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Objetos didácticos para el
aprehendizaje del concepto de función en estudiantes
de grado noveno
John Faibert Quintero Oviedo
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Palmira, Colombia
2013
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de
función en estudiantes de grado noveno
John Faibert Quintero Oviedo
Trabajo Final presentado como requisito parcial para optar al título de:
Magister en la Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales
Directora:
Lucy Janeth Medina
M. Sc. en Matemáticas
Universidad Nacional de Colombia
Facultad de Ingeniería y Administración
Palmira, Colombia
2013
Contenido III
A mi familia, por su irrestricto apoyo, sacrificio
y comprensión.
Una experiencia no es una verdadera
experiencia hasta que no se reflexiona sobre
ella.
John Dewey
Agradecimientos
Gracias a mis estudiantes y maestros. Estar en medio me concedió el beneficio de
aprender de ambas partes, a tal punto que ello resulta inconmensurable.
Resumen El presente Trabajo Final presenta una propuesta didáctica para el aprehendizaje de las
funciones, centrado en estudiantes de grado noveno. Consiste en el diseño y desarrollo
de dos objetos didácticos que favorecieron la apropiación conceptual y operativa sólida
del objeto matemático función. Éstos fueron validados en el aula con dos grupos de 20
estudiantes cada uno, de dos instituciones educativas localizadas en contextos distintos
en la Santiago de Cali, Colombia. Para tal fin, se implementó como proceso metodológico
la Ingeniería Didáctica, concebida por De Faria (2006) como un conjunto de secuencias
de clase que de manera coherente un profesor – ingeniero, aplica para un proyecto de
aprendizaje de un contenido matemático. Se centró en la identificación y atención de
obstáculos cognitivos asociados al concepto de función y sus distintas representaciones
semióticas, evidenciables en los educandos del grado noveno de la Institución Educativa
Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada Familia de
Cali. Producto de la implementación de la estrategia metodológica fue posible identificar
diez obstáculos cognitivos, haciéndose muy notorias la pobreza de los educandos en
cuanto a su memoria semántica y en su manejo del lenguaje matemático. Para la
superación de los obstáculos se diseñaron, desarrollaron e implementaron tres objetos
didácticos: un objeto manipulativo virtual, un objeto manipulativo físico y una secuencia
didáctica; centrados en la apropiación conceptual y operativa del objeto matemático
función. El análisis a posteriori, mostró que un setenta y tres porciento de los estudiantes
logró una óptima apropiación de los saberes cognitivos y procedimentales objeto de
estudio. Finalmente, se presentan el análisis de los resultados y una serie de
recomendaciones que favorecen la apropiación del concepto de función por parte de los
educandos del grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial José María
Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada Familia.
Palabras clave: Obstáculo cognitivo, función, ingeniería didáctica, Objeto físico de
aprendizaje, secuencia didáctica, juegos matemáticos, manipulativos.
VI Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Abstract
This final work presents a methodological approach to the aprehendizaje of functions,
focusing on students of grade nine. It consists of the design and development of two
learning objects that favored the appropriation conceptual and operational solid
mathematical object function. These were validated in the classroom with two groups of
20 students each, two educational institutions located in different contexts in Cali,
Colombia. To this end, we implemented as methodological process Engineering
Teaching, designed by De Faria (2006) and Douady (1996) as a set of sequences of
class consistently a teacher - engineer, applied for a learning project content
mathematician. Focused on identifying and addressing barriers related cognitive function
concept and its various semiotic representations, put into evidence in the students of the
ninth grade of Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar and
the Colegio de La Sagrada Familia. Product of the implementation of the methodological
strategy was possible to identify ten obstacles cognitive, becoming very notorious poverty
of the students in their semantic memory and handling of mathematical language. For
overcoming the obstacles, we designed, developed and implemented three learning
objects: an object manipulative virtual, an object manipulative physical and teaching
sequence; focusing on the appropriation conceptual and operational mathematical object
function. The post hoc analysis showed that seventy-three percent of students achieved
an optimal appropriation of cognitive knowledge and procedural under study. Finally, we
present the analysis results and a series of recommendations that favor the appropriation
of the concept of function by the students from the ninth grade of Institución Educativa
Técnico Comercial José María Vivas Balcázar and the Colegio de La Sagrada Familia.
Keywords: cognitive obstacle, function, educational engineering, physical object of
learning, teaching sequence, math games, manipulative.
VII Resumen y Abstract
Contenido
Pág.
Resumen……………………………………………………………………………………….…VI
Lista de figuras………………………………………………………………………………..…X
Lista de tablas…………………………………………………………………………..……….XI
Introducción………………………………………………………………………………………1
Definición del problema …………...…………………………………………………….…….3
Justificación ……………………………………………………………………………….……4 Objetivos ………………………………………………………………………………………….6
1. Marco referencial.........................................................................................................7
1.1 Referentes teóricos………………………………………………………………..……7
1.2 Desarrollo histórico del concepto de función……………………………..……..….16
1.3 Las funciones en la educación matemática escolar…………...…….…...............20 2. Metodología…………………………………………………………………………………..24
2.1 Marco metodológico…………………………………………………………..….……24
2.2 Diseño metodológico……………………………………………………………...…..25
2.2.1 Caracterización de la población ……………………………..……………..27
2.2.2 Fase de planeación…………………………...……………………..….…...30
2.2.3 Fase de diseño y experimentación………………………..………………..34
2.2.4 Fase de validación y análisis a posteriori……………………………........42
VIII Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
3. Resultados y análisis de losresultados…………………………………………….…..46
3.1 Resultados…………………………………………………………...........................46
3.2 Análisis de los resultados………………………...…………………………………..50
4. Conclusiones y recomendaciones………………………………………………..…….52
4.1 Conclusiones………………………………………………….………………………..52
4.2 Recomendaciones………………………………………………………….………….57
A. Anexo: Conducta de entrada……………………………………………………………..59
Bibliografía………………………………………………………………………………………55
IX Contenido
Lista de figuras
Pág.
Figura 1-1: Mapa mental de los obstáculos cognitivos…………………………….......13 Figura 2-1: Diagrama de las fases de proceso metodológico………………..……......26 Figura 2-2: Edades de los estudiantes del grupo experimental …………..……...…..27
Figura 2-3: Distribución de los estudiantes del grupo experimental por sexo ……...28
Figura 2-4: Distribución de los estudiantes del grupo experimental como repitentes y no repitentes …………………………………………………………….....28 Figura 2-5: Procedencia de los estudiantes del grupo experimental de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar…………………………………………………...29 Figura 2-6: Respuestas de los estudiantes respecto de la pregunta ¿considera usted que tiene o ha tenido dificultades en el área de matemáticas?................29 Figura 2.7: Niveles de apropiación de los educandos según prueba diagnóstica y rúbrica de indicadores………………………………………………………..33 Figura 2-8: Primera validación del OFA………………………...…………………........36 Figura 2-9: Proceso de validación inicial con educandos del grupo experimental ...37
Figura 2-10: Diseño final del OFA……………………………...………..………………..39 Figura 2-11: Componentes del OFA ………………………………………………….…..40 Figura 2-12 Interacción de las estudiantes de un mismo equipo del Colegio de La Sagrada Familia…………………………………………………………..40 Figura 2-13: Revisión del producto final…………………………………………..……...41 Figura 2-14: Momentos de la actividad en un aula de clase del grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar.….41 Figura 2-15 : Producto de la etapa final de la actividad…………………..………….…41 Figura 3-1: Resultados conducta de salida frente a los indicadores de superación
de obstáculos cognitivos…………………………………..……………….48
X Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Lista de tablas
Pág.
Tabla 1-1: Desarrollo histórico del concepto de función hasta el año 1700. ..........…..17
Tabla 1-2: Desarrollo histórico del concepto de función de 1700 a 1830 ............. ……18
Tabla 1-3: Desarrollo histórico del concepto de función de 1830 a 1940. ................. ...19
Tabla 1-4: Síntesis del estado del arte en relación al concepto de función…………....21
Tabla 2-1: Posibles obstáculos cognitivos en estudiantes del grado noveno asociados al concepto de función. ....................................................................... ……..31
Tabla 2-2: Rúbrica diagnóstica……………………………………………………………...32
Tabla 3-1: Indicadores asociados a los obstáculos después de la intervención en el aula………………………………………………………………………….…..47
Tabla 3-2: Análisis de la superación de los obstáculos cognitivos……………..……...49
XI Contenido
Introducción
El estudio de las funciones ocupa un lugar relevante en la formación matemática escolar
y universitaria. Muchos de los desarrollos científicos y tecnológicos, tan comunes hoy,
han sido posibles gracias a la modelación matemática que involucra funciones y a la
comprensión de múltiples fenómenos naturales, económicos y sociales que ellas
permiten.
Su desarrollo como objeto matemático ha sido determinado, desde la antigüedad, por un
gran número de aportaciones teóricas de matemáticos y hombres de ciencia
prominentes, que de modo explícito y consciente o inconsciente y tangencial
coadyuvaron a estructurar las definiciones formales que conocemos y aceptamos hoy,
particularmente, la más difundida en los textos escolares: una función f de un conjunto A
a un conjunto B, es una regla de correspondencia que asigna a todo y cada elemento de
A un único elemento f(x) en B.
En Colombia, habitualmente el estudio de las funciones empieza a abordarse de manera
más o menos formal en la educación básica, más concretamente en los grados octavo y
noveno. No obstante, el concepto de función tiene asociados otros conceptos que
resultan trascendentales para su comprensión y apropiación por parte del educando.
Esto lo convierte en un objeto matemático complejo, que demanda un cuerpo de
conocimientos básico para su correcta conceptualización.
En la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar de la comuna
10 de Santiago de Cali, con frecuencia los estudiantes de la media técnica (grados
décimo y undécimo) evidencian dificultades en el área de matemáticas cuando abordan
conceptos como el de periodicidad, covariación, crecimiento, límite, derivada, entre otros.
Esto se hace visible, al analizar los resultados del proceso evaluativo escolar y de los
resultados de pruebas estandarizadas como las pruebas saber 11.
Esto no es exclusivo de esta institución, se presenta incluso en instituciones educativas
que atienden estudiantes de otro nivel socioeconómico y de otros niveles de formación,
tal es el caso de los estudiantes que toman los cursos de cálculo en las universidades. Lo
cual ha generado múltiples estudios sobre cómo se apropian los estudiantes del
concepto de función y que mecanismos de orden didáctico y/o epistemológico inciden en
un “mejor aprendizaje”. Varias de estas investigaciones se abordan en este estudio,
consolidando un estado del arte.
Siendo un concepto tan relevante en la matemática escolar es motivo del presente
estudio, que busca identificar en los educandos de grado noveno de la Institución
Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada
Familia, identificar qué obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico
generan un aprendizaje considerado negativo y cómo pueden superarlo mediante el
diseño, desarrollo e implementación de objetos didácticos. Para este fin, se empleó la
Ingeniería Didáctica como metodología; centrando el proceso metodológico en cuatro
fases: Planeación, Diseño, Experimentación y Validación.
Fue necesario, indagar sobre la epistemología del las funciones; y consolidar una base
teórica fuerte que sustentara el estudio y los objetos didácticos concebidos para la
experimentación. Se destacan las afirmaciones de Godino (2004) respecto de la
profundidad con la que debe abordarse el estudio de cualquier noción matemática en
procura del saber que resulte más cercano al saber erudito. Sólo así el educando estará
en capacidad de enfrentar con éxito situaciones problémicas en distintos contextos y
cimentar una base de conocimientos sólidos que le posibiliten acceder a conceptos
estructuralmente más complejos.
El diseño, desarrollo e implementación de los objetos didácticos de aprehendizaje y su
posterior validación en ambas instituciones, generó información de tipo cualitativo y
cuantitativo que sustentan la factibilidad de implementar dos objetos didácticos en la
mediación del conocimiento alrededor de las funciones: un Objeto Físico de Aprendizaje
(OFA) y una secuencia didáctica, apoyada por una guía académica. Ambos objetos,
consideraron el trabajo cooperativo y el aprendizaje colaborativo, así como la lúdica y el
uso de manipulativos como mediadores en el proceso educativo.
2 Introducción
Definición del problema
Los desempeños de los estudiantes de los grados décimo y undécimo, de la jornada de
la tarde, de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar de
Cali en el área de matemáticas, en relación a conceptos asociados a las funciones, tales
como dominio y rango, continuidad, interceptos con los ejes, máximos y mínimos,
simetría de la gráfica de una función, determinación de una función inversa, aplicaciones
de las funciones, entre otros, no son satisfactorios. Prueba de esto son los bajos
desempeños de los educandos cuando son evaluados por sus docentes o por
evaluadores externos mediante la aplicación de pruebas estandarizadas.
En la discusión pedagógica, con frecuencia los maestros resaltan que los educandos
evidencian dificultades en el manejo del número y sus múltiples representaciones, el
desconocimiento o apropiación inadecuada de las operaciones entre conjuntos, las
dificultades para localizar puntos en un sistema coordenado y limitaciones al transformar
expresiones algebraicas en otras equivalentes, la modelación de situaciones en
contextos matemáticos y no matemáticos y en la interpretación de tablas y gráficas.
