Post on 16-Nov-2015
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CALCULO Nociones Bsicas
GLADIS HERNADEZ | ANGEL GONZALEZ
Prefacio
Es fcil olvidarnos de las cosas ms simples cuando estamos
introducindonos en temas ms complejos. Por ello es
importante mantener el orden y el repaso constante en todas
las etapas de nuestra vida escolar y laboral.
Este pequeo compendio de nociones bsicas de clculo
servir a todo aquel que ha perdido el orden en su cabeza y
necesita una pequea refrescada para volver a entender el
clculo.
En el podrn
encontrar un
poco de historia
para amenizar su
estudio, los
conceptos y
formulas bsicas,
as como
ejemplos para
comprobar lo
reaprendido.
La ilustracin es cortesa (bueno no tanto), de Albert Montt,
pueden encontrar mas de su arte en Dosis Diarias.com
Contenido
Historia del Clculo
Funciones
Limites
Derivada
Diferenciales
Aplicaciones
Bibliografa
ESIME Azcapotzalco
Historia del
Clculo
Lo que sabemos es una gota de agua, lo que ignoramos es el ocano Isaac Newton
Los orgenes del clculo se remontan al menos 2500 aos hasta los antiguos griegos,
que encontraban reas usando el mtodo de eliminaciones sucesivas. Saban cmo
hallar el rea A de cualquier polgono al dividirlo en tringulos y sumando las reas de
estos tringulos.
Un problema ms difcil es hallar el rea de una figura curva. El mtodo griego de
eliminaciones sucesivas era inscribir polgonos en la figura y circunscribir polgonos
alrededor de la figura; luego aumentar el nmero de lados de los polgonos.
Los griegos mismos no usaron lmites en forma explcita pero, por razonamiento
indirecto, Eudoxio (siglo V a.C.) uso el mtodo de eliminaciones sucesivas para
demostrar la conocida frmula para el rea de un crculo:
El problema del rea es el problema central en la rama del clculo llamada clculo
integral.
Newton y Leibniz en 1675 descubrieron de forma independiente el clculo diferencial e
integral.
Sus enfoques son distintos, pero llegan a los mismos resultados.
En el periodo 1615-1660; se haba utilizado el clculo infinitesimal por matemticos de
gran talla como Kepler, Cavalieri, Torriceli, Pascal, Fermat, Wallis, Gregory, Barrow,
etc.
Nociones Bsicas de Clculo
El gran merito de lo que hoy llamamos calculo diferencial e integral, es el de ser un
algoritmo general que vale para todas las expresiones analticas a la vez y se basa en
que los procesos de clculo de tangentes o derivacin y cuadraturas o integracin son
procesos inversos.
Isaac Newton fue un matemtico y fsico ingls,
considerado por muchos como el cientfico ms grande de
todos los tiempos.
Sus brillantes descubrimientos en mecnica se publicaron
en 1687 en su libro Principia Mathematica, una de las
glorias de la Edad de la Razn. En esta obra Newton
estableci las leyes del movimiento y la ley de la
gravitacin universal, y demostr que los planetas del
firmamento, igual que los cuerpos sobre la tierra,
obedecen las mismas ecuaciones matemticas.
Durante ms de 200 aos las leyes de Newton constituyeron la base indiscutida de
todos nuestros intentos de dar una explicacin cientfica al mundo fsico.
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716), de joven estudio
filosofa, derecho y lenguas clsicas. Su principal inters
estuvo centrado en desarrollar una especie de lenguaje
simblico para representar los conceptos fundamentales
del pensamiento humano.
Como curiosidad Huygens le planteo Leibniz que hallara
la suma de los inversos de los nmeros triangulares.
Mediante suma y deferencias Leibniz fue capaz de hallar
la suma de esta serie y entonces creci su inters por
estudiar matemticas.
El trabajo de Leibniz se conoce por los numerosos artculos que publico en un Acta y
por sus cartas personales y manuscritos que se conservan en Hannover.
Uno de los principios fundamentales de clculo de Leibniz son las reglas para la
manipulacin de los smbolos , de la integral y diferencial.
ESIME Azcapotzalco
Funciones
Nociones Bsicas de Clculo
Introduccion
El concepto de funcin nace como una herramienta para describir la
dependencia entre dos o ms variables relacionadas (distancia y tiempo,
cantidad y costo, dimensin y rea o volumen, etctera).
