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1. ESTADOS LMITE Y FILOSOFAS DE DISEO
Procedimiento de diseo
Fase 1
Definicin de las necesidades de los clientes y las prioridades
Requerimientos funcionales.
Requerimientos estticos.
Requerimientos de presupuesto.
Fase 2
Desarrollo conceptual del proyecto
Desarrollo de posibles esquemas.
Anlisis preliminar aproximado para cada uno de los esquemas / costo para cada
arreglo.
Seleccin del sistema estructural ms favorable.
Fase 3
Diseo del sistema individual
El anlisis estructural (basado en el diseo preliminar)
Anlisis de cargas y determinacin de esfuerzos o fuerzas internas en trminos de
momentos, fuerzas cortantes y fuerzas axiales.
Diseo
Especificaciones de construccin.
Dimensionamiento y diseo de los elementos estructurales.
Esttica.
Factibilidad de construccin.
Mantenimiento.
Estados lmite:
Condicin en la cual una estructura o elemento estructural ya no es aceptable para su usoprevisto. En estructuras de concreto reforzado se tienen tres estados lmites:
Estado lmite ltimo.
Estado lmite de servicio.
Estado lmite especial.
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Estado lmite ltimo
Tiene que ver con el colapso estructural de toda o parte de la estructura (con muy poca
probabilidad de ocurrencia).
Tiene que ver con la prdida del equilibrio de una o todas las partes de una estructura como
un cuerpo rgido (volcamiento, deslizamiento de la estructura).
Tiene que ver con la ruptura de los componentes crticos, causando el colapso parcial o
completo (flexin, falla a cortante).
Colapso progresivo
(1) Debido a una falla menor local, lo que ocasiona sobrecargas a los elementos adyacentes e
induciendo un colapso total de la estructura. La integridad estructural se proporciona mediante
la vinculacin de los elementos que componen la estructura por medio de un adecuado
detallamiento del acero de refuerzo, proporcionando vas alternativas de transmisin de cargas
en caso de falla localizada. (2) Formacin de un mecanismo plstico (articulaciones plsticas)
en algunas zonas de la estructura haciendo que la estructura pase a ser inestable. (3)
Inestabilidad causada por deformaciones de la estructura causando pandeo y por consiguiente
incrementos en los momentos de diseo de los elementos de soporte a cargas verticales. (4)
Fatiga en elementos estructurales puede fracturarlos en virtud de ciclos de esfuerzos repetidos
por las cargas de servicio (pueden causar colapso).
Estado lmite de servicio
La parte funcional de una estructura es afectada, pero el colapso no es inminente; lo cual puede
generar un peligro potencial para los elementos no estructurales. Un ancho de grieta excesivo
produce una fuga. La corrosin del refuerzo produce deterioro gradual de estructura. Las
deflexiones excesivas causan mal funcionamiento de la maquinaria, rompimiento de vidrios o
vitrinas actuando como elementos no estructurales, cambios en las distribuciones de fuerzas, las
vibraciones no deseadas producen cambios en las cargas.
Estado lmite especial
El dao y la falla son provocados por condiciones anormales como: terremotos de gran
magnitud, inundaciones, deslizamientos, efectos del fuego, explosiones, colisiones vehiculares,
efectos de corrosin, inestabilidad fsica y qumica a largo plazo.
Diseo en estado lmite
Identificar todos los posibles modos de falla. Determinar niveles aceptables de seguridad paralas estructuras normales con base en las recomendaciones de los cdigos de construccin
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vigentes. Considerar los estados lmites significativos. Los elementos se deben disear para el
estado lmite ltimo. El servicio se comprueba.
Cdigos de Construccin
Cuando dos materiales diferentes, tales como acero y hormign, actuando en conjunto deben ser
analizados, es comprensible que el anlisis del esfuerzo en un elemento de hormign armado
tiene que ser parcialmente emprico, aunque racional. Estos principios semi-racionales estn
siendo revisados constantemente y mejorado como resultado de la investigacin terica y
experimental que se acumula. El American Concrete Institute (ACI), sirve como centro de
informacin para estos cambios, as como principal referente de los diferentes cdigos de
construccin a nivel mundial.
Filosofas de diseo
Mtodo de esfuerzos admisibles (enfocado en condiciones de cargas de servicio).
Mtodo de resistencia (enfocado en las cargas ltimas).
Mtodo de esfuerzos admisibles
La seguridad en el diseo se obtiene especificando que el efecto de la carga debe producir
esfuerzos que corresponden a una fraccin de fy, por ejemplo 0.5. Este valor equivale a proveer
un factor de seguridad de 2. Este mtodo no es apropiado para el diseo de estructuras modernas
debido a las siguientes limitaciones:
El concepto de resistencia se fundamenta en el comportamiento elstico de materiales
homogneos.
Este mtodo no proporciona una medida razonable del esfuerzo, el cual es una medida ms
fundamental de la resistencia que el esfuerzo admisible.
El factor de seguridad es aplicado solo a la resistencia, por lo que las cargas en este modeloson de naturaleza determinstica (sin variacin).
La seleccin del factor de seguridad es subjetiva y por lo tanto no proporciona una medida
de confianza en trminos de probabilidad de falla.
Mtodo de resistencia
En el mtodo de resistencia se considera conceptualmente ms realista para establecer la
seguridad estructural, en este mtodo las cargas de servicio son incrementadas por medio de
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factores para obtener las cargas a las cuales la falla es considerada inminente; sta carga es
llamada carga factorizada o carga mayorada.
Resistencia Proporcionada Resistencia Requerida
Generalmente la resistencia proporcionada es levemente mayor a la resistencia requerida. La
resistencia proporcionada se calcula de acuerdo con las normas y los supuestos de
comportamiento prescrito por el cdigo de construccin y la resistencia requerida se obtiene
mediante la realizacin de un anlisis estructural con cargas mayoradas. La "resistencia
proporcionada" se conoce comnmente como "resistencia ltima".
Provisiones de seguridad
Las estructuras y elementos estructurales deben ser diseados para resistir carga adicional por
encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tres razones principales por
las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo estructural.
Variabilidad en resistencia
Variabilidad en cargas
Consecuencia de la falla
Variabilidad en resistencia
La variabilidad de la resistencia del concreto y el refuerzo.
Las diferencias entre las dimensiones de los elementos construidos en obra y los que se
encuentran consignados en los planos estructurales.
Los efectos de la simplificacin hecha en la derivacin de la resistencia de los
elementos.
Comparacin de la medida y clculo de los momentos de falla basados en todos los datos de
vigas de hormign armado con f'c > 2000 psi
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Figura 24
Variabilidad en cargas
Distribucin de frecuencias de los componentes sostenidos de las cargas vivas en las oficinas.
Figura 25
Consecuencias de la falla
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Una serie de factores subjetivos deben ser considerados en la determinacin de un nivel
aceptable de seguridad:
La posible prdida de vidas humanas.
El costo de retirar escombros con la correspondiente sustitucin de la estructura y sucontenido.
Costo para la sociedad.
Tipo de advertencia de la falla estructural y la existencia de rutas de carga alternativas.
Margen de seguridad
Las distribuciones de la resistencia y la carga se usan para obtener una probabilidad de falla de
la estructura.
Figura 26
Margen de seguridad
El trmino Y = R S se llama margen de seguridad. La probabilidad de falla se define como:
Pf= Probabilidad de < 0
Y el ndice de seguridad es:
Y
Y
=
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Figura 27
Cargas
Especificaciones
Las ciudades en los EE.UU. en general, basan sus cdigos de construccin en uno de los
siguientes tres cdigos (despus del 2000):
International Building Code IBC (Cdigo Internacional de Construccin)
Building Code Requirements for structural Concrete and Commentary ACI Committee
318, 2008. (Los cdigos de construccin de concreto estructural y comentarios)
Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los cdigos de construccin la antes del ao
2010 fue:
Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-98, 1998.
Para las ciudades de Colombia, la norma que rige los cdigos de construccin la despus del
ao 2010 es:
Reglamento Colombiano de Construccin Sismo Resistente, NSR-10, 2010.
Cargas muertas
El peso de toda la construccin permanente.
Magnitud constante y ubicacin fija.
Ejemplos:
Peso de la estructura (paredes, pisos, techos, cielorrasos, escaleras).
Equipo de servicio fijo (HVAC, pesos de tubera, bandeja de cables).
Pueden ser inciertas:
Espesor del pavimento
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Relleno de tierra sobre la estructura subterrnea
Cargas Vivas
Cargas producidas por el uso y ocupacin de la estructura.
Mximo de cargas que se puedan producir por el uso previsto.
No menos que el mnimo de carga uniformemente distribuida dada por el cdigo.
Cargas Ambientales
Cargas de nieve.
Terremoto.
Viento.
Presin del suelo. Estancamiento de aguas pluviales.
Diferenciales de temperatura.
