NUMEROS REALES. DESIGUALDADES

TEMA 1: PRIMERA PARTE.Elaborado por: Maribel PerdomoRevisado por: José Luís Linares

Julio 2011

TEMA I Los Números Reales. Suma y Multiplicación de Números Reales. Axiomas de la Suma y la Multiplicación. Definición de Diferencia y Cociente. Algunas propiedades de los Números Reales.Axioma de Orden. Definición de Desigualdades Estrictas y No Estrictas. Definiciones relacionadas con desigualdades. Propiedades de las Desigualdades. Intervalos.Inecuaciones y Resolución de Inecuaciones. Método de los Casos. Método de las Barras. Método de Sturn. Ejercicios.

DEFINIDOS AXIOMAS TEOREMAS

NUMEROS REALES

METODO AXIOMATICO

CONCEPTOS PROPOSICIONES

PRIMITIVOS

Números Reales

Números Reales Positivos

Adición y Multiplicación de Números Reales

Si H, entonces T

H ⇒ T

H si y sólo si T

H ⇔ T

Clase 1: Números Reales

Conjuntos de Números: Naturales: 1,2,3,4,... Denotado por: Enteros: ..., -3,-2,-1,0,1,... Denotado por:

Racionales: Números que pueden escribirse de la forma:

donde n es distinto de 0

Se denota por:

N

Z

nm /

Q

Ejemplos

....4142.1/ que tales

en Zn y mexisten no que ya 2 .5

....14159.3/ que tales

en Zn y mexisten no que ya 4.

1/330.3 que ya ...3333.0 3.

1/20.5 que ya 5.0 2.

2/168 que ya 8 1.

=∉

=∉

−=−∈−

=∈−=−∈−

nm

Q

nm

Q

Q

Q

Q

π

En general“Un número es racional si es entero o, si su expansión

decimal es finita o infinita periódica”

2; 3; 176543; 34,456; -456,456456456...

En otro caso es irracional:

Estos y otros forman el conjunto de los irracionales

denotado por

Los números que se pueden representar por expansiones decimales infinitas no periódicas reciben el nombre de números irracionales

e ;;8 ;3 ;2 4 π

I

Asi tenemos:

N Q I⊂ ⊂=R Q I

eZ

El Conjunto de los Números Reales REstá formado por todos los números, racionales

e irracionales que pueden medir longitudes, incluyendo sus negativos y el cero.

Ejercicio: Complete la siguiente tabla utilizando los símbolos ∈ y ∉ :

I

π

–6

4

RQZN

2

4−

e

1

5

3

−

2

9−

Operaciones en R

Suma o adición:

Multiplicación:

RyxRyx ∈+⇒∈,

RyxRyx ∈⇒∈ .,

Axiomas de la Suma y Multiplicación Leyes conmutativas:

Leyes Asociativas:

Ley Distributiva:

Elementos Identidad:

Inversos:

Aditivo:

Multiplicativo:

yxxyxyyx =+=+ y

zxyyzxzyxzyx )()( y )()( =++=++

xzxyzyx +=+ )(

xxxxR ==+∈∃ 1 y 0 que tales1 y 0

0)( que tal)( )( =−+∈−∃∈∀ xxRxRx

1. que tal)1

)(0( 11 =∈=∃≠∀ −− xxRx

xx

Sustracción y división

Para definir estas operaciones hacemos uso de las propiedades anteriores, de manera que:

).(/

)(1−=−+=−

yxyx

yxyx

Gran parte de los conocimientos algebraicos que

aprendimos en secundaria, se deducen de las propiedades

anteriores. Así por ejemplo, la factorización depende, en

última instancia, de la ley distributiva. Enunciaremos a

continuación otras propiedades de los números reales las

cuales serán de gran utilidad, pero antes veamos un

ejemplo de resolución de una ecuación usando los axiomas

y la definición anterior.

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación usando los

axiomas de la suma y multiplicación (justifique cada paso):

3x – 2 + ½ = x – 7 + (1/4)x + 2.

Algunas propiedades de los números reales: Sean a, b, c, d ∈ R, se cumple:

0 1. )19

.).(0. )18

)17

)).(( )16

).1( )15

0con )( )14

0,,con )13

0,con . )12

0,con .