Tal dependencia se traduce a un par de conjuntos y a una correspondencia
entre sus elementos, construyndola siempre desde el primer conjunto al
segundo.
Historia
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Funcion de Una Variable Real
Notacion y Simbolismo
Se refiere a aquellas funciones en las que el dominio y el codominio pertenecen
al conjunto de los nmeros reales.
Funcin f con dominio en A y codominio en B.
Dominio
Es el primer conjunto. Todos sus elementos (llamados argumentos) tienen su
imagen en el codominio.
Argumento
Se le llama as a cualquier elemento del dominio.
Imagen
As se le llama al elemento correspondiente a un argumento en particular.
ESIME Azcapotzalco
Rango
Es el conjunto de imgenes. En ocasiones el rango y el codominio son el mismo
conjunto.
Codominio
Es el segundo conjunto. En l se encuentran las imgenes, aunque puede ser
que no todos sus elementos lo sean.
Relacion y funcion
Los conceptos matemticos de relacin y funcin estn estrechamente ligados.
En ambos se asocian elementos de dos conjuntos, y desde luego, se puede
aplicar el mismo lenguaje que hemos construido tanto para la funciones como
para las relaciones. Existe, sin embargo una diferencia radical entre ellos: la
relacin permite que a cada elemento del primer conjunto se le asocie uno o
ms elementos del segundo; no hay lmite para ello. En contrario, en una
funcin, para cada argumento existe una nica imagen asociada a l.
Las funciones pueden ser llamadas relaciones, pero no todas las relaciones
pueden ser funciones.
Clasificacion de funciones
Funcin constante
Representa una recta paralela al eje "x" sobre k.
Dominio: Rango:
Nociones Bsicas de Clculo
Funcin lineal
Esta funcin tiene la forma y representa una recta en el plano
cartesiano, en donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.
Dominio: Rango: Rf=R o bien x (-,)
Para graficar una funcin lineal se lleva a cabo lo siguiente:
I. Se localiza la ordenada al origen, es decir, el punto (0,b).
II.A partir de este punto, se localiza otro, tondo la pendiente como el
incremento o decremento vertical sobre el incremento horizontal.
4
Ejemplo 1.1
2/3 4
Ejemplo 1.2
Fig. 1-2 Grafica de una function lineal
Fig.1-1 Grafica de una function constante
ESIME Azcapotzalco
Funcin identidad
Es la funcin lineal , con y , es decir:
Dominio:
Rango: Rf=R o bien y (-,)
Funcin cuadrtica
Es de la forma y representa una parbola cncava hacia
arriba o hacia abajo
Dominio:
Dominio: Df=R o bien x (-,)
Rango:
Rango:
Para obtener las coordenadas del vrtice se aplican las siguientes
formulas:
2
4
4
Ejemplo 1.3
Fig. 1-3 Grafica de una function identidad
Nociones Bsicas de Clculo
Orientacin o concavidad
Una primera caracterstica es la orientacin o concavidad de la parbola.
Hablamos de parbola cncava si sus ramas o brazos se orientan hacia arriba y
hablamos de parbola convexa si sus ramas o brazos se orientan hacia abajo.
Funcin racional
Se expresa como el cociente de dos funciones polinomiales.
/
Definicin de asntota
Si la distancia d entre una recta o curva y el punto mvil de la funcin
tiende a cero, entonces la recta o curva recibe el nombre de asntota.
Existen 3 tipos de asntotas: verticales, horizontales y oblicuas.
Cuando la grafica de la funcin se acerca entre un punto de a a la curva o
recta y la distancia , y la curva o recta tiende a cero (es decir la
grafica no toca a , entonces recibe el nombre de asntota.
ESIME Azcapotzalco
2 3 / 2
2 2
2 2 2
2
2 3
2
Ejemplo 1.4
Determinar el dominio, el rango y la grafica de la funcin
Solucin:
El denominador debe ser diferente de cero,
Por tanto, el dominio esta dado por:
y la asntota vertical es
Al despejar se obtiene el rango y la asntota horizontal:
Entonces 2 3 / 2 donde 2 2
Por tanto, el 2 y la asntota horizontal es 2
Fig. 2-1 Se trazan las asntotas y mediante una tabulacin se obtienen los pares ordenados, los cuales forman la siguiente curva
Nociones Bsicas de Clculo
Funcin raz cuadrada
La funcin esta dada por: con
2 2 2
Ejemplo 1.5
Obtn la grafica de la funcin 2
Solucin
Para determinar el dominio se resuelve la desigualdad: 2
Donde 2, entonces el dominio es el conjunto:
El rango se obtiene despejando x
Fig. 2-2 Grafica de una function logaritmica
ESIME Azcapotzalco
Funcin valor absoluto
La funcin es , donde y
Funcin valor absoluto
Se llama funcin explicita a aquella en la que una variable se escribe en
trminos de la otra.
