NUMEROS ENTEROS

Juan pablo Pantoja dominguez

Juan pablo Mamian ruales

Calculo

11-01

Popayán 2014

NUMEROS ENTEROS

HISTORIA:

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

No fue sino hasta el siglo XVII que tuvieron aceptación en trabajos científicos europeos, aunque matemáticos italianos del renacimiento como Tartaglia y Cardano los hubiesen ya advertido en sus trabajos acerca de solución de ecuaciones de tercer grado. Sin embargo, la regla de los signos ya era conocida previamente por los matemáticos de la India.

Aplicación en contabilidad

Encuentran aplicación en los balances contables. A veces, cuando la cantidad adeudada o pasivo, superaba a la cantidad poseída o activo, se decía que el banquero estaba en «números rojos». Esta expresión venía del hecho que lo que hoy llamamos números negativos se representaban escritos en tinta roja así: 30 podía representar un balance positivo de 30 sueldos, mientras que 3 escrito con tinta roja podía representar, 3 sueldos, es decir, una deuda neta de 3 sueldos

Números enteros:

Los números enteros (designado por Z) son un conjuntode números que incluye a los números naturales distintos de cero (1, 2, 3, ...), los negativos de los números naturales (..., −3, −2, −1) y al 0. Los enteros negativos, como −1 o −3 (se leen «menos uno», «menos tres», etc.), son menores que todos los enteros positivos (1, 2, ...) y que el cero. Para resaltar la diferencia entre positivos y negativos, a veces también se escribe un signo «más» delante de los positivos: +1, +5, etc. Cuando no se le escribe signo al número se asume que es positivo.

El conjunto de todos los números enteros se representa por la letra ℤ = {..., −3, −2, −1, 0, +1, +2, +3, ...}, que proviene del alemán Zahlen («números», pronunciado [ˈtsaːlən]).

Los números enteros no tienen parte decimal:−783 y 154 son números enteros, mientras que 45,23 y −34/95 no. Al igual que los números naturales, los números enteros pueden sumarse.restarse , multiplicarse y dividirse , de forma similar a los primeros. Sin embargo, en el caso de los enteros es necesario calcular también el signo del resultado.

Los números enteros extienden la utilidad de los números naturales para contar cosas. Pueden utilizarse para contabilizar pérdidas: si en un colegio entran 80 alumnos nuevos de primer curso un cierto año, pero hay 100 alumnos de último curso que pasaron a educación secundaria , en total habrá 100 − 80 = 20 alumnos menos; pero también puede decirse que dicho número ha aumentado en 80 − 100 = −20 alumnos.

También hay ciertas magnitudes, como temperatura o la altura toman valores por debajo del cero. La altura del Everest es 8848 metros por encima del nivel del mar , y por el contrario, la orilla del mar muerto está 423 metros por debajo del nivel del mar; es decir, su altura se puede expresar como −423 m.

Los números enteros positivos y negativos, son el resultado natural de las operaciones suma y resta. Su empleo, aunque con diversas notaciones, se remonta a la antigüedad.

El nombre de enteros se justifica porque estos números ya positivos o negativos, siempre representaban una cantidad de unidades no divisibles (por ejemplo, personas).

Los números negativos son necesarios para realizar operaciones como:3 − 5 = ?Cuando el minuendo es más pequeño que el sustraendo, la resta no puede realizarse con números naturales. Sin embargo, hay situaciones en las que es útil el concepto de números negativos, como por ejemplo al hablar ganancias y pérdidas

• Un número entero negativo es un número natural como 1, 2, 3, etc. precedido de un signo menos, «−». Por ejemplo −1, −2, −3, etcétera. Se leen «menos 1», «menos 2», «menos 3»,...

• Un número entero positivo es un número natural como 1, 2, 3,... precedido de un signo más. «+».

• Los números enteros son el conjunto de todos los números enteros con signo (positivos y negativos) junto con el 0. Se les representa por la letra Z, también escrita en «negrita de pizarra» como ℤ :

• Z={…,−2,−1,0,+1,+2,…}

El valor absoluto de un número entero es el número natural que resulta de quitarle el signo. El valor absoluto de 0 es simplemente 0. Se representa por dos barras verticales ”| |”

OPERACIONES CON NUMEROS ENTEROS

SUMA:

• Para sumar dos números enteros, se determina el signo y el valor absoluto del resultado del siguiente modo:

• Si ambos sumandos tienen el mismo signo: ese es también el signo del resultado, y su valor absoluto es la suma de los valores absolutos de los sumandos.

• Si ambos sumandos tienen distinto signo:

• El signo del resultado es el signo del sumando con mayor valor absoluto.

• El valor absoluto del resultado es la diferencia entre el mayor valor absoluto y el menor valor absoluto, de entre los dos sumandos. Ejemplo. (+21) + (−13) = +8 , (+17) + (+26) = +43 , (−41) + (+19) = −22 , (−33) + (−28) = −61

SUMA DE NUMEROS ENTEROS

PROPIEDADES DE LOS NUMEROS ENTEROS:

• Propiedad asociativa. Dados tres números enteros a, b y c, las sumas(a + b) + c y a + (b + c) son iguales.

• Propiedad conmutativa. Dados dos números enteros a y b, las sumas a + b yb + a son iguales.

• Elemento neutro. Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

PROPIEDAD ASOCIATIVA

• Ejemplo.

• Propiedad asociativa:[ (−13) + (+25) ] + (+32) = (+12) + (+32) = (+44)(−13) + [ (+25) + (+32) ] = (−13) + (+57) = (+44)

PROPIEDAD CONMUTATIVA

• Propiedad conmutativa:(+9) + (−17) = −8(−17) + (+9) = −8

ELEMENTO NEUTRO

Todos los números enteros a quedan inalterados al sumarles 0: a + 0 = a.

