Unitat 1: Els nombres enters

1. Introducció

2. Conceptes sobre els enters

3. Suma i resta de nombres enters

4. Multiplicació i divisió de nombres enters

5. Operacions combinades

6. Potències i arrels

1. Introducció

-Els primers nombres apareixen per comptar coses: són els de

tota la vida: 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

-De la necessitat d'expressar que no hi ha res, va aparèixer el

Nombre 0.

S'anomenen els Nombres Naturals (N)

-Hi ha alguna cosa més petita que el 0? Els Nombres Negatius

Exemples d'utilització (per parelles):

Ascensor, Termòmetre, Altures topogràfiques, Edats cronològiques,

Economia

1. Introducció

Els Nombres Enters (Z) expressen quantitats exactes o enteres; inclouen

els nombres Naturals o positius, el 0 i els nombres negatius.

El 0Nombres

Enters (Z)Nombres negatius

Nombres Naturals (N)Nombres Primers

Nombres compostos

Queden fora dels Enters tots els altres nombres que hi ha entremig:

1,67 -41,3 768/7 -5/6 3,141592...

2. Conceptes sobre els Enters

a) Representació sobre la recta numèrica

b) Nombres oposats

-L'oposat d'un enter és el seu simètric respecte el 0. Dos nombres

oposats es troben a la mateixa distància del 0.

c) El valor absolut

-És la distància a la que un nombre es troba del 0.

Fer exercici 2

Fer exercici 6

Fer exercici 1

d) Comparació entre enters

-Quin d'entre dos enters és més gran? El que es situa més a la

dreta a la recta numèrica.Fer exercici 3

Deures exercicis 4 i 7

3. Suma i resta de nombres entersa) Criteris en eliminar parèntesis

-En suprimir un parèntesi precedit del signe +, els signes interiors no

varien.

-En suprimir un parèntesi precedit del signe -, els signes interiors

s'inverteixen.

+ (5 – 7 + 4) = 5 – 7 + 4

- (5 – 7 + 4) = -5 + 7 - 4

b) Suma de dos nombres enters

-Si tots dos són positius, se sumen els valors absoluts i el resultat és

positiu.

-Si tots dos són negatius, se sumen els valors absoluts i el resultat

és negatiu.

-Si un és negatiu i l'altre positiu, es resten els valors absoluts i el

resultat té el signe del que sigui més gran.

6 exemples

6 exemples

6 exemples

3. Suma i resta de nombres entersc) Resta de dos nombres

-Restar un nombre enter és el mateix que sumar l'oposat.

4 – 13 = 4 + (-13) = -9

d) Suma/resta de diversos nombres

-1r eliminarem parèntesis:

Exercicis 5 i 8

12 – (-9) = 12 + 9

5 – (3 – 10) + (4 – 8 + 2) – (7 – 5 + 1) =

5 – 3 + 10 + 4 – 8 + 2 – 7 + 5 – 1 =

-2n ordenarem positius i negatius:

5 + 10 + 4 + 2 + 5 – 3 – 8 – 7 – 1 =

-3r sumarem positius per una banda i negatius per l'altra:

26 – 19 =

-4t farem la resta final.

7

4. Multiplicació i divisió de nombres enters

-Caldrà aplicar la regla dels signes:

Positiu Negatiu

Positiu + -

Negatiu - +

O el que és el mateix:

+ · + = + + · - = -

- · - = + - · + = -

5. Operacions combinades

-Caldrà aplicar la jerarquia de les operacions:

1r) Interior de parèntesis

2n) Multiplicacions i divisions

3r) Sumes i restes

Acabar 9 i 12

6. Potències i arrels

a) Potències de base positiva

-El resultat és sempre un nombre positiu

(+2)4 = (+2) · (+2) · (+2) · (+2) = 16

b) Potències de base negativa

(-2)1 = -2

(-2)2 = (-2) · (-2) = +4

(-2)3 = (-2) · (-2) · (-2) = -8

(-2)4 = (-2) · (-2) · (-2) · (-2) = +16

negatiu

negatiu

positiu

positiu

-En potències de base negativa:

si l'exponent és parell el resultat és positiu

si l'exponent és senar el resultat és negatiu Exercici 2 pàg.56

6. Potències i arrels

c) Potències d'exponent 0

-El resultat sempre és 1.

Demostració: 53

53 =125125

=1 Ok?

però també: 53

53=53 :53=53−3

=50per tant, 50=1

Demostració 2: 24 = 2 · 2 · 2 · 2

23 = 2 · 2 · 2

22 = 2 · 2

21 = 2

20 = 1

· 1

· 1

· 1

· 1

En les multiplicacions el nombre

1 sempre hi és, encara que

estigui amagat. (element neutre)

Exemples ràpids

6. Potències i arrels

d) Potències d'exponent negatiu

-Una potència d'exponent negatiu significa la inversa de la mateixa

potència amb exponent positiu.

Demostració: 53

55=5 ·5 ·5

5 ·5 ·5 ·5 ·5=

1

52

però també: 53

55=53 :55=53−5

=5−2 per tant,

Exemples ràpids

a−n=

1

an

5−2=1

52

6. Potències i arrels

e) Un error freqüent a tenir en compte:

-En una potència de base negativa la base sempre ha d'estar entre

parèntesis.

(-3)2 = (-3) · (-3) = +9

-32 = -(32) = -(3 · 3) = - (9) = -9

La base és -3.

La base és +3, i el – va a part.

Ex. 3 i 4 pàg.56

6. Potències i arrelsf) Arrels quadrades

-L'arrel quadrada és la operació inversa d'elevar al quadrat.

Exemples totes les arrels exactes fins a 169

25=5⇔52=25 9=3⇔32

=9

-Ara bé, també es compleix:

25=−5⇔−52=25 9=−3⇔−3

2=9

Per tant, les arrels quadrades tenen dues solucions, la positiva i la

negativa. 25=±5 9=±3

-Es pot fer l'arrel quadrada d'un nombre negatiu?

−9=∃ No. No hi ha cap nombre que multiplicat per ell

mateix dóni un nombre negatiu.Exemples ràpids

Col·lecció problemes

a) Un dia d'hivern a les 12 del migdia, la temperatura al pati de l'institut era de – 4 °C, i a l'interior de la classe, de 17 °C. Quina era la diferència de temperaura entre l'interior i l'exterior?

b) El filòsof grec Aristòtil va néixer el 384 aC i va morir el 322 aC. Quina edat tenia quan va morir?

c) El filòsof romà Ciceró va néixer el 106 aC i va viure 63 anys. En quin any va morir?

d) Sèneca va néixer 47 anys després de la mort de Ciceró i va viure 61 anys. En quin any va morir?

e) El matemàtic Tales de Milet va morir l’any 546 abans de Crist. Si sabem que va viure 78 anys, quin any va néixer?

f) Pitàgores va néixer l'any 580 aC i Newton l'any 1643 dC.a) Quants anys van passar entre els dos naixements?b) Quants anys van transcórrer des que va morir Pitàgores fins que va

néixer Newton, si Pitàgores es creu que va morir als 83 anys d'edat?