Funcion Creciente
Una funcin definida en un intervalo es creciente es ese intervalo, si y solo si,
para todo 2 se cumple que 2 esto es, una
funcin es creciente si al aumentar tambien aumenta.
Funcion decreciente
Una funcin definida en un intervalo es decreciente es ese intervalo, si y solo si,
Para todo 2 se cumple que 2 esto es una
funcin es decreciente si al aumentar disminuye.
Ejemplo 1.1
Obtn la grafica de f(x)=|x+3|
Solucin
Se parte de la definicin de valor absoluto, en la que se obtienen las siguientes
desigualdades 3, 3 las cuales son dos rectas donde el dominio
son los nmeros reales y el rango esta dado por
La grafica que se obtiene es:
Fig. 2-3 Grafica de un valor absoluto
Nociones Bsicas de Clculo
Operaciones con funciones
Sean las funciones y , entonces:
Suma de funciones
Se denota y se define por:
Resta de funciones
Se denota y se define por:
Multiplicacin de funciones
Se denota y se define por:
Divisin de funciones
Se denota / y se define por:
/ /
Definicion de una funcin compuesta
Dadas las dos funciones y , la funcin compuesta denotada por
.
Y el dominio de es el conjunto de todos los nmeros del dominio de
tales que esta en el dominio de
Ejemplo:
2 3
2 3
2 3
ESIME Azcapotzalco
Ejercicios Propuestos
Problema 1.1
Si 24 6, halle a) ; b) 3 ; c) 2 .
Demuestre que 1
7
y 2 2 .
Problema 1.2
Si f (x) = 1
+1, halla a) ; b) ; c) 2 .
Demuestre que 1
y
1
1
Problema 1.3
Si , pruebe que
Problema 1.4
Si 1
, demuestre que
Problema 1.5
Si 5+3
+ 5 , pruebe que
Problema 1.6
Determine el dominio de cada una de las funciones siguientes:
a) 2 4
b) 4
c) 4
d)
+3
e)
+1
f) 1
9
g) 1
+1
h)
Problema 1.7
Dado 3 5 4 2 , demostrar que:
2, 5 , 2 3 , 7 5
Problema 1.8
Si 4 2
Nociones Bsicas de Clculo
3 2 2
2 6 2
3 3 3
Problema 1.9
Si 4 2 , calcular , , , 2 , 2 .
Problema 1.10
Si 2 , hallar , 1
,
Problema 1.11
Dado 3 5 4 2 , demostrar que:
Problema 1.12
Dado 2 6, demostrar que:
Problema 1.13
Dado 3 3, demostrar que:
Problema 1.14
Dado 1
, demostrar que:
ESIME Azcapotzalco
Limites
Nociones Bsicas de Clculo
Introduccion
En el estudio y sus aplicaciones se analiza la forma en que varan ciertas
cantidades y si estas tienden a valores especficos, bajo determinadas
condiciones.
La definicin de derivada, depende de la nocin del lmite de una funcin.
Definicin de lmite:
Sea un numeo real contenido en un intervalo abierto y sea una una funcin
definida en todo intervalo, excepto en el punto
Historia
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Nociones Basicas
Notacin del lmite:
Definicin informal de lmite
Se en un intervalo abierto, y sea una funcin definida en todo el intervalo
excepto posiblemente en , y un numero real, entonces
Significa que puede acercarse arbitrariamente a si se elige
suficientemente cercano a per o
Lmite de una variable
Se dice que la variable tiende a la constante como limite, cuando los valores
sucesivos de son tales que el valor numrico de puede llegar a ser,
ESIME Azcapotzalco
finalmente, menor que cualquier numero positivo predeterminado tan pequeo
como se quiera.
La relacin as definida se escribe .
Por conveniencia, nos serviremos de la notacin , que se leera tiende
hacia el lmite .