Cargas de construccin
Materiales utilizados para llevar a efecto una construccin.
Peso de la formaletera que soporta el peso del concreto fresco.
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2. PROPIEDADES DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO
Definicin de Concreto
Material compuesto de cemento Portland, agregado fino (arena), agregado grueso (grava /piedra), y agua con o sin otros aditivos.
Hidratacin
Proceso qumico en el que el polvo del cemento reacciona con el agua y luego se pone y se
endurece en una masa slida, uniendo los agregados.
Calor de hidratacin
El calor se libera durante el proceso de hidratacin. En grandes masas de hormign el calor sedisipa lentamente, dando lugar al aumento de la temperatura y la expansin de volumen; ms
adelante hay contraccin por causas de enfriamiento, debido a esto es importante el uso de
medidas especiales para controlar la fisuracin.
Dosificacin
El objetivo es lograr la mezcla con:
Resistencia adecuada.
Trabajabilidad adecuada para la colocacin.
Bajo costo.
Bajo costo
Minimizar la cantidad de cemento.
Gradacin buena de los materiales (disminuyendo los vacos y por lo tanto la pasta de
cemento requerida).
Relacin agua-cemento (A / C)
El aumento de A / C: mejora la plasticidad y fluidez de la mezcla.
El aumento de A / C: los resultados en disminucin de la resistencia debido al mayor
volumen de vacos en la pasta de cemento y debido al agua libre.
La completa hidratacin del cemento requiere A / C ~ 0.25.
Necesidad de agua para humedecer la superficie total, facilitar la movilidad del agua
durante la hidratacin y proporcionar trabajabilidad. Tpico de A / C = 0.40-0.60
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Tabla 1
Relacin Tpica Agua/Cemento y Resistencia a la Compresin y Flexin del Peso Normal del Concreto
Relacin Agua/CementoProbabilidad de la Resistencia del Concreto a los
28 Das
Compresin Flexin
Por el PesoGalones por Saco
(94 lb.)
Litros por Saco
(50 kg)psi N/mm2 psi N/mm2
0,35 4,0 17,5 6300 41 650 4,5
0,4 4,5 20,0 5800 40 610 4,2
0,44 5,0 22,0 5400 37 590 4,1
0,49 5,5 24,5 4800 33 560 3,9
0,53 6,0 26,5 4500 31 540 3,7
0,58 6,5 29,0 3900 27 500 3,5
0,62 7,0 31,0 3700 25 490 3,4
0,67 7,5 33,5 3200 22 450 3,1
0,71 8,0 35,5 2900 20 430 3,0
Las proporciones se han dado por volumen o peso de cemento para arena y grava (es decir,
1:2:4) con la relacin A / C especificada separadamente.
Agregados
Corresponden al 70-75% del volumen de concreto endurecido.
El resto corresponde a pasta de cemento endurecida, el agua no combinada, burbujas de aire.
Los agregados ms densos dan mejor:
Fuerza.
Resistencia a la intemperie (durabilidad).
Economa.
Agregado fino: arena (pasa a travs de una malla # 4 (4 agujeros por pulgada)).
Agregado grueso: grava
Gradacin buena
2-3 grupos de tamao de la arena.
Varios grupos de tamao de la grava.
El tamao mximo del agregado grueso en las estructuras de concreto reforzado: deben
ajustarse a las formas y el espacio disponible entre las barras de refuerzo (NSR-10, C.3.3.2).
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1/5 de la dimensin ms estrecha.
1/3 de la profundidad de la losa.
3/4 de la distancia mnima entre barras de refuerzo.
Resistencia de los agregadosAgregados fuertes: cuarcita.
Agregados dbiles: arenisca, mrmol.
Resistencia intermedia: piedra caliza, granito.
En el diseo de mezclas de concreto, tres requisitos principales para el concreto son de gran
importancia:
Calidad.
Trabajabilidad.
Economa.
Calidad
La calidad del hormign se mide por su resistencia y durabilidad. Los principales factores que
afectan a la resistencia del concreto, suponiendo que los agregados son buenos, son la relacin
A / C, y la medida en que ha progresado la hidratacin. La durabilidad del hormign es la
capacidad del concreto para resistir la desintegracin debido procesos de congelacin y
descongelacin, y en algunos casos debido al ataque qumico.
Trabajabilidad
La trabajabilidad del hormign se puede definir como la composicin caracterstica indicativa
de la facilidad con que la masa de material plstico puede depositarse en su lugar definitivo, sin
segregacin durante la colocacin, y su capacidad de adaptarse a la formaleta que conforma el
elemento estructural.
Economa
La economa tiene en cuenta el uso eficaz de los materiales, un resultado adecuado de
resistencia, y facilidad de manejo y disposicin del concreto. El costo de produccin de concreto
de buena calidad es un factor importante en el costo total de cualquier proyecto de construccin.
Tabla 2 Influencia de los ingredientes en las propiedades del hormign
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Ingrediente Calidad Trabajabilidad Economa
Agregados Incrementa Disminuye Incrementa
Cemento Portland Incrementa Incrementa Disminuye
Agua Disminuye Incrementa Incrementa
De W.A. Cordon, Properties, Evaluation, and Control of Engineering Materials, McGraw-Hill
Book Company, New York, 1979.
Ensayo de asentamiento
La trabajabilidad es medida por la prueba de asentamiento. La medida de la consistencia de la
mezcla se hace con el ensayo de asentamiento de cono.
Figura 28
Capa 1: Llene 1 / 3 (25 inserciones).
Capa 2: Llene 2 / 3 (25 inserciones).
Capa 3: Llene completo (25 inserciones).
Se retira el cono y se mide el asentamiento (por lo general est entre 2 y 6 pulgadas)
Tabla 3: Rangos de asentamientos recomendados para las distintas clases de estructuras de
hormign.
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Mezcla Recomendada Para La Consistencia Del Cemento
Tipo de Estructura Asentamiento (in.)
Mnimo Mximo
Secciones masivas, pavimentos y pisos
establecidos en el suelo1 4
Losas pesadas, vigas, paredes 3 6
Paredes delgadas y columnas, losas ordinarias
y vigas.4 8
Aditivos
Mejoran la trabajabilidad.
Aceleran o retardan el fraguado y endurecimiento.
Ayudan en la curacin.
Mejoran la durabilidad.
Incorporacin de aire
Aadir vacos de aire con burbujas
Ayuda con los ciclos de congelacin/descongelacin, facilidad de trabajo, etc.
Disminuye la densidad: reduce la resistencia, pero tambin disminuye A / C.
Superplastificantes
Incrementan la trabajabilidad por la liberacin qumica del agua contenida en los agregados
finos.
Tipos de cemento
Tipo I:
Es el ms utilizado en nuestro medio, destinado a obras de hormign en general, al que
no se le exigen propiedades especiales. Tipo II:
Es el que se debe usar en obras que estn expuestas a la accin moderada de sulfatos y
se requiera moderado calor de hidratacin, como por ejemplo canales de aguas negras.
Tipo III:
Es el que desarrolla altas resistencias a temprana edad. Utilizado en la industria de
elementos prefabricados de concreto.
Tipo IV:
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Es el que desarrolla bajo calor de hidratacin. Se usa para represas y obras que posean
un gran volumen de concreto.
Tipo V:
Es el que ofrece alta resistencia a la accin de sulfatos, til para obras que se encuentren
en contacta con el medio marino
Mecanismos de falla del concreto
Microfisuras por retraccin
Corresponde a la contraccin inicial de grietas debido a la retraccin por fraguado, la
contraccin de hidratacin, y la contraccin por secado.
Figura 29
Microfisuras por adherencia
Son extensiones de microfisuras de retraccin, al aumentar el esfuerzo a compresin el campo
incrementa, la contraccin de microfisuras ampla pero no se propaga en la matriz. Ocurren
cuando el nivel de esfuerzos alcanza un 15-20 % de la resistencia ltima del concreto.
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Figura 30
Microfisuras de matriz
Son microfisuras que se producen en la matriz. Se producen cuando el nivel de esfuerzos
alcanza un 30-45 % de la resistencia ltima del concreto. Las microfisuras de matriz comienzan
el puente entre s correspondiente a un 75%. Las microfisuras en los agregados se producen
justo antes del fallo.
Figura 31
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3. PROPIEDADES MECNICAS DEL CONCRETO Y EL ACERO DE REFUERZO
Concreto
Figura 32
La prueba de resistencia estndar generalmente, utiliza una muestra cilndrica. La prueba se
hace despus de 28 das para la prueba de resistencia, fc. El hormign se sigue endureciendo
con el tiempo y para un cemento Portland normal se incrementar con el tiempo de la siguiente
forma:
Tabla 3
Edad 7 Das 14 Das 28 Das 3 Meses 6 Meses 1 Ao 2 Aos 5 Aos
Relacin deResistencia
0,67 0,86 1 1,17 1,23 1,27 1,31 1,35
Resistencia a la compresin, fc
Por norma se define a 28 das para la resistencia de diseo
Relacin de Poisson,
~ 0.15 a 0.20, generalmente se usa = 0,17
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Figura 33
Mdulo de elasticidad del concreto (Ec)
Corresponde al mdulo secante para un valor de esfuerzo equivalente a 0,45 fc.