. )11

0 00 )10

0, )9

0 )8

)()( )7

)()()()()( )6

)( )5

000 )4

00 3)

0 )2

1)

1

111

22

22

11

≠=⇒==⇒≠

−==⇔=+−=−

−=−≠=

≠=

≠=

≠=

=⇔=⇔=

≠+=+

≠−=−

=−−=−−−=+−

⋅=−⋅−⋅−=−⋅=⋅−=−−

==⇔=⋅=⋅

=⇒≠⋅=⋅=⇔+=+

−

−−−

−−

aconabba

bababa

baóbaba

bababa

aa

aaa

dcbbc

ad

dc

ba

dbbd

ac

d

c

b

a

cbb

a

cb

ca

bexiste no b

a y a

b

a

dbconbd

cbad

d

c

b

a

bconb

a

b

a

b

a

acabcbaybaba

babaybababa

aa

bóaba

a

bacycbca

bacbca

Axioma de Orden

El conjunto de los números reales tiene un subconjunto no vacío

llamado los números reales positivos y denotado por R+ que

satisface las siguientes propiedades:

O1.- Para todo a ∈ R, se cumple una y solo una de las

siguientes proposiciones: a = 0 , a ∈ R+ ó (-a ) ∈ R+

O2.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a + b) ∈ R+

O3.- Sí a, b ∈ R+ entonces (a . b) ∈ R+

Ejemplo: Para cualquier x en R, se cumple que x2 + 4 se

encuentra en R+

Definición: Un numero real “a” es negativo si y solo si “(-a)” es

positivo.

El conjunto de los números reales negativos se denota por R-.

Este hecho permite hablar de los reales positivos,

reales negativos y el 0

R= R+ ∪ R- ∪ {0}

Definición de Desigualdades: Sean a,b ∈ R

-Desigualdades Estrictas:

“ a es menor que b” (a < b) si y solo si (b – a) ∈ R+

“ a es mayor que b” (a > b) si y solo si (a – b) ∈ R+.

-Desigualdades No Estrictas:

“a es menor o igual que b” (a ≤ b) si y solo si a < b ó a = b.

“ a es mayor o igual que b” (a ≥ b) si y solo si a > b ó a = b.

Definición:

Dos números reales tienen el mismo signo si ambos son

positivos o ambos son negativos y tienen signos

diferentes si uno es positivo y otro es negativo.

Definición: Sea a ∈ R.

a > 0 si y solo si “a es positivo”,

a < 0 si y solo si “a es negativo” ,

a < 0 si y solo si (-a) > 0,

a > 0 si y solo si (-a) < 0.

1.4.- Propiedades de las Desigualdades

Se establecerán ahora propiedades que han sido usadas en cursos de

bachillerato con frecuencia, pero sin el previo respaldo de sus prueba.

1.- Para todo a, b ∈ R, se cumple una y solo una de las

siguientes proposiciones:

a = b , a < b ò a > b . (Ley de Tricotomía)

2.- Sean a, b, c ∈ R.

Si a < b y b < c entonces a < c. (Ley Transitiva)

3.- Sean a, b, c ∈ R.

Si a < b entonces a + c < b + c.

4.- Sean a, b, c, d ∈ R.

Si a < b y c < d entonces a + c < b + d.

5.- Sean a, b ∈ R.

Si a < b y c > 0 entonces a . c < b . c.

Si a < b y c < 0 entonces a . c > b . c.

6.- Sean a, b, c, d ∈ R.

Si 0 < a < b y 0 < c < d entonces a . c < b .d.

7.- Sean a, b ∈ R.

- a y b tienen el mismo signo si y solo si a . b > 0.

- a y b tienen signos diferentes si y solo si a . b < 0.

8.- Si a ≠ 0 , entonces a² > 0 .

9.- Si 0 < a < b , entonces b-1 < a-1.

10.- Si a > 0 entonces a-1 > 0 y si a < 0 entonces a-1 < 0.

Nota: Estas propiedades son válidas para las desigualdades “>” , “ ≥” , “≤ ”. Ejemplo: Resuelva la siguiente inecuación usando las

propiedades anteriores (justifique cada paso):

2x – 5 > 3x + 2.

La Recta real

La recta real es una representación geométrica del conjunto de los números reales. Tiene su origen en el cero, y se extiende en ambas direcciones, los positivos en un sentido (normalmente hacia la derecha) y los negativos en el otro (normalmente a la izquierda). Existe una correspondencia uno a uno entre cada punto de la recta y un número real.