Comúnmente, los docentes de matemáticas, en torno a las funciones en la educación
básica, limitan su enseñanza a la construcción de tablas a partir de fórmulas y su
representación en el plano coordenado; sin ahondar en el análisis de sus
características, generalidades, relaciones, transformaciones y aplicaciones. Merece la
pena preguntarse si los procesos de mediación entre los saberes y los estudiantes, de
los cuales son responsables los maestros, están siendo eficaces. Tomando dicho
interrogante como premisa, se plantea como problema de investigación: ¿Cómo lograr
en los estudiantes de grado noveno de la Institución Educativa Técnico Comercial
José María Vivas Balcázar de Cali el aprehendizaje del concepto de función y los
subconceptos asociados a éste?
3 Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Justificación
El concepto de función es, quizá, el concepto más amplio y relevante de la educación
matemática escolar. Su estudio involucra múltiples saberes que el educando debe
estructurar y emplear durante todo su proceso formativo y que se va haciendo más
formal a medida que cursa grados superiores.
La noción de función, de manera intuitiva, se encuentra instalada en el lenguaje natural:
los impuestos que pagan las personas están en función de sus ingresos, el consumo de
gasolina en un viaje es función de los kilómetros recorridos, los recargos en el salario de
un obrero dependen de la cantidad de horas nocturnas y festivas laboradas o el número
de escaños obtenidos por un partido político después de unas elecciones es función del
número de votos obtenidos, son algunos ejemplos. Las aplicaciones de las funciones se
extienden a campos como el de las ciencias naturales, las ciencias sociales, las ciencias
de la salud, la ingeniería y las ciencias económicas. Prueba de ello son los modelos
matemáticos que determinan el crecimiento de un grupo de bacterias en un cultivo o los
modelos funcionales que establecen la relación costo – beneficio de un producto o
servicio.
Por otra parte, las funciones han tenido un papel histórico fundamental en el desarrollo
de las matemáticas y otras ciencias, lo cual puede constatarse, por ejemplo, en los
registros de datos astronómicos en las tablas que se encuentran en el Almagesto1,
escrito por Ptolomeo hacia el año 150 d.C.
1 El ¨Almagesto¨ es un gran tratado astronómico escrito por Ptolomeo en el que se presenta la
totalidad de la astronomía matemática de la época de una forma lógica y comprensible, otorgándole autoridad en el campo de la astronomía científica. MINGUEZ, Carlos. Prefacio al Almagesto de Ptolomeo. La Filosofía de los Científicos. Universidad de Valencia (1995), 17-35.
4 Introducción
En la práctica educativa, el estudio riguroso del concepto de función presenta a los
estudiantes de la educación básica, media y superior múltiples dificultades. Esto puede
obedecer a una inadecuada cimentación en los grados de la educación básica de
conceptos como el de par ordenado, producto cartesiano, relaciones entre conjuntos,
representación sagital y cartesiana, proporcionalidad y covariación entre magnitudes y
del desconocimiento, cada vez más marcado de los símbolos propios del lenguaje
matemático.
Es común observar dificultades en el manejo del concepto de función y los subconceptos
asociados a éste en los estudiantes que toman cursos de precálculo, trigonometría o
cálculo. En muchos casos sólo son capaces de aplicar una regla para determinar si una
relación es o no una función, o también, evaluar números en una expresión algebraica.
En el mejor de los casos, son capaces de representar gráficamente algunas funciones de
tipo continuo.
Abordar el estudio de las funciones con la convicción de mejorar los procesos de
enseñanza y aprendizaje, diseñando estrategias e instrumentos didácticos más efectivos
y eficientes, es un reto educativo interesante para ser objeto de estudio, diseño y
desarrollo.
5 Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Objetivos
Objetivo general
Desarrollar objetos didácticos que faciliten a los estudiantes del grado noveno de
educación básica de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas
Balcázar el aprehendizaje del concepto de función y los subconceptos asociados a éste.
Objetivos específicos
Identificar obstáculos cognitivos que pueden condicionar la estructuración del
concepto de función los estudiantes del grado noveno.
Diseñar objetos didácticos que faciliten el aprehendizaje, por parte de los estudiantes
del grado noveno, de los saberes conceptuales y procedimentales asociados
al concepto de función.
6 Introducción
1. Marco referencial
1.1 Referentes teóricos
Definir un modelo que direccione el proceso de formación matemática en las instituciones
educativas, que responda a las necesidades de los educandos y que sea acorde al
modelo pedagógico institucional, es un requisito infranqueable. Sin este direccionamiento
no es viable emprender un proceso de educación matemática exitoso. La definición de
las estrategias y los objetos didácticos que se adecúen al contexto institucional,
demandan un ejercicio intelectual y pedagógico permanente, que resultará siempre
inacabado, debido a la dinámica de la población estudiantil que año a año conforma las
escuelas y colegios.
El conocimiento de la población estudiantil, de sus necesidades cognitivas, así como el
horizonte institucional son el punto de partida para definir las estrategias metodológicas a
implementar para direccionar los procesos de enseñanza y de aprendizaje de cada una
de las áreas fundamentales. Dichas estrategias no pueden ser ajenas al modelo
pedagógico institucional que delimita la acción pedagógica en cada centro educativo. No
obstante, el currículo al ser considerado flexible, favorece el que se implementen
estrategias metodológicas diversas y novedosas que puedan responder de mejor manera
a las necesidades cognitivas de los educandos.
Citando las palabras del profesor Carlos Augusto Hernández (2010)2:
[…] podría decirse que actualmente hay un paradigma
hegemónico: el paradigma del constructivismo, el aprendizaje por
problemas, la autorregulación, el aprendizaje significativo, el
2 HERNÁNDEZ, Carlos Augusto. Aproximación a un estado del arte de la enseñanza de las
ciencias en Colombia. Bogotá: Universidad Nacional de Colombia, 2010. 72 páginas.
aprendizaje meta cognitivo, la teoría y el análisis del cambio
conceptual, entre otras.
Todas parecen converger en un principio: el conocimiento se
construye; lo que hoy se pone en tela de juicio es la eficacia de la
estrategia transmisionista, el desconocimiento de las distancias
entre el conocimiento previo de los estudiantes y el conocimiento
científico que pretende enseñar la escuela…
[…] pero hay confluencias respecto de la necesidad de considerar
las ideas previas de los estudiantes, de reconocer la complejidad
de los cambios conceptuales en que consiste el aprendizaje, de
invitar a los estudiantes a exponer sus puntos de vista, escuchar
los de los compañeros y argumentar buscando un consenso, de
evaluar para conocer, tomando la evaluación como punto de
partida para la elaboración de propuestas de intervención y de
considerar no sólo los contenidos escolares sino los métodos de
construcción de conocimiento y los procesos mentales
involucrados en esa construcción.
El maestro debe definir los referentes teóricos que fundamentarán su labor y cuáles son
las estrategias que empleará en procura de lograr niveles de apropiación conceptual y
procedimental óptimos para formar ciudadanos competentes de acuerdo a las
necesidades de sus educandos y el contexto en el que desempeña su labor; para esto es
necesario que realice un diagnóstico objetivo de la realidad de sus educandos y de sus
conceptos previos respecto del área que orienta. No es un acto responsable que el
maestro, movido simplemente por su intuición, “planifique” su clase sin conocer la
realidad de sus educandos y sin soportar su labor formadora en un piso teórico
disciplinar y pedagógico sólido. Es necesario que el maestro explore, se documente, se
vincule a redes pedagógicas y conozca de otras experiencias que pudieron resultar o no
exitosas.
El concepto de función, por su amplitud y relevancia en las ciencias experimentales y
sociales, es un objeto de estudio interesante que se espera posibilite un cambio de
mentalidad frente a las matemáticas, concebidas como ciencia dura; se encuentra
8 Capítulo 1 : Marco referencial
estrechamente ligado al estudio del cálculo. De hecho, la enseñanza del cálculo
constituye uno de los mayores desafíos de la educación matemática actual, ya que su
aprendizaje demanda procesos de pensamiento de orden superior en el que se
involucran procesos tales como la abstracción, el análisis y la demostración, que deben
cimentarse desde la educación básica. Al respecto, Vrancken y otros3 (Año sin
establecer) coinciden en que los alumnos con frecuencia fracasan por tener una
preparación inadecuada, que hace evidente su desconocimiento de conceptos
algebraicos, numéricos y geométricos.
No obstante, la manera como se acerca al educando al concepto de función puede
resultar equivocada. Esto puede evidenciarse en los comúnmente bajos desempeños de
los estudiantes en las pruebas de estado en matemáticas y los cursos de cálculo, donde
se precisa un nivel de conceptualización y formalización sólido para el análisis de la
variación y el comportamiento de las funciones en situaciones problémicas diversas.
Lograr un nivel de apropiación conceptual y procedimental significativa respecto de las
funciones debe ocupar el interés de las matemáticas en la Educación Básica. Esto debe
concebirse de modo que, para los estudiantes, el estudio de las funciones tenga
significado. A la luz de los resultados en algunas pruebas diagnósticas, aplicadas a los
jóvenes educandos, es necesario replantear los procesos de enseñanza y aprendizaje
frente al concepto de función en los estudiantes de grado noveno, puesto que la manera
en que tradicionalmente se ha estudiado el concepto de función en la formación
matemática escolar ha permitido, escasamente, el aprendizaje memorístico de su
definición y la representación gráfica y tabular de algunas funciones de variable real, sin
que éstos tengan significado para ellos. Esta aseveración coincide con las afirmaciones
de López (2005), citado por Sarmiento y Manzanilla (2010).
La búsqueda de objetos didácticos y de situaciones problema, cercanas al entorno de los
educandos, que vinculen el concepto de función y lo contextualicen, permitiría que los
3 VRANCKEN, Silvia; GREGORINI, María Inés; ENGLER, Adriana; MÜLLER, Daniela;
HECKLEIN, Marcela. Dificultades relacionadas con la enseñanza y el Aprendizaje del concepto de límite. Facultad de Ciencias Agrarias. Universidad Nacional del Litoral Esperanza. Provincia de Santa Fe (Argentina). Año sin establecer, probablemente posterior al 2000. 11 páginas.
9 Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
estudiantes comprendieran la aplicación del mismo y por ende les facilitaría su
aprehensión, puesto que tomaría para ellos significado y valor. De este modo, se podría
lograr un nivel de formalización adecuado del concepto de función, que el estudiante
aprenderá y podrá emplear posteriormente, cuando estudie trigonometría o cálculo.
Al respecto, afirma Godino (2004), citado por Bencomo, Godino y Wilhelmi (2004):
Cuando nos interesamos por la enseñanza y aprendizaje de
cualquier noción matemática no podemos limitarnos a explicar la
definición más general posible; cualquier definición de un
concepto matemático es como la punta del iceberg de un sistema
de prácticas operativas y discursivas, relativas a diversos
contextos de uso, que constituyen su origen y razón de ser.
Específicamente, del concepto de función y de cómo éste ha sido abordado desde una
perspectiva teórica o práctica y de cómo se plantea en los textos escolares que,
comúnmente, hemos empleado los educadores matemáticos, existen múltiples estudios
entre los cuales se destacan los realizados por García y Llinares4 (1995), García,
Serrano y Espitia (1997), Godino, Wilhelmi y Bencomo (2004), entre otros. Sus
conclusiones coinciden en indicar que los libros de texto escolares, comúnmente
ofrecen al lector distintas representaciones de una idea o concepto poco estructurado de
función, en espera que este lo comprenda.
El concepto de función, en particular admite dichas representaciones; lo que realmente
resulta inquietante es la superficialidad con la que pueden presentarse dichas
representaciones, modificando sustancialmente el concepto y en consecuencia
subyacen en obstáculos didácticos que dificultan la aprehensión de saberes más
estructurados en relación al concepto inicial. Esto conduce a reflexionar en torno al
papel que tendrían las actividades y ejercicios planteados en los textos y por los
4 GARCÍA, Blanco Mercedes; LLINARES, Ciscar Salvador. El concepto de función a través de los
textos escolares: reflexión sobre una evolución. Revista Qurrículum / Número 10 y 11, Noviembre
de 1995. ISSN 1130-5371. Publicación del Departamento de Didáctica e Investigación Educativa de la Universidad de La Laguna, España. Páginas 103-115.
10 Capítulo 1 : Marco referencial
educadores matemáticos en relación a los modos de representación de las funciones y si
éstos permiten al educando acceder de manera estructurada y pertinente a un concepto
de función próximo al del conocimiento científico. Justamente, los aspectos didácticos
acerca del concepto de función y de cómo éste es comprendido por los estudiantes y los
maestros, han motivado investigaciones en el campo de la educación matemática en
países como Colombia, España, Estados Unidos, Inglaterra y México.