Lmite de una funcin
En las aplicaciones de la definicin de limite, se presentan usualmente casos
como el siguiente: se tiene una variable y una funcin dada de , y se
supone que la variable recibe valores tales que la . Tenemos que
examinar entonces los valores de la variable dependiente e investigar,
particularmente, si tiende tambin a un lmite. Si efectivamente existe una
constante tal que , entonces se expresa esta relacin escribiendo
,
Y se leer: el lmite de , cuando tiende a , es .
Teoremas sobre lmites
Los teoremas sobre lmites, simplifican y facilitan el proceso de obtencin, de tal
forma que el lmite se obtiene evaluando el valor al que tiende x.
Sean 1 , entonces:
1. , con c:constante
2. 3. 1 4. 1
5. 1
6.
7.
1
En particular
2 4 5 3 4 2 4
Ejemplo 2.1
Usemos la definicin precisa de lmite para demostrar que
2 4 5 3 4 ^2 5 3. Sea .
Se debe producir un tal que siempre que 2 ,
entonces 4 5 3 .
En primer lugar, observe que l(4x - 5) - 3l = l4x - 8l = 4 lx - 2l.
Si se toma como /4, entonces siempre que
Nociones Bsicas de Clculo
Limites cuando
Si
los resultados de los lmites para las formas:
y son:
Si se obtiene una expresin de la forma
entonces el lmite es 0.
Si se obtiene una expresin de la forma
entonces el lmite es infinito.
Si se obtiene una expresin de la forma
entonces el lmite es infinito.
Ejemplo 2.2
a) 1
b) 1 1
1
c) 1
ESIME Azcapotzalco
Ejercicios Propuestos
5 3
3 5
5 3 3 5
3 5
5 3
3
3
9
3
2
4
4 2
/
Nociones Bsicas de Clculo
5
3 25
5
4
3 8
3
43
4
5
2
2
2
1
2
ESIME Azcapotzalco
Bibliografia
Nociones Bsicas de Clculo
LEZAMA M. A., CUESTA V., SOTO M. A.; "Calculo Diferencial Con
Enfoque en Competencias"
MARSDEN J. E., TROMBA A. J.; "Calculo Vectorial" Quinta Edicion
PEARSON EDUCACION S.A.; Madrid, 2004; 696 Paginas
Pag 89 a 156
GALDOS L.; "Consultor Matematico, Introduccion al Calculo"
CULTURAL S.A.; Madrid, 1998; 301 paginas
Pag 1065 a 1092, 1143 a 1196
GRANVILLE; "Calculo diferencial e Integral"
LIMUSA; Mexico 2010; 704 pginas
Pag 17 a 88, 165 a 178
AYRES F., MENDELSON E.; "Calculo Serie Schaum"
Mc Graw Hill; 518 pginas
Pag 49 a 64, 72 a 88
ROLAND E. LARSON; "Calculo Con Geometria Analitica, Sexta Edicion"
Mc Graw Hill, Espaa, 1999; 930 paginas
Pag 4 a 277
LAURENCE D. HOFFMAN; "Calculo Aplicado Para Administracion,
Economia y Ciencias Sociales"
Mc Graw Hill; Mexico, 2006; 1013 paginas
Pag 2 a 13, 57 a 70, 96 a 121
DENNIS G. Zill; "Calculo con Geometria Analitica"
Grupo Editorial Iberoamericana; 1997; 1014 paginas
Pag 1 a 239
EARL W. SWOKOWSKY; "Calculus With Analytic Geometry"
PWS Publishers, U.S.A. 1988; 245 paginas
Pag 29 a 47, 51 a 81, 93 a 155
SPIVAK M.; "CALCULUS Second Edition"
W. A. Benjamin, Inc.; New York; 1992, 920 paginas
Pag 49 a 68, 107 a 140, 197 a 226
F. VEGA; "Ejercicios de Calculo"
LIBRERIA AGORA S.A.; Malaga 1987; 393 pginas
ESIME Azcapotzalco
STEWART J.; "Calculus: Early Transcendentals"
THOMSON; 2007; 728 paginas
Pag 204 a 251, 585 a 590
MAXIMO MITACC; "Topicos de Calculo Vol. I"
THALES S.R.L.; Peru 2009; 230 paginas
Pag 46 a 172, 197 a 242, 261 a 324