Post on 29-Jul-2015
Universidad Pedagógica Nacional Francisco Morazán
Física Moderna IINormalización de una función de onda
Dr. Armando Euceda
Presentado por: Suany Herrera Franclin Solano Julio César Zúniga
Tegucigalpa M.D.C, Febrero de 2009
11
2cos
0
xA
L
4 4
L Lx Para
en caso contrario
Problema:Una partícula es descrita por los valores de la función de onda:
a)a)Determine la constante de normalización A.Determine la constante de normalización A.
b)¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se b)¿Cuál es la probabilidad de que la partícula se encuentre entre encuentre entre y si se mide su posicióny si se mide su posición??
0x 8
Lx
x 4 4
L Lx
22
a. Para encontrar la constante de normalización se obtiene la función de densidad de probabilidad, mediante la ecuación:
Luego se sustituye la función de onda en la ecuación anterior
2, 1x t dx
x
42 2
4
2cos
L
L
xA dx
L
2
2
2
xu
L
du dxL
Ldudx
haciendohaciendo
derivandoderivandosustituyendsustituyendo o 2 4
2
4
cos2
L
L
LAudx
2 xu
L
33
Utilizando la identidad trigonométrica:
La integral se puede expresar como:
2 1 cos 2cos
2
uu
2 4
4
1 cos 2
2 2
L
L
LA udu
Luego se aplica la propiedad Luego se aplica la propiedad distributivadistributiva
2 4 4
4 4
cos 24
L L
L L
LAdu udu
44
Ver demostración
Después se resuelven las integrales
2 4
4
sin 2
4 2
L
L
LA uu
4
2
4
2sin 2
2
4 2
L
L
xLA x L
L
2 xu
L
Seguidamente se sustituye el valor de Seguidamente se sustituye el valor de
55
Evaluando los limites de integración:
2 2
2 2sin 2 sin 2
2 24 44 4 2 4 4 2
L LLA L LA LL L
L L
2 2
4 2 4 2
LA LA
2 2
8 8
LA LA
2
4
LA
66
Por la ecuación se iguala: 2, 1x t dx
2 4LA
2A
L
2
14
LA
77
x 2 2cos
x
LL
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x
-1.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
y
O
Al sustituir la constante de normalización A en la Al sustituir la constante de normalización A en la función de onda, se obtiene:función de onda, se obtiene:
y su y su gráfica:gráfica:
88
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 2 x
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y
O
y su y su gráfica:gráfica:
24 2cos
x
L L
x
Luego se Luego se obtiene:obtiene: 2,x t
x
99
para
4
L
4
L
4
L
4
L
2 2cos
0
x
LL
x 4 4
L Lx
en caso en caso contrariocontrario
parapara24 2cos
0
x
L L
x4 4
L Lx
en caso contrarioen caso contrario
cuando cuando L=2L=2
cuando L=2cuando L=2
2
L
4
L
1010
b. Ahora se calculara la probabilidad de que la partícula se encuentre entre: y
82 2
0
2cos
L
xA dx
L
2 8 8
0 0
cos 24
L L
LAdu udu
2 xu
L
0x 8
Lx
Se plantea nuevamente la integral y se modifican Se plantea nuevamente la integral y se modifican los limites de integración:los limites de integración:
Luego se realiza el cambio de variable del inciso Luego se realiza el cambio de variable del inciso anterior y se obtiene:anterior y se obtiene:
donddonde e
1111
Después se resuelve la integral
2 8
0
sin 2
4 2
L
LA uu
2 xu
L
8
2
0
2sin 2
2
4 2
L
xLA x L
L
Seguidamente se sustituye Seguidamente se sustituye el valor de el valor de
1212
Evaluando los limites de integración:
2 2
16 8
LA LA
2 2
2 2 0sin 2 sin 2
2 2 08 44 8 2 4 4 2
LLA L LAL L
L L
2 1
04 4 2
LA
2 2
16 8
LA LA
2
4
LA
1313
Finalmente se sustituye el valor de A:
2 22 2
16 8
L LL L
4 4
16 8
L L
L L
1 1
4 2 0.4092 0.41
La probabilidad de que la partícula este entre La probabilidad de que la partícula este entre y y es es
0x 8
Lx
0.41
1414
Gráficamente se tiene:
4
L
8
L
4
L
0 0.418
LP x
1515
Esta identidad trigonométrica se puede verificar de la siguiente manera:
Se considera la fórmula del ángulo doble:
2cos 2 1 2u sen u
22 1 cos 2sen u u
2 1 cos 2
2
usen u
Ver demostración
1616
Se expresa :cos 2 cos( )u u u
cos cosu u senusenu 2 2cos u sen u
2 21 sen u sen u
2cos 2 1 2u sen u
Luego por la identidad fundamental:Luego por la identidad fundamental:2 2cos 1sen u u
Se Se obtiene:obtiene:
1717