Las investigaciones sobre el concepto de función y como se presenta a los educandos
se han centrado principalmente en identificar los sistemas de representación y los
procesos de pensamiento necesarios para la comprensión del concepto. Con este
enfoque se encuentran amplios estudios, entre los que se destacan los de García,
Serrano y Espitia (1997, págs. 36–38), quienes citan a Vinner y Dreyfus (1983),
Markovits (1986), Janvier (1992), Sierpinska (1992); Cotret (1985); Sfard (1992) y
Dubinsky (1992), entre otros.
En su estudio, El concepto de función en textos escolares, Espitia, García y Serrano
(1997, pág. 37), indican que de tales investigaciones se han logrado caracterizar dos
perspectivas para analizar la comprensión: la perspectiva del proceso y la del objeto. En
la primera, la noción de función se asocia a la idea de dependencia entre variables; no
obstante, se corre el riesgo de trivializar el concepto si se le enfoca desde la
manipulación algebraica de valores numéricos sin relacionarlo con fenómenos reales de
cambio que impliquen modelar variaciones. En la segunda perspectiva es necesario
emplear y relacionar entre si los distintos sistemas de representación (fórmula, tabla,
diagrama sagital, máquina funcional, gráfica o expresión verbal), sin privilegiar alguno,
puesto que pueden generarse significaciones restringidas del concepto, estableciendo
así obstáculos didácticos. Tales obstáculos, en palabras de Trujillo, Castro y Guerrero5
(2010, pág. 111) son producto de la forma como se presenta y gestiona la enseñanza de
un saber específico, bajo el marco de un proyecto educativo. Bajo este enfoque, los
obstáculos didácticos pueden considerase una categoría de los obstáculos cognitivos,
5 Myriam Trujillo, Nivia Castro y Juan de Jesús Medina (q.e.p.d.), publicaron en 2010 su estudio
con estudiantes de primer semestre de ingenierías de la Universidad de La Salle, centrados en el impacto de la calculadora graficadora como instrumento didáctico en el aprendizaje del concepto matemático de función y en la mediación de situaciones didácticas que incluyen su uso en la superación de obstáculos cognitivos en el aprendizaje del concepto matemático de función.
11
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
puesto que los primeros pueden dar origen a estos últimos. En su estudio, estos autores
citan las investigaciones de Sierpinska (1992) y la de Álvarez y Delgado (2001) respecto
de los obstáculos cognitivos sobre el concepto de función.
En estas investigaciones se aduce que los errores de los estudiantes y sus
incomprensiones se encuentran arraigadas, parcialmente, por las prácticas de
enseñanza que presentan el saber matemático en forma acabada y la manera como los
estudiantes acceden a este saber. Señalan que pese a ello, es posible superar dichos
errores e incomprensiones a través nuevas prácticas de enseñanza que incorporen
nuevos medios a la actividad matemática escolar.
Un obstáculo (Trujillo, Castro y Guerrero, 2010, pág.109) se hace evidente a partir de los
errores asociados a él, pero dichos errores no son fruto del azar; pueden ser
reproducidos y permanecen en el tiempo y no son necesariamente explícitos; su
desaparición es paulatina y empieza a gestarse una vez que el sujeto rechaza de su
sistema cognitivo consciente el “conocimiento que no se adapta”.
En este sentido, un obstáculo es conocimiento mediado por la cultura, que ofrece
respuestas adecuadas en contextos particulares, pero que no permite resolver
adecuadamente situaciones en otros contextos, es decir que no es universal. Como dicho
conocimiento, funciona en contextos que son familiares para el sujeto, éste se resiste a
modificarlos (Brousseau, 1983, citado por Trujillo, Castro, Guerrero, 2010, pág.111).
La definición de obstáculo cognitivo, sus orígenes y cómo se visibiliza, se ilustra en el
mapa mental de la Figura 1-1.
12 Capítulo 1 : Marco referencial
Figura 1-1 Mapa mental de los obstáculos cognitivos.
OBSTÁCULO COGNITIVO
Barrera franqueable
es una
que conlleva a
Dialécticas
cognoscitivas
entre
Educando Objeto de
conocimiento
que genera
Conocimiento
en sentido
Negativo Positivo
porque se interpone al
porque es
Parte constitutiva
Conocimiento que
debe ser conocido
Se hace visible a través del
Error
Sistemático
Resistente a ser modificado
No idiosincrásico
Exige toma de conciencia del
mismo
Orígenes
Puede tener diferentes
Ontogenético
Didáctico
Epistemológico
Consecuencia de limitaciones
fisiológicas, entre otras, del sujeto
durante su desarrollo
Propio de la manera de presentar y
gestionar la enseñanza, delimitada
por un modelo educativo
Ligado a la naturaleza
del conocimiento mismo y que es propio
de él. Establece un paradigma resistente a
evolucionar
del
Validado por comunidades científicas y académicas
que ha sido
como
Si es
al determinarlo permite definir los
Subsistemas
Alumno Maestro Saber
sobre los cuales ejercer
Acciones
conducentes a que
Sujeto
se apropie del
13
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Es necesario que un maestro identifique, en principio, los obstáculos cognitivos de sus
educandos frente al objeto matemático que estudia. Deberá reflexionar en torno a los
efectos que, en el aprendizaje de sus educandos, tiene su práctica pedagógica, dado que
resulta posible que reiteradamente haya reproducido “errores”, sin tomar consciencia de
ello, suscitando obstáculos de tipo didáctico. Acto seguido, el maestro deberá diseñar,
rediseñar, adaptar y aplicar situaciones y objetos didácticos que permitan a sus
estudiantes superar los obstáculos.
Las matemáticas que tradicionalmente trabajan los estudiantes en la escuela deben
enseñarse con un enfoque distinto, de modo que los niños y jóvenes alcancen niveles de
competencia adecuados y aprendan a valorarla, sintiéndose seguros de su capacidad
para hacer matemáticas, lleguen a resolver problemas y aprendan a razonar y
comunicarse matemáticamente (N.C.T.M. 1991, 2000). Esto conlleva a un cambio
sustancial en la forma como los educadores matemáticos establecen el puente entre el
conocimiento científico matemático y el educando, para lo cual deberá emplear recursos
suficientemente atractivos para el estudiante sin descuidar el rigor de los conceptos.
Este enfoque, tal como lo expresan Chamoso y Durán (2004), implica que las
matemáticas dejen de verse como un cuerpo estático de conocimientos que se deben
recibir, aprender y dominar; dando paso a unas matemáticas en las cuales la exploración,
la construcción de conocimiento y el aprendizaje colaborativo (que ofrece múltiples
ventajas como la adquisición de competencias interpersonales y de trabajo en equipo,
visibles en la realización de tareas) que conduzcan a la formalización y estructuración de
los saberes conceptuales y procedimentales como estadio final y no como el punto de
partida.
Es evidente que para lograr una verdadera educación matemática, se requiere de una
dinámica cognitiva distinta en la cual se den interrelaciones entre, según Brousseau
(1997), citado por Chavarría (2006), tres elementos fundamentales: el estudiante, el
profesor y el medio didáctico (facilitado por el profesor), en el que el primero construye su
conocimiento. Todo lo anterior invita al educador matemático a proveer medios didácticos
que faciliten el aprehendizaje (entendido como la apropiación significativa de saberes).
Así, el juego genera escenarios en los que la construcción de conocimiento y el
aprendizaje colaborativo están involucrados directamente.
14 Capítulo 1 : Marco referencial
Para Piaget, citado por Casas (1998), “Los juegos ayudan a construir una amplia red de
dispositivos que permiten la asimilación de toda la realidad, incorporándola para revivirla,
dominarla o compensarla. De tal modo, el juego es esencialmente la asimilación de la
realidad al yo”.
Para Casas (1998), los juegos en matemáticas son útiles en tres momentos y con tres
finalidades:
1. Para presentar contenidos matemáticos.
2. Para trabajar a la vez los contenidos matemáticos que se presentan en clase.
3. Para afianzar contenidos matemáticos ya presentados.
Por otra parte, algunas tesis sostienen que diferentes representaciones de los conceptos
matemáticos son necesarias para su comprensión. Son muchos los investigadores que
han centrado su interés en el concepto de representación y en analizar su papel en los
razonamientos de los educandos. El mejor ejemplo es el de Duval (1999), citado por
Lupiañez y Moreno (2001), quien afirma que las representaciones (notaciones
simbólicas, notaciones gráficas o manifestaciones verbales) se clasifican en registros de
representación según sus características.
El concepto de función tiene asociados registros gráficos, algebraicos, tabulares y
verbales, entre otros; resulta importante reconocer que al interior de cada registro se
pueden llevar a cabo procesamientos o transformaciones y entre diferentes registros se
pueden realizar conversiones o transformaciones. Tal es el caso de la operación de
conversión que se da cuando se traduce información de una tabla sobre una función en
una gráfica.
Se propuso aportar medios didácticos que posibilitara a los estudiantes la comprensión
y apropiación de las diferentes representaciones semióticas de las funciones reales y una
adecuada estructuración del concepto de función que les permita, durante su proceso de
formación matemática, pensar las funciones no sólo en términos de manipulaciones
simbólicas y técnicas operativas, sino comprender esquemas más amplios en cuanto a la
estructura conceptual de la modelación de fenómenos en los que hay covariación entre
magnitudes (valores de entrada y de salida) y que son necesarios para la comprensión
15
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
de objetos matemáticos más “fuertes” como en el cálculo, indispensable en la formación
de futuros científicos, ingenieros, economistas o matemáticos (Carlson y Oehrtman,
2005).
1.2 Desarrollo histórico del concepto de función
No se precisa el origen exacto del concepto de función. Algunos investigadores lo
relacionan con los trabajos de astronomía de los babilonios, de Ptolomeo o de los árabes
y con el carácter funcional de otros cálculos matemáticos de la antigüedad. Otros lo
sitúan en la misma época en que Descartes publica su trabajo, “Le Géometrie”, que
marcó las bases de la geometría analítica. Por otra parte, a mediados del siglo XVII se
conjugaron una serie de sucesos matemáticos de gran trascendencia para el análisis
numérico y el cálculo infinitesimal que posibilitaron abordar la idea de función con
suficiente generalidad como para formular las primeras definiciones de este concepto.
El desacuerdo en torno a su origen es entendible, dado que es un concepto de carácter
muy amplio, como lo son el concepto de número y el de medida. En sus publicaciones
sobre la historia de las matemáticas, O'Connor y Robertson6 indican que es común
encontrar definiciones de distintos matemáticos sobre qué son las funciones, enfocadas
desde el estudio de las relaciones entre conjuntos o desde el estudio de las
dependencias entre cantidades variables. Afirman que el concepto de función debió
aparecer tempranamente en las etapas de desarrollo de las matemáticas.
A continuación se presenta una síntesis de la epistemología del concepto de función, que
diferencia cuatro periodos: el primero desde el 2000 a. C. hasta el siglo XIV, el segundo
entre los siglos XV y XVII, el tercero entre los siglos XVIII y XIX, finalmente el siglo
XX (Tablas 1-1, 1-2 y 1-3).
6 Edmund Robertson y John J. O'Connor son los editores de “Mac Tutor History of Mathematics
archive”, miembros de Sociedad Matemática de Londres.
16 Capítulo 1 : Marco referencial
Tabla 1-1. Desarrollo histórico del concepto de función hasta el año 1700
EDAD ANTIGUA - SIGLO XIV
2000 – 1600 a.C. Siglo II Siglo XIV
En las tablillas de barro del 2000 a. C. se encuentran tablas de cuadrados, cubos y recíprocos de los números naturales. Sin duda, definen funciones de los números naturales sobre sí mismos o de los números naturales sobre los racionales. También se encuentran modelos de crecimiento exponencial aplicados a cálculo de intereses sobre préstamos.
Ptolomeo realizó mediciones de las cuerdas de un círculo, registrándolas sistemáticamente en tablas, lo que esencialmente quiere decir que computó funciones trigonométricas. Además, generó modelos geométricos sobre el movimiento de los planetas, que figuran en el Almagesto. Es comprensible que no fuese consciente del concepto de función implícito en ello.
Hacia 1350, Nicolás de Oresme se aproximó al concepto de función mediante los análisis y consideraciones que realizó al describir las leyes de la naturaleza como leyes que dan una dependencia entre una cantidad y otra. Introdujo un método que empleaba coordenadas para representar gráficamente la variación de cualidades como las velocidades, con éste representó el movimiento uniformemente acelerado.
SIGLOS XV – XVII
Siglo XVII
La noción de una función aparece en una forma más estructurada, por primera vez, durante el siglo XVII en las escuelas de filosofía natural de Oxford y París. Es en ese momento cuando Galileo empezó a analizar, y a entender el concepto con mayor claridad. Sus estudios acerca del movimiento contienen evidencias sobre su nivel de comprensión de una relación entre variables.
Descartes afirmó que una curva podía dibujarse al permitir que una línea tome sucesivamente un número infinito de valores distintos. Descartes pensaba en términos de la magnitud de una expresión algebraica que toma infinitos valores a partir de una segunda magnitud, tomando un infinito número de valores.
