
substituir a coluna de x2 pela solução e calcular o determinante
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame87
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame88
Inês Cascais
Texto digitado
x=-2
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=B1+dx*(1/(RAIZQ(2*PI()))*EXP(SEN(A1)^2))
Inês Cascais
Texto digitado
f(x)=0
Inês Cascais
Texto digitado
A B
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=A1+dx
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
x
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
f(x)
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Imagem colocada
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame89
Inês Cascais
Texto digitado
t
Inês Cascais
Texto digitado
A, B, C,
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
t=0
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
A B C D E F G H I J
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=A1+dt
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=E1
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=A0
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=G1
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=I1
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Texto digitado
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=E1+F1
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=dt*(-k_1*E1+k_2*G1)
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Texto digitado
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=B0
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=G1+H1
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Texto digitado
=dt*(k_1*E1-k_2*G1-k_3*G1)
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=C0
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=I1+J1
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=dt*(k_3*G1)
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A B C D E F G H I J K L M N O P Q R T
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=A0
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=E1+(1/6)*dt*(F1+2*G1+2*H1+I1)
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Texto digitado
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=-k_1*E1+k_2*J1
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Texto digitado
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Texto digitado
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=-k_1*(E1+0,5*F1*dt)+k_2*(J1+0,5*K1*dt)
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Texto digitado
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=-k_1*(E1+0,5*G1*dt)+k_2*(J1+0,5*L1*dt)
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=-k_1*(A1+H1*dt)+k_2*(J1+M1*dt)
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Texto digitado
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=B0
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=J1+(1/6)*dt*(K1+2*L1+2*M1+N1)
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=k_1*E1-k_2*J1-k_3*J1
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=k_1*(E1+0,5*F1*dt)-k_2*(J1+0,5*K1*dt)-k_3*(J1+0,5*L1*dt)
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Texto digitado
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Texto digitado
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=k_1*(E1+0,5*G1*dt)-k_2*(J1+0,5*L1*dt)-k_3*(J1+0,5*L1*dt)
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Texto digitado
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Texto digitado
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=k_1*(E1+H1*dt)-k_2*(J1+M1*dt)-k_3*(J1+M1*dt)
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=C0
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=O1+(1/6)*dt*(P1+2*Q1+2*R1+T1)
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Texto digitado
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=k_3*(J1+0,5*K1*dt)
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=k_3*J1
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=k_3*(J1+0,5*L1*dt)
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=k_3*(J1+M1*dt)
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=EXP(0,2*COS(2*A1^2))-1
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t
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f(t)
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A B C D E F G H I
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=A1-B1/C1
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=EXP(0,2*COS(2*A1^2))-1
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=-0,8*SEN(2*A1^2)*A1*EXP(0,2*COS(2*A1^2))
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame93
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t=0
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A B C D E F
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=A1+dt
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=A0
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=B1+(1/6)*dt*(C1+2*D1+2*E1+F1)
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=1/(k*(1-(A1+dt)))
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=1/(k*(1-(A1+0,5*dt)))
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Texto digitado
=1/(k*(1-(A1+0,5*dt)))
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=1/(k*(1-A17))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
(Semelhante ao da página 88)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Pelo Método de Simpson 3/8
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Texto digitado
f(x)
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x
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x=-3
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Texto digitado
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A B C D E F
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=A1+dx
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Texto digitado
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Texto digitado
f(x)=0
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Texto digitado
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Texto digitado
=B1+F1
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/RAIZQ(2*PI()))*EXP((-(A1^2)/2))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/RAIZQ(2*PI()))*EXP((-((A1+dx/3)^2)/2))
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/RAIZQ(2*PI()))*EXP((-((A1+2*dx/3)^2)/2))
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Texto digitado
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=dx*(1/8)*(C1+3*D1+3*E1+C2)
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Texto digitado
Valor Exacto, calculado através do Mathcad!!!