ELEMENTO OPUESTO O SIMETRICO

RESTA DE LOS NUMEROS ENTEROS

• Ejemplos(+10) − (−5) = (+10) + (+5) = +15(−7) − (+6) = (−7) + (−6) = −13(−4) − (−8) = (−4) + (+8) = +4(+2) − (+9) = (+2) + (−9) = −7

MULTIPLICACION

• La multiplicación de números enteros, al igual que la suma, requiere determinar por separado el signo y valor absoluto del resultado.

DIVISION

REGLA DE LOS SIGNOS

• (+) × (+)=(+) Más por más igual a más.

• (+) × (−)=(−) Más por menos igual a menos.

• (−) × (+)=(−) Menos por más igual a menos.

• (−) × (−)=(+) Menos por menos igual a más.

Valor absoluto de un número entero

El valor absoluto  de un número entero  es el número natural  que

resulta al  suprimir su signo .

|−a| = a

|a| = a

Criterios para ordenar los números enteros

1.  Todo número negativo es menor que cero.

−7 < 0

2.Todo número positivo es mayor que cero.

7 > 0

3.  De dos enteros negativos es mayor el que tiene menor valor absoluto.

−7 >− 10                        |−7| < |−10|

4.De los enteros positivos, es mayor el que tiene mayor valor absoluto.

10 > 7                        |10| > |7|

Operaciones con números enterosSuma de números enteros

1.  Si los sumandos son del mismo signo, se suman los valores absolutos y

al resultado se le pone el signo común.

3 + 5 = 8

(−3) + (−5) = − 8

2.  Si los sumandos son de distinto signo, se restan los valores absolutos

(al mayor le restamos el menor) y al resultado se le pone el signo del número

de mayor valor absoluto.

− 3 + 5 = 2

3 + (−5) = − 2

Propiedades de la suma de números enteros

1. Interna :

a + b   

3 + (−5)   

2. Asociativa :

(a + b) + c = a + (b + c)   ·

(2 + 3) + (− 5) = 2 + [3 + (− 5)]

5 − 5 = 2 + (− 2)

0 = 0

3. Conmutativa :

a + b = b + a

2 + (− 5) = (− 5) + 2

− 3 = − 3

4. Elemento neutro :

a + 0 = a

(−5) + 0 = − 5

5. Elemento opuesto

a + (-a) = 0

5 + (−5) = 0

−(−5) = 5

Resta de números enteros

La diferencia  de los números enteros  se obtiene sumando

al minuendo el opuesto del  sustraendo.

a - b = a + (-b)

7 − 5 = 2

7 − (−5) = 7 + 5 = 12

Propiedades de la resta de números enteros

1.Interna :

a − b   

10 − (−5)   

2. No es Conmutativa :

a - b ≠ b - a

5 − 2 ≠ 2 − 5

Multiplicación de números enteros

La multiplicación  de varios números enteros  es otro número entero ,

que tiene como valor absoluto el producto de los valores absolutos  y,

como signo , el que se obtiene de la aplicación de la  regla de los signos .

Regla de los signos

2 · 5 = 10

(−2) · (−5) = 10

2 · (−5) = − 10

(−2) · 5 = − 10

Propiedades de la multiplicación de números enteros

1. Interna :

a · b   

2 · (−5)   

2. Asociativa:

(a · b) · c = a · (b · c)

(2 · 3) · (−5) = 2· [(3 · (−5)]

6 · (−5) = 2 · (−15)

-30 = -30

3. Conmutativa:

a · b = b · a

2 · (−5) = (−5) · 2

-10 = -10

4.  Elemento neutro :

a ·1 = a

(−5)· 1 = (−5)

5. Distributiva :

a · (b + c) = a · b + a · c

(−2)· (3 + 5) = (−2) · 3 + (−2) · 5

(−2)· 8 =- 6 - 10

-16 = -16

6. Sacar factor común:

a · b + a · c = a · (b + c)

(−2) · 3 + (−2) · 5 = (−2) · (3 + 5)

División de números enteros

La división de dos números enteros es igual al valor absoluto del cociente

de los valores absolutos entre el dividendo y el divisor, y tiene de signo, el que

se obtiene de la aplicación de la regla de los signos.

10 : 5 = 2

(−10) : (−5) = 2

10 : (−5) = − 2

(−10) : 5 = − 2

Propiedades de la división de números enteros

1. No es una operación interna :

(−2) : 6 

2. No es Conmutativo :

a : b ≠ b : a

6 : (−2) ≠ (−2) : 6

Potencia de números enteros

La potencia de exponente natural de un número entero  es

otro número entero , cuyo valor absoluto es el valor absoluto de la

potencia  y cuyo signo  es el que se deduce de la aplicación de las

siguientes reglas :

1.  Las potencias de exponente par son siempre positivas.

2.  Las potencias de exponente impar tienen el mismo signo de la base.

Propiedades

a0  = 1 ·

a1  = a

am   · a n  = am + n

(−2)5  ·(−2)2  = (−2)5+2  = (−2)7 = −128

am  : a n  = am - n

(−2)5  : (−2)2  = (−2)5 - 2  = (−2)3 = −8

(am)n  = am · n

[(−2)3]2 = (−2)6 = 64

an   · b n  = (a · b) n

(−2)3   · (3)3  = (−6) 3  = −216

an  : b n  = (a : b) n

(−6)3   : 3 3  = (−2)3  = −8

Potencias de exponente entero negativo

Raíz cuadrada de un número entero

Las raíces cuadradas de números enteros tienen dos signos:

positivo y negativo.

El radicando es siempre un número positivo o igual a cero,  ya que

se trata del cuadrado número.