Como otros tantos términos matemáticos, la palabra función fue usada por primera vez con significado no matemático. Leibniz escribió en 1673: “…otros tipos de líneas que, dada una figura, llevan a cabo alguna función”.
Johann Bernoulli, quien escribe sobre “funciones de ordenadas” en un artículo de 1698 sobre problemas isoperimétricos.
17
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Tabla 1-2. Desarrollo histórico del concepto de función de 1700 a 1830
SIGLOS XVIII - XIX
Euler7 estructuró una teoría general de curvas basada
en la idea de función que había desarrollado en Introductio in Analysin Infinitorum (1747), en la que la distinción cartesiana entre curvas geométricas y mecánicas aparece ya en terminología moderna de curvas algebraicas y trascendentes. Introdujo las coordenadas mediante el uso de un único eje sobre el que al fijar un punto como origen, define las abscisas y levanta ordenadas perpendiculares u oblicuas. En 1755, publicó “Institutiones Calculi Differentialis”, donde definió una función de manera totalmente general y “moderna”: […] “Si algunas cantidades dependen de otras del tal modo que si estas últimas cambian también lo hacen las primeras, entonces las primeras cantidades se llaman funciones de las segundas”... Categorizó las funciones como continuas y mixtas.
En 1746 D’Alembert publicó una solución al problema de una cuerda tensa que vibra. La solución, depende de la forma inicial de la cuerda e insistió en su solución que la función que describe las velocidades iniciales de cada punto de la cuerda tenía que ser continua, es decir, expresada mediante una sola expresión analítica. Euler objetó la restricción impuesta por D’Alembert, afirmando que, por razones físicas, expresiones más generales para la forma inicial tenían que permitirse.
SIGLOS XVIII - XIX
Condorcet retomó la definición general de Euler de 1755. Distingue tres tipos de funciones: funciones explícitas, implícitas dadas solo por ecuaciones no resueltas y funciones que se definen a partir de consideraciones físicas tales como las que son solución de una ecuación diferencial.
Fourier quien afirmó en 1805 que Euler estaba equivocado. Fourier demostró que algunas funciones discontinuas podían representarse por lo que hoy llamamos una serie de Fourier; con lo que la diferencia entre funciones continuas y funciones discontinuas de Euler no existía.
En 1829 Johann Dirichlet8, clarificó la diferencia entre una función y su representación.
7 Leonhard Paul Euler, es considerado el principal matemático del siglo XVIII, introdujo gran parte de la moderna terminología y notación matemática. En Boyer (2003, citado por Trujillo y Castro, 2010, pág. 112), Euler propuso una definición de función que hoy resultaría inaceptable, puesto el significado de expresión analítica.
8 Según Luzin (1998), el trabajo de Fourier llevaría finalmente a clarificar el concepto de función
cuando, en 1829 Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet, demostró algunos resultados concernientes a la convergencia de las series de Fourier y aplicó las funciones analíticas al cálculo de problemas aritméticos. Perfeccionó la definición y concepto de función. http://es.wikipedia.org/wiki/Peter_Gustav_Lejeune_Dirichlet
18 Capítulo 1 : Marco referencial
Tabla 1-3. Desarrollo histórico del concepto de función de 1820 a 1940
SIGLOS XVIII - XIX
En 1821, en “Course d'analyse”, dio una definición que hace de la dependencia entre variables el centro del concepto de función.
“Si cantidades variables son unidas entre ellas de tal modo que el valor de una de ellas está dado, se puede llegar a los valores de todas las otras; uno ordinariamente concibe estas distintas cantidades como expresadas mediante una de ellas, la cual entonces toma el nombre de variable independiente; las otras cantidades expresadas mediante la variable independiente son aquellas a las que se llaman funciones de esta variable”.
En 1838, Lobachevsky dio una definición de una función general, en la que aún se necesitaba que ésta fuera continua: “Una función de x es un número que está dado para cada x y que cambia gradualmente junto con x. El valor de la función puede estar dado mediante una expresión analítica o mediante una condición que ofrece una manera de probar todos los números y seleccionar uno de ellos o, finalmente, la dependencia puede existir pero ser desconocida”.
SIGLO XX
Edouard Goursat, en su Curso de Análisis Matemático en 1923, escribió: “Se dice que y es una función de x si a cada valor de x le corresponde un valor de y. Esta correspondencia se indica mediante la ecuación y = ƒ(x)”.
Esta definición es hoy aceptada por la comunidad matemática, pero resulta, por si sola, escueta y poco precisa.
Bourbaki9, en 1939, planteó una formulación general de función como una regla de correspondencia entre dos conjuntos, el dominio y el rango (Youschkevitch, 1976): “Sean E y F dos conjuntos, que pueden ser distintos o no. Una relación entre un elemento variable x de E y un elemento variable y de F se llama una relación funcional en y, si para
toda x E, existe un único y F el cual está en la relación dada con x. Dos relaciones funcionales equivalentes
determinan la misma función”.
Bourbaki también formuló una definición de función equivalente, como un conjunto de pares ordenados: “Una función del conjunto E en el conjunto F se define como un sub conjunto especial del producto cartesiano E x F”.
9 Nicolas Bourbaki es el nombre de un grupo de matemáticos franceses que en los años 30 del
siglo XX se propuso revisar los fundamentos de las matemáticas con una exigencia de rigor mucho mayor que la que entonces era corriente en esta ciencia. Inició la publicación de sus monumentales Elementos de Matemáticas de acuerdo con el nuevo canon de rigor y el método axiomático, pretendiendo cubrir las bases de todas las matemáticas. http://www.bourbaki.ens.fr/
19
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Los conocimientos matemáticos inherentes a las funciones se han construido
históricamente alrededor de ideas previas que se reafirmaban y ampliaban o se
controvertían, todo sobre la base de los intereses, las ideas, las posibilidades y
limitaciones de cada época. Situar el origen específico del concepto de función resulta
complejo. Sin embargo, al considerar los significativos aportes de Euler y sus ingentes
esfuerzos por definir razonablemente las funciones continuas, discontinuas y
trascendentes, es justo y razonable adjudicarle la autoría del concepto. La famosa
controversia entre D'Alembert y Euler centrada alrededor del significado del término
función y el problema de la cuerda vibrante, fue punto de partida de análisis y
disquisiciones conducentes al desarrollo del concepto moderno de función.
Es evidente que las matemáticas son el fruto de una construcción histórica, resultado de
interacciones sociales, culturales, políticas, religiosas e incluso económicas, que hacen
de ella un producto humano inacabado y mutable. Las funciones en particular, se abren
paso en un mundo en el que cada vez resulta más necesario la construcción de modelos
matemáticos que permitan determinar parámetros de optimización, razones de variación
relacionadas, de comportamientos o tendencias, de crecimiento, entre otros; que son
susceptibles de ser presentados y comunicados en diferentes registros y
representaciones, con lo que la comunicación matemática y el razonamiento develan su
relevancia.
Conocer el origen de los conceptos matemáticos, suscita una apreciación distinta y
profunda de los saberes que se construyen alrededor de las ciencias exactas y
naturales. Con ello, se despierta la necesidad imperiosa de acercarnos y acercar a las
nuevas generaciones, representadas en los educandos, al conocimiento matemático;
reconociendo su génesis y valorando el trabajo de las mentes brillantes, de hombres y
mujeres que dedicaron sus vidas a la comprensión y modelación del mundo y la
naturaleza.
1.3 Las funciones en la educación matemática escolar
Por su relevancia en las ciencias exactas, el concepto de función ha sido objeto de
múltiples investigaciones. Desde la perspectiva de la didáctica, en Latinoamérica y
España, se han realizado investigaciones que se centran en comprender cómo el
20 Capítulo 1 : Marco referencial
concepto de función es enfocado y presentado en los textos escolares, otros estudios
analizan el papel de la modelación en la adquisición del concepto de función y otros
exploran el impacto de programas graficadores y otros recursos tecnológicos como
recurso en la adquisición del concepto de función. A continuación se presenta una
síntesis de algunas de estas investigaciones (Tabla 1-4).
Tabla 1- 4. Síntesis del estado del arte en relación al concepto de función.
ESTUDIO AÑO INVESTIGADORES
PAÍS ÁMBITO ASPECTOS FUNDAMENTALES
El concepto de función a través de los textos escolares: reflejos sobre una evolución
1995 García y Llinares
España
Concepto de función en los textos escolares
Examina y caracteriza la manera en que es presentado el contenido asociado al concepto de función en los textos escolares de matemáticas dirigidos a los estudiantes en un rango de edades que va de los 11 a los 16 años. Se centra en el análisis de las tareas y actividades presentadas en diversos textos desde los sistemas de representación utilizados y la perspectiva adoptada en relación al concepto de función. El estudio concluye que se observa una transición en la conceptualización de la noción de función desde una perspectiva bourbakista (conjuntista) hacia una noción de función como modelo matemático de situaciones de covariación.
El concepto de función en los textos escolares y el cuaderno didáctico, hacia la noción de función como dependencia y patrones de la función lineal
1997
García, Serrano y Ospitia
Colombia
Concepto de función en los textos escolares
Muestra que “rastrear” la forma como el concepto de función es presentado en los textos escolares que promueven las editoriales y son utilizados por los maestros en el país obedece a la necesidad de dar a conocer que existe una distancia significativa entre el saber matemático académico y el saber que se enseña. Así mismo, que en el proceso trasposición didáctica, los objetos matemáticos utilizados deforman el saber matemático académico. Indica que es necesario ejercer vigilancia epistemológica sobre el saber que se va a enseñar.
21
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Tabla 1- 4. Continuación.
ESTUDIO AÑO INVESTIGADORES
PAÍS ÁMBITO ASPECTOS FUNDAMENTALES
El concepto de función en los textos escolares de EGB 3 y educación Polimodal
¿2001?
Veleiro10
Argentina
Concepto de función en los textos escolares Epistemología del concepto Obstáculos cognitivos
Plantea que en los textos escolares de matemáticas de EGB 3 y Polimodal, publicados alrededor del año 2000, el concepto de función se centra en la formalización de la idea de asignación, atribuyendo un número a elementos de categorías disímiles. Cuestiona si dicho enfoque es adecuado para favorecer en los educandos el aprendizaje del concepto. Sus conclusiones indican que las respuestas de los alumnos no obedecen a sus diferentes capacidades para razonar sino a las diferencias entre sus experiencias y referencias personales. Sostiene que existe una tendencia entre los alumnos de replicar lo que el docente hace. Ello no implica errores de razonamiento en los jóvenes, pero si refleja que no hay claridad en torno al concepto que el maestro busca estructurar en clase. Propone emplear una metodología de resolución de problemas utilizando la simulación como herramienta didáctica para superar obstáculos.
Construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo
11
2009 Quintero y Cadavid
Colombia
Obstáculos cognitivos
Analiza el proceso de construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo, mediado por actividades orientadas bajo un abordaje sociocultural. Aduce que todo proceso de construcción conlleva una relación entre el sujeto que construye conocimiento y el objeto a conocer. De este planteamiento se puede inferir que la cultura en la que se encuentra inmerso el educando, condiciona la forma como éste estructura sus conceptos, dado que su conocimiento del mundo limitará sus estadios de desarrollo; con lo que considerar el contexto de los educandos es fundamental, dado que el conocimiento podría estar condicionado por el lenguaje, tornándose en un obstáculo.
10 Marta Elena Veleiro realizó estudios de postgrado en matemática para profesores de nivel
superior. Es formadora de maestros de matemáticas en la Universidad Tecnológica Nacional de Buenos Aires Argentina. Disponible en: http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/veleiro/veleiro.htm 11
QUINTERO, Claudia; CADAVID, Luz. Construcción del concepto de función en estudiantes de grado octavo, Avances. Universidad de Antioquia, Grupo Matemática, Educación y Sociedad (MES). Presentación en el X Encuentro Colombiano de Matemática Educativa, en 2009. Disponible en: http://funes.uniandes.edu.co/705/
22 Capítulo 1 : Marco referencial
Contrastando estos planteamientos con los referentes teóricos citados, se encuentra
coincidencia en la necesidad de dar significado al concepto de función en procura de una
adecuada estructuración del mismo, sorteando los obstáculos a través de estrategias que
recreen situaciones reales, partiendo de situaciones problémicas que no sean ajenas a
los contextos de los educandos hasta llegar a situaciones problémicas propias de las
ciencias sociales y naturales.
Se debe tener cuidado en el proceso de Transposición Didáctica13, lo cual implica que el
educador matemático debe tener pleno conocimiento y dominio del concepto de función
que procura estructurar en sus educandos, siendo éste lo más próximo posible al saber
erudito.
12 DEL CASTILLO, Alejandro; MONTIEL, Gisela. El concepto de función en un ambiente
geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional. Instituto Tecnológico de Ciudad Madero, Tamaulipas, México. Memorias de la XI Escuela de Invierno de Matemáticas, págs. 568 a 580. Disponible en: http://www.red-cimates.org.mx/Documentos/xieime.pdf 13
El concepto de Transposición Didáctica es un objeto fundamental en la Didáctica Antropológica propuesta por Chevallard. El concepto presupone la idea de saber científico y manipulación sobre el mismo, siendo este último pensado como un producto emergente de las prácticas sociales. En estas prácticas, el saber tiene cierta distancia del saber científico o “saber sabio”, puesto que esta mediado por el maestro.