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A B C D E F
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1 2 3 4 5 . . . . . . . 61
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=100*(F61-B61)/F61
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Texto digitado
=100*(F61-C61)/F61
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Texto digitado
=B1+dx*(D1+D2)/2
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Texto digitado
=C1+dx*(D1+4*E1+D2)/6
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=0
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/RAIZQ(2*PI()))*EXP((-(A1^2)/2))
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Texto digitado
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Texto digitado
=(1/RAIZQ(2*PI()))*EXP((-((A1+dx/2)^2)/2))
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame98
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f(t)
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Inês Cascais
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Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Imagem colocada
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
t
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=(1/(EXP(0,5*A1^2))*COS(2*PI()*A1)) (A1=> t=0)
Inês Cascais
Texto digitado
Aplicar as funções f(t)=(1/(EXP(0,5*ts^2))*COS(2*PI()*ts)) e f'(t)=((-1)/EXP(0,5*ts^2))*COS(2*PI()*ts)*ts-(2/(EXP(0,5*ts^2))*SEN(2*PI()*ts)*PI()) os respectivos valores de ts
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Texto digitado
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Texto digitado
=A1-B1/C1
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A B C
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Computação 2008-2009 (2.º Semestre): Documentos para consulta no exame99
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Texto digitado
Resolver numericamente a equação usando um método de 4ª ordem, com um passo adequado, no dominio [0,10]
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Texto digitado
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Texto digitado
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=A0
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A B C D E F
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=B1+(1/6)*dt*(C1+2*D1+2*E1+F1)
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=k*B1*('L'-B1)
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Texto digitado
=k*(B1+0,5*C1*dt)*('L'-(B1+0,5*C1*dt))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=k*(B1+0,5*D1*dt)*('L'-(B1+0,5*D1*dt))
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Texto digitado
=k*(B1+E1*dt)*('L'-(B1+E1*dt))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Resolver numericamente a equação, com um passo adequado, no dominio [0,10] (MATHCAD)
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1.1.Verifique que o Mathcad não calcula correctamente uma das primitivas necessárias para resolver analiticamente a equação diferencial. Descreva com pormenor em que se baseia esta afirmação...
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Texto digitado
Obtenha o gráfico da função no dominio [0,20]
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Texto digitado
A B C D E F
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Texto digitado
=B1+dt*(1/8)*(C1+3*D1+3*E1+C2)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*A1))
Inês Cascais
Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
d(t)=0
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*(A1+dt/3)))
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Texto digitado
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Texto digitado
=dt*(1/8)*(C1+3*D1+3*E1+C2)
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m) *(A1+2*dt/3)))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Obtenha o valor de utilizando o teorema fundamental do cálculo.
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(MATHCAD)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
Determine os erros no cálculo do integral pelo método de Simpson 1/3 e pelo método de Simpson 3/8.
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A B C D E F G
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*A1))
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Texto digitado
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*(D17+dt/3)))
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Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
Inês Cascais
Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*(A1+dt/2)))
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Texto digitado
=(g*m/c_)*(1-EXP((-c_/m)*(A1+2*dt/3)))
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=dt*(1/8)*(B1+3*C1+3*D1+B2)
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=dt*(1/6)*(B1+4*D1+B2)
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Texto digitado
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=(valor exacto-valor integral)/valor exacto*100
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3.1.[Mathcad] Determine para que valor ou valores de t é que c é igual a 95% de c(0) , para valores positivos de t
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3.2.[Excel], método de Newton-Raphson Idem.
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Texto digitado
t=10
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
A B C
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Texto digitado
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Texto digitado
=A1-B1/C1
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Texto digitado
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Texto digitado
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Texto digitado
=8,5*(1-1/EXP(0,2*A1))+3,2/EXP(0,5*A1) - 0,95*8,3444623
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Texto digitado
=1,7/EXP(0,2*A1)-1,6/EXP(0,5*A1)
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