NSR-10 (C.8.5.1). El mdulo de elasticidad, Ec, para el concreto puede tomarse como:
1.5 *0.043 cw f c En MPa
Para valores de wccomprendidos entre 1440 y 2560 kg/m3. Para concreto de densidad normal,
Ec puede tomarse como 4700 f c
Donde wc = Peso (kg / m3)
3 31440 Kg/ m < wc < 2560 Kg/ m
Ec (MPa) = 4700 f c
Para el peso normal del concreto:
32400 Kg/mcw
Deformacin del concreto a mximo esfuerzo de compresin
Para las curvas tpicas de la compresinc.
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cvara entre 0.0015-0.003.
Para la resistencia normal de hormign c ~ 0.002.
Figura 34
Deformacin mxima utilizable, cu
cu = 0.003
La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a
compresin del concreto se supone igual a 0.003. NSR-10 (C.10.2.3).
Usado para flexin y compresin axial.
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Las curvasEsfuerzo vs Deformacin para un concreto tpico en compresin:
Figura 36
Tipos de falla a compresin
Hay tres modos de falla:
El concreto falla a cortante bajo compresin axial.
La separacin de la muestra en piezas en forma de columna por lo que se conoce como
divisin o fractura de columna.
Combinacin de la falla cortante y fractura de columna.
Figura 37
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Resistencia a traccin del concreto
Resistencia a traccin~ 8% a 15% del fc..
Mdulo de rotura, fr.
Para los clculos de deflexin, se usa:
fr 0.62 fc( )MPa=
Para el uso de concreto de peso liviano, debe emplearse el factor de modificacin
como multiplicador de fc en todas las ecuaciones y secciones aplicables del
Ttulo C del Reglamento NSR-10, donde = 0.85 para concreto liviano de arena de
peso normal y 0.75 para los otros concretos de peso liviano. Se permite la interpolacin
entre 0.75 y 0.85, con base en fracciones volumtricas, cuando una porcin de los
agregados finos de peso liviano es reemplazada por agregado fino de peso normal. Se
permite la interpolacin lineal entre 0.85 y 1.0 para el concreto que contiene agregado
fino de peso normal y una combinacin de agregados gruesos de peso normal y
de peso liviano. Para el concreto de peso normal = 1.0 . Si se especifica la resistencia
promedio a la traccin por hendimiento del concreto de peso liviano, fct , entonces:
c
fct= 1.0
(0.56 f ) NSR-10, C.8.10
Ensayo
Figura 38
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Figura 39
Acero de refuerzo
Figura 40
Tipos ms comunes para miembros no pretensados:
Laminados en caliente, barras corrugadas.Tejidos de alambre soldado.
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Figura 41
Tabla 4: reas, pesos, dimensiones acero de refuerzo. Designaciones, reas, permetros y pesos
de barras estndar.
Dimetrorea DeSeccin
Transversal
PermetroUnidad De
Peso Por PieDimetro rea
Barra in. in . in. lb. mm. mm .
# Nominal Actual
2 1/4 0,250 0,05 0,79 0.167 6,4 32
3 3/8 0,375 0,11 1,18 0.376 9,5 71
4 1/2 0,500 0,20 1,57 0.668 12,7 129
5 5/8 0,625 0,31 1,96 1.043 15,9 200
6 3/4 0,750 0,44 2,36 1.502 19,1 284
7 7/8 0,875 0,60 2,75 2.044 22,2 387
8 1 1,000 0,79 3,14 2.670 25,4 510
9 1 1,128 1,00 3,54 3.400 28,7 645
10 1 1,270 1,27 3,99 4.303 32,3 820
11 1 1,410 1,56 4,43 5.313 35,8 1010
14 1 1,693 2,25 5,32 7.650 43,0 1450
18 2 2,257 4,00 7,09 13.600 57,3 2580
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Tipos
ASTM A615 - Especificacin estndar para barras de acero deformadas.
ASTM A616 Barras para rieles de acero.
ASTM A617 Barras para ejes de acero.
ASTM A706 Barras de baja aleacin de acero.
Curva esfuerzo-deformacin para diferentes tipos de barras de acero de refuerzo
Figura 42
Es = modulo de elasticidad del acero, el cual puede tomarse como la tangente inicial en la
curva esfuerzo deformacin y puede tomarse para acero de refuerzo no pre-esforzado como
un valor fijo de 200 GPa (NSR-10 C.8.5.5).
Figura 43
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4. FLEXIN
Localizacin del acero de refuerzo
Figura 44
Figura 45
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Figura 46
Figura 47
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Figura 48
Esfuerzo flector en vigas
La viga es un elemento estructural diseado para soportar principalmente momentos
flectores y cortantes. Una viga debe ser definida como columna si existiera una fuerza de
compresin considerable.
C = T
M = C*(jd)M = T*(jd)
El esfuerzo en un bloque es definido como:
max
= (M*y) / I
Sxx = I / (y )
La ecuacin para el mdulo Sxx para el clculo del esfuerzo de compresin mxima.
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Figura 49
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Figura 50
Cinco estados de esfuerzos en el concreto al incrementarse la carga aplicada
Estado de carga #1: No hay cargas externas, solo el peso propio.
Figura 51
Estado de carga #2: La carga externa aplicada sobre la viga hace que las fibras inferiores
extremas tengan un esfuerzo equivalente al mdulo de rotura del concreto fr. La seccin de
concreto entera es efectiva, la barra de acero en el lado de tensin tiene la misma deformacin ala del concreto ubicado alrededor de la barra de refuerzo.
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Estado de carga #3: La resistencia a la traccin del hormign excede la equivalente al mdulo
de rotura fr y por consiguiente se desarrollan fisuras. El eje neutro se desplaza hacia arriba y las
fisuras se extienden hasta el eje neutro. El concreto pierde resistencia a la traccin y el acero
comienza a trabajar eficazmente y resiste la carga de tensin total.
Estado de carga #4: El esfuerzo en el concreto en la fibra extrema superior se comporta en el
rango lineal para posteriormente sobrepasar el valor de 0.45fc y pasar a un comportamiento no
lineal.
Estado de carga #5: Falla de la viga.
Figura 52
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( )Ey y
( )E
y
yM
I
M
EI
= =
=
=
La primera viga falla a cortante y la segunda viga falla a momento flector.
Figura 55
Tipos de fallas por flexin de una viga de concreto reforzado:
El acero alcanza el esfuerzo de fluencia antes de que el concreto alcance su mximo valor
esfuerzo (condicin de falla sub-reforzada).
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Figura 56
El acero alcanza su esfuerzo de fluencia al mismo tiempo que el hormign alcanza su mximo
valor esfuerzo y deformacin (condicin de falla balanceada).
Figura 57
El concreto alcanza su mximo valor esfuerzo y deformacin antes que el acero alcance
su esfuerzo de fluencia (condicin de fallan sobre-reforzada).
Figura 58
La deformacin por flexin y la distribucin de esfuerzos de una viga para una viga de prueba.
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Anlisis de vigas en condiciones de cargas de servicio
Ec Mdulo de Elasticidad - Concreto
Es Mdulo de Elasticidad - Acero
As rea del Acero
d Distancia al acero
b Ancho
h Alto
n Relacin Modular
s
c
E
En =
Propiedades de la Mecnica de Materiales
Centroide i i
i
y A
Ay =
Momento de Inercia ( )2
i i iI I y y A= +
Seccin no fisurada
Figura 60
Tabla 5
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rea yi yiA I yi - y (yi -y)2 A
Concreto bh h/2 bh2/2 bh3/12 (h/2-y) (h/2-y)bd
Acero (n-1)As d d(n-1)As --- (d-y) (d-y)2(n-1)As
( )
( )
( ) ( ) ( )
2
si i
i s
232 2
s
1y A 2A 1
112 2i i i
bhn A d
ybh n A
bh hI I y y A y bh d y n A
+ = =
+
= + = + +
Seccin fisurada
Para una seccin fisurada el concreto esta en compresin y el acero est en tensin. Ladeformacin en la viga es lineal.
Figura 61
c
s s
1
2C yb f T A f
=
=
Condicin de equilibrio
s s c
s c
s
1
2
2
T C
A f yb f
ybf f
A
=
=
=
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Usando la Ley de Hooke
f E=
c s s s
s s c cs s c
2 2
2
E A nAybE E
A E yb yb
= = =
Sin embargo, este es un problema indeterminado para encontrar y . Se debe utilizar la
condicin de compatibilidad de deformaciones.
Figura 62
Usando la condicin de compatibilidad de deformaciones.
s c c
sd d
y
y y y
= =
Se sustituye en la primera ecuacin.
Se sustituye para la relacin de deformacin
s2nAy
d y yb=
Reorganizar la ecuacin en una ecuacin de segundo grado
2 s s2 2 0nA nA
y y db b
+ =
Utilizar una relacin de reas de concreto y acero
2 2s 2 2 0A
y n d y n dbd
= + =
Modificar la ecuacin para definir una relacin adimendional
2
2 2 0y y
n nd d
+ =
Usando la frmula cuadrtica
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( )
( )
2
2
2 2 8
2
2
n n ny
d
yn n n
d
+ =
= +
Resolver para el centroide multiplicando el resultado por d. El momento de inercia es definido
usando el teorema de los ejes paralelos
Figura 63
( )
( )
( )
2
232
s
32
s
12 2
3
i i iI I y y A
by yI by d y nA
byI d y nA
= +
= + +
= +
EJEMPLO 1
Considere una viga rectangular simple (b*h) reforzada con un rea de acero de refuerzo A s.
Determinar la ubicacin del centroide y el momento de inercia para la seccin mostrada en la
figura, considerando los casos de seccin no fisurada y fisurada. Compare los resultados.
(C.8.5.2)Es 200000MPa
Ec 25000MPa
d 340mm
b 300mm
h 400mm
=
=
=
=
=
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Usar 4 barras N7 para el acero de refuerzo.
Una barra N7 tiene un rea de 387 mm2, entonces 4N7 corresponde a 1548 mm2.
Se tiene la relacin modular,
200000
825000
Es MPa
n Ec Mpa= = =
Seccin no fisurada
2 22
2
(300 )(400 )( 1) (8 1)(1548 )(340 )
2 2 212( 1) (300 )(400 ) (8 1)(1548 )
bh mm mmn Asd mm mm
y mmbh n As mm mm mm
+ + = = =
+ +
( ) ( )
232
112 2
bh hI y bh d y n As
= + +
( ) ( )23
2 2(300 )(400 ) 400 211,6 (300 )(400 ) 340 211,6 8 1 154812 2
mm mm mmI mm mm mm mm mm mm
= + +
41794795564I mm=
Seccin fisurada
( )( )21548 0,0152
300 340As mm
bd mm mm = = =
( ) ( )( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )( )22
2 8 0,0152 2 8 0,0152 8 0,0152 0,3863
0,3863* 0,3863*340 131
yn n n
d
y d mm mm
= + = + =
= = =
( )( )( )
( ) ( )( )33
2 2 2
4
300 131,35340 131,35 8 1548
3 3
765751065
mm mmbyI d y nAs mm mm mm
I mm
= + = +
=
Se puede observar que el centroide cambia de 212 mm a 131 mm y el momento de inercia se
reduce de 1794795564 mm4 a 765751065 mm4.
El centroide disminuye en un 38% y el momento de inercia en un 57%. La seccin fisurada
pierde ms de la mitad de su resistencia original.
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EJEMPLO 2
Determinar la distribucin de esfuerzos para los siguientes momentos Mu1= 75 KN-m y Mu2=
125 KN-m.
Es = 200000 MPa
Ec = 25000 MPa
d = 590 m
b = 300 mm
h = 650 mm
As = 1548 mm2
Relacin modular,200000
825000
Es MPan
Ec Mpa= = =
Para agregado grueso de origen gneo se tiene 4700 'Ec f c= (C.8.5.1)
2 225000
' 28,29 284700 4700
Ec
f c MPa MPa
= = =
El mdulo de rotura, fr, se define de la siguiente forma (NSR-10 C.9-10)
0.62 '
0.62 1 28 3,28
fr f c
fr MPa
=
= =
Tensioneselsticasseccin no fisurada
2 22
2
(300 )(650 )( 1) (8 1)(1548 )(590 )
2 2 339( 1) (300 )(650 ) (8 1)(1548 )
bh mm mmn Asd mm mm
y mmbh n As mm mm mm
+ +
= = =+ +
( ) ( )23
21
12 2
bh hI y bh d y n As
= + +
( )( )( )( ) ( ) ( )( )
3 22 2300 650 650 339 300 650 590 339 8 1 1548
12 2
mm mm mmI mm mm mm mm mm mm
= + +
47586523836I mm=
Concreto a compresin
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( ) ( )3 4
75 0,3393,35
7,586 10
KN m mfcc MPa
m
= =
Concreto a traccin
( )( )3 4
75 0,650 0,3393,077,586 10
KN m m mfct MPa frm
= =
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5. CONSIDERACIONES BSICAS EN LA TEORA DE FLEXIN
Las secciones planas continan siendo planas antes y despus de la aplicacin de la carga.
Este enunciado no es cierto para vigas de gran altura h> 4b.
La deformacin en el acero de refuerzo es igual a la deformacin en el concreto medidas al
mismo nivel.
El esfuerzo en el concreto y en el acero de refuerzo puede ser calculado de las equivalencias
en deformacin de las curvas del concreto y el acero.
Supuestos adicionales para el diseo (con el fin de simplificar)
Resistencia a la traccin del concreto no se considera para el clculo de resistencia a la
flexin. El concreto se asume que falla en compresin cuando:
(esfuerzo concreto) (estado lmite)
(esfuerzo concreto) 0.003c cu
c
=
=
NSR-10
C.10.2 Suposiciones de diseo
C.10.2.3 La mxima deformacin unitaria utilizable en la fibra extrema sometida a
compresin del concreto se supone igual a 0.003.
La relacin para el concreto puede ser asumida que tiene cualquier forma, siempre y
cuando los resultados permitan obtener un valor aceptable de la resistencia.
Figura 66
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La fuerza de compresin se modela como c 1 3 cC = k k f b c en la posicin 2x = k c
Figura 67
Los coeficientes de compresin de los esfuerzos en el bloque dados por las siguientes figuras:
Figura 68
k3 es la relacin de mximo esfuerzo para fc en la zona a compresin de una viga para la
resistencia del cilindro, fc (0.85 es el valor tpico para un concreto comn).
La zona de compresin se modela con un bloque de esfuerzo equivalente.
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Figura 69
La distribucin rectangular equivalente de esfuerzos para el concreto tiene lo que se conoce
como coeficiente 1 , que es la proporcin del promedio que incluye la distribucin de
esfuerzos.
1 c
c1
0.85 for 28 MPa
280.85 0.05* 0.65
7
f
f
=
=
Requisitos para el anlisis de vigas de concreto reforzado
Esfuerzo compatibilidad de deformacin
El esfuerzo en un punto en la viga debe corresponder a la tensin en el punto simtrico.
Equilibrio
Las fuerzas internas se balancean con las fuerzas externas.
Figura 70
Condicin de equilibrio
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x
s s c
n
0 T C
0.85
0 T M2
F
A f f ab
aM d
= =
=
= =
Figura 71
Resistencia de la seccin a flexin
s s
c
s s
c
0.85
0.85
T A f
C f ab
A fa
f b
=
=
=
( )n
n s s
M Momento del brazo
M2
=
=
T
aA f d
Se debe confirmar s y>
( )
yy
s
1
s c y
E
ac
d c
c
=
=
= >
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EJEMPLO 3
Determinar la ubicacin del eje neutro y el momento de diseo para la viga rectangular
mostrada en la figura.
f 'c 28MPafy 420MPa
b 300mm
d 440mm
h 500mm
==
=
=
=
Usar 4 N7 para el acero de refuerzo As = 1548 mm2.
1 = 0,85 para ' 28 ( .10.2.7.3)f c MPa C
Principio de equilibrio, asumiendo fluencia del acero se tiene:
( )( )( ) ( )
2
0.85 '
420 154891
0.85 ' 0.85 28 300
y
y
C T
f c b a f As
MPa mmAs fa mm
f c b MPa mm
=
=
= = =
El eje neutro se encuentra ubicado a:
1
91 1070,85
a mmc mm
= = =
Revisin si el acero de refuerzo ha alcanzado la fluencia:
( ) ( )
4200,0021
200000440 107
0,003 0,003 0,0093
1070,0093 0,0021 fluencia del acero de refuerzo
= = =
= = =
>
y
y
f MPa
Es MPa
d c mm mmEs
c mm
( )( )3 20,091
1.548 10 420000 0,44 256,52 2
a mMn As fy d m KPa m KN m
= = =
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EJEMPLO 4
Para la viga mostrada en la figura con fc = 41MPa, fy = 420Mpa y d = 340mm.
Determinar el rea de acero para la condicin balanceada de la seccin sombreada, la cual
muestra el rea de concreto a compresin, determinar el momento nominal resistente de la
seccin y la ubicacin del eje neutro.
Determinar el rea de concreto:
( ) ( ) ( )( ) 2150 100 300 80 39000Ac mm mm mm mm mm= + =
Por condicin de equilibrio se tiene:
( )( ) ( ) ( )
( )( )
2
2
3 2 2
150 100 300 80 39000
0,85 ' 0,85 41000 0,039 1359
0,85 ' 13590,85 ' 3, 236 10 3236
420000
C T
Ac mm mm mm mm mm
C f c Ac KPa m KN
f c Ac KNfs As f c Ac As m mm
fs KPa
=
= + =
= = =
= = = = =
Determinar el centroide de la zona de compresin del concreto:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( )( ) ( ) ( )
150 100 50 300 80 140105
150 100 300 80i i
i
y A mm mm mm mm mm mmy mm
A mm mm mm mm
+= = =
+
Momento resistente de la seccin:
( ) ( )1359 0,34 0,105 319Mn T d y KN m m KN m= = =
Determinar la ubicacin del eje neutro:
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1
28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,76 ( .10.2.7.3)
7 7
fcC
= = =
1
180237
0,76
a mmc mm
= = =
EJEMPLO 5
Determinar el momento ltimo que resiste la seccin mostrada en la figura
( )2 2
2f
w
f ' c 28MPa
fy 420MPaAs 4 509mm 2036mm
A 75 100 2 15000mm
A 300 a '
=
=
= =
= =
=
Equilibrio de fuerzas:f w
T C C= +
( ) ( )
( ) ( )
0,85 ' 0,85 ' 300 '
2036 420 0,85 28 15000' 700,85 28 300
f w
f
T C C
As fy f c A f c a
a mm
= +
= +
= =
Ubicacin eje neutro100 70 170
170200
0,85
a mm mm mm
mmc mm
= + =
= =
Momento es dado por:
'
2 2w fa h
Mn C d h C d
= + +
( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]( )60,85 28000 15000 10 0,54 0,1 0,07/ 2 0,85 28000 0,3 0,07 0,54 0,05389
Mn KPa KPa
Mn KN m
= + +
=
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6. CARGAS
Provisiones de seguridad
Las estructuras y los elementos estructurales deben siempre ser diseados para llevar algo de
carga de reserva por encima de lo que se espera bajo condiciones normales de uso. Hay tresrazones principales por las que algn tipo de factor de seguridad es necesario en el diseo
estructural.
Las consecuencias de la falla
La variabilidad en la carga.
La variabilidad en la resistencia.
Especificaciones
Las ciudades en los EE.UU. por lo general basan sus cdigos de construccin en uno de los 3
cdigos modelo:
Uniform Building Code.
Basic Building Code (BOCA).
Standard Building Code.
Estos cdigos se han consolidado en el 2000International Building Code.
Las cargas en estos cdigos se basan principalmente en el documento ASCE Minimum Design
Loads for Buildings and Other Structures han sido actualizadas para ASCE 7-02.
En Colombia a nivel de normativa tenemos:
Cdigo Colombiano de Construcciones Sismo-resistentes : Decreto 1400 de 1984.
Normas Colombianas de Diseo y Construccin Sismo-resistente NSR-98.
Reglamento Colombiano de Construcciones Sismo-resistente NSR-10.
Las variaciones de carga se tienen en cuenta mediante el uso de una serie de "factores de carga"
para determinar la carga ltima.
NSR-10
Captulo B.2 COMBINACIONES DE CARGA
B.2.2 NOMENCLATURA
D = carga muerta consistente en:
(a) peso propio del elemento.
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(b) peso de todos los materiales de construccin incorporados a la
edificacin y que son permanentemente soportados por el elemento, incluyendo
muros y particiones divisorias de espacios.
(c) peso del equipo permanente.
E = fuerzas ssmicas reducidas de diseo (E = Fs/ R) que se emplean para disear
los miembros estructurales.
F = cargas debidas al peso y presin de fluidos con densidades bien definidas y alturas
mximas controlables.
G = carga debida al granizo, sin tener en cuenta la contribucin del empozamiento.
L = cargas vivas debidas al uso y ocupacin de la edificacin, incluyendo cargas debidas aobjetos mviles, particiones que se pueden cambiar de sitio. L incluye cualquier reduccin que
se permita. Si se toma en cuenta la resistencia a cargas de impacto este efecto debe tenerse en
cuenta en la carga viva L.
Le = carga de empozamiento de agua.
Lr = carga viva sobre la cubierta.
H = cargas debidas al empuje lateral del suelo, de agua fretica o de materiales almacenadoscon restriccin horizontal.
T = fuerzas y efectos causados por efectos acumulados de variacin de temperatura,
retraccin de fraguado, flujo plstico, cambios de humedad, asentamiento diferencial o
combinacin de varios de estos efectos.
W = carga de viento.
B.2.4 COMBINACIONES DE CARGAS MAYORADAS USANDO EL MTODO DE
RESISTENCIA
B.2.4.1 APLICABILIDAD Las combinaciones de carga y factores de carga dados en la
seccin B.2.4.2 deben ser usados en todos los materiales estructurales permitidos por el
reglamento de diseo del material, con la excepcin de aquellos casos en que el Reglamento
indique explcitamente que deba realizarse el diseo utilizando el mtodo de los esfuerzos de
trabajo. Caso en el cual se deben utilizar las combinaciones de la seccin B.2.3.1.
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Nota Importante: Las combinaciones de carga dadas en B.2.4.2 contienen factores de cargas
menores que los que prescriba el Reglamento NSR-98, pero al mismo tiempo para cada uno de
los materiales estructurales en esta nueva versin del Reglamento (NSR-10) se han prescrito
valores de los coeficientes de reduccin de resistencia, , menores que los que contena el
Reglamento NSR-98, siendo los nuevos valores concordantes con la probabilidad de falla
estructural que limita el Reglamento. Por lo tanto es incorrecto, e inseguro, utilizar las
nuevas ecuaciones de combinacin de carga de B.2.4.2 con los valores de los coeficientes de
reduccin de resistencia, , que contena la NSR-98.
B.2.4.2 COMBINACIONES BSICAS El diseo de las estructuras, sus
componentes y cimentaciones debe hacerse de tal forma que sus resistencias de diseo
igualen o excedan los efectos producidos por las cargas mayoradas en las siguientes
combinaciones:
1.4 (D+F) (B.2.4-1)
1.2 (D+F+T) + 1.6 (L+H) 0.5 (Lr G Le) (B.2.4-2)
1.2D+1.6 (Lr G Le) + (L 0.8W) (B.2.4-3)
1.2D+1.6W+1.0L+0.5 (Lr G Le) (B.2.4-4)
1.2D+1.0E+1.0L (B.2.4-5)
0.9D+1.6W+1.6H (B.2.4-6)
0.9D+1.0E+1.6H (B.2.4-7)
Las ecuaciones ms generales de la carga ltima que van a ser ms utilizadas en este libro son:
U = 1.4D
U = 1.2D + 1.6L
RESISTENCIA
Los factores de carga van a generar la carga ltima, que se utiliza en el diseo y anlisis de los
elementos estructurales.
u nM M=
u
n
M - Momento ltimo
M - Momento Nominal
- Factor de Reduccin de Resistencia
El factor de reduccin de la resistencia, , vara de miembro a miembro, dependiendo si est en
tensin o compresin o dependiendo tambin del tipo de miembro.
Tres posibilidades en el comportamiento inelstico de vigas de concreto reforzado
Falla a compresin.
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Falla a tensin.
Falla balanceada.
Falla a compresin
El acero entra en fluencia despus de que se presenta la falla en el concreto. Se trata de un fallo
repentino (frgil). La viga es conocida como una viga sobre - reforzada.
Figura 72
Falla a tensin
El acero entra en fluencia antes de que falle el concreto. El concreto se aplasta en un fallo de
compresin secundaria. La viga es conocida como una viga sub reforzada.
Figura 73
Falla balanceada
El acero entra en fluencia al mismo tiempo que el concreto falla. La viga es conocida como unaviga en condicin balanceada.
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Figura 74
La falla a tensin de la viga sub reforzada es la ms conveniente. Es un tipo de falla que
permite soportar carga adicional antes de la falla y por su ductilidad puede ser visualmente
apreciada antes del colapso de la viga.
Figura 75
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7. VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS
Cuanta balanceada
bal = Valor nico cuando se presentan simultneamente las siguientes condiciones:
c
s y
= 0.003
=
Usando la relacin de tringulos semejantes:
y
b b
0.003
c d c
=
Figura 76
La ecuacin puede ser rescrita para encontrar bc
( )
( ) ( )
( ) ( )
b y b
b y
bb
y y
b s
sy y
0.003d 0.003c c
c 0.003 0.003d
c0.003d 0.003cd0.003 0.003
c E0.003 600
d E0.003 600 f
=
+ =
= =+ +
= = + +
Ecuacin de momento nominal
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C.9.3.4 Para estructuras con capacidad de disipacin de energa moderada (DMO) o
especial (DES) que dependen de muros estructurales, construidos en sitio o prefabricados, o
prticos resistentes a momento para resistir los efectos ssmicos, E, debe modificarse de
acuerdo con lo indicado en (a) hasta (c):
(a) En cualquier elemento estructural que se disee para resistir E, para cortante debe
ser 0.60 si la resistencia nominal a cortante del elemento es menor que el cortante
correspondiente al desarrollo de la resistencia nominal a flexin del elemento. La resistencia
nominal a flexin debe determinarse considerando las cargas axiales mayoradas ms crticas e
incluyendo E;
(b) En diafragmas para cortante no debe exceder el mnimo para cortante usado para
los elementos verticales del sistema primario de resistencia ante fuerzas ssmicas;
(c) En nudos y vigas de acople reforzadas en forma diagonal para cortante debe ser 0.85.
Limitaciones relacionadas con la relacin de refuerzo,
La seleccin del acero ser determinado por el lmite inferior de la siguiente forma:
c ws(min) w
y y
0.25 1.4
f b dA b d
f f
=
c yf & f son en MPa
Valor muy pequeo para As n cr(M < M )
s es muy grande (grandes deflexiones)
Cuando la viga se agrieta n cr(M > M ) la viga falla inmediatamente porque n cr(M < M )
Requisitos adicionales para el valor de cuanta mnima
s
4Si el A (Suministrado) (Requerido Por Diseo)
3 sA
Basado en el anlisis, entonces el As (min) es no requerido. NSR-10 C.10.5.3
n u
4M M
3 Para el sA (Suministrado)
NSR-10
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C.7.12 Refuerzo de retraccin y temperatura
C.7.12.1 En losas estructurales donde el refuerzo a flexin se extiende en una sola
direccin, se debe colocar refuerzo normal al refuerzo a flexin para resistir los esfuerzos
debidos a retraccin y temperatura.
C.7.12.1.1 El refuerzo de retraccin y temperatura debe proveerse de acuerdo con C.7.12.2
C.7.12.3.
C.7.12.1.2 Cuando los movimientos por retraccin y temperatura estn restringidos de
manera significativa, deben considerarse los requisitos de C.8.2.4 y C.9.2.3.
C.7.12.2 El refuerzo corrugado, que cumpla con C.3.5.3, empleado como refuerzo de
retraccin y temperatura debe colocarse de acuerdo con lo siguiente:
C.7.12.2.1 La cuanta de refuerzo de retraccin y temperatura debe ser al menos igual a los
valores dados a continuacin, pero no menos que 0.0014:
(a) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 280 o 350: 0.0020
(b) En losas donde se empleen barras corrugadas Grado 420 o refuerzo electrosoldado de
alambre:
0.0018
(c) En losas donde se utilice refuerzo de una resistencia a la fluencia mayor que 420 MPa,
medida a una deformacin unitaria de 0.35 por ciento:
0.0018*420
yf
C.7.12.2.2 El refuerzo de retraccin y temperatura no debe colocarse con una
separacin mayor de 5 veces el espesor de la losa ni de 450 mm.
C.7.12.2.3 En todas las secciones donde se requiera, el refuerzo por retraccin y temperatura
debe ser capaz de desarrollar fyen traccin de acuerdo con el Captulo C.12.
C.7.12.3 El acero de preesforzado, que cumpla con C.3.5.6, empleado como refuerzo de
retraccin y temperatura, debe suministrarse de acuerdo con lo siguiente:
C.7.12.3.1 Se deben disear los tendones para que produzcan un esfuerzo promedio de
compresin mnima de 0.7 MPa en el rea bruta del concreto usando esfuerzos de
preesforzado efectivo, despus de las prdidas, de acuerdo con C.18.6.
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C.7.12.3.2 El espaciamiento entre los tendones no debe exceder 1.8 m.
C.7.12.3.3 Si el espaciamiento entre los tendones excede 1.4 m se debe colocar refuerzo
adherido adicional de retraccin y temperatura, de acuerdo con C.7.12.2, entre los tendones en
los bordes de la losa, en una zona que se extiende desde el borde en una distancia igual alespaciamiento entre los tendones.
8. PROCEDIMIENTO DE DISEO PARA VIGAS SIMPLEMENTE REFORZADAS
1. Ubicacin del refuerzo
Ubicar el refuerzo donde ocurre fisuramiento (regin del concreto sometida a traccin). Los
esfuerzos de traccin en el concreto pueden ser debidos a:
a) Flexin
b) Carga axial
c) Retraccin de fraguado.
2. Aspectos constructivos
La formaletera es costosa, por esto es necesario y recomendable tratar de volver a utilizarla en
varios pisos. Se deben uniformizar las dimensiones de las vigas y de los elementos estructurales.
La formaletera no viene en dimensiones intermedias diferentes a mltiplos de 50 mm y 100
mm.
3. Alturas o espesores de las vigas
TABLA C.9.5(a) Alturas o espesores mnimos de vigas no preesforzadas o losas reforzadas enuna direccin a menos que se calculen las deflexiones
Espesor mnimo, hSimplemente
apoyadosCon un extremo
continuoAmbos extremos
continuosEn voladizo
ElementosElementos que NO soporten o estn ligados a divisiones u otro tipo de
elementos susceptibles de daarse debido a deflexiones grandes
Losas macizas en unadireccin
20
24
28
10
Vigas o losas nervadas enuna direccin
16
18.5
21
8
NOTAS: Los valores dados en esta tabla se deben usar directamente en elementos de concreto de pesonormal y refuerzo grado 420 MPa. Para otras condiciones, los valores deben modificarse comosigue:
(a) Para concreto liviano estructural con densidad wc dentro del rango de 1440 a 1840 kg/m3, los
valores de la tabla deben multiplicarse por (1.65-0.0003wc), pero no menos de 1.09.
(b) Para fy distinto de 420 Mpa, los valores de esta tabla deben multiplicarse por (0.4 + fy/700)
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NSR-10
C.10.4 Distancia entre los apoyos laterales de elementos sometidos a flexin
C.10.4.1 La separacin entre los apoyos laterales de una viga no debe exceder de 50 veces elmenor ancho b del ala o cara de compresin.
C.10.4.2 Deben tomarse en cuenta los efectos de la excentricidad lateral de la carga al
determinar la separacin entre los apoyos laterales.
Las dimensiones de la viga de seccin transversal b y h son por lo general en mltiplos de
50 mm o 100 mm para facilidad de encofrado.
Figura 78
4. Recubrimiento del acero de refuerzo
El recubrimiento es igual a la dimensin entre la superficie de la losa o viga y el refuerzo.
Por qu es necesario el recubrimiento?
a) Para adherir el refuerzo al concreto.
b) Para proteger el refuerzo contra la corrosin.
c) Para proteger el refuerzo contra el fuego (los excesos de calentamiento provocan
prdida de la resistencia).
d) Los recubrimientos adicionales utilizados en talleres, fbricas, etc. dan cuenta del
control para la abrasin y el desgaste.
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NSR-10
C.7.7 Proteccin de concreto para el refuerzo
C.7.7.1 Concreto construido en sitio (no preesforzado).
A menos que en C.7.7.6 C.7.7.8 se exija un recubrimiento mayor de concreto, el
recubrimiento especificado para el refuerzo no debe ser menor que lo siguiente:
Recubrimiento de concreto, mm
(a) Concreto colocado contra el suelo y expuesto permanentemente a l
75 mm
(b) Concreto expuesto a suelo o a la intemperie:
Barras No. 6 (3/4) 20M (20 mm) a No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm):
50 mm
Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambre MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y
menores 40 mm
(c) Concreto no expuesto a la intemperie ni en contacto con el suelo:
Losas, muros, viguetas:
Barras No. 14 (1-3/4) 45M (45 mm) y No. 18 (2-1/4) 55M (55 mm)
40 mm
Barras No. 11 (1-3/8) 36M (36 mm) y menores
20 mm
Vigas, columnas:
Armadura principal, estribos, espirales
40 mm
Cscaras y placas plegadas:Barra No. 6 (3/4) 20M (20 mm) y mayores
20 mm
Barras No. 5 (5/8) 16M (16 mm), alambres MW200 MD200 (16 mm de dimetro) y
menores 13 mm
5. Lmites del espaciamiento del refuerzo
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NSR-10
C.7.6 Lmites del espaciamiento del refuerzo
C.7.6.1 La distancia libre mnima entre barras paralelas de una capa debe ser db ,
pero no menor de 25 mm. Vase tambin C.3.3.2.
C.7.6.2 Cuando el refuerzo paralelo se coloque en dos o ms capas, las barras de las capas
superiores deben colocarse exactamente sobre las de las capas inferiores, con una distancia libre
entre capas no menor de 25 mm.
C.7.6.3 En elementos a compresin reforzados con espirales o estribos, la distancia
libre entre barras longitudinales no debe ser menor de
1.5 db, ni de 40 mm. Vase tambin C.3.3.2.
C.7.6.4 La limitacin de distancia libre entre barras tambin se debe aplicar a la distancia
libre entre un empalme por traslapo y los empalmes o barras adyacentes.
C.7.6.5 En muros y losas, exceptuando las losas nervadas, la separacin del refuerzo
principal por flexin no debe ser mayor de 3 veces el espesor del muro o de la losa, ni de 450
mm, excepto que en secciones crticas de losas en dos direcciones no debe exceder 2 veces el
espesor de la losa (vase el Captulo C.13). Cuando se trate de refuerzo de temperatura en
losas la separacin mxima no debe exceder 5 veces el espesor de la losa ni 450 mm
(vase C.7.12).
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Dimensiones mnimas de recubrimiento del acero de refuerzo
Interior de la viga
Figura 79
Disposicin inadecuada del acero de refuerzo
Figura 80
C.3.3 Agregados
C.3.3.1 Los agregados para concreto deben cumplir con una de las siguientes normas:
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(a) Agregado de peso normal: NTC 174 (ASTM C33),
(b) Agregado liviano: NTC 4045 (ASTM C330).
Se permite el uso de agregados que han demostrado a travs de ensayos o por experiencias
prcticas que producen concreto de resistencia y durabilidad adecuadas, siempre y cuando sean
aprobados por el Supervisor Tcnico.
C.3.3.2 El tamao mximo nominal del agregado grueso no debe ser superior a:
(a) 1/5 de la menor separacin entre los lados del encofrado, ni a
(b) 1/3 de la altura de la losa, ni a
(c) 3/4 del espaciamiento mnimo libre entre las barras o alambres individuales de refuerzo,
paquetes de barras, tendones individuales, paquetes de tendones o ductos.
Estas limitaciones se pueden omitir si a juicio del profesional facultado para disear la
trabajabilidad y los mtodos de compactacin son tales que el concreto se puede colocar sin la
formacin de hormigueros, vacos o segregacin en la mezcla.
Figura 81
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EJEMPLO 6
Para la viga mostrada en la figura determinar si la viga cumple con las disposiciones de la NSR-
10. Analizar la misma viga si fc = 41MPa.
y
2
f ' c 21MPa
f 420MPa
As 2550mm
=
=
=
Cuanta de la viga
( ) ( )
225500,0187
350 390
As mm
bd mm mm = = =
Cuanta mnima
( )' 1, 4 21 1,40,0027 0,0033 ( .10.5)
4 4 420 420
0,0033 0,0187 0,003 cumple
mn
y y
mn
f c MPa Cf f MPa
= = =
= >
Localizacin eje neutro
( )( )( ) ( )
2y
1
420MPa 2550mmAs fa 171mm
0.85 f ' c b 0.85 21MPa 350mm
a 171mmc 201mm0.85
c 201mm0, 52 la viga no es subreforzada
d 390mm
= = =
= = =
= =
La deformacin en el acero de refuerzo es:
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( ) ( )390 201
0.003 0.003 0.0028201s
d c mm mm
c mm
= = =
La viga est trabajando en la zona de transicin cerca a la zona de compresin =0,65 la
relacin c/d es mayor a 0,375 por lo tanto la viga debe ser rediseada.
Para el caso fc = 41MPa
( ) ( )
225500,0187
350 390
As mm
bd mm mm = = =
Cuanta mnima
( )
' 1,4 41 1,40,0038 0,0033
4 4 420 420
0,0038 0,0187 0,0038 cumple
mn
y y
mn
f c MPa
f f MPa
= = =
= >
Localizacin del eje neutro
( )( )( )( )
2
1
420 255088
0.85 ' 0.85 41 350
88116
0.76
1160,297
390
yMPa mmAs f
a mmf c b MPa mm
a mmc mm
c mm
d mm
= = =
= = =
= =
La deformacin del acero es:
( ) ( )390 116
0.003 0.003 0.0071116s
d c mm mm
c mm
= = =
La viga est ubicada en la zona de tensin =0,9 esta segunda conformacin de viga
corresponde a un diseo de acuerdo a la NSR-10.
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EJEMPLO 7
Determinar el valor de L que causa que la seccin alcance Mn
Notas aclaratorias: Utilizar concreto fc=21 MPa y acero de refuerzo fy=420 MPa La carga muerta distribuida WD y la carga viva distribuida WL se aplican en toda la longitud
de la viga simplemente apoyada
Principio Equilibrio
1 0.85 para ' 28cf MPa = Localizacin eje neutro
1
120141
0.85
a mmc mm
= = = 141 0.35 0.375
440
c mm
d mm= = < 0.9 =
Determinacin momento2*
;8
may
u
L
M
= u nM M= 2n S ya
M A f d
=
( )( )60.12
1530*10 420000 0.442n
M KPa =
244
nM KN m=
( )0.9* 244 220u uM KN m KN m M= = = 2
8may
u
w LM
= 8 220
50L
=
5,9L m=
420yf MPa=' 21cf MPa=
1,2 (15 / ) 1,6 (20 / ) 50 / mayw KN m KN m KN m= + =
( )( )( )( )
2
1530 420 1200.85 21 300
mm MPaa mmMPa mm
= =
T C=
0.85 ' * *0.85 '
S y
S y c
c
A fA f f a b af b
= =
3 No. 8
d = 290 mm
b = 300 mm
wD
= 15 KN/m (incluye peso de la viga)
wL = 20 KN/m
L=?
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9. VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS
Efecto de la adicin de refuerzo a compresin sobre la resistencia de una viga
Menos concreto es necesitado para resistir la C y por lo tanto el eje neutro se mueve hacia
arriba.
s yT A f
C T
=
=
Figura 82
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Viga simplemente reforzada
1c ; 2n s y
aC C M A f d
= =
Viga doblemente reforzada
( )
2c s
2 1
C ;2
y
n s y
aC C M A f d
a a
= + =
Fig 5-15 MacGregor
Figura 84
Cambia el modo de falla de compresin a tensin
Cuando bal>
Facilidad de construccin
Las barras de la esquina son por lo general usadas para sostener y anclar los estribos.
Efecto de la adicin de refuerzo a compresin
Comparar la distribucin de deformaciones en dos vigas con el mismo As
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Figura 85
Seccin 1
s s
c1 c c 1 1
s s1
c 1
0.85 0.85
0.85
T A f
T C f ba f b c
A fc
f b
=
= = =
=
Seccin 2
s s
s c1
s s c 2
s s c 1 2
s s s s2
c 1
0.85
0.85
0.85
T A f
T C C
A f f ba
A f f b c
A f A fc
f b
=
= +
= +
= +
=
Adems de que As refuerza la zona de compresin de modo que es necesario menos concreto
para resistir un determinado valor de T.
El eje neutro asciende 2 1(c < c ) y s incrementa s2 s1( ) >
Cuatro posibles modos de falla
Sub-reforzado
Caso 1: Acero a tensin y compresin fluyen.
Caso 2: Slo el acero a tensin fluye. Sobre-reforzado
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Caso 3: Slo el acero a compresin fluye.
Caso 4: Falla del concreto.
Anlisis de secciones rectangulares doblemente reforzadas
Comprobacin de compatibilidad de deformaciones: asumir s usando tringulos semejantes
( )
( )ss
' *0.0030.003
'
c d
c d c c
= =
Figura 86
( )
( )
( )
( )
( )
s s yc s
c
1
s s y
1 c
y
1 c
0.85
0.85
'
0.85
A A fT C C af b
ac
A A fc
f b
d fc
f
= + =
=
=
=
La deformacin en el acero de compresin es:
( )
( )
s cu
1 cs
y
1
0.851 0.003
'
d
c
f d
d f
=
=
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Figura 87
Verificacin:
( )
( )
( )
( )
( )( )
yy
s
1 cs
y
s y
y1 c
y
1 c
y y
E
0.851 0.003
'
0.85
1 0.003' 200000
0.85 600'
600
f
f d
d f
ff d
d f
f d
d f f
=
=
Si la afirmacin es verdadera, entonces:
( ) ( )n s s y s y2
aM A A f d A f d d
= +
De otro modo la deformacin en el acero de compresin es:
s sf E=
Calcular el esfuerzo en el acero de compresin.
( )
( )1 c
sy
0.85200000 1 0.003
'
f df
d f
=
Volver atrs y calcular el equilibrio con fs
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( )c s
s y s s
c0.85
T C C
A f A fa
f b
= +
=
1
a
c
= Iterar hasta que el valor de c se ajuste para el fs
s 1 600d
fc
=
Volver atrs y calcular la capacidad de momento de la viga
( ) ( )n s y s s s s2
aM A f A f d A f d d
= +
Limitaciones sobre la relacin de refuerzo para vigas doblemente reforzadas
NSR-10
C.10.5 Refuerzo mnimo en elementos sometidos a flexin
C.10.5.1 En toda seccin de un elemento sometido a flexin cuando por anlisis se requiera
refuerzo de traccin, excepto lo establecido en C.10.5.2, C.10.5.3 y C.10.5.4, el As
proporcionado no debe ser menor que el obtenido por medio de:
c,min
y
0.25 f
fS wA b d= (C.10-3)
Pero no menor ay
1.4fwd
b
C.10.5.2 Para los elementos estticamente determinados con el ala en traccin, As, min nodebe ser menor que el valor dado por la ecuacin (C.10-3) reemplazando bw por 2bw o el ancho
del ala, el que sea menor.
C.10.5.3 Los requisitos de C.10.5.1 y C.10.5.2 no necesitan ser aplicados si en cada seccin
el As proporcionado es al menos un tercio superior al requerido por anlisis.
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10.PROCEDIMIENTO DE DISEO DE VIGAS DOBLEMENTE REFORZADAS
Procedimiento cuando las dimensiones de la seccin son conocidas
1. Calcular el valor para el diseo de momento, Mu.
2. Calcular d, dado que h es conocida.
d h 60 mm Para una sola capa de refuerzo
d h 90 mm Para dos capas de refuerzo
3. Estimar el valor dec
d, la cual provocar una deformacin, t > 0.005 y encontrar el
rea 1sA para una seccin simplemente reforzada. Calcular c de d.
4. Determinar la capacidad de momento nominal proporcionado por 1sA
cs1
y
1f1 s1 y
0.85
2
f baA
f
aM A f d
=
=
5. Encontrar la capacidad de momento nominal que debe ser proporcionada y que debe
soportar 'sA
uf1
MM M
=
Si 0M , el acero de compresin no se requiere para resistir uM
Si 0M > , dirjase al paso 6.
Nota:
Utilice 0.9 = para flexin sin carga axial, que depender de la deformacin en el
acero de traccin. NSR-10 Cap. 9.3.
6. Determine 'sA requerido para resistir M
Asumir s y( ' ) >
( )( )( )s requerido y
MA
d d f
=
7. Calcular la traccin total para el refuerzo requerido
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( ) ( )s1s requerido s requeridoA A A= +
8. Seleccione las barras de refuerzo para
s sA (proporcionado) A (requerido)
Confirme que las barras se ajustarn dentro de la seccin transversal.
9. Confirme que s y' , Si no regrese al paso 6 y sustituir s s sf ' = E por yf para
obtener el valor correcto de( )s requerido
A
10.Calcular el momento Mn para las dimensiones de la seccin y el refuerzo seleccionado.Comprobar la resistencia n uM M
Mantener sobredimensionado en un 10%.
11.Comprobar si siempre est dentro de los lmites permitidos.
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EJEMPLO 8
Determinar el momento nominal Mn para la seccin mostrada en la figura considerando el acero
de refuerzo a compresin.
2 2
2 2
f ' c 28MPafy 420MPa
h 450mm
d 390mm
d ' 60mm
b 300mm
As' 2N6 2 284mm 568mm
As 4N7 4 387mm 1548mm
==
=
=
=
=
= = =
= = =
Determinar valores de cuanta
( )( )
( ) ( )
2
2
15480,0132
300 390
' 568' 0,0049
300 390
As mm
bd mm mm
As mm
bd mm mm
= = =
= = =
Determinar el valor de cuanta efectiva
' 0,0132 0,0049 0,0083ef = = =
Verificacin cuanta mnima
( )
' 1, 4 28 1,40,0031 0,0033
4 4 420 420
0,0132 0,0033 cumple
mn
y y
mn
f c MPa
f f MPa
= = =
> >
Determinacin cuanta mnima para viga simplemente reforzada
( ) ( ) ( )( )( )
1 0,85 ' ' 0,85 0,85 28 60600 600'600 420 390 420 600 420
0,0083 0,0247 no cumple
y
f c dd f
El acero de refuerzo a compresin no ha alcanzado la fluencia
Utilizar procedimiento iterativo para determinar fs
( )( )
( ) ( )
1
1
0,85 ' '600 ' 600
( ')
0,85 ' ' 0,85 0,85 28 60' 600 1 600 1 64.32( ') 0,0083 390 420
y
y
f c dfs
df
f c dfs MPa
df
=
= = =
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Primera iteracin:
( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
1
1548 420 568 64.32' '101
0,85 ' 0,85 28 0,85 300
60' ' (200000 ) 1 0,003 244101
y
s
mm MPa mm MPaAsf As fsc mm
f c b MPa mm
mmfs Es MPa MPamm
= = =
= = =
Segunda iteracin:
( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
1
1548 420 568 244' '84
0,85 ' 0,85 28 0,85 300
60' ' (200000 ) 1 0,003 171
84
= = =
= = =
y
s
mm MPa mm MPaAsf As fsc mm
f c b MPa mm
mmf s Es MPa MPa
mm
Tercera iteracin:
( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
1
1548 420 568 171' '91
0,85 ' 0,85 28 0,85 300
60' ' (200000 ) 1 0,003 204
91
= = =
= = =
y
s
mm MPa mm MPaAsf As fsc mm
f c b MPa mm
mmf s Es MPa MPa
mm
Cuarta iteracin:
( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
1
1548 420 568 204' '88
0,85 ' 0,85 28 0,85 300
60' ' (200000 ) 1 0,003 19188
= = =
= = =
y
s
mm MPa mm MPaAsf As fsc mm
f c b MPa mm
mmf s Es MPa MPamm
Quinta iteracin:
( )( ) ( )( )( ) ( )
2 2
1
1548 420 568 191' '89
0,85 ' 0,85 28 0,85 300
60' ' (200000 ) 1 0,003 196
89
= = =
= = =
y
s
mm MPa mm MPaAsf As fsc mm
f c b MPa mm
mmf s Es MPa MPa
mm
Tomar fs = 196MPa y c = 89mm.
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Determinar momento nominal
( ) ( )
( )( ) ( )( )( )
( )( ) ( )
3 2 3 2
3 2
' ' ' ' '2
0,85 0,0891,548 10 420000 0,568 10 196000 0,39
20,568 10 196000 0,39 0,06
226.5
y
aMn Asf As f s d As f s d d
mMn m KPa m KPa
m KPa m m
Mn KN m
= +
= +
=
EJEMPLO 9
Determinar el momento mximo y su correspondiente momento nominal para la seccinmostrada en la figura. La zona a compresin se encuentra en la parte superior. Determinar elrefuerzo requerido en la zona a traccin.
1
' 41
420
28 41 280,85 0,05 0,85 0,05 0,767 7
y
f c MPa
f MPa
fc
=
=
= = =
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Condicin viga sub-reforzada
( ) ( )
1
0,003540 203
0,005 0,003
0,76 203 154
= = = + +
= = =
cu
cu s
c d mm mm
a c mm mm
Condicin de equilibrio
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) 2
0,85 ' 600 440 120 '
0,85 41 600 154 440 154 120 900 4207326
420
y yAsf f c a a As f
As mm
= +
+ = =
Momento aportado por el refuerzo superior
( ) ( )( ) ( )6' ' ' 900 10 420000 0,54 0,06 181yMs As f d d KPa KN m KN m= = =
Momento total que resiste la seccin
( )( ) ( ) ( )( )
1 2
'
0,120,85 ' 0,85 ' 181
2 2
0,154 0,154 0,120,85 41000 0,6 0,154 0,54 0,85 41000 0,44 0,154 0,12 0,54 181 en
2 2
1037
T C S
T C C
T
T
M M M
a aM f c A d f c A d KN m
M KN m
M KN m
= +
= +
= +
=
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11.CORTANTE
Figura 100
Distribucin de los esfuerzos distribuidos a travs de la seccin transversal
VQ
Ib =
El esfuerzo cortante actuando en una viga rectangular
Figura 101
La ecuacin del esfuerzo cortante de una viga rectangular viene dada por:
VQ
Ib =
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3
2
max
max ave
Momento de Inercia12
Q *2 4 8
3 * 1.52
bhI
bh h bh
Vbh
=
= =
= =
Nota: El mximo momento se produce primero en el eje neutro.
La distribucin ideal de esfuerzo cortante se puede describir como:
Figura 102
Una descripcin realista de la distribucin de esfuerzos cortantes se muestra como:
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Figura 103
El esfuerzo cortante que acta a lo largo de la viga puede ser descrito con un bloque de
esfuerzo:
Figura 104
Usando el crculo de Mohr, el bloque de esfuerzo puede ser utilizado para encontrar el cortante
mximo.
Agrietamiento inclinado de vigas de concreto reforzado
Patrones tpicos de grie