Tabla 1- 4. Continuación
ESTUDIO AÑO INVESTIGADORES
PAÍS ÁMBITO ASPECTOS FUNDAMENTALES
El concepto de función en un ambiente geométrico dinámico bajo el enfoque covariacional
12
2007
Del castillo y Montiel
México
Epistemología del concepto
Obstáculos cognitivos
Recursos
tecnológicos como
mediadores del conocimiento
Presentan un análisis respecto del concepto de función predominante en la escuela. Estudian las nociones que el alumno construye respecto del concepto de función en un entorno geométrico dinámico, empleando Cabri y Geogebra, con un enfoque covariacional. Plantean que ambientes de este tipo, posibilitan que el alumno analice funciones de tipo polinómico y trascendente. Proponen el uso de recursos tecnológicos para realizar simulaciones que recreen problemas complejos del mundo real como estrategia didáctica.
23
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
2. Metodología
2.1 Marco metodológico
El concepto de Ingeniería Didáctica surgió en el seno de la escuela francesa,
puntualmente a principio de la década del ochenta del siglo XX. Se pensó como una
metodología para las realizaciones de los hallazgos de la Teoría de Situaciones
Didácticas14 y de la Transposición Didáctica, propias de la didáctica de las matemáticas.
El nombre Ingeniería Didáctica, se deriva de la analogía con la actividad propia del
ingeniero, dado que éste al realizar un proyecto se apoya en los conocimientos y
métodos de las ciencias para la toma de decisiones. No obstante, normalmente se ve
obligado a trabajar con objetos más complejos que aquellos propios de las ciencias,
abordando con todos los medios a su alcance problemas de los que la ciencia, por si
sola, no puede ocuparse.
En concordancia con De Faria15 (2006, págs. 1 y 2) , quien plantea que:
[…] el término ingeniería didáctica designa un conjunto de secuencias de
clase concebidas, organizadas y articuladas en el tiempo de manera
coherente por un profesor – ingeniero para efectuar un proyecto de
aprendizaje de un contenido matemático dado para un grupo concreto
de alumnos. A lo largo de los intercambios entre el profesor y los
alumnos, el proyecto evoluciona bajo las reacciones de los alumnos en
14 En la teoría de Situaciones Didácticas, planteada por Guy Brousseau, intervienen tres
elementos fundamentales: el estudiante, el profesor y el medio didáctico; así, el profesor es quien facilita el medio en el cual el estudiante construye su conocimiento. 15
DE FARIA, Campos Edison. Ingeniería Didáctica. Centro de Investigaciones Matemáticas y Meta-matemáticas Universidad de Costa Rica; Escuela de matemáticas de la Universidad Nacional; Escuela de Ciencias Exactas y Naturales de la Universidad Estatal a Distancia Cuadernos de Investigación y Formación Matemática, N
o 2, año 1, 2006. Páginas 1 - 9. Disponible
en: http://cimm.ucr.ac.cr/ojs/index.php/CIFEM/article/download/12/17
función de las decisiones y elecciones del profesor. Así, la ingeniería
didáctica es, al mismo tiempo, un producto, resultante de un análisis a
priori, y un proceso, resultante de una adaptación de la puesta en
funcionamiento de un producto acorde con las condiciones dinámicas de
una clase.
La Ingeniería Didáctica se utiliza en la didáctica de las matemáticas en dos sentidos:
cómo metodología de investigación y como producciones de situaciones de enseñanza y
aprendizaje. Como metodología de investigación, según De Faria (2006, pág. 2), la
Ingeniería Didáctica se caracteriza por ser un esquema experimental basado en la
concepción, la realización, la observación y el análisis de secuencias de enseñanza.
También se caracteriza por el registro de los estudios de caso y su posterior validación a
partir del parangón entre los análisis a priori y a posteriori.
2.2 Diseño metodológico
El diseño metodológico definido para el desarrollo del estudio y la concepción de la
propuesta se apoyó en la Ingeniería Didáctica. Con este, se buscó sustentar la hipótesis:
La identificación de obstáculos epistemológicos en los educandos permite el diseño de
objetos y situaciones didácticas pertinentes para la estructuración del concepto de
función en educandos del grado noveno.
Básicamente esta metodología, según Artigue (1995), Farfán (1997) y Lezama y Farfán
(2001), citados por García16 (2007, pág. 62), contempla cuatro fases que se ilustran en el
diagrama de la figura 2-1.
16 GARCÍA, Mónica; MONTIEL, Gisela. Resignificando el Concepto de Función Lineal en una
Experiencia de Educación a Distancia. Centro de Investigación en Ciencia Aplicada y Tecnología Avanzada; Instituto Politécnico Nacional de México. Disponible en: http://www.educ.uvic.ca/faculty/mroth/
25
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Figura 2-1. Diagrama de las fases del proceso metodológico
Basado en los elementos y fases de la Ingeniería Didáctica, el proceso metodológico
implementado resultó flexible debido a que era posible que las consideraciones de tipo
epistemológico, cognitivo y didáctico respecto de los obstáculos en los educandos no
necesariamente resultaran válidas. Los obstáculos encontrados definieron las
restricciones y variables de control, además del enfoque y la situaciones y objetos
didácticos a implementar en la fase de “experimentación”.
En principio se consideró realizar el estudio sólo con educandos del grado noveno de la
I.E.T.C. José María Vivas Balcázar , institución educativa oficial, mixta, localizada en la
comuna 10 de Santiago de Cali. Luego, en busca de desarrollar objetos de aprendizaje
que fuesen más universales, se determinó vincular al estudio a las estudiantes del grado
noveno del Colegio de La Sagrada Familia17, ubicado en la misma ciudad en el sector de
Pance, institución femenina de carácter privado.
17 La orientación del curso de álgebra en ambas instituciones favoreció vincular estudiantes de
ambas instituciones al estudio, logrando establecer comparaciones entre dos grupos cultural, social y económicamente distintos.
CONFRONTACIÓN
CONFRONTACIÓN
26 Capítulo 2 : Metodología
10%
55%
22%
10% 3%
13 14 15 16 17
Una vez se dio inicio a la fase de “experimentación”, se realizaron observaciones y se
recolectó información de tipo cualitativo y cuantitativo, en cuanto que la implementación
de pruebas estandarizadas de seguimiento y control ofrecen resultados de tipo numérico
continuo, pudiendo categorizarse como desempeños superior, alto, básico o bajo,
acompasándose al Decreto 129018 de 2009 emanado del Ministerio de Educación
Nacional de Colombia, transformándose así en información de tipo cualitativo.
El análisis de la información recabada permitió confrontar la información derivada de una
prueba diagnóstica inicial con las observaciones durante el proceso, evidenciándose los
niveles de avance o retroceso de los educandos, permitiendo realizar inferencias
respecto de las situaciones y objetos didácticos implementados. De este modo se pone
en marcha la fase de validación.
2.2.1 Caracterización de la población
Se aplicó una encuesta con la que se pretendió caracterizar a los educandos que
conformaron el grupo experimental de 40 estudiantes (n=40), 20 de cada institución (ver
Anexo A). Los resultados de la sistematización de la información colectada en la
encuesta se ilustran en las figuras 2 - 2 a 2 – 6.
Figura 2-2. Edades de los estudiantes del grupo experimental
18 El Decreto 1290 de 2009, reglamenta la evaluación del aprendizaje y la promoción de los
estudiantes de los niveles de Educación Básica y Media, de las instituciones de carácter oficial y privado en Colombia. Da autonomía a las instituciones educativas para definir su propio Sistema Institucional de Evaluación de los Estudiantes (SIEE), siendo parte de sus Proyectos Educativos Institucionales, contemplando, entre otros aspectos, los criterios de evaluación y promoción, así como la escala de valoración institucional y su equivalente con la escala nacional que considera cuatro niveles de desempeño: Superior, Alto, Básico y Bajo.
Edad (Años)
Número de estudiantes
13 4
14 22
15 9
16 4
17 1 Fuente: Conducta de entrada
27
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
En la figura 2-2, se observa que las edades de los estudiantes que conformaron el grupo
de estudio, varía de 13 a 17 años. Concentrándose en mayor número entre los 14 y 15
años, lo que representa el 77 % del grupo experimental.
Figura 2-3. Distribución de los estudiantes del grupo experimental por sexo
Fuente: Conducta de entrada
En el gráfico de la figura 2-3, puede observarse que la razón entre el número de
estudiantes de sexo masculino y el de estudiantes de sexo femenino es de 1 : 2.6; con lo
que por cada estudiante hombre que hizo parte del estudio, hubo 2,6 estudiantes
mujeres. Esto se debe a que el Colegio de La Sagrada Familia es Femenino y la
I. E. T. C. José María Vivas Balcázar tiene modalidad comercial, siendo su población
estudiantil mayormente femenina.
Figura 2-4. Distribución de los estudiantes del grupo experimental como repitentes y no
repitentes.
Fuente: Conducta de entrada
La información ilustrada en la figura 2-4 muestra que sólo el 17% de los estudiantes del
grupo de estudio probablemente conoció el objeto matemático función en la clase de
matemáticas, esto puede obedecer a que cursaron el grado por segunda vez. El restante
Sexo Número de estudiantes
Masculino 11
Femenino 29
Aprobación grado durante 2011
Número de estudiantes
Repitente 7
No repitente 33
28 Capítulo 2 : Metodología
83%, corresponde a educandos que probablemente no había estudiado de manera
formal el objeto matemático función.
Figura 2-5. Procedencia de los estudiantes de la I. E. T.C. José María Vivas Balcázar
Fuente: Conducta de entrada
En la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar 4 de los 20
estudiantes que conformaron el grupo de estudio, por parte de esa institución, procedían
de otras instituciones educativas de la ciudad o de otras ciudades; esta cifra representa
el 10% de todo el grupo experimental.
Figura 2-6 Respuesta de los estudiantes respecto del interrogante ¿considera usted que
tiene o ha tenido dificultades en el área de matemáticas?
Fuente: Conducta de entrada
El gráfico 2-6, proporciona información respecto del juicio valorativo que cada estudiante
del grupo de estudio realizó sobre su habitual desempeño en el área de matemáticas;
indicando si actualmente o en años anteriores habían tenido dificultades en el área o no.
Una gran mayoría, equivalente al 85%, expresó que si había presentado dificultades en
el área. Tan sólo el 5% manifestó no tener dificultades en el área y el 10% restante no
Colegio de procedencia
Número de estudiantes
I.E.T.C. José María Vivas Balcázar
16
Otro colegio de la ciudad
2
Otro colegio de otra ciudad
2
Dificultades en el área
Número de estudiantes
Si 34
No 2
No responde 4
29
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
respondió. De lo anterior se infirió que probablemente los estudiantes han tenido una
percepción de las matemáticas como ciencia dura, que posiblemente les condicionaría en
el proceso de apropiación de saberes conceptuales y procedimentales asociados a las
funciones y pudieren ser factor de obstáculo cognitivo.
2.2.2 Fase de planeación
Extender el estudio a dos grupos de estudiantes en instituciones educativas de
contextos disímiles, supone obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico un
tanto distintos. No se reconocen obstáculos de tipo ontogenéticos; el conocimiento de
los grupos al momento de ejecutar la etapa de planeación resulta insuficiente para definir
este tipo de obstáculos, por lo que no se consideraron en esta etapa ni en las
subsiguientes.
Los obstáculos epistemológicos al ser dificultades que se encuentran en la historia
misma del concepto y de su “evolución”, mediados por la cultura, sumados a aquellos
que dependen del modelo de enseñanza en el que se ha “inscrito” el proceso de
mediación del objeto matemático función, pueden ser o no perceptibles y debe decidirse
cuáles pueden o no evitarse y definir cómo serán superados.
Para establecer los obstáculos cognitivos subyacentes, se tomó como referente el listado
de obstáculos epistemológicos asociados al concepto de función planteado por
Sierpinska (1992), citado por Trujillo, Castro y Guerrero (2010). Se asumió que no había
obstáculos de origen ontogenético, puesto que no se conoció evidencia de limitaciones
de tipo neurofisiológico de los estudiantes durante su proceso de desarrollo; se
consideraron obstáculos de origen didáctico, que resultan bastante comunes y que son
propios de las formas como se ha mediado un saber; por último, se consideraron
obstáculos de orden epistemológico, ligados a la naturaleza misma del concepto de
función y de otros conceptos de la aritmética, el álgebra y de la lógica, que muestra
resistencia a ser modificados y que también pueden conducir a “conocimiento negativo”.
Se analizó que saberes específicos previos eran “prerrequisito” para abordar con éxito el
concepto de función y que preconcepciones tienen los educandos frente al área. Lo
anterior, implicó un análisis de elementos tales como: el uso de la simbología
matemática, vinculando símbolos propios de la lógica que permiten establecer relaciones
30 Capítulo 2 : Metodología
entre elementos y conjuntos; la falta de significado de expresiones como x o y; la
dificultad para transferir lo numérico a lo geométrico y viceversa (Tabla 2-1). La
sistematización se realizó a través de una rúbrica diagnóstica (Tabla 2-2), en la que se
definieron doce indicadores, registrando el nivel de apropiación de los estudiantes frente
a éstos a partir de la prueba diagnóstica (Anexo B, en formato electrónico, en disco
adjunto, disponible en jfquinteroo.blogspot.com).
Tabla 2-1. Posibles obstáculos cognitivos en estudiantes del grado noveno asociados al
concepto de función.
Obstáculo
O 1 Concebir las matemáticas como demasiado complejas e incomprensibles (rechazo arraigado culturalmente – vista como ciencia dura).
O 2 El lenguaje matemático asociado a las funciones no está articulado a su memoria semántica.
O 3 Concebir un conjunto de manera incompleta o incorrecta.
O 4 Asumir por igual constantes y variables.
O 5 Concebir la definición como una descripción de un objeto conocido por percepción.
O 6 Visualizar la covariación en un fenómeno; centrándose en cómo cambian las magnitudes involucradas, sin dar cuenta de qué cambia.
O 7 Mostrar imprecisión al presentar los conceptos de relación y función.
O 8 Desconocer como válidas otras representaciones semióticas de las funciones, además de la descrita por fórmulas analítica.
O 9 No es posible transponer una función de una representación semiótica a otra.
O 10 No identificar conjuntos como dominio y el rango de una función.
Este análisis se apoyó en una prueba diagnóstica aplicada a los 40 estudiantes del grupo
experimental. Su propósito fue el de identificar los obstáculos didácticos de mayor
impacto en la apropiación del concepto de función. Se estableció una rúbrica diagnóstica
en la que se registran una serie de observaciones en relación a los indicadores derivados
de la prueba diagnóstica y el listado de obstáculos (Tablas 2-1 y 2-2).
31 Capítulo 2 : Metodología
31
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Tabla 2-2. Rúbrica diagnóstica
INDICADORES
NIVEL DE APROPIACIÓN EN LOS
ESTUDIANTES
No apropiado Apropiado
parcialmente
Apropiado
satisfactoriamente
I.E.V.B. C.S. F. I.E.V.B. C.S. F. I.E.V.B. C.S. F.
I 1 Reconoce a partir de un grafo cuando una relación es una función. 7 3 4 7 9 10
I 2 Explica por qué un grafo representa o no una función. 6 4 9 10 5 6
I 3 Reconoce a partir de un diagrama sagital cuando una relación es una función.
2 2 5 2 13 16
I 4 Explica por qué un diagrama sagital representa o no una función.
6 3 7 8 7 9
I 5 Reconoce a partir de un diagrama cartesiano cuando una relación es una función.
10 9 8 10 2 1
I 6 Explica por qué un diagrama cartesiano representa o no una función. 15 13 4 6 1 1
I 7
Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos
magnitudes o variables.
3 2 12 14 5 4
I 8
Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.
15 15 4 3 1 2
I 9
Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación no lineal entre
dos magnitudes o variables.
16 10 5 7 0 2
I 10
Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación no lineal entre dos magnitudes o variables.
19 18 0 1 1 1
I 11 Representa correctamente una función gráficamente a partir de su registro tabular.
10 7 8 9 2 4
I 12 Escribe la fórmula (lenguaje matemático) correspondiente a una función dada en lenguaje natural.
15 11 4 6 1 3
Los colores representan una escala que asocia de menor grado (verde), de grado
intermedio (amarillo), a mayor grado (rojo) los procesos en los que se observan
debilidades en los educandos y en consecuencia, que podrían considerarse obstáculos
cognitivos.
32 Capítulo 2 : Metodología
Figura 2-7. Niveles de apropiación de los educandos según prueba diagnóstica y rúbrica
de indicadores.
Fuente: prueba diagnóstica
En cada indicador se observan tres pares de barras, las amarillas representan a los
educandos de la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar
(I.E.V.B.) y las azules representan a las estudiantes del Colegio de La Sagrada Familia
(C.S.F.). El primer par de barras muestra, de ambas instituciones, para cuántos
educandos no está apropiado el indicador; el segundo par de barras, representa para
cuantos educandos el indicador está apropiado parcialmente; el tercer par de barras,
representa la cantidad de estudiantes en los que el indicador si se ha apropiado.
De la información sistematizada pudo inferirse que los educandos evidenciaron
dificultades marcadas para comunicar ideas matemáticas en el lenguaje matemático,
además de la dificultad que mostraron para realizar la traducción del lenguaje natural al
lenguaje matemático. Esto pudo ser consecuencia de una “memoria semántica”
relativamente pobre, derivada del limitado o inexistente uso y apropiación de la
simbología matemática que les dificulta leer, comprender y escribir en lenguaje
matemático (comunicación matemática). Por otra parte, hubo indicios de una base
conceptual y procedimental débil en torno a la covariación de magnitudes, las
operaciones entre conjuntos -especialmente el producto cartesiano- y las relaciones
I -
1
I -
2
I -
3
I -
4
I -
5
I -
6
I -
11
I -
7
I -
8
I -
9
I -
10
I -
12
33
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
entre conjuntos; con lo que comprender y estructurar conceptos como el de función,
dominio, codominio, rango, grafo, entre otros, les resultó más complejo.
2.2.3 Fases de diseño y experimentación
Tomando como base los posibles obstáculos cognitivos y los resultados del diagnóstico
se diseñaron dos objetos didácticos. El primero, sacando provecho del curso Diseño y
desarrollo de Objetos Físicos19, un objeto físico de aprendizaje (manipulativo), que
vincula elementos lúdicos y del aprendizaje colaborativo como estrategia. Para tal fin se
contó con el apoyo de los estudiantes de pregrado del programa de Diseño Industrial:
Ramiro Álvarez20 y Edwin Ramos21, quienes aportaron todos los conocimientos teóricos y
técnicos necesarios en el proceso de diseño y desarrollo de un objeto como solución a un
problema. el segundo, una secuencia didáctica cuyo propósito fue el de cimentar
preconceptos asociados al concepto de función desde la perspectiva del trabajo
autónomo con el acompañamiento del maestro y colaborativo (entre pares), en el que la
lectura, el análisis de situaciones problémicas modelo, la búsqueda, selección y análisis
de información y la resolución de situaciones problémicas contextualizadas constituyeron
la estrategia edificadora.
2.2.3.1 Diseño y desarrollo de la actividad y del Objeto Físico de Aprendizaje
Al diseñar una actividad y un objeto de aprendizaje, asumidos como elementos
mediadores para mejorar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las funciones en
los educandos de noveno grado de educación Básica Secundaria, se debieron tomar
objetos que vincularan elementos manipulables, de recomposición, visualmente
19 Este curso hace parte del componente electivo de la Maestría en la Enseñanza de las Ciencias
Exactas y Naturales de la Universidad Nacional, sede Palmira, tomado durante el semestre 2011-II, fue orientado por el profesor Boris Villamil Ramírez con el apoyo de Miguel Fernando González. El curso estaba abierto a estudiantes de la Maestría y del programa de Diseño Industrial. 20
Ramiro Antonio Álvarez es estudiante de último semestre de Diseño Industrial de la Universidad Nacional de Colombia, sede Palmira; desde 2009 pertenece al grupo de investigación de Ergonomía y Sustentabilidad de la Universidad Nacional. 21
Edwin Ramos es estudiante de último semestre de Diseño Industrial de la universidad Nacional de Colombia , sede Palmira; ha centrado sus estudios en la gestión de proyectos interdisciplinares y producción de objetos, en su configuración formal de uso bajo el análisis integral y sistémico en sus aspectos contextuales, ambientales e industriales.
34 Capítulo 2 : Metodología
impactantes; que recurrieran al juego y a la lúdica como elemento motivador; que
evocaran experiencias conocidas por los usuarios, conteniendo elementos de su agrado;
que ofrecieran retos al intelecto, al razonamiento lógico y la creatividad.
La actividad se centró en la representación de funciones reales en el lenguaje verbal, el
lenguaje algebraico y el lenguaje gráfico. Fundamentalmente, la actividad buscó que los
educandos, organizados en equipos de tres integrantes, a partir de una función dada
aleatoriamente, en un registro algebraico, pasaran a un registro verbal y luego, a partir de
la evaluación de cantidades reales predefinidas en la expresión algebraica de la función,
construyeran una tabla de valores y dibujaran su gráfica en un plano coordenado. Cada
tarea, sería realizada por un miembro del equipo contando con el apoyo de otro. Se
buscó identificar el nivel de manejo de las distintas representaciones semióticas de una
función.
Partiendo de las anteriores consideraciones y del concepto del OFA se definió que éste
debería: abordar funciones con variados niveles de dificultad, permitir la manipulación por
parte de más de un estudiante usuario (3 a 5 personas), facilitar la “traducción” de una
representación semiótica a otra (cambio de registros verbal – algebraico – tabular –
gráfico), permitir la identificación de elementos característicos de las funciones como su
dominio y rango, estar compuesto por partes que se complementen, facilitar la
comunicación, guardar relación con la “escala humana” (aspecto propio del diseño y la
ergonomía), ser de fácil comprensión y uso. Por otra parte debería ser fácilmente
reproducible.
Se optó por un diseño simple, que tomó la idea de las tarjetas con información. En la que
se presente una función representada algebraicamente y cuatro en representación
verbal, de modo que se establezca una correspondencia entre una y otra (“traducción”).
Luego, después de realizada la transición de representación algebraica a representación
verbal, el estudiante que cumple las veces de “tabulador”, completa la tabla dada en la
tarjeta seleccionada para que, finalmente, el estudiante “graficador” trace la gráfica de la
función a partir de la representación tabular.
35
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
La etapa de validación inicial de la actividad y del objeto de aprendizaje, en etapa de
desarrollo, se ejecuta en dos momentos. El primero, una validación al interior del curso
Diseño y Desarrollo de Objetos Físicos y el segundo, una validación en el aula, en dos
instituciones: la Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y el
Colegio de La Sagrada Familia de Cali, con estudiantes del grado noveno.
De la validación al interior del curso, en la que se recreó toda la actividad con el uso de
un objeto de aprendizaje preliminar (prototipo), se recogieron apreciaciones desde la
óptica de los maestros y de los diseñadores, que aportaron elementos valiosos para el
posterior rediseño del Objeto Físico y de la actividad misma. Dichas recomendaciones se
centraron más en la actividad que en el objeto mismo. Se sugirió que la dinámica de la
actividad debería permitir la interacción permanente de los miembros del equipo puesto
que, si uno fallaba en su tarea o tardaba demasiado tiempo, afectaría el desempeño de
todo el equipo, incluso podría impedir que se cumpliera con la tarea de presentar la
función en cada una de las representaciones indicadas. Por otra parte, cada estudiante
podría asumir el rol en que se sintiera más “fuerte” y de este modo no se podría valorar
como realiza la “traducción” a las demás representaciones (Figura 2-8).
Figura 2-8. Primera validación del OFA
Nota: Las imágenes presentan el proceso completo de la validación de la actividad en el grupo del curso de
Diseño y Desarrollo de Objetos Físicos, haciendo uso del OFA en su versión preliminar.
Las recomendaciones fueron analizadas e implementadas de modo que en la validación
en el aula, con los estudiantes de grado noveno, la dinámica de la actividad facilitara su
ejecución. El equipo se inclinó por realizar una variación al Objeto y a la actividad: a los
estudiantes se les presentaría una función representada en el lenguaje verbal y tres
36 Capítulo 2 : Metodología
funciones en su representación algebraica (fórmula); una de las funciones dadas en el la
representación algebraica corresponde a la “traducción” de la función dada en lenguaje
verbal. Realizada la selección de la función equivalente, otro estudiante, miembro del
equipo, debía realizar la representación tabular, ayudada por el primer estudiante y
finalmente, el tercer miembro del equipo graficaría la función a partir de la tabla de
valores (ayudado por los otros dos), identificando previamente el dominio de la función.
El mismo objeto fue validado, en esta etapa, en ambas instituciones con dos equipos de
tres estudiantes cada uno, conformados de modo que tres estudiantes, considerados
“aventajados” conformaran un equipo y los restantes tres, que evidencian ciertas
dificultades, conformaron el otro equipo.
Figura 2-9. Proceso de validación inicial con educandos del grupo experimental
Nota: Las imágenes presentan el proceso de validación inicial en el Colegio de La Sagrada Familia y en la
Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar respectivamente.
En la primera validación con los estudiantes de grado noveno, se observó que los
tiempos de ejecución de la actividad fueron distintos. Los equipos del Colegio de La
Sagrada Familia, conformados por tres niñas, tardaron en promedio 17 minutos en
cumplir con la tarea; mientras que, los equipos de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar,
conformados por dos niñas y un niño, tardaron en promedio 38 minutos en completar la
actividad. Esto fue motivo de análisis y se determinó que en relación a la apropiación del
lenguaje algebraico, necesario para realizar la transición de la representación verbal a la
representación algebraica, las estudiantes del Colegio de la Sagrada Familia se
mostraron mejor estructuradas.
37
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Pese a tardar más tiempo, los estudiantes de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar,
mostraron un desempeño similar en el proceso de representación tabular y graficación al
de las Estudiantes de La Sagrada Familia. En ambos casos, se cometieron errores de
graficación de la función definida por partes “la ordenada es 6 cuando la abscisa es par y
es -7 cuando la abscisa es impar”. Evidenciaron dificultad al tomar el cero como
preimagen y al trazar la gráfica de la función, puesto que unían los puntos
correspondientes a cada par ordenado de la función, lo cual resulta incorrecto.
El objeto y la actividad hicieron visibles dificultades en la realización de cálculos con
valores racionales, no enteros, que se daban como predefinidos en la tabla de valores.
En especial en la I. E. T. C. José María Vivas Balcázar fue necesario intervenir durante
las clases posteriores a la validación y trabajar con los estudiantes frente a la apropiación
de términos asociados al lenguaje matemático, tales como “el quíntuplo”, “las dos
terceras partes”, “el cuadrado de la diferencia”, entre tantos otros, puesto que no estaban
integrados a la memoria semántica de los educandos. Esto visibilizó la necesidad de
diseñar una secuencia didáctica que subsanara dichos vacíos.
2.2.3.2 Etapa de ajuste y desarrollo del objeto físico de aprendizaje
Pudo evidenciarse que el objeto físico de aprendizaje debería tener un tamaño tal, que
permitiera la manipulación en una mesa o en un pupitre, sin que se viera afectada su
funcionalidad. Por otra parte, el objeto debería favorecer el registro ágil y correcciones
continuas de los educandos durante el desarrollo de la actividad. Esto llevó al equipo a
discutir acerca de los materiales más adecuados para la construcción del Objeto, así
como las dimensiones que éste debía tener, sin descuidar su concepto.
Se determinó que el Objeto Físico de Aprendizaje estaría compuesto por tres partes
independientes entre sí, que se integrarían para llevar a cabo la transición de una
representación semiótica a otra (ver anexo C, en formato electrónico, en disco adjunto,
disponible en: jfquinteroo.blogspot.com). Se definió como material de construcción
acrílico transparente de 3 mm de espesor. Se determinó dicho material porque es
durable, moldeable, resistente, puede ser rayado con marcador y ser borrado sin que se
deteriore, entre otras características (Figura 2-10).
38 Capítulo 2 : Metodología
Figura 2-10. Diseño final del OFA.
Se optó en definitiva por el uso de cartas en las que se presenta una baraja de funciones
dadas en el lenguaje verbal, de las cuales cada equipo selecciona una aleatoriamente.
Además de la carta con la función dada en lenguaje verbal, se entrega al equipo cuatro
cartas con expresiones algebraicas, de las cuales una sola corresponde a la función
dada inicialmente. Estas cinco cartas se disponen en una base, para que el traductor
ayudado por un cuarto miembro del equipo, seleccione la carta que asocia la función
correspondiente. Una vez seleccionada pasan al tablero de tabulación (representación
semiótica tabular) y construyen la tabla de valores, no predeterminados. Finalmente, a
partir de la tabla, los tres integrantes del equipo apoyan al graficador en la construcción
de la curva que representa la función (representación semiótica gráfica) en un tablero
que cuenta con un plano coordenado y una grilla, sin escala numérica predeterminada
(Figura 2-11)
39
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Figura 2-11. Componentes del Objeto Físico de Aprendizaje.
2.2.3.3 Etapa de validación final del objeto
En esta etapa, la validación se realizó en ambas instituciones, con una variación respecto
de la validación inicial, ahora dos equipos estarían conformados por cuatro estudiantes
quienes podrían apoyarse entre sí durante toda la actividad. Los estudiantes fueron
otros, diferentes a los empleados durante la primera validación.
En esta ocasión, con el uso del Objeto Físico de Aprendizaje plenamente desarrollado,
se logró un mejor impacto visual que motivó a los estudiantes a trabajar de manera más
dinámica y concentrada. Se logró reducir los tiempos de realización de la actividad,
pasando de 17 minutos en el Colegio de La Sagrada Familia a 15 minutos y más
significativo aún, en la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar se pasó de 38 a 18 minutos
(Figuras 2-12 a 2-15)
Figura 2.12. Interacción de las estudiantes de un mismo equipo en el Colegio de La
Sagrada Familia.
Nota: En las imágenes se observa: a la izquierda, el proceso de representación tabular, y a la derecha, el
proceso de representación gráfica.
40 Capítulo 2 : Metodología
Figura 2-13. Revisión del “producto final”
Nota: Una vez el equipo de trabajo culminada la actividad, esta se revisa y socializa.
Figura 2-14. Momentos de la actividad en un aula de clase del grado noveno de la
I.E.T.C. José María Vivas Balcázar.
Nota: A la izquierda, se puede observar que el estudiante ha seleccionado una función dada en
representación verbal y recibe las tarjetas de las funciones en representación algebraica. A la derecha, se
observa la colaboración entre dos integrantes del grupo.
Figura 2-15. Producto de la etapa final de la actividad realizada por un equipo de
trabajo del grado noveno de la I.E.T.C. José María Vivas Balcázar.
41
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
El proceso de validación permitió la recolección de información a partir de dos fuentes
principales: en primera instancia, las observaciones realizadas por el equipo de diseño
durante el desarrollo de las actividades, y en segunda instancia, los comentarios sobre
las percepciones del Objeto Físico de Aprendizaje y la actividad asociada a él, realizados
por los usuarios. Éstos comentarios fueron acopiados mediante registro en video, que
posteriormente fue reproducido y analizado.
2.2.4 Fase de validación – análisis a posteriori
Las validaciones se realizaron con el propósito de recabar información respecto del
objeto, su usabilidad, su relación con el concepto y sobre la pertinencia de la actividad
diseñada. Un aspecto a destacar es que la dinámica del Objeto y de la actividad permitió
que el número de usuarios durante cada validación cambiara, sin que ello comprometiera
la actividad o el Objeto.
Dentro de las observaciones realizadas por el equipo de diseño y desarrollo del Objeto se
destaca que:
La dinámica de presentar una función en representación algebraica, para luego
seleccionar la representación verbal correspondiente, entre tres opciones, debería
invertirse, de modo que la traducción se realice de verbal a algebraico,
seleccionando las cartas correspondientes.
La tabla de valores, no debería tener valores prestablecidos, puesto que es ideal
que el educando y su equipo deduzcan el dominio de la función y tomen los
valores que deseen.
El plano coordenado no debería tener una escala predefinida, puesto que esto
puede ser una limitante a la hora de graficar.
El Objeto permitió identificar fortalezas y debilidades en el manejo del lenguaje
algebraico y en las operaciones básicas con número reales.
Fue necesario ajustar el tamaño del Objeto de modo que éste sea fácilmente
manipulado en un laboratorio o en el aula tradicional.
El Objeto podría manejar distintos niveles de complejidad.
42 Capítulo 2 : Metodología
Entre los comentarios de los estudiantes usuarios del objeto, podemos rescatar las
apreciaciones de:
Luisa: “El trabajo en equipo es importante porque nos ayudamos entre nosotros”.
Heiner: “Es necesario conocer de otros temas, además de las funciones, para poder
pasar de una representación a otra”.
Daniela: “El juego nos sirve para aprender y practicar de manera más divertida”
Alejandro: “El trabajo en el cuaderno es parecido, pero uno se siente más motivado
trabajando así”.
Lucy: “Usar este tipo de estrategias nos facilita aprender y practicar toda esa teoría que
vemos en clase”.
Natalia: “Este tipo de trabajo nos lleva a comunicarnos y de pronto compartir con
compañeros con los que casi no hablamos”.
Daniel G.: “Ahora si comprendo cómo es que se grafica”.
A partir de las observaciones del equipo de diseño y desarrollo, además de los
comentarios de los estudiantes que participaron en el proceso de validación, se asumió
que la implementación en el aula del Objeto Físico de Aprendizaje, era posible. Además,
el uso del OFA en el aula cumple con el propósito de favorecer en los educandos la
comprensión de las distintas representaciones semióticas de las funciones reales.
Resulta válido el uso de Objetos de Aprendizaje para establecer un puente entre el
conocimiento y los estudiantes. Dichos objetos no necesariamente deben ser virtuales,
los OVA tan difundidos hoy, puesto que frecuentemente nos encontramos con educandos
que aprenden de manera distinta o en contextos donde el ordenador no es un recurso
disponible. El Objeto Físico de Aprendizaje de las funciones, debe cumplir con una serie
de requisitos más allá de lo didáctico; éste debe ser reproducible, adaptable, de fácil
manipulación y almacenaje y económicamente viable, entre otros. El acrílico empleado,
aunque durable, funcional y estético, resultó costoso; en consecuencia, se hace
necesario analizar otras opciones, que satisfagan los requisitos planteados
anteriormente, pero de menor costo.
43
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Los resultados obtenidos mostraron que el Objeto Físico de Aprendizaje cumplió su
propósito en dos instituciones educativas ubicadas en contextos muy distintos. La
implementación del Objeto en el aula, y su incidencia en los desempeños de los
estudiantes podría ser un proyecto de investigación que motive el interés de otros
educadores matemáticos.
La secuencia didáctica (ver Anexo D, en formato electrónico, en disco adjunto, disponible
en jfquinteroo.blogspot.com) que complementa la propuesta presentó propósitos
educativos muy concretos, a saber:
Procurar en los estudiantes del grado noveno el aprehendizaje de los
conocimientos conceptuales y procedimentales asociados al concepto de
función, a través de una secuencia didáctica.
Promover el trabajo autónomo y el trabajo colaborativo, con el docente como
orientador y facilitador, como estrategia para el desarrollo de las tareas y
actividades.
Propiciar la búsqueda y selección eficaz de información de diversas fuentes, así
como su interpretación, validación, uso y transformación.
La secuencia propuso cuatro actividades que, al ser desarrolladas, favorecieron el
“conocimiento positivo” de otros objetos matemáticos fundamentales como conjunto, par
ordenado, producto cartesiano, diagrama cartesiano, relación, entre otros, asociados al
concepto de función. Las actividades tres y cuatro se centraron en el objeto matemático
función, sus representaciones en distintos registros, subconceptos como el de dominio y
rango, su definición formal de función y sus aplicaciones.
La propuesta didáctica, motivó en los educandos la búsqueda de información de
diferentes fuentes, su posterior selección, análisis y síntesis. Dicha información se
deconstruyó y reconstruyó mediante el uso de mapas mentales que fueron socializados
en puestas en común. Los ejemplos y ejercicios guiados que se propusieron,
favorecieron la estructuración semántica, conceptual y operativa, necesaria para facilitar
el aprehendizaje de las funciones. La secuencia didáctica se complementó con la Guía
de Funciones (ver Anexo E, en formato electrónico, en disco adjunto, disponible en
jfquinteroo.blogspot.com), en la que se propusieron ejercicios y problemas que
44 Capítulo 2 : Metodología
pretendieron coadyuvar en la estructuración cognoscitiva de las representaciones
semióticas de las funciones y su uso en la modelación matemática.
En la etapa de validación de la propuesta en su conjunto, se aplicó una prueba de
control, cuyos resultados se contrastan con los de la prueba diagnóstica inicial. Estos
resultados y su análisis se muestran en el capítulo siguiente.
45
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
3. Resultados y análisis de los resultados
3.1 Resultados
Los criterios establecidos para determinar si un educando había o no superado los
obstáculos cognitivos definidos, diferencian si el estudiante hacía evidente o no su
comprensión del concepto de función, sus representaciones y era capaz de explicar sus
respuestas. Para ello se consideraron los mismos doce indicadores definidos en la
rúbrica diagnóstica.
Dicho análisis se hizo a partir de observaciones derivadas de la manipulación del OFA
por parte de los educandos, de los “productos” de la secuencia didáctica y de una
conducta de salida (ver anexo F, Conducta de Salida, en formato electrónico, en disco
adjunto, disponible en jfquinteroo.blogspot.com) en la que se presentan situaciones
similares a las tratadas en la guía complementaria.
Los resultados se muestran en la tabla 3-1, en la que se presenta una síntesis para los
40 estudiantes, sin diferenciar la institución donde estudian. También se presentan
dichos resultados mediante un gráfico estadístico que favorece la interpretación de los
mismos.
En la tabla se empleó el mismo código de colores utilizado en el análisis a priori, en la
que verde indica que este proceso se puede considerar apropiado, amarillo que indica
que este proceso evidencia apropiación parcial y rojo que indica que este proceso no ha
sido apropiado. Los indicadores en color verde muestran que los obstáculos asociados a
él han sido superados. Aquellos señalados con color amarillo y rojo muestran que dicho
obstáculo no ha sido superado satisfactoriamente y ello puede obedecer a otros factores
(obstáculos) de un orden distinto.
Tabla 3-1. Indicadores asociados a los obstáculos después de la intervención en el aula
Indicador No apropiado Apropiado
parcialmente Apropiado
I 1 Reconoce a partir de un grafo cuando una relación es una función.
0 6 34
I 2 Explica por qué un grafo representa o no una función.
0 6 34
I 3
Reconoce a partir de un diagrama sagital cuando una relación es una función.
0 2 38
I 4 Explica por qué un diagrama sagital representa o no una función.
0 5 35
I 5
Reconoce a partir de un diagrama cartesiano cuando una relación es una función.
1 6 33
I 6
Explica por qué un diagrama cartesiano representa o no una función.
1 8 31
I 7
Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.
1 9 30
I 8
Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación lineal entre dos magnitudes o variables.
3 12 25
I 9
Establece, a partir de una tabla de valores, la regla que determina una relación de covariación no lineal entre dos magnitudes o variables.
6 13 21
I 10
Escribe en el lenguaje matemático la regla que determina una relación de covariación no lineal entre
dos magnitudes o variables.
7 18 15
I 11 Representa correctamente una función gráficamente a partir de su registro tabular.
2 6 32
I 12
Escribe la fórmula (lenguaje matemático) correspondiente a una función dada en lenguaje natural.
2 14 24
47
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
No apropiado
Apropiado parcialmente
Apropiado
Figura 3-1. Resultados conducta de salida frente a los indicadores de superación de
obstáculos cognitivos.
De acuerdo con los resultados obtenidos a partir de la observación, análisis de las
producciones de los educandos y de la conducta de entrada se encontró que:
En promedio, el 5,3% de los educandos no logró, ni siquiera en un nivel básico, la
comprensión del concepto de función y sus representaciones. También se
evidencia que en este subgrupo de estudiantes hubo marcadas limitaciones
semánticas que les dificultó la efectiva comunicación matemática.
El 21,9% de los educandos logró parcialmente la comprensión del concepto de
función y sus distintas representaciones semióticas. Se encontró que en este
subgrupo de estudiantes también hubo limitaciones semánticas que dificultaron su
efectiva comunicación matemática. Fueron capaces de resolver situaciones
problémicas asociadas a la covariación lineal entre dos magnitudes, pudiendo
escribir la expresión algebraica (fórmula) o la expresión verbal de funciones
elementales a partir de su registro tabular. Incluso representaron correctamente,
este tipo de funciones en un sistema coordenado.
El 73,1% de los estudiantes que hicieron parte del estudio, mostraron una
adecuada apropiación conceptual y operativa de las funciones. Evidenciaron una
sustancial superación en la apropiación del lenguaje matemático asociado a las
funciones (memoria semántica), siendo capaces de enunciar una función en los
distintos registros (representaciones semióticas) abordados: lenguaje natural,
Po
rce
nta
je d
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stu
dia
nte
s
48 Capítulo 3 : Resultados y análisis de los resultados
lenguaje matemático, grafo, diagrama sagital, diagrama cartesiano y tabla de
valores. Comprendieron la covariación lineal entre dos magnitudes, la
representaron y explicaron el cómo y el por qué varían. Cuando la covariación es
no lineal, se evidenció dificultad para establecer analíticamente la expresión que
le representaba.
Los resultados en relación con los obstáculos cognitivos y su superación se presenta en
la tabla 3-2.
Tabla 3-2. Resultados de la superación de obstáculos cognitivos
OBSTÁCULO SUPERACIÓN
EVIDENCIA
PARCIAL PLENA
O 1 X Comentarios de los estudiantes.
O 2 X Puestas en común
Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
O 3 X Puestas en común
Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
O 4 X Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
O 5 X Puestas en común
Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
O 6 X Puestas en común
Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
O 7 X Puestas en común
Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
49
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
Tabla 3-2. Continuación
3.2 Análisis de los resultados
Los resultados derivados de la intervención sobre el grupo indican que fue posible la
superación parcial del obstáculo relacionado con la concepción “equivocada” que éstos
tenían de las matemáticas, al menos, en relación al objeto matemático función (O1 tablas
2-1 y 3-2). La implementación del OFA que vincula la lúdica, el uso de manipulativos, el
trabajo cooperativo y colaborativo al proceso de aprendizaje aportaron positivamente,
pero continúa siendo un arraigo cultural muy marcado y no existe en los jóvenes una
cultura académica bien cimentada.
El desarrollo de la secuencia didáctica, permitió la familiarización y la apropiación del
lenguaje matemático, asociado a las funciones en un alto porcentaje de educandos; sin
embargo, cuando debían representar algebraicamente una función que presentara una
relación de covariación no lineal entre dos magnitudes evidenciaron dificultad para
hacerlo correctamente. No obstante, mostraron una adecuada apropiación conceptual en
la diferenciación entre cantidades variables y constantes (O2 y O4, tablas 2-1 y 3-2).
Evidenciar que se consiguió una estructuración de conceptos matemáticos requirió un
análisis más profundo, que fue más allá de la revisión de la descripción del objeto
matemático función que los educandos hicieron a partir de su percepción (O5, tablas 2-1
y 3-2). Ello suscitó una diferenciación entre noción y concepto, que no se logró en la
totalidad de los educandos del grupo de estudio. La construcción de conceptos
OBSTÁCULO SUPERACIÓN
EVIDENCIA
PARCIAL PLENA
O 8 X Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
Manipulación del OFA.
O 9 X Productos de los estudiantes
Resultados pruebas conducta de entrada y conducta de salida.
Manipulación del OFA.
O 10 X Resultados pruebas conducta de entrada y
conducta de salida.
Manipulación del OFA.
50 Capítulo 3 : Resultados y análisis de los resultados
“positivos” visibilizó en cerca del 8% de los estudiantes la resistencia a modificar el
“concepto negativo” sobre el objeto matemático función, ello pudo obedecer a la forma en
que tradicionalmente los educandos se han acercado a los saberes matemáticos
escolares y a su pobre o inexistente cultura académica.
Después de la intervención, cuando se presentaron a los estudiantes situaciones en
diversos contextos familiares y no familiares, un pequeño porcentaje de estudiantes,
alrededor del 7%, mostró marcada dificultad para explicar por qué al variar una
magnitud la otra magnitud, dependiente, también cambiaba. Esto marca un alto índice de
superación de los obstáculos 4 y 6 (ver tablas tablas 2-1 y 3-2) puesto que el restante
93% fue capaz de explicar correctamente y con poca dificultad cómo el cambio en una
variable afectó a otra variable; con lo que fue evidente que hubo apropiación de los
subconceptos de constante, variable, variable independiente y variable independiente.
Al analizar si los estudiantes eran capaces de identificar a partir de distintos registros
(diagrama sagital, diagrama cartesiano, conjunto de pares ordenados, tabla de valores,
expresión verbal y expresión algebraica) cuándo una relación correspondía o no a una
función y argumentar el por qué, se encontró que el 85% de los educandos participantes
en el estudio logró superar los obstáculos 5,7, 8 y 9 (ver tablas 2-1 y 3-2). Gracias a la
implementación del OFA y de la Secuencia Didáctica, fueron capaces de sustentar a
partir de la definición formal de relación y función, así como de las condiciones de
existencia y unicidad si en una situación presentada estaba involucrada una función.
Los resultados de la conducta de salida y las observaciones realizadas indicaron que en
los educandos hubo dificultad para determinar con suficiencia el dominio y rango de una
función (O10, tablas 2-1 y 3-2) sobre todo si la función no era continua, no es de variable
lineal o está definida a trozos. Esto se hizo más visible cuando se les planteaban
situaciones problémicas en las que había restricciones para el conjunto de partida y
llegada, tales como la relación covariacional entre el costo a pagar por cierto artículo,
cuándo éstos solo admitían valores discretos.
Finalmente, los resultados indican que se logró el propósito de alcanzar niveles de
competencia adecuados en la resolución de problemas, la comunicación y el desarrollo
de habilidades de pensamiento asociadas a las funciones.
51
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
4. Conclusiones y recomendaciones
4.1 Conclusiones
La identificación de diez obstáculos cognitivos de orden epistemológico y didáctico,
relacionados con la concepción negativa que los educandos del grado noveno de la
Institución Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de
La Sagrada Familia tenían de las matemáticas, las limitaciones en su memoria
semántica, el desconocimiento o “conocimiento negativo” de preconceptos como el
de constante, variable, conjunto, diagrama sagital, diagrama cartesiano, grafo,
relación, entre otros; que condicionarían negativamente la adecuada construcción del
concepto de función, y en general de cualquier concepto matemático, se constituyó
como el punto de partida para la definición de los objetos didácticos que sirvieron
como elementos mediadores entre el objeto matemático y el educando. Sin lo
anterior, resulta difícil asegurar el conocimiento.
El diseño, desarrollo e implementación de objetos didácticos manipulables (OVA u
OFA) acompañados de una secuencia didáctica concebida con el propósito de
superar obstáculos cognitivos en los educandos de grado noveno de la Institución
Educativa Técnico Comercial José María Vivas Balcázar y del Colegio de La Sagrada
Familia fue posible, de modo que se logró un adecuado aprehendizaje de los saberes
conceptuales y procedimentales asociados al objeto matemático de función,
superando obstáculos epistemológicos y didácticos, empleando como estrategias
metodológicas la lúdica y el trabajo en equipo y el aprendizaje colaborativo.
El Objeto Físico de Aprendizaje, la Secuencia Didáctica y la Guía Académica
diseñadas pueden implementarse para los procesos de enseñanza y aprendizaje de
las funciones en instituciones educativas de características poblacionales y
socioeconómicas distintas; esto se debe a que responden a principios y metas
universales de la enseñanza y el aprendizaje matemático tales como: el alcance de
niveles de competencia adecuados, el autoconocimiento y la confianza en las
capacidades matemáticas, la resolución de problemas, el desarrollo de habilidades
de pensamiento y de comunicación matemática, la asimilación de la realidad, la
modelación y la experimentación, la búsqueda, selección y uso de información, con lo
que se aseguraría una cultura académica que favorece el aprehendizaje matemático.
4.2 Recomendaciones
A la luz de los resultados obtenidos después del desarrollo de la ingeniería didáctica al
concepto de función se recomienda que:
Se procure una adecuada cimentación conceptual y operativa de los conjuntos en los
grados previos al grado noveno. Es adecuado que se construya y desarrolle una
malla curricular que articule los sistemas lógicos, erradicados de los Estándares
Curriculares del área de Matemáticas del M.E.N., en los grados de la educación
básica, dado que esto favorece el uso y apropiación de la simbología matemática que
se emplea en la generalización y formalización de otros conceptos como el de
función.
Se genere una cultura académica en la Institución Educativa Técnico Comercial José
María Vivas Balcázar, con el concierto de todos los estamentos de la comunidad
educativa. Implementando acciones y estrategias que convenza a sus estudiantes
del valor de la educación y de cómo esta se convierte en un factor de cambio social,
mejorando su nivel de vida.
Diseñar, desarrollar e implementar objetos didácticos que den continuidad al proceso
de estructuración conceptual, operativa, semántica y semiótica de las funciones en
niveles superiores de desarrollo, haciendo seguimiento a su impacto en la mediación
del aprehendizaje. Para tal fin, el Objeto Físico de Aprendizaje diseñado e
implementado puede adaptarse, de modo que se amplíe el banco de funciones;
sirviendo como elemento mediador o como instrumento para la evaluación.
53
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en
estudiantes de grado noveno
A. Anexo: Encuesta para la caracterización de los educandos que conformaron el grupo experimental
.
SEDE PALMIRA
FACULTAD DE INGENIERÍA Y ADMINISTRACIÓN MAESTRÍA EN LA ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES
PROYECTO DE INVESTIGACIÓN: OBJETOS DIDÁCTICOS PARA EL APREHENDIZAJE DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN EN ESTUDIANTES DE GRADO NOVENO
ENCUESTA DE CARACTERIZACIÓN
Objetivo: Identificar características relevantes de los estudiantes que participarán en el estudio de
Objetos didácticos para el aprehendizaje del concepto de función en estudiantes del grado noveno.
Observaciones:
Diligencie la siguiente encuesta de manera responsable y honesta, respondiendo a cada ítem con información verídica y comprobable.
La información consignada en la encuesta tendrá uso exclusivo para el proceso de investigación, se manejará con prudencia y total reserva.
La información consignada en ella no afectará de modo alguno sus desempeños en el área de matemáticas.
1. Estudiante: 2. Edad: años
3. Dirección de residencia:
4. Es usted estudiante repitente: SI NO
5. Es usted un estudiante “nuevo” en la institución:
SI NO
Responda los items 6 y 7 solamente si usted marcó SI en el item 5.
6. Si usted es nuevo en la institución, indique el nombre de su institución de procedencia:
7. Indique la ciudad donde se encuentra localizada esta institución:
Indique si usted considera que ha tenido dificultades en el área de matemáticas durante su proceso de formación:
SI NO
Gracias por su valiosa colaboración.
54 Anexos
Bibliografía
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del material didáctico para la construcción y comprensión de las representaciones de la
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