Unión de dos conjuntos:

A ∪ B es el conjunto de elementos de A, de B o de ambos

Intersección de dos conjuntos:

A ∩ B es el conjunto de elementos de A y de B

Conjuntos

Un conjunto es una colección de elementos

1.5.- Intervalos

Dados a, b ∈ R con a < b, se define un intervalo como el conjunto de

números comprendidos entre a y b.

a b

1.2.7 Tipos de Intervalos

a.- Intervalo Cerrado: [a , b] = { x ∈ R / a ≤ x ≤ b }.

[ ] a b b.- Intervalo Abierto: (a , b) = { x ∈ R / a < x < b }.

( ) a b

c.- Intervalos Semiabiertos: [a , b) = { x ∈ R / a ≤ x < b }.

[ ) a b

(a , b] = { x ∈ R / a < x ≤ b }.

( ] a b

d.- Intervalos Infinitos: [a . +∞ ) = { x ∈ R / x ≥ a }.

[

a +∞

(a , +∞ ) = { x ∈ R / x > a }.

(

a +∞

(−∞ , a] = { x ∈ R / x ≤ a }.

]

-∞ a

(−∞ , a) = { x ∈ R / x < a }.

)

-∞ a

(−∞ , +∞) = R.

-∞ +∞

Nota: Se empleará el símbolo +∞ (infinito positivo) y el símbolo -∞ (infinito

negativo); sin embargo, téngase cuidado de no confundir estos símbolos con

números reales, ya que no cumplen con las propiedades de dichos números.

Ejemplos:

1.- Escriba con notación de conjuntos los siguientes intervalos y

represéntelos en la recta real: (-2,4); [3,7); [-⅓,⅓]; (0, +∞).

2.- Efectuar las siguientes operaciones con intervalos:

a.- (-∞ , 5) ∩ [1 ,6) b.- (-1 ,2) ∪ [0 , 3] c.- (-1 , 3) ∪ (3 , 7)

d.- (-1 , 3) ∩ (3 , 7) e.- (-1 , 3) ∪ [3 , 7) f.- (-1 , 3] ∩ [3 , 7)

Nota: Para realizar operaciones con intervalos se procede de la siguiente

manera:

- Para la unión, es decir, reunión de los números que están en los dos

intervalos, se grafican los intervalos sobre la misma recta y se rayan

los dos intervalos en el mismo sentido, el intervalo solución será toda

las región rayada sobre la recta.

- Para la intersección, es decir, los elementos que están en los dos

intervalos al mismo tiempo, se grafican los intervalos sobre la misma

recta y se rayan en sentido contrario, la solución será la región donde

se cruzan los rayados.

CLASE N° 2: Inecuaciones y Resolución de Inecuaciones.

En el estudio del cálculo, las desigualdades juegan un rol fundamental, debido a que frecuentemente el interés se centra en las aproximaciones de un valor, más que en el mismo valor. Es por eso necesario estar familiarizados con las inecuaciones, siendo éstas problemas planteados en forma de desigualdad.

Una inecuación puede ser resuelta usando cualquiera de los siguientes métodos: Método de los casos, método de las barras y método de Sturm.

Para resolver una inecuación se procede inicialmente de la siguiente manera:

Se agrupan todos los términos en un solo miembro de la desigualdad, efectuando las operaciones algebraicas necesarias hasta obtener una expresión de la forma siguiente, donde los polinomios p(x) y q(x) están factorizados:

Luego se decide que método se va a utilizar.

A continuación se ilustra cada uno de los métodos de resolución de inecuaciones. Cabe señalar que hay inecuaciones sencillas que se pueden resolver directamente, sin tener que recurrir a los métodos antes mencionados.

0)()(,0

)()(,0

)()(,0

)()( ≥≤><

xqxp

xqxp

xqxp

xqxp

Resolver, de tres formas diferentes, la siguiente inecuación:

Solución: Los pasos iniciales para cualquiera de los tres métodos son similares, esto es:

- Agrupar todos los términos en cualquiera de los dos miembros de la inecuación:

-Se transforma algebraicamente para obtener una expresión de la forma

Ahora se procede a resolver la expresión (1) por cada uno de los tres métodos antes nombrados

03

1

1 ≤+−+−

x

x

x

x

0)(

)( ≤xq

xp

(1) 0 )1(

35

01)x(x

33

. 0)1(

)3)(1()1(

22

≤+

−−

≤+

−−−−−

≤+

++−−

xx

x

xxxxx

xx

xxxx

03

1

1 ≤+−+−

x

x

x

x

Método de los casos: consiste en aplicar a la expresión (1) la propiedad 7 de las desigualdades:

Nota: Recordar que el denominador siempre es distinto de cero, es decir,

(x+1)x ≠ 0.

0 )1(

35 ≤+

−−xx

x

<+∧≥−−∨

>+∧≤−−⇔

0)1( 035

0)1( 035

xxx

xxx

{

{

<∧−>∨>∧−<∧−≤∨

<∧−<∨>∧−>∧−≥

⇔})0 1{ }0 1(

5

3

})0 1{ }0 1( 5

3

xxxxx

xxxxx

( ){ ( ) ( ) ( )

( ){ ( ) ( ) ( )

∞∩+∞−∈∪+∞∩−∞−∈∩

−∞−∈

∪

∞∩−∞−∈∪+∞∩+∞−∈∩

+∞−∈

⇔}),0- ,1{ }0, 1,(

5

3,

}),0- 1,{ }0, ,1( ,5

3

xxx

xxx

Para hallar la solución de la inecuación se procede a efectuar las operaciones indicadas con intervalos, tal como se hizo en ejercicios anteriores, esto es:

⇔ / / / / / / ) [\ \ \ \ \( \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \

-1 -3/5 0

/ / / / / / /( / / / / / ] )

-1 -3/5 0

Solución total: x ∈ (-1,-3/5] ∪ (0,+∞)

∪∩−∞−∈∪

+∞∪−∞∩+∞−∈

(-1,0)} { 53,

)},0()1,{(- ,53

φx

x

Método de las barras: Consiste en hallar las raíces de los polinomios p(x) y q(x), luego, se construye una tabla en la cual, al inicio de las filas se coloca cada uno de los factores de p(x) y q(x), y al inicio de las columnas, cada uno de los intervalos obtenidos al representar las raíces de p(x) y q(x) en la recta real, como se muestra a continuación:

- Raíces de p(x) = -5x – 3 : p(x) = 0 ⇔ -5x – 3 = 0 ⇔ -5x = 3 ⇔ x = -3/5

-Raíces de q(x) = (x+1)x : q(x) = 0 ⇔ (x+1)x = 0 ⇔ x+1 = 0 ∨ x = 0

⇔ x = -1 ∨ x = 0

-1 -3/5 0

De esta manera, se obtienen los siguientes intervalos: (-∞,-1), (-1,-3/5], [-3/5,0) y (0,+∞).

Nota: los extremos de los intervalos se definen de acuerdo a la desigualdad dada, así, se tiene que la desigualdad es no estricta, quiere decir que se puede cumplir la igualdad a cero, pero esto sólo ocurre si el numerador es cero, el denominador siempre es distinto de cero.

Seguidamente, se construye la tabla: Se debe determinar el signo de cada factor en cada intervalo, tomando un valor de prueba en estos intervalos, así por ejemplo, en el primer intervalo, tomar x = -2, se reemplaza este valor en cada factor y se considera el signo del resultado. Luego se determina el signo de toda la expresión en cada intervalo, la solución será todos aquellos intervalos que den signo negativo.

x = -2 x = -0,7 x = -0,1 x = 1

(-∞,-1) (-1,-3/5] [-3/5,0) (0,+∞).

-5x - 3 + + - -

x + 1 - + + +

x - - - +

0)1(35 ≤+

−−xx

x + - + -

Solución total: x ∈ (-1,-3/5] ∪ (0,+∞)

Método de Sturm: los pasos son similares al método de las barras,

pero en lugar de hacer una tabla, se estudia el signo de toda la expresión

en cada uno de los intervalos, sobre la misma recta, es decir, la última fila

de la tabla anterior; tomando en cada intervalo los valores de prueba

correspondiente, a saber:

x = -2 x = -0,6 x = -0,1 x = 1

+ + + + + + - - - - +++++ - - - - - - - - -

-1 -3/5 0

Luego la solución de la inecuación dada es: x ∈ (-1,-3/5] ∪ (0,+∞)

Ejercicios:

1.- Resolver las siguientes inecuaciones:

a.-

b.- c.-

2.- Problema de aplicación:

La relación entre escalas de temperatura Fahrenheit y Celsius está

dada por: C = (5/9).(f – 32)

Exprese los valores de C correspondientes a 60 ≤ f ≤ 80 por medio de una desigualdad

x

x

x

x

+<

−+

21

1

-1 < 527 x−

≤ 5

x

x

x

x 3

1

1